分段函数的拐点

中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。

二、分段函数的图像对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。

三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。

四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。

2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。

3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。

四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。

以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。

假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。

高等数学基础第一次作业第1章 函数第2章 极限与连续（一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R定义域不同，所以函数不相等；B 、()f x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。

故选C⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称故选C⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=分析：A 、()()()()22ln(1)ln 1y x x xy x -=+-=+=，为偶函数B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C 、()()2x xa a y x y x -+-==，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数故选B⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y 分析：六种基本初等函数（1） y c =（常值）———常值函数（2） ,y x αα=为常数——幂函数 （3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数 （4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数（6） [][]sin ,1,1,cos ,1,1,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x=-=-==——反三角函数分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对 对照比较选C⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x分析：A 、已知()1lim 00n x n x→∞=>2222222211lim lim lim 1222101x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞====++++ B 、0limln(1)ln(10)0x x →+=+=初等函数在期定义域内是连续的C 、sin 1limlim sin 0x x x x xx →∞→∞==x →∞时，1x是无穷小量，sin x 是有界函数，无穷小量×有界函数仍是无穷小量D 、1sin1lim sin lim1x x x x x x→∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 故选D⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.x x sin B. x1C. xx 1sinD. 2)ln(+x 分析；()lim 0x af x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量A 、0sin lim1x xx →=，重要极限B 、01lim x x→=∞，无穷大量C 、01lim sin 0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1sin x 仍为无穷小量D 、()0limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+=故选C⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。

matlab拟合分段函数在MATLAB中，拟合分段函数可以通过多种方法实现。

这里将介绍两种主要方法：分段线性拟合和分段多项式拟合。

1.分段线性拟合：分段线性拟合是将整个函数区间分成多个小区间，在每个小区间内使用线性函数进行拟合。

这种方法适用于函数在不同区间内的变化趋势不同的情况。

首先，我们需要定义函数的分段点。

假设我们的函数在x=0、x=1和x=2处有拐点，我们可以按照以下方式定义这些分段点：xdata = [0, 1, 2];接下来，我们需要给出函数在每个区间内的取值，这些值可以通过观察得到或通过其他方法计算得出。

假设我们的函数在这些分段点处的取值分别为：ydata = [1, 4, 2];现在，我们可以使用polyfit函数进行分段线性拟合：p = polyfit(xdata, ydata, 1);这里的1表示我们要拟合的线性函数的阶数。

我们还可以使用polyval函数来计算拟合得到的函数在任意点的取值：x=0:0.1:2;y = polyval(p, x);最后，我们可以使用plot函数将原始数据点和拟合得到的分段线性函数画在同一张图上，以进行比较：figureplot(x, y, 'r-', xdata, ydata, 'bo')legend('分段线性函数', '原始数据点')2.分段多项式拟合：分段多项式拟合是将整个函数区间分成多个小区间，在每个小区间内使用不同的多项式函数进行拟合。

这种方法适用于函数在不同区间内的曲线特征不同的情况。

和分段线性拟合类似，我们需要首先定义分段点和函数在这些分段点处的取值：xdata = [0, 1, 2];ydata = [1, 4, 2];然后，我们可以使用polyfit函数进行分段多项式拟合：p = polyfit(xdata, ydata, n);这里的n表示我们要拟合的多项式函数的阶数。

拐点（数学用语）—搜狗百科可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f''(x)的正负发生变化的点，f''(a)异号（由正变负或由负变正）或者不存在。

在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。

拐点定义（根据高等数学同济7版上册第147页）一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I 内的点）。

如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。

凹的充分条件:若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上（或之下），则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹（或对应地，凸）的。

在假设二阶导函数f'(x)存在的情况下，当a0[或对应地f'(x)<0]成立，为图形是凹（或对应地，凸）的充分条件。

拐点的必要条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘’（x0)=0。

拐点的充分条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），则f‘’（x0)=0，若在x0两侧附近f‘’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。

否则（即f‘’(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。

当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。

若函数y=f(x）在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x）的拐点。

另外，如果c是拐点，必然有f''(c)=0或者f''(c）不存在；反之则不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但f''(x)=12x^2在整个定义域内恒大于0，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点，且整个函数在R上是凹的。

拐点的求法（摘录自高等数学同济5版上册第149页）可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：⑴求f''(x)；⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

函数拐点的定义在数学中，函数拐点是指函数图像的一个特殊点，其前后的函数趋势明显不同。

形式上，如果函数f(x)在点x0处发生拐弯，则存在一个实数k，使得f(x)在x0处的导数存在，且导数的值等于k。

由于函数图像的拐点是由导数的变化引起的，因此拐点也被称为导数拐点。

在数学分析中，函数拐点可以用来分析函数的性质，如单调性、凹凸性等。

1. 函数拐点的定义在数学中，函数拐点是指函数图像的一个特殊点，其前后的函数趋势明显不同。

形式上，如果函数f(x)在点x0处发生拐弯，则存在一个实数k，使得f(x)在x0处的导数存在，且导数的值等于k。

由于函数图像的拐点是由导数的变化引起的，因此拐点也被称为导数拐点。

具体来说，函数f(x)在点x0处发生拐点，当且仅当存在一个实数k，使得f(x)在x0处的导数存在，且导数的值等于k。

这意味着，如果函数f(x)在x0处的导数存在，则函数f(x)在x0处的导数的取值必须是一个定值。

如果函数f(x)在x0处的导数不存在，则函数f(x)在x0处并不存在拐点。

在实际应用中，函数拐点可以用来分析函数的性质，如单调性、凹凸性等。

例如，如果函数f(x)在x0处存在拐点，则可以判断函数f(x)在x0处的单调性，即函数f(x)在x0处是单调递增还是单调递减。

此外，函数拐点还可以用来判断函数f(x)在x0处的凹凸性，即函数f(x)在x0处是凸出还是凹陷。

通常来说，如果函数f(x)在x0处存在拐点，且函数f(x)在x0处的导数大于0，则函数f(x)在x0处是凸出的；如果函数f(x)在x0处存在拐点，且函数f(x)在x0处的导数小于0，则函数f(x)在x0处是凹陷的。

另外，函数拐点还可以用来分析函数的单调性和凹凸性的变化。

例如，如果函数f(x)在x0处存在拐点，且函数f(x)在x0处的导数变化由正变为负，则可以判断函数f(x)在x0处由单调递增变为单调递减；如果函数f(x)在x0处存在拐点，且函数f(x)在x0处的导数变化由负变为正，则可以判断函数f(x)在x0处由单调递减变为单调递增。

初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。

分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。

本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。

一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。

通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。

二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。

因此，我们需要确定每个区间的定义域。

在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。

而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。

在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。

值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。

对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。

因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。

三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。

在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。

分段函数具有一些特殊的性质。

首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。

其次，分段函数可能具有端点处的间断点。

例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。

四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。

2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim ln (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰ []（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年考硕数学（二）真题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令220d ydx < ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞.(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰⎰.【详解2】11201101)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰⎰.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x zz e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z z e x x-∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx zz e x e --∂=∂+,23213x z z y e-∂=∂+ 所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解2】令 23(,,)20x zF x y z e y z -=+-=则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂2323232322(13)13x z x zx z x z Fz e e x F x e ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂, 从而 232323313221313x z x zx z z z e x y ee ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x zx z e dx dy e dz --=+-2323(13)22x zx z edz e dx dy --+=+232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---∴=+++ 即 2323213x z x z z e x e--∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂ 【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程102dy y dx x-= 的通解:12dy dx y x= 积分得 1ln ln ln 2y x c =+y ⇒=设(y c x =,代入方程得211(((22c x c x c x x x '= 从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为53211()55y x C x =+=1615x yC ==⇒=,故所求通解为 315y x =.【详解2】原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性方程通解公式得1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰11ln ln 22212x x ex edx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰6(1)15y C =⇒=,从而所求的解为 315y x =.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】 2ABA BA E **=+ 2A B A B A E **⇔-=,(2)A E BA E *⇔-=,21A E B A E *∴-==, 221111010(1)(1)392100001B A E AA *====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得 11122ABA BA E AB A A B A A AA **---=+⇒=+2A AB A B A ⇒=+ (2)A A E B A ⇒-= 32AA EB A⇒-= 21192B A A E∴==- 【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302000lim limcos x x x t dtt dtγα++→→=⎰⎰30lim x +→=320lim lim 02x x x x++→→===, 即 o ()γα=.又2000tan lim lim x x x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）.【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点.又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点.所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目 （9）lim ln (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰ []B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的. 【详解】 22lim (1)n n→∞+212lim ln (1)(1)(1)nn nn nn →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1)nn i i n n →∞==+∑ 102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰故选（B ）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数()f x 在0x =附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知 0()(0)(0)lim00x f x f f x →-'=>-,由极限的性质, 0δ∃>, 使x δ<时, 有()(0)0f x f x->即0x δ>>时, ()(0)f x f >， 0x δ-<<时, ()(0)f x f <, 故选（C ）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 特征根为 i λ=±,对 2021(1)y y x e x ''+=+=+ 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为21y ax bx c *=++对 sin ()ixm y y x I e ''+==, 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+从而 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为xy2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A）11()dx f xy dy -⎰⎰. （B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]D【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰1111()dx f xy dy -=⎰⎰故应排除（A ）、（B ）. 在极坐标系下, cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰,故应选（D ）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]D【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 010100001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100011001C B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,010100100011001001C A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪∴= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭011100001A AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,从而 011100001Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故选（D ）.【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]A【分析】将A 写成行矩阵, 可讨论A 列向量组的线性相关性.将B 写成列矩阵, 可讨论B 行向量组的线性相关性.【详解】设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A =0AB = ⇒()11121212221212n n m m m mn b b b b b b A A A bb b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()1111110m m n mn m b A b A b A b A =++++= （1）由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（1）知, 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++=,于是 12,,,m A A A 线性相关.又记 12m B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则0AB = ⇒11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪==⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++=,从而 12,,,m B B B 线性相关,故应选（A ）.【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解. 三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 【详解1】 原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3lim x x x→+-=（） 01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim 22cos 6x x x x →=-⋅=-+【详解2】 原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20cos 1ln 3lim x x x→-+=（1） 20cos 11lim 36x x x →-==-【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→--'===-- 00()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++'===-. 令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导. 【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (Ⅱ)求()f x 的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域. 【详解】 (Ⅰ) 32()sin x x f x t dt πππ+++=⎰,设t u π=+, 则有22()sin()sin ()x x xxf x u du u du f x ππππ+++=+==⎰⎰,故()f x 是以π为周期的周期函数.(Ⅱ)因为sin x 在(,)-∞+∞上连续且周期为π, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 因为 ()sin()sin cos sin 2f x x x x x π'=+-=-,令()0f x '=, 得14x π=, 234x π=, 且344()s i n 24f t d t πππ==⎰554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰又 20(0)sin 1f t dt π==⎰, 32()(sin )1f t dt πππ=-=⎰,∴()f x的最小值是2, 故()f x的值域是[2.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值, 其方法与一般函数的最值相同.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t 的函数,然后计算它们之间的关系. 【详解】 (Ⅰ)0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰ 2022x x te e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰, ()2()S t V t ∴=. (Ⅱ)22()2t t x te e F t yππ-=⎛⎫+== ⎪⎝⎭,20222()limlim ()2xxtt t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰222lim222t t tt t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭lim 1t tttt e e e e --→+∞+==- 【评注】在 t 固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-. 【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设224()ln x x x e ϕ=-, 则 2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,所以当x e >时, ()0x ϕ''<, 故()x ϕ'单调减小, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 即当2e x e <<时, ()x ϕ单调增加.因此, 当2e a b e <<<时, ()()b a ϕϕ>, 即 222244ln ln b b a a e e ->- 故 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证2】设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,∴x e >时, ()0x ϕ''<()x ϕ'⇒, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=.令x b =有()0b ϕ>即 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证3】证 对函数2ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日定理, 得 222ln ln ln ()b a b a ξξ->-, a b ξ<<.设ln ()t t t ϕ=, 则21ln ()t t tϕ-'=, 当t e >时, ()0t ϕ'<, 所以()t ϕ单调减小, 从而2()()e ϕξϕ>, 即222ln ln 2e e eξξ>=, 故 2224ln ln ()b a b a e->- 【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量9000m kg =,着陆时的水平速度0700/v km h =.从飞机接触跑道开始记时,设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ,速度为()v t .根据牛顿第二定律,得 dv mkv dt=-. 又 dv dv dx dv v dt dx dt dx=⋅=, m dx dv k∴=-, 积分得 ()m x t v C k=-+, 由于0(0)v v =,(0)0x =, 故得0m C v k=, 从而 0()(())m x t v v t k =-. 当()0v t →时, 069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【详解2】根据牛顿第二定律,得 dv mkv dt=-. 所以 dv k dt v m =-, 两边积分得 k t m v Ce-=, 代入初始条件 00t v v ==, 得0C v =,0()k t m v t v e-∴=, 故飞机滑行的最长距离为 0000() 1.05()k t m mv mv x v t dt e km k k+∞-+∞==-==⎰. 【详解3】根据牛顿第二定律,得 22d x dx m k dt dt=-, 220d x k dx dt m dt+=,其特征方程为 20k r r m +=, 解得10r =, 2k r m=-， 故 12k t m x C C e -=+，由(0)0x =, 2000(0)k t m t t kC dx v e v dt m -====-=，得012mv C C k=-=， 0()(1)k t m mv x t e k-∴=-. 当t →+∞时, 069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂. 【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.【详解】 122xy z x f ye f x∂''=+∂, 122xy z y f xe f y∂''=-+∂, 21112222[(2)]x y x y x y z x f y f x e e f x y e f x y ∂''''''=⋅-+⋅++∂∂2122[(2)]x y x y y e f y f x e''''+⋅-+⋅ 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''=-+-++++. 【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222220033333004444400a a a a a B a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭当0a =时, ()14r A =<, 故方程组有非零解, 其同解方程组为12340x x x x +++=.由此得基础解系为1(1,1,0,0)T η=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T η=-,于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数.当0a ≠时,111110000210021003010301040014001a a B ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当10a =-时, ()34r A =<, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式311112222(10)33334444a a A a a a a +⎛⎫ ⎪+ ⎪==+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 当0A =, 即0a =或10a =-时, 方程组有非零解.当0a =时, 对系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222200003333000044440000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为 12340x x x x +++=.其基础解系为1(1,1,0,0)T η=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T η=-,于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数.当10a =-时, 对A 作初等行变换, 有91119111282220100033733001004446400010A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为 2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方程组求解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化. 【分析】由矩阵特征根的定义确定a 的值，由线性无关特征向量的个数与E A λ-秩之间的关系确定A 是否可对角化.【详解】A 的特征多项式为1232201431431515aa λλλλλλλ-----=------- 110100(2)143(2)13315115a a λλλλλλ-=--=--------- 2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根, 则有22161830a -++=, 解得2a =-.当2a =-时, A 的特征值为2, 2, 6, 矩阵1232123123E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1,故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根, 则28183a λλ-++为完全平方,从而18316a +=, 解得23a =-.当23a =-时, A 的特征值为2, 4, 4, 矩阵32321032113E A ⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭的秩为2,故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A 不可相似对角化.【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定a 的值, 对a 的取值讨论对应矩阵的特征根及对应E A λ-的秩, 进而由E A λ-的秩与线性无关特征向量的个数关系确定A 是否可相似对角化.。

拐点的判断方法
拐点的判断方法要根据具体的情况来确定，以下是几种常见的判断方法：
1. 斜率法：对于曲线上的两个相邻的点，计算它们的斜率。

如果斜率从正数逐渐变为负数，或者从负数逐渐变为正数，那么这个点就可能是拐点。

2. 二阶导数法：对曲线的函数进行求导，得到一阶导数。

然后再对一阶导数再次求导，得到二阶导数。

如果二阶导数在某个点上变号（从正数变为负数或从负数变为正数），那么这个点就可能是拐点。

3. 曲率法：曲率是曲线在某一点处的曲率半径的倒数。

如果曲线在某个点的曲率突然增大或减小，那么这个点就可能是拐点。

需要注意的是，这些方法只是一般情况下的判断方法，对于复杂或特殊的曲线，可能需要更加细致的分析和计算，甚至使用数值方法来确定拐点的位置。

另外，在使用这些方法时要注意误差的产生，尤其是在计算导数和曲率时，数值计算可能会引入一定的误差。

在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如：有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。

但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。

还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如：“知识与阅读量成正比例关系。

”显然是不准确，甚至错误的。

人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“，特别是当今“大数据”时代。

但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。

例如：函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。

函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。

例如：f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。

函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点。

当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东高考数学21题的考点）。

例如：f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。

或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。

且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。

再如：g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。

函数的驻点是函数一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。

但函数的驻点不一定是函数的极值点。

当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确。

例如：f(x)=x^3，x=0是函数的驻点（也是零点），但不是极值点。

我们常常从函数的驻点中找极值点。

函数的拐点是函数的凹凸性发生变化的点，或者是函数二阶导数为零，且三阶导数不为零的点。

例如：f(x)=x^3，x=0是函数的拐点（也是驻点和零点，但不是极值点）。

拐点判断条件拐点判断条件是指在数学或物理问题中，通过某种条件来确定一个函数或者曲线的拐点位置。

拐点是函数或曲线由凹变凸或由凸变凹的点，是函数或曲线的转折点。

在判断拐点时，我们可以利用导数的性质来进行分析。

我们需要知道函数或曲线的导数如何表示。

对于函数y=f(x)，其导数可以表示为dy/dx或f'(x)，即函数y关于x的变化率。

根据导数的定义，我们知道导数可以表示函数的斜率，即函数在某一点的切线斜率。

在判断拐点时，我们需要找到函数的二阶导数。

二阶导数表示函数的变化率的变化率，即函数的斜率的变化率。

如果函数的二阶导数大于0，表示函数的斜率递增，曲线向上凸起；如果函数的二阶导数小于0，表示函数的斜率递减，曲线向下凹陷。

因此，我们可以得出拐点判断条件：若函数的二阶导数在某一点处为0，且二阶导数在该点的左右两侧符号相反，即从正变负或从负变正，那么该点就是函数的拐点。

举个例子来说明拐点判断条件的应用。

考虑函数y=x^3-3x^2+2x的拐点问题。

首先，我们需要求出该函数的一阶导数和二阶导数。

一阶导数是y'=3x^2-6x+2，二阶导数是y''=6x-6。

然后，我们找出二阶导数为0的点。

令y''=0，得到6x-6=0，解得x=1。

即函数的二阶导数在x=1处为0。

接下来，我们需要分析二阶导数在x=1的左右两侧的符号。

我们将x=1带入二阶导数的表达式中，得到y''=6-6=0。

因此，二阶导数在x=1处的符号为0。

根据拐点判断条件，我们可以得出结论：函数y=x^3-3x^2+2x有一个拐点，该拐点的横坐标为x=1。

通过以上例子，我们可以看出拐点判断条件在数学问题中的应用。

通过分析函数的导数和二阶导数，我们可以确定函数的拐点位置。

拐点的判断条件简单明了，只需要求二阶导数为0的点，并分析二阶导数在该点的左右两侧的符号即可。

拐点的判断条件在数学和物理问题中有着广泛的应用，对于函数和曲线的研究具有重要意义。

分段函数的概念与图像在我们的数学世界中，分段函数是一个非常重要且有趣的概念。

它就像是一个拥有多种性格的角色，在不同的场景下表现出不同的行为和特点。

分段函数，简单来说，就是在自变量的不同取值范围内，函数有着不同的表达式。

这就好比我们去不同的商店买东西，每个商店的价格规则都不一样。

比如说，在一家商店，买 1 到 5 件商品，每件 10 元；买 5 件以上，每件 8 元。

这里的商品数量就是自变量，价格就是因变量，而这个价格规则就是一个分段函数。

为了更清晰地理解分段函数，让我们来看几个具体的例子。

比如，有这样一个分段函数：当 x 小于等于 0 时，f(x) ＝ x ＋ 1；当 x 大于 0 时，f(x) ＝2x。

我们可以通过代入具体的数值来看看这个函数的行为。

当 x ＝－1 时，因为－1 小于 0，所以 f(－1) ＝－1 ＋ 1 ＝ 0；当 x ＝2 时，因为 2 大于 0，所以 f(2) ＝ 2×2 ＝ 4。

再来看一个生活中的例子。

假设乘坐出租车，起步价是 8 元（3 公里以内），超过 3 公里后，每公里 15 元。

那么车费与行驶公里数之间的关系就可以用分段函数来表示。

当公里数 x 小于等于 3 时，车费 f(x) ＝ 8；当公里数 x 大于 3 时，车费 f(x) ＝ 8 ＋ 15×（x 3)。

了解了分段函数的概念，接下来我们来看看分段函数的图像。

图像是直观展示函数性质的有力工具。

对于分段函数，它的图像通常由几段不同的线段或曲线组成。

还是以刚才那个出租车费用的例子来说。

在图像中，我们先画出 x小于等于3 时，f(x) ＝8 这一段，这是一条水平的线段，起点是(0, 8)，终点是(3, 8)。

然后，对于 x 大于 3 的部分，f(x) ＝ 8 ＋ 15×（x 3)，这是一条斜率为 15 的直线。

我们通过计算几个点，比如当 x ＝ 5 时，f(5) ＝ 8 ＋ 15×（5 3) ＝ 11，就可以得到几个点来画出这条直线。

分段函数在分段点求导
先看这个分段函数在分段点是否连续。

也就是先求函数在分段点的左右极限，左极限用左边的函数式求，右极限用右边的函数式求。

如果函数在分段点连续，就分别求分段点的左右导数，左导数用左边的函数式求，右导数用右边的函数式求。

如果左右导数相等，则在分段点可导，导数就是左右导数值。

如果左右导数不相等，或至少其中一个不存在（含导数为无穷大的情况），则函数在分段点不可导。

可导函数的凹凸性：
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。

如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。

如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。

曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

浅议拐点的定义马纪英;薛力峰;吴勇【摘要】针对传统数学教材中拐点定义的缺陷,提出针对性的反例,结合一些著名著作上的论述,形成更加严格的拐点定义,并对拐点的计算方法和应用进行了总结.【期刊名称】《杨凌职业技术学院学报》【年(卷),期】2019(018)003【总页数】3页(P27-28,31)【关键词】拐点;定义;反例;计算【作者】马纪英;薛力峰;吴勇【作者单位】石家庄邮电职业技术学院,河北石家庄050021;石家庄邮电职业技术学院,河北石家庄050021;石家庄邮电职业技术学院,河北石家庄050021【正文语种】中文【中图分类】O172拐点在高等数学中是一类比较重要的点，在导数和微分的应用中占有重要的地位，在函数的凹凸性中表征着平面曲线的一种内在几何特征，在函数作图和图像描绘中分隔着单调性相同的凹弧和凸弧。

1 拐点的定义数学教材中一般把曲线的凹凸性和拐点放在一起讲述，首先定义凹弧和凸弧及其性质，然后引出拐点。

比如：例1 如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凸的。

并把连续曲线上凹凸部分的分界点称为此曲线的拐点。

注：拐点不仅是凹凸部分的分界点，而且必须是曲线的连续点，即它是一个有序实数对(x0,f(x0))[1]。

例2 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2，恒有那么称f(x) 在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

定理设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a,b)内f″(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f″(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

一般地，设y=f(x)在区间I上连续， x0是I内的点。

如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点[2]。

一元分段函数的使用【摘要】在一元微积分中，分段函数是非常重要的一类函数，恰当地使用一些分段函数作为例子有利于一些数学概念和定理的理解和掌握.本文给出一些使用分段函数的正面和反面情况和实例.【关键词】分段函数；极限；连续的；可导的；可积的一、引言分段函数在高等数学中非常重要，典型的分段函数有取整函数、狄利克雷函数（参见[1]、[2]、[3]）等，还可以根据需要定义一些分段函数.极限、连续、可导、可积等概念，复合函数求极限的理论以及闭区间上连续函数的性质和微分中值定理等理论是高等数学中的重要知识点，在这些数学问题中恰当地使用一些分段函数十分有必要.在信号处理与恢复的实际应用中，经常使用一些分段函数产生小波基（参见[4]）.在数值逼近中，也经常使用由一次或二次多项式构成的分段函数（参见[5]）.因此对分段函数的研究和掌握不仅具有理论价值也有实际意义.本文主要讨论高等数学中使用分段函数的情形，根据分段函数所起的作用，论述分正面和反面两种情况.二、主要内容首先讨论分段函数正面使用的情况，之后讨论反面的情况.1.正面情况（1）在理解一元函数的连续性和可导性的方面，可以举一个正面的例子.例如：设f（某）=e某+b，某∈[0，1]，ain某+1，某∈[-1，0）.（1）讨论f（某）在点某=0连续时需满足的条件；（2）讨论f（某）在点某=0可导时需满足的条件；（3）f（某）在点某=0可导时，给出函数f（某）在区间[-1，1]上的导数（其中在端点处的导数是指单侧导数）.掌握这个例子的求解有助于对于一些概念的理解，如函数在一点处的连续性、可导性及其关系，单侧极限、单侧可导、求导方法等，这些概念和知识点是非常重要的.这样类型题目一般是要求学生必须掌握的.（2）函数极值点和极值概念（参见[2]）在高等数学中非常重要，为使学生理解好这一概念，可以给出一个分段函数的例子，例如：f（某）=e某-1，某∈（0，1]，1，某=0，某2，某∈（-1，0），1，某∈（-2，-1]，（某+3）2，某∈[-4，-2]..问题：找出极值点（答案是：极大值点某=0；极小值点某=-3）.这个例子结合图像说明非常有利于学生掌握极值点及极值概念.关于分段函数其他的正面例子还有很多，例如在用定义limn→∞某n=A时（参见[1]），需要确定一个正整数N，使得n>N时，恒有某n-A2.反面情况（1）关于函数在一点处的极限问题，有一个重要的知识点，即“函数在一点处的极限与函数在该点处的函数值没有关系”.为此，可以举一个分段函数的反例帮助理解这一思想.例如：函数f（某）=某2，某≠0，-1，某=0在点某=0处极限是0，而函数值是1.（2）关于函数在一点处的连续性和可导性的关系，我们知道是前者不能推出后者，但后者可以推出前者，也即可导必连续，但连续未必可导.为理解好这一思想，可以举一个分段函数的反例.如：函数f（某）=某2，某≥0-某，某<0在点某=0处连续，但是不可导.当然也有初等函数的反例，如函数f（某）=某13也在点某=0处连续，但是不可导.（3）复合函数求极限的运算法则（参见[2]），即设函数y=f[g （某）]是由函数u=g（某）与函数y=f（u）复合而成，y=f[g（某）]在点某0的某去心邻域内有定义，若lim某→某0g在该法则中，条件“且存在δ0>0，使得当某∈Uo（某0，δ0）时，有g（某）≠u0”不可缺少.为此可以给出一个分段函数的反例：y=f（u）=2，u=1，u，u≠1，u=g（某）=某0，某≠0.显然，函数y=f[g（某）]在点某0=2的某去心邻域内有定义，并且lim某→2g（某）=1，limu→1f（u）=1.因此，若不考虑上述条件而直接按照复合函数求极限的上述法则求极限，会有实际上y=f[g（某）]=f（1）≡2，某≠0，因此lim某→2f[g（某）]=2.导致错误的原因是该复合函数并不满足该求极限法则的条件.可见，这个反例有助于明确该条件的重要性.（4）闭区间[a，b]上连续函数的性质非常重要，如有界性、最值性、零点定理和介值性等.其中闭区间和连续这两个条件要求是不可缺少的，若缺少一个，则结论有可能不成立.为更好地理解这两个成立条件，可以适当举一些分段函数的反例.例如关于介值性，可以给一个反例.如：设f（某）=某2，某∈[-1，0）∪（0，1]，-1，某=0.则该函数的最大和最小值分别是1和-2，但不满足介值性，因为区间（0，-1）内的任何值都不是函数值.（5）在求极值点或图像上拐点的时候，对于学生来说，往往首先想到要利用求导，并寻找驻点和二阶导数为零的点.虽然有知识点“驻点和不可导点是可能的极值点；二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点是图像上可能拐点的横坐标”，但对于不可导点或二阶导数不存在的点的考察容易被忽略.为此，举一些分段函数的正面和反面例子有助于掌握该类问题的处理方法.例子可分几种类型：驻点是（或不是）极值点；不可导点是（或不是）极值点；二阶导数为零的点是（或不是）图像上拐点的横坐标；二阶导数不存在的点是（或不是）图像上拐点的横坐标.下面给出二阶导数不存在而判断拐点问题的两个例子.设则f1（某），f2（某）在区间[-1，1]上均连续，在点某=0处都没有二阶导数，其中f1（某）在点某=0处是一阶可导的，而f2（某）在点某=0处是一阶不可导的.因此，可知点某=0是这两个函数的图像上可能的拐点的横坐标.再进一步考察可知，点（0，1）是f2（某）图像上的拐点，不是f1（某）图像上的拐点.（6）微分中值定理的成立条件非常重要.为更好地理解和掌握这些成立条件，可以给出一些分段函数的反例用以加深印象.例如关于罗尔定理（参见[1]、[2]、[3]），可给出函数f（某）=e某-1，某∈（0，1]，（e-1）某2，某∈[-1，0].此函数虽然满足罗尔定理的条件（1）和（3），但因为条件（2）不满足，使得结论不成立.其他的如拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以构造分段函数的反例.（7）定积分是一个既难理解而又非常重要的概念.为更好地让学生掌握这一概念，可以举一个分段函数的反例.例如可考虑狄利克雷函数D （某），该函数在区间[a，b]上不满足定积分存在的定义.这一反例的给出不但有利于学生对于定积分概念中条件“如果不论对[a，b]怎样划分，也不论在小区间[某i-1，某i]上点ξi怎样选取，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数f（某）在区间[a，b]上的定积分（参见[1]、[2]、[3]）”的理解，而且也便于接下来顺势给出两类可积分的函数，即闭区间[a，b]上的连续函数和只有有限个间断点的有界函数是可积的.以上讨论了分段函数作为反例的7种情形，其他情形还有很多，例如为更好地掌握凸（或凹）函数定义中的严格不等式要求（参见[1]），可以举由一条或两条直线构成的分段函数的反例等.举反例的目的是为帮助理解和掌握一些概念和定理等，虽然关注的有些只是一些细节性的知识点，但对于培养学生严谨的数学思维是非常必要的.三、结束语本文主要讨论一元分段函数作为例子使用的情形.实际上，对于多元微积分，也有构造分片函数例子的情形，如理解偏导存在与连续的关系，多元函数在一点处极限存在概念等（参见[1]、[2]、[3]）.可以看出分段（片）函数在微积分中作用比较大，有时具有一般的初等函数所无法替代的地位，在教学中如果能恰当地使用分段函数作为例子是十分有意义的.【参考文献】[1]复旦大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.[2]同济大学数学系.高等数学[M].第6版.北京：高等教育出版社，2022.[3]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.[4]崔锦泰.小波分析导论[M].西安：西安交通大学出版社，1997.[5]RichardLBurden，JDouglaFaire.NumericalAnalyi[M].HigherEducationPre，2003.。