线段的比与比例线段

比例线段 知识要点

本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念.

1.线段的比

在同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比.

2.比例线段

①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.

②比例线段中的相关概念

已知四条线段a、b、c、d，如果 ＝ (a∶b＝c∶d)，那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项.

如果作为比例内项是两条相同的线段，即 ＝ (a∶b＝b∶c)，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.

如果mnnp，比例外项是 ；比例内项是 ；比例中项是 。

3.比例的性质

①比例基本性质： ＝ ad＝bc(bd≠0)

＝ b2＝ac(bc≠0)

②合比性质： ＝ ＝

③等比性质：若 ＝ ＝……＝ (b+d+…+n≠0)

则 ＝

4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中线，叫做把线段AB黄金分割，C点叫做线段AB的黄金分割点. 1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。

2.画出黄金分割图，并用表达式表示。

典型例题

例1 已知3∶x＝8∶y，求

例2 已知 ＝ ，求 .

例3 若 ＝ ，求

例4 已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求 的值.

练习

一、填空题

1.若4x=5y,则x∶y＝ . 2.若 ＝ ＝ ，则 ∶

＝

.

3.已知

＝ ，则 的值为 .

4.已知 ＝ ，那么 ＝ .

5.若 ＝ ＝ ＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .

6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ .

1 3.1成比例线段

1.两条线段的比的概念

两条线段的比的定义：选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成CDAB=nm，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.

如果把nm表示成比值k，则CDAB=k或AB=k·CD.

注意：在量线段时要选用同一个长度单位.

2.求两条线段的比时要注意的问题

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.

成比例线段：

成比例线段的定义：四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即dcba,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）.

比例中项：若cbba则把b叫做a，c的比例中项。

线段的比和比例线段的区别和联系：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.

若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.

线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcba是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例.

例1：下列线段能成比例线段的是（ ）

A. 1cm,2cm,3cm,4cm B. 1cm,2cm,22cm,2cm

C. 2cm,5cm,3cm,1cm D. 2cm,5cm,3cm,4cm a＝2，b＝5，c＝152，d＝55．

例2．判断下列线段是否是成比例线段：

（1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m； （2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2.4．

2.比例性质：

⑴基本性质：dcbaad=bc.

word

1 / 12 比例线段 知识要点

本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念.

在同一单位下，两条线段的长度比叫做这两条线段的比.

①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.

②比例线段中的相关概念

已知四条线段a、b、c、d，如果 ＝ (a∶b＝c∶d)，那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项.

如果作为比例内项是两条相同的线段，即 ＝ (a∶b＝b∶c)，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.

如果mnnp，比例外项是；比例内项是；比例中项是。

①比例基本性质： ＝ ad＝bc(bd≠0)

＝ b2＝ac(bc≠0)

②合比性质： ＝ ＝ word

2 / 12 ③等比性质：若 ＝ ＝……＝ (b+d+…+n≠0)

则 ＝

4.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC，(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的比例中线，叫做把线段AB黄金分割，C点叫做线段AB的黄金分割点.

1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。

2.画出黄金分割图，并用表达式表示。

典型例题

例1 已知3∶x＝8∶y，求

例2 已知 ＝ ，求 .

例3 若 ＝ ，求

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例4

已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求 的值. 练习

一、填空题

1.若4x=5y,则x∶y＝ .

2.若 ＝ ＝ ，则 ∶ ＝ .

3.已知 ＝ ，则 的值为 .

4.已知 ＝ ，那么 ＝ .

5.若 ＝ ＝ ＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .

6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝ .

第 1 页 共 1 页 初中数学知识点：比例线段

1．两条线段的比：

在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比.

2．成比例线段：

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

3．比例的基本性质：

如果bc,ad那么ad=bc.

要点诠释：

（1）a，b，c，d叫做这个比例的项，a，b叫做比例外项，b，c叫做比例内项.

（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a,c的比例中项）

4．比例的性质：

（1）合分比性质：如果ac,bd那么abcdbd；

（2）等比性质：如果acm......bdn（b+d+……+n≠0），那么ac......ma.bd......nb