不等式选讲

选修4-5 不等式选讲资料

不等式选讲知识点

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

0baba

0baba

0baba

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)

②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。

③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d a+c>b+d．

④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么nnba (nN，且n>1)

⑥、如果a>b >0，那么nnba (nN，且n>1)。

3，平均值不等式

定理1：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a＝b时取“＝”

号）说明：（1）我们称a ＋b2 为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（2）a 2＋b 2≥2ab和a ＋b2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.（3）“当且仅当”的含义是充要条件.

定理3：如果Rcba,,，那么abccba3333（当且仅当cba时取“=”）

定理4：如果Rcba,,，那么33abccba。（当且仅当cba时取“=”）

定理:5：如果Rcba,,，那么33abccba。当且仅当cba时，等号成立。

推广： naaan21≥nnaaa21 。当且仅当naaa21时，等号成立。

高三数学不等式选讲试题答案及解析

1. 不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为. 【考点】不等式选讲. 2. 不等式的解集是 【答案】 【解析】原不等式可化为，解得. 考点:绝对值不等式解法 3. 已知函数 （Ⅰ）证明:；

（Ⅱ）求不等式:的解集．

【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．

试题解析：（Ⅰ）

当 所以

（Ⅱ）由（1）可知， 当的解集为空集；

当时，的解集为：；

当时，的解集为：；

综上，不等式的解集为：；

【考点】绝对值不等式的解法．

4. 设函数=

（1）证明：2；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（2）

【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.

试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.

（2）因为，所以

，解得：.

【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.

【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.

5. （5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是

． B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．

素材来源于网络，林老师编辑整理

素材来源于网络，林老师编辑整理 第三节 不等式选讲(选修4-5)

考纲解读

1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.

2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.

3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.

4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.

命题趋势探究

本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.

知识点精讲

一、不等式的性质

1.同向合成

（1）,abbcac；

（2）,cabdacbd；

（3）0,c0abdacbd.

（合成后为必要条件）

2.同解变形

（1）abacbc；

（2）0,0,abcacbccacbc；

（3）11000ababba.

（变形后为充要条件）

3.作差比较法

0,0abababab

二、含绝对值的不等式

（1）0,||axaaxa；0,||,axaxaxa或

（2）22||||abab

（3）||||xaxbc零点分段讨论

三、基本不等式

（1）222abab（当且仅当等号成立条件为ab）

（2）0,0,22ababab（当且仅当等号成立条件为ab）； 素材来源于网络，林老师编辑整理

素材来源于网络，林老师编辑整理 30,0,0,3abcabcabc（当且仅当abc时等号成立）

（3）柯西不等式

22222()()()abcdacbd（当且仅当adbc时取等号）

①几何意义：2222||adbcabcdabab||||||≤

②推广：222222212121122()()()nnnnaaabbbabababLLL.当且仅当向量12(,,,)naaaLa=与向量12(,,,)nbbbLb=共线时等号成立.

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第十三章 不等式选讲(选修4－5)

第一节 绝对值不等式

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a {}x|x>a或x<－a {}x∈R|x≠0 R

(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解．

②利用零点分段法求解．

③构造函数，利用函数的图象求解．

[小题体验]

1．(教材习题改编)设ab>0，下面四个不等式中，正确的是( )

①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.

A．①和② B．①和③

C．①和④ D．②和④

解析：选C ∵ab>0，即a，b同号，

则|a＋b|＝|a|＋|b|，

∴①④正确，②③错误．

2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{}x|1≤x≤3，则实数k＝________. 第 2 页 共 103 页

解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{}x|1≤x≤3，

∴k＝2.

答案：2

3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．

解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝ －3， x≤－1，2x－1， －1

当－1

又当x≥2时，f(x)＝3>1恒成立．

所以不等式的解集为{}x|x≥1.