比例线段
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1 1、把ba的值叫做线段a,b的比，若dcba，则称线段a,b,c,d成比例线段。
2、bcaddcbadcba::，其中a,b,c,d分别叫第一、第二、第三、第四比例项,a,d称为外项，b,c称为内项；外项的积等于内项的积。
3、如果dcba，那么ddcbba
如果dcba，那么ddcbba--
如果kdcba，那么kdcbadbca
4、黄金分割点：如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点。AP与AB的比值21-5称为黄金分割数，约等于0.618
5、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例
三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例
三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例
两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等
例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a=2，b=3，c=2，d=3 B.a=4，b=6，c=5，d=10
C.a=2，b=5，c=23，d=15 D.a=2，b=3，c=4，d=1
例2. 已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的是( )
A.a∶d=c∶b B.a∶b=c∶d C.d∶a=b∶c D.a∶c=d∶b
例3. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________
例4. 若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )
A.dcba bdda C.cdba22 D.dacdab
例5. 已知dcba,则下列式子中正确的是（ ）
A. a∶b=c2∶d2 B. a∶d=c∶b
C. a∶b=（a+c）∶（b+d） D. a∶b=（a－d）∶（b－d）
2 例6．已知5:4:2::cba，且632aba，求cba23的值。
例7.在比例尺为1∶500000的地图上，A、B两地的距离是64 cm，则这两地间的实际距离是______
例8.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m，那么这张地图的比例尺为________.
例9．（1）已知baabbax222，求x的值
（2）已知524232xzzyyx，求yxzyx2的值
例10.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A．AM∶BM=AB∶AM B.AM=215AB C.BM=215AB D.AM≈0.618AB
例11．如图，线段AB=2，点C是AB的黄金分割点(AC＜BC），点D（不同于C点）在AB上，且ABBDAD2，求：ACCD的值
例12. 如图，E是ABC中线AD上的一点，CE交AB于F，已知AE：ED=1：2，则
AF：BF= 。
A C D
B 3 例13. 如图，在ABC中，EF//DC，DE//BC，求证：AF：FD=AD：DB
例14. 如图：□ABCD，P为对角线BD上的点，过点P作一直线分别交BA、BC的延长线于Q、R，交CD、AD于S、I，求证：PQPI=PRPS。
例15、如图已知BEAB=MEAM=CEAC。求证：BCCABCAB=MEAE
例16、 如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证GF＝FB．
4 【综合能力训练】
一、填空题
1．已知a∶b＝3∶1且a＋b＝8，则a－b＝ 。
2．已知32qpnm (n+q≠0)，则qnpm＝ 。
3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为 。
4．线段a＝3，b＝4，c＝5则b，a，c的第四比例项是 ，b、c的比例中项是 ．
5．直角三角形的三边为a，a+ b，a+2b且a＞0,b＞0则a∶b＝ 。
6．已知点P是线段AB的黄金分割点，若AP＞BP，AP=5-1，则AB＝ 。
7．△ABC的周长为100cm，如图若53BCEFACAFABAE，△AEF的周长为 。
8．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF∶FD＝1∶3则AE∶EB＝ ；若AF∶FD＝1∶n（n＞0），则AE∶EB= 。
二、选择题
9.已知ba12，则baba-2的值（ ）
A．-5 B．5 C．-4 D．4
10．已知3a＝5b，下列各式的值在2与3之间的是（ ）
A．aba B．bba C．bba D．baba
11．如图BD，CE是△ABC的中线，P，Q分别是BD，CE的中点，则PQ∶BC等于（ ）
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6
5 12.已知，如图l1∥l2∥l3下面等式①ACAB=CFAD②CABC=FDEF③DEAB=ACDF④DEAB=BEAB⑤AB∶BC∶AC=DE∶EF∶DF能成立的等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，平行于梯形两底的直线交梯形两腰AB，CD及两条对角线BD、AC分别于点E、F、G、H，若AE∶EB=HG∶GE=2∶1，则用AD∶BC等于（ ）
A．1∶2 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4
14．如图，l1∥l2，AF∶FB＝2∶5，BC∶CD=4∶1，则AE∶EC＝（ ）
A．5∶2 B．4∶1 C．2∶1 D．3∶2
三、解答下列各题
15．在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP＝5，BP的垂直平分线交AB、DC分别于E，F，Q为垂足，试求EQ：QF的值．
17．已知：如图△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点N、M，求证：（1）OMONAMAN （2）BM=MC，且DN=NE
6 18．如图AB， DC都在 BC的同侧且AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AC、BD交于点P，PQ⊥BC于Q，试证PQ平分∠AQD。
19．已知如图，点D是△ABC边BC上一点，且BD∶DC＝2∶3，过点C任作一条直线与AB、AD分别交于点F和E，求证BFAFEDAE35.
20.已知：如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上一点，nmAFBF（m，n＞0）取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E(1)求ECBE的值（2）如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论。（3）E点能否为BC中点？如果能，求出相应nm的值；如果不能，证明你的结论.
7 21．如图梯形ABCD中AB∥DC，∠B＝90°，MN∥AB，AB＝6，BC＝4，CD＝3，设DM＝x，（1）设MN＝y，用x的代数式表示y．（2）设梯形MNCD的面积为S，用x的代数式表示S．（3）若梯形MNCD的面积S等于梯形ABCD的面积的31，求DM．
22．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时发现了如下的事实．
（1）当ACAE=21=111时，有ADAO=32=122（如图甲）
（2）当ACAE=31=211时，有ADAO=42=222（如图乙）
ACAE=31=211时，有ADAO=42=312（如图丙）
在图丁中，当ACAE=n11时参照上述研究结论，请你猜想用n表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）。
