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不等式选讲专题经典含详细答案

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1.不等式2313xxaa对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。

1.答案：(,1][4,)

解析:因为24314313xxxxaa对对任意x恒成立，所以22343041aaaaaa即，解得或

2.设函数()|4|||fxxxaa(＞1)，且()fx的最小值为3，若()5fx，则x的取值范围是__________________．

2.．答案：83x．解析：由题意知，满足条件的7a；解不等式574xx有83x．

3.已知关于x的不等式|3||4|xxa。

（1）当2a时，解上述不等式；

（2）如果关于x的不等式|3||4|xxa的解集为空集，求实数a的取值范围。

3．解：（1）原不等式342xx

当3x时，原不等式化为722x，解得55,322xx

当34x时，原不等式化为12，34x

当4x时，原不等式化为272x，解得92x，942x

综上，原不等式解集为5922xx ………………（5分）

（2）作出34yxx与ya的图象，

若使34xxa解集为空集只须34yxx图象在ya的图象的上方，或ya与1y重合，1a

所以，a的范围为,1 ………………（10分）

4.已知函数()|2|,()|3|.fxxgxxm

（1）解关于x的不等式()10()fxaaR；

（2）若函数()fx的图象恒在函数()gx图象的上方，求m的取值范围。

4．解：（1）不等式()10fxa，即210xa。

当1a时，不等式的解集是(,2)(2,)；

当1a时，不等式的解集为R；

当1a时，即21xa，即21xa或者21xa，即1xa或者3xa，解集为(,1)(3,)aa。 （5分）

（2）函数()fx的图象恒在函数()gx图象的上方，即23xxm对任意实数x恒成立。即23xxm对任意实数x恒成立。

由于23(2)(3)5xxxx，故只要5m。

所以m的取值范围是(,5)。

1.对于实数x,y,若¦12,12,11yxyx则的最大值为_________________.

1.答案：5 解析：522122212)2(2112yxyxyx当且仅当时不等式取等号12,11yx

2.已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.

（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.

3.设函数0,3)(axaxxf（1）当1a时，求不等式23)(xxf的解集；(2)如果不等式0)(xf的解集为1xx，求a的值。

解：（Ⅰ）当1a时，不等式23)(xxf，可化为，21x

3,1xx，所以不等式23)(xxf的解集为3,1xxx或

（Ⅱ）因为0)(xf，所以，03xax，可化为，

0303xxaaxxaxax或

即24axaxaxax或

因为，0a所以，该不等式的解集是2axx，再由题设条件得2,12aa

4.已知Rcba,,,的最小值，求2444,1cbacba并求出取得最小值时的值。cba,, 解析：1,13444411434344404,04,04,122222233cbacccbacbacbacccbacbacba，此时的最小值为不等式取等，或即当且仅当

1．若关于x的不等式21xxa存在实数解，则实数a的取值范围是

1.解析：,3,3213axx

2.（1）设;9111,,,321321321maaamaaaaaa求证：均为正数，且

（2）已知a,b都是正数，.)(,1,,222byaxbyaxbaRyx求证：且

不等式取等时，当且仅当求证：均为正数，且解：3,9)111(1)111(111;9,,,)1(3212321321321321321maaammaaamaaaaaammaaaaaa

不等式取等即当且仅当都是正数，22222222222222)()())((1,)2(yxabxabybyaxybxabyaxbabyaxbaba

3.设函数的取值范围。恒成立，求实数）若不等式（的图像；画出函数xRbaaxfababaxfyxxxf),,0(),(2)()1(.21)(

解析：（1）略 （2）2521,2)()(,2xxfababaxfababa恒成立，

4.证明不等式1+).(21...3121Nnnn

证明：当n=1时，左边=1，右边=2，不等式成立。

即成立。时，）可知，当），（根据（不等式也成立。时，那么当nnNnkkkkkkkkkkkkkknkk21...3121121121)1(211)1(11)1(2112111...312111,21...31211

假设当n=k时不等式成立，那么当n=k+1时

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不等式选讲经典习题

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知识网络

§1 绝对值型不等式

典例精析

题型一 解绝对值不等式

【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.

(1)解不等式f(x)＞3；

(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23xxxxx

所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；

当1≤x≤2时，f(x)＞3无解；

当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.

所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).

(2)因为f(x)＝.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23xxxxx所以f(x)min＝1.

因为f(x)＞a恒成立，

所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1).

【变式训练1】设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.

(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.

【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).

(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，

所以－a≤3，即a≥－3.

题型二 解绝对值三角不等式

【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a≠0，a、b∈R恒成立，求实数x的范围.

【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x).

又因为|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，则有2≥f(x).

解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得12≤x≤52.

【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是 .

高考数学压轴专题莆田备战高考《不等式选讲》技巧及练习题附答案

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【高中数学】高中数学《不等式选讲》期末考知识点

一、14

1．不等式222log2logxxxx的解集为（ ）

A．1,2 B．0,1 C．1, D．2,

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得出0x，分2log0x和2log0x两种情况讨论，结合222log2logxxxx可得出2log0x，解出该不等式即可.

【详解】

由题意得出0x，当2log0x时，则222log2logxxxx.

当2log0x时，222log2logxxxx，解不等式2log0x得1x.

因此，不等式222log2logxxxx的解集为1,.

故选：C.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

2．设集合1,RAxxax，15,RBxxx．若ABI，则实数a的取值范围是（）

A．06aa B．64aaa或

C．06aaa或 D．24aa

【答案】C

【解析】

【分析】

根据公式0xaaaxa解出集合A，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。

【详解】

由111xaxa，解得11axa，因为ABI，

所以11a或15a，解得0a或6a，即实数a的取值范围是06aaa或，

故选：C.

【点睛】 本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。

3．猜测使2nan对任意正整数n恒成立的最小正整数a的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合选项利用特殊值排除选项A，然后利用数学归纳法证明选项B正确即可.

【详解】

注意到当2,4an时，2nan不成立，则2a不合题意，

当3a时，不等式即23nn，

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》分类汇编含答案

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【高中数学】《不等式选讲》知识点汇总

一、14

1．设0x为函数()sinfxx的零点，且满足001()112xfx，则这样的零点有（ ）

A．18个 B．19个 C．20个 D．21个

【答案】D

【解析】

从题设可得00()xkxkkZ，又001()sin()sin()(1)222kfxxk，故(1)11kk，当k取奇数时，12k，则1,3,5,7,9,11k，共12个数；当k取偶数时，10k，则0,2,4,6,8k，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D。

点睛：解答本题的关键是如何理解“设0x为函数sinfxx的零点”这一题设信息，通过函数零点的概念建立三角方程，进而得到00()xkxkkZ，为求解下面的不等式001112xfx提供了附加条件，最后运用分类整合的思想使得问题获解。

2．已知点(3,1)P在椭圆22221(0)xyabab上，点(,)Mab为平面上一点，O为坐标原点，则当OM取最小值时，椭圆的离心率为（ ）

A．33 B．13 C．22 D．63

【答案】D

【解析】

【分析】

点(3,1)P在椭圆22221(0)xyabab上，可得22911ab，(,)Mab为平面上一点，22||OMab，根据柯西不等式得到a，b关系，代入即可．

【详解】

解：点(3,1)P在椭圆22221(0)xyabab上，可得22911ab，

(,)Mab为平面上一点，22||OMab，

所以222222291||()()(31)4OMababab…，当且仅当223ab=时，取等号， 222213bea，

63e．

故选D．

【点睛】

考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．

3．已知命题p：不等式11xm的解集为R，命题q：()(52)xfxm是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围是（ ）

高考真题不等式选讲专题答案

高考真题不等式选讲专题答案

1 不等式选讲专题答案

1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|fxxx．

（1）画出()yfx的图像；

（2）求不等式()(1)fxfx的解集．

2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|fxxaxa.

（1）当2a时，求不等式()4fx的解集；

（2）若()4fx，求a的取值范围.

3.（2020•全国3卷）设a，b，cR，a＋b＋c＝0，abc＝1．

（1）证明：ab＋bc＋ca＜0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．

4.（2020•江苏卷）设xR，解不等式2|1|||4xx．

2

不等式选讲专题答案

1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|fxxx．

（1）画出()yfx的图像；

（2）求不等式()(1)fxfx的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）7,6.

【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数fx的解析式，作出图象；

（2）作出函数1fx的图象，根据图象即可解出．

【详解】（1）因为3,1151,1313,3xxfxxxxx，作出图象，如图所示：

3

（2）将函数fx的图象向左平移1个单位，可得函数1fx的图象，如图所示：

由3511xx，解得76x．所以不等式()(1)fxfx的解集为7,6．

【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．

2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|fxxaxa.

（1）当2a时，求不等式()4fx的解集；

（2）若()4fx，求a的取值范围.

【答案】（1）32xx或112x；（2）,13,.