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在线测试题试题库及解答第十章结构动力学基础一、单项选择题1、结构的主振型与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案A2、结构的自振频率与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案A3、单自由度体系在简谐荷载作用下，下列哪种情况内力与位移的动力系数相同？A、均布荷载作用B、荷载作用在质点上与质点运动方向垂直C、荷载不作用在质点上D、惯性力与运动方向共线标准答案D4、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案D5、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案D6、当简谐荷载作用于有阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远大于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、重力C、阻尼力D、惯性力标准答案D7、设ω为结构的自振频率，θ为荷载频率，β为动力系数下列论述正确的是A、ω越大β也越大B、θ/ω越大β也越大C、θ越大β也越大D、θ/ω越接近1，β绝对值越大标准答案D8、如果体系的阻尼增大，下列论述错误的是A、自由振动的振幅衰减速度加快B、自振周期减小C、动力系数减小D、位移和简谐荷载的相位差变大标准答案B9、无阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力C、惯性力与弹性力的合力D、没有力标准答案D10、有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力与弹性力的合力C、惯性力D、阻尼力标准答案D11、当简谐荷载作用于无阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远小于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、阻尼力C、惯性力D、重力标准答案A12、一单自由度振动体系，其阻尼比为ξ，动力系数β，共振时下列结果正确的是A、ξ=0.05，β=10B、ξ=0.1，β=15C、ξ=0.15，β=20D、ξ=0.2，β=25标准答案A13、一单自由度振动体系，由初始位移0.685cm，初始速度为零产生自由振动，振动一个周期后最大位移为0.50cm，体系的阻尼比为A、ξ=0.05B、ξ=0.10C、ξ=0.15D、ξ=0.20标准答案A14、在低阻尼体系中不能忽略阻尼对什么的影响？A、频率B、主振型C、周期D、振幅标准答案D15、单自由度体系受简谐荷载作用，ω为体系自振频率，θ为荷载频率，动位移y(t)与荷载P(t)的关系是A、当θ/ω＞1时，y(t)与P(t)同向，当θ/ω＜1时，y(t)与P(t)反向。
结构动力学试题及答案（本文按试题和答案格式进行编写）试题一：1. 请问什么是结构动力学？2. 简述结构动力学的研究对象和主要内容。
3. 结构动力学分析常用的方法有哪些？4. 结构动力学分析中常用的数学模型有哪些？5. 结构动力学的应用领域有哪些？答案一：1. 结构动力学是研究结构在外力作用下的动态响应及其稳定性的学科。
2. 结构动力学的研究对象是各种工程结构，主要内容包括结构的振动、冲击响应、瞬态响应和稳态响应等。
3. 结构动力学分析常用的方法有模态分析法、频率响应分析法、时程分析法等。
4. 结构动力学分析中常用的数学模型有单自由度体系、多自由度体系、连续体系等。
5. 结构动力学的应用领域广泛，包括建筑结构工程、桥梁工程、风力发电机组、地震工程等。
试题二：1. 结构动力学分析中，模态分析的基本原理是什么？2. 简述模态分析的步骤和计算方法。
3. 常用的模态分析软件有哪些？4. 请问什么是结构的固有频率和阻尼比？5. 结构的模态振型对结构动力响应有什么影响？答案二：1. 模态分析是基于结构的振动特性，通过求解结构的固有频率、模态振型和阻尼比等参数，来研究结构的动力响应。
2. 模态分析的步骤包括建立结构有限元模型、求解结构的固有频率和模态振型、计算结构的阻尼比等。
常用的计算方法有有限元法、拉普拉斯变换法等。
3. 常用的模态分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC.NASTRAN等。
4. 结构的固有频率是结构在无外力作用下自由振动的频率，阻尼比是结构振动过程中能量耗散的程度。
5. 结构的模态振型对结构动力响应有很大影响，不同的模态振型会导致不同的振动特性和反应。
试题三：1. 结构动力学分析中，频率响应分析的基本原理是什么？2. 简述频率响应分析的步骤和计算方法。
3. 频率响应分析和模态分析有什么区别？4. 结构的频率响应函数和传递函数有什么区别？5. 频率响应分析在结构设计中的应用有哪些？答案三：1. 频率响应分析是研究结构在单频激励下的响应特性，通过求解结构的频率响应函数，来获得结构的响应。
考生请注意：1．本试题共6 题，共2 页，考生请认真检查；2．答题时，直接将答题内容写在我校提供的答题纸上；答在试卷上一律无效；3．本试题不得拆开，拆开后遗失后果自负。
一、简述题（本题共20分，每小题5分）1．自由振动、强迫振动自由振动：系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的弹性恢复力“自由地”振动，其振动特性仅取决于系统本身的物理特性（质量和刚度）。
强迫振动：系统受到外界持续的激励作用而“被动地”进行振动，其振动特性除取决于系统本身的特性外，还取决于激励的特性。
2．广义坐标、振型函数广义坐标：是一种坐标形式，它是有几组互相正交的模态组成，任何变量都可由这几组模态的唯一线性组合而成。
振型函数：是一种函数形式，描述振型在几维空间中的振幅值的表现。
3．稳态响应、瞬态响应稳态响应：当系统在外力作用下，经过一段时间后，系统振动趋于稳定时的响应。
瞬态响应：当系统在外力作用下，在系统振动趋于稳定之前的响应。
瞬态响应发生在稳态响应之前，他们组合构成完整的外力作用时的振动响应。
4．哈密顿原理具有完整约束的动力学系统，在满足协调性条件、约束条件或边界条件，同时满足起始t1时刻与结束t2时刻条件的可能的位移随时间变化的形式中，真实解对应的那种变化形式使Lagrange泛函L取最小值，即2 1(T V W)0t t dt式中：T为系统的动能，V为系统的势能，W为外力所作虚功。
二．质量均为m 的两个球，系于具有很大张力T 的弦上，如图所示，求系统的固有频率。
（本题10分）解：由于弦的张力T 很大，两个球只能在竖向发生微幅振动。
（1分）如下图所示，两个球在外力1()F t 和2()F t 作用下发生竖向微幅振动，位移分别为1x 和2x 。
对两个球，分别作受力分析：外荷载；惯性力； 张力分力。
（3分）运用达朗贝尔原理，分别列出 两个球的竖向运动方程：12111()x x x mx T T F t L L-+⋅-⋅=22122()x x xmx T T F t L L-+⋅+⋅= （5分）写成矩阵形式：1112222()002()TT x x F t m L L m x T T x F t L L ⎡⎤-⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤+=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得频率方程：[][]222202T Tm LLK M T T m L Lωωω---==-- （7分） 解得： 1ω=2ω= （10分）ll l F 2(t)三．图示简支梁，梁长为4l ，在四等分处有3个质量m 1=m 2=m 3=m ，梁的抗弯刚度为EI ，忽略梁自身的质量，要求：（1）写出系统振动方程；（2）求系统的各阶固有频率； （3）画出相应的主振型。
一、填空题1、由实验测得某单自由度体系阻尼比0.05ξ=，则其自由振动的振幅经3个周期后降为初始振幅的 %。
2、对于有阻尼受迫振动体系，当振动时间足够长时，体系初始状态只对响应的 振动有影响，而对响应的 振动并无太大影响。
3、阻尼比为ξ的单自由度体系，在简谐荷载作用下位移动力系数μ=极值max μ= , 此时，简谐激励频率与结构固有频率之比==ωθβ/ 。
4、悬臂结构和简支结构的各振型所具有的共同特性：(1)、第一主振型 不动点；(2)、第n 主振型具有 个不动点；(3)、两不同振型之间具有 性。
5、分布质量简化为有限自由度体系有三种方法，它们分别是 ， ， 。
二、1. 图示为一单自由度体系（抗弯刚度EI ，梁自重不计），试建立其振动方程。
2. 下列函数均可作为周期荷载，其周期各等于多少？近似给出下列荷载的幅值谱？（1）()sin(0.25)0.75sin(1.750.5)f t t t ππ=+++（2）()sin(0.25)0.75sin(1.750.5)0.25sin(2.5)f t t t t πππ=+++++（3）()sin(0.25)0.75sin(1.750.5)0.25sin(2.5)0.125sin(3.125 1.25)f t t t t t ππππ=+++++++3. 若取m =600kg,42110MPa E =⨯,I=78cm 4,l =6m,干扰力取为()sin(0.25)0.75sin(1.750.5)0.25sin(2.5)P F t t t t πππ=+++++,试计算体系的自振频率, 并画出上述激励作用下的响应幅值谱（不考虑阻尼影响）。
0.5l 0.5l题二图 三、图示两跨对称、匀质等截面连续梁，各跨跨径均为l ，抗弯刚度均为EI ，单位长度质量均为m 。
在两跨的跨中另置一质块(质量为ml )，试用Rayleigh 法求该结构的基本频率。
题三图 四、图示框架结构，忽略其轴向变形及转动惯量的影响，将质量堆积在结点上1、 建立体系振动方程2、 求系统的自振频率3、 求系统振型并绘出振型图题四图l l。
结构动力学与应用考试试题一、选择题1. 结构动力学是研究结构在______时的力学响应和形态相互关系的学科。
A. 静力学B. 动力学C. 热力学D. 光力学2. 结构的固有频率是指结构在______下产生共振的频率。
A. 外加荷载B. 自激振动C. 静力平衡D. 温度变化3. 结构动力学分析中常用的求解方法包括有限元法、模态超级法和______法等。
A. 静力平衡法B. 频率响应法C. 换能法D. 变位法4. 结构动力学分析常用的传递函数表示为______。
A. H(ω) = X(ω) / F(ω)B. H(ω) = F(ω) / X(ω)C. X(ω) = F(ω) / H(ω)D. F(ω) = X(ω) / H(ω)5. 结构的阻尼比对于结构动力学响应的影响是______。
A. 提高结构的刚度和强度B. 减小结构的固有频率C. 显著改变结构的失稳现象D. 不影响结构的动力响应6. 结构在动力荷载作用下的振动响应可以通过______分析得到。
A. 弹性力学理论B. 弹塑性力学理论C. 塑性力学理论D. 极限平衡理论7. 结构地震反应的计算方法一般可以分为几种类型？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种8. 结构地震反应计算中常用的几种简化方法包括等效静力法、反应谱法和______法。
A. 位移反应法B. 达比法C. 传递函数法D. 干涉法9. 结构动力学与应用在哪些领域具有广泛的应用？A. 建筑结构设计B. 地震工程C. 桥梁工程D. 所有选项都正确10. 结构动力学的研究对于提高建筑物和桥梁的______具有重要意义。
A. 施工速度B. 建筑安全性C. 建筑造价D. 建筑使用寿命二、填空题1. 结构动力学研究的核心是研究______和______之间的相互关系。
2. 结构固有频率是由结构的______和______决定的。
3. 结构在动力荷载作用下的振动分析可以采用______方法。
4. 结构地震反应计算中的等效静力法是通过将______引入到结构动力方程中进行计算的。
华中科技大学土木工程与力学学院《结构动力学》考试卷2011～2012学年度(下)1、试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆件自身的质量。
（16分）解：（1）2个动力自由度 （2）3个动力自由度 （3）2个动力自由度 （4）1个动力自由度(1)(2)m(3)(4)m2、试求图示结构的自振频率ω（15分）解：图示结构为单自由度体系，以横梁转角ϕ为自由度。
由0A M =∑ 有： 22200lm x dx ml kl ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅++=⎰化简得：()303klm m ϕϕ⋅⋅+=+∴自振频率ω=3、如图所示体系，各杆长为l ，EI=常数，1处有集中质量m ，2处受动力偶()M t =Msin tθ；θ（14分）解：结构体系的1M 、p M 如下图所示：tm m B3111122=2EI 233l l l l EIδ⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭21111sin sin 236MMl l l M t t EI EI θθ⎛⎫∆=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴体系微分方程为:()321112sin 36M t lMl y m y m y t EI EI δθ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=-+∆=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin 24EI My y t ml mlθ⋅⋅⇒+⋅=⋅ 2max23331133344622M M Ml y EI EI EI ml ml EIml ml ml θ∴=⋅=⋅=--- ∴惯性力幅值22max3362EI Ml MI m y m ml EI lθ==⋅⋅=M M MMMl1t θ4、图示（a ）所示梁的跨中有一台电动机，实测得此梁自由振动时跨中点位移时程曲线如图所示（b ），周期T=0.06s ，若忽略梁的分布质量。
（20分）试求：（1）阻尼比ξ；（2）共振时的动力系数β；（3）共振时电动机每分钟的转数 n ；（4）若电动机转数为600r/min ，由于其离心力引起梁中点稳态的振幅为2mm ，求共振时的振幅A 。
结构动力学试题一、选择题1. 结构动力学中的“动力响应”是指：A. 结构在静态载荷下的变形B. 结构在动态载荷下的变形C. 结构的自然频率D. 结构的阻尼比2. 单自由度系统的周期公式为：A. T = 2π√(m/k)B. T = 2π√(k/m)C. T = 2π/mD. T = π√(m/k)3. 多自由度系统的振型分解法是基于以下哪个原理？A. 结构的对称性B. 结构的不确定性C. 结构的线性叠加原理D. 结构的能量守恒原理4. 在地震分析中，反应谱方法的主要优点是：A. 考虑了地震动作用的非线性B. 可以处理任意形状的地震波形C. 能够直接给出结构的响应结果D. 适用于快速评估结构的地震安全性5. 结构阻尼比的增大通常会导致：A. 自然频率的提高B. 振幅的减小C. 周期的延长D. 响应的不稳定二、填空题1. 在结构动力学中，________是用来描述结构在动态载荷作用下的运动状态。
2. 动态载荷下，结构的响应可以通过________方法进行求解，该方法基于结构振动的线性叠加原理。
3. 地震波的________特性对结构的响应有显著影响，因此在进行地震分析时需要特别考虑。
4. 结构的阻尼比可以通过________方法进行实验测定，以评估结构的能量耗散能力。
5. 在进行结构动力分析时，通常需要将结构简化为________自由度系统，以便于计算和分析。
三、简答题1. 请简述单自由度系统与多自由度系统的区别及其各自的适用场景。
2. 描述地震波的基本特性，并解释为什么需要对其进行频谱分析。
3. 说明结构阻尼对动力响应的影响，并讨论如何通过设计来提高结构的阻尼性能。
四、计算题1. 一个单自由度系统的质量为500 kg，刚度为2000 N/m。
请计算该系统的自然频率和阻尼比为0.05时的周期。
2. 假设一个结构在地震作用下的最大加速度为0.3g，其中g为重力加速度（9.81 m/s²），请使用反应谱方法计算该结构在自然频率为2Hz时的响应加速度。
某大学《结构动力学》课程考试试卷适用专业： 考试日期:考试时间:120分钟 考试形式:闭卷 试卷总分:100分1、求解单自由振动位移方程0y 2=+y ω，设初始时刻t =0质点有初始位移y 0和初始速度v 0？(10)2、如图所示为一等截面竖直悬臂杆，长度为l ，截面面积为A ，惯性矩为I ， 弹性模量为E ，杆顶有重物，其重量为W 。
设杆件本身质量可忽略不计，试分别求水平振动和竖向振动时的自振周期？（15分）3、如下为简谐荷载作用下单自由度体系的强迫振动位移公式，试分析进入平稳阶段后动力系数随ωθ变化特性？(15))sin (sin 11)(y t t y t stωωθθωθ--= 4、突加荷载作用下求t>0时位移如何计算？（15分）⎭⎬⎫⎩⎨⎧><=000)(0t F t t F p p ，当，当5、有阻尼振动的动力系数β随ωθ变化的公式如下，其中ξ为阻尼系数，求共振动力系数和最大动力系数？分析其之间的关系？（15分） /2122222241-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ωθξωθβ6、6、某结构自由振动经过10个周期后，振幅降为原来的10%。
试求结构的阻尼比ξ和在简谐荷载作用下共振时的动力系数？（15分）7、如图所示为两层钢架，其横梁为无限刚性，设质量集中在楼层上，一二层质量分别为m 1和m 2，层间侧移刚度等别为k 1和k 2，试求刚架水平振动时的自振频率和主振型？（15分）（其中m 1= m 2，k 1= k 2）某大学《结构动力学》课程考试试卷答案适用专业： 考试日期:考试时间:120分钟 考试形式:闭卷 试卷总分:100分1、求解单自由振动位移方程0y 2=+y ω，设初始时刻t =0质点有初始位移y 0和初始速度v 0？(10)答：02=+y y ωmk=ω t C t C t y ωωcos sin )(21+= 0)0(y y =，0)0(yν= C 1=ων0,C 2=y(0) t t y t y ωωνωsin cos )(00+=2、如图所示为一等截面竖直悬臂杆，长度为l ，截面面积为A ，惯性矩为I ， 弹性模量为E ，杆顶有重物，其重量为W 。
《结构动力学》试题（硕）一、名词解释：（每题3分，共15分）约束 动力系数 广义力 虚功原理 达朗贝原理 二、简答：（每题5分，共20分）1. 为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？2. 阻尼对自由振动有什么影响？减幅系数的物理意义是什么？3. 简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及适用条件分别是什么？答：振型叠加法的基本原理是利用了振型的正交性，既对于多自由度体系，必有：T m n m φφ=，Tm n k φφ=（式中m φ、n φ为结构的第m 、n 阶振型，m 、k 为结构的质量矩阵和刚度矩阵）。
利用正交性和正规坐标，将质量与刚度矩阵有非对角项耦合的N 个联立运动微分方程转换成为N 个独立的正规坐标方程（解耦）。
分别求解每一个正规坐标的反应，然后根据叠加V=ΦY 即得出用原始坐标表示的反应。
由于在计算中应用了叠加原理，所以振型叠加法只适用于线性体系的动力分析。
若体系为非线性，可采用逐步积分法进行反应分析。
4. 什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？答：动力自由度是指结构体系在任意瞬时的一切可能变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目。
静力自由度是指确定体系在空间中的位置所需的独立参数的数目。
前者是由于系统的弹性变形而引起各质点的位移分量；而后者则是指结构中的刚体由于约束不够而产生的刚体运动。
三、计算（每题13分，共65分）1. 图1所示两质点动力体系，用D ’Alembert 原理求运动方程。
图12.图2所示，一长为l，弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端有一质量为m的小球，小球又被支承在刚度为k2的弹簧上，忽略梁的质量，求系统的固有频率。
图23.图3所示，一重mg的圆柱体，其半径为r，在一半径为R的弧表面上作无滑动的滚动，求在平衡位置(最低点)附近作微振动的固有频率。
图34.图4所示三层钢架结构，假定结构无阻尼，计算下述给定初始条件产生的自由振动。
一、简答题（18分）1、列出建立体系运动方程的主意并简要说明每种主意的要点。
（8分）答：（1）直接平衡法，又称动静法、惯性力法，将动力知识题转化为任一时刻的静力知识题：按照达朗贝尔原理（d’Alembert’s principle），把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。
（2）虚功法: 按照虚功原理，即作用在体系上的所有力在虚位移上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。
（3）变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。
按照理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程。
2、按照逐步法举行结构动力分析时，所采用的数值主意有显式和隐式之分，请按照自己的理解说明何为显式主意、何为隐式主意？（5分）答：显式主意定义为：在每一时光步内计算新的反应值仅仅依赖于前面步已获得的量，所以分析直接从一步到下一步举行；隐式主意中，对给定步给出新值的表达式包含与本步有关的一个或多个值，因此必须假定所需量的试探值，然后通过延续迭代来改善。
3、写出多自由度体系形成刚度矩阵与质量矩阵时刚度影响系数k、质量影响ij系数m的含义。
（5分）ij答：刚度影响系数k=由j坐标单位位移所引起的对应于i坐标的力；ij质量影响系数m=由j坐标单位加速度所引起的对应于i坐标的力。
ij二、名词解释（每题4分，计12分）1、动力自由度：描述体系在运动过程中随意时刻所有质量的位置所需要的自立几何参数的数目。
2、振型：振动体系与振动频率相对应的特定的振动形状，是多自由度结构动力特性的重要表征之一。
3、静力凝结：从动力分析中消除结构中具有零质量自由度的主意。
4、一致质量矩阵：以建立刚度矩阵所用的位移插值函数建立质量矩阵，即建立质量矩阵和刚度矩阵所用的位移插值函数是一致的，故称之为一致质量矩阵。
三、按照刚度的基本定义，决定图1所示体系的等效刚度，并写出其运动方程。
考生请注意：1．本试题共6 题，共2 页，考生请认真检查；2．答题时，直接将答题内容写在我校提供的答题纸上；答在试卷上一律无效；3．本试题不得拆开，拆开后遗失后果自负。
一、简述题（本题共20分，每小题5分）1．自由振动、强迫振动自由振动：系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的弹性恢复力“自由地”振动，其振动特性仅取决于系统本身的物理特性（质量和刚度）。
强迫振动：系统受到外界持续的激励作用而“被动地”进行振动，其振动特性除取决于系统本身的特性外，还取决于激励的特性。
2．广义坐标、振型函数广义坐标：是一种坐标形式，它是有几组互相正交的模态组成，任何变量都可由这几组模态的唯一线性组合而成。
振型函数：是一种函数形式，描述振型在几维空间中的振幅值的表现。
3．稳态响应、瞬态响应稳态响应：当系统在外力作用下，经过一段时间后，系统振动趋于稳定时的响应。
瞬态响应：当系统在外力作用下，在系统振动趋于稳定之前的响应。
瞬态响应发生在稳态响应之前，他们组合构成完整的外力作用时的振动响应。
4．哈密顿原理具有完整约束的动力学系统，在满足协调性条件、约束条件或边界条件，同时满足起始t1时刻与结束t2时刻条件的可能的位移随时间变化的形式中，真实解对应的那种变化形式使Lagrange泛函L取最小值，即2 1(T V W)0t t dt式中：T为系统的动能，V为系统的势能，W为外力所作虚功。
二．质量均为m 的两个球，系于具有很大张力T 的弦上，如图所示，求系统的固有频率。
（本题10分）解：由于弦的张力T 很大，两个球只能在竖向发生微幅振动。
（1分）如下图所示，两个球在外力1()F t 和2()F t 作用下发生竖向微幅振动，位移分别为1x 和2x 。
对两个球，分别作受力分析：外荷载；惯性力； 张力分力。
（3分）运用达朗贝尔原理，分别列出 两个球的竖向运动方程：12111()x x x mx T T F t L L-+⋅-⋅=22122()x x xmx T T F t L L-+⋅+⋅= （5分）写成矩阵形式：1112222()002()TT x x F t m L L m x T T x F t L L ⎡⎤-⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤+=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得频率方程：[][]222202T Tm LLK M T T m L Lωωω---==-- （7分） 解得： 1ω=2ω= （10分）ll l F 2(t)三．图示简支梁，梁长为4l ，在四等分处有3个质量m 1=m 2=m 3=m ，梁的抗弯刚度为EI ，忽略梁自身的质量，要求：（1）写出系统振动方程；（2）求系统的各阶固有频率； （3）画出相应的主振型。
（本题20分） 解：（1） 由柔度法建立系统振动方程：0δ112233y y y M y y y质量矩阵为：123000000m Mm m 求柔度系数，由对称性：31133912l EI δδ； 3211223321112l EIδδδδ 33113712l EIδδ； 3221612l EIδ 柔度矩阵为39117111611127119l EIδ因此，系统振动方程为：132300911711161100127119000m l m EIm 112233y y y y y y或者：391171116111271190ml EI112233y y y y y y（2） 求频率：由频率方程：0=λ-δI M代入柔度矩阵、质量，得1ω 22.45EIml ω 335.2EIml ωl l l l（3） 求振型：将上述频率代入振型方程 0=ϕλ-δi i I M )(，并进行正则化处理，可得：11 1.411Tϕ； 2101Tϕ； 31 1.411Tϕ振型图四．图示简支梁，梁长为l ，刚度EI ，梁体自身质量忽略不计，在梁体l /3和2l /3处作用质点m 1和m 2，且m 1=m 2=m ，现在质点m 2上作用一个突然施加荷载F P (t)，试求：质点m 1 和m 2的强迫振动响应。
（本题20解：1）求自振频率w j 和对应的振型j j ：求柔度系数EI l 243432211=δ=δ； EIl 486732112=δ=δ代入频率方程 0=λ-δI M ，得：011121211=λ-δδδλ-δm m mm进而求得：EI ml m 48615312111=δ+δ=λ)(； EIml m 486312112=δ-δ=λ)(因此：EI l/3m 1m 2F ( )t P l/3l/3123311695154861ml EI ml EI .==λ=ω； 333205224861mlEIml EI .==λ=ω再求振型：将上述频率代入振型方程 0=ϕλ-δi i I M )(，简化得：),( ˆ211122221212121111=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧λ-δδ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧δλ-δ-=ϕi m m m m i求得： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ϕ111ˆ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ϕ112ˆ2）计算广义质量和广义荷载：m m m M M T2110011111=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕ=][*m m m M M T 2110011222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ϕϕ=][*0011011F t F t F t F T=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ϕ=)(][)()(*0022011F t F t F t F T -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ϕ=)(][)()(*3）由Duhamel 积分求解出每个广义坐标h j (t)的响应：),( d )(sin )()(**210=ττ-ωωτ=η⎰j t M F t t j jj j j)cos (d )(sin )(t m F t m F t t121001101122ω-ω=ττ-ωω=η⎰)cos (d )(sin )(t m F t m F t t121002202122ω-ω-=ττ-ωω-=η⎰4）由振型迭加求出体系的位移响应向量：)()()()(221121ϕη+ϕη=ϕη=∑=t t t t Y i i i ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-η+⎭⎬⎫⎩⎨⎧η=111121)()(t t )()()()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧η-ηη+η=t t t t 2121)cos ()cos ()()(t m F t m F t t y 22212102111212ω-ω-ω-ω=η+η=)cos ()cos ()()(t m F t m F t t y 22212102121212ω-ω+ω-ω=η-η=五．如图所示简支梁，忽略梁横向剪切变形的影响和阻尼的作用，其弯曲固有振动方程为44(,))()(,)0y x t m x y x t x采用变量分离法，设,)()()x t x q t ϕ，这里：()x ϕ为振型函数，()q t 为广义坐标，(1) 推导振型函数()x ϕ的表达式；(2) 根据边界条件，推导其固有振动的频率方程； (3) 求前3阶频率值，画出前3阶振型图； (4) 写出简支梁固有振动的一般解。
（本题20分）解：(1) 的表达式； )()()x q t ϕ)()()0mq t x ϕ)()0()m q t EI q t的函数，第二项仅是t 的函数，所以只有每一项都等于一个常，上式才能满足，即)()()m q t C EI q t由振动力学可知，C是个正实数，即令4Cα，上式可写成：42)()0()()0d x xq t q t αϕω 这里：24mEIωα由上式的第二式，得方程的解为：12()cos sin sin()q t C t C t A t ωωωθ令()rx x Be ϕ，代入第一式，有 44()0rxr a Be可得：1,23,4, r a ria把上述四个根代入式()rx x Be ϕ，得振型函数：1234()sin cos sinh cosh x A ax A ax A ax A ax ϕ（2）推导其固有振动的频率方程：1234()sin cos sinh cosh x A x A x A xA x ϕαααα1234()(cos sin cosh sinh )x A x A x A x A x ϕααααα 21234()(sin cos sinh cosh )x A x A x A x A x ϕααααα边界条件为：2424(0)0,0(0)0,0A A A A ϕϕ即即得：240A A由：1313()0,sin sinh 0()0,sin sinh 0l A l A l l A lA alϕααϕα即即两式相加，有32sinh 0A l α，有：30A两式相减，有12sin 0A lα由于A1不能再为零，即得频率方程sin 0l α（3）求前3阶频率值，画出前3阶振型图：解上述频率方程，得：n a l n π即得梁振动的固有频率为2()n n EI l mπω; ) ,3 ,2 ,1( =n相应地，振型函数为 1()sin n n xx A lπϕ ) ,3 ,2 ,1( =n（4）简支梁固有振动的一般解：固有振动方程的一般解为各振型的线性叠加，则得(,)sin sin()n n n nn xy x t C t l πωθ六．如图所示悬臂梁，设一阶振型函数为 )1cos2xLπ，请用瑞利法计算的一阶固有频率。
（本题10分） 梁的刚度为EI ，质量为m ，瑞利公式为：⎰⎰''=l lxx x m xx x EI 02 0221d )()(d )]()[(ϕϕω解：最大动能和势能分别为：423()32L EIKEI x dxL πψ2()0.228L Mm x dx mL ψ由瑞利公式得13.6538ω。
