三次求根公式

三次方程求根公式在数学中，三次方程是指具有形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，且a ≠ 0。

解三次方程的方法有很多，而其中一种常用的方法是使用求根公式。

求解三次方程有两种常见的情况，即当方程有一个实根和两个复根时，以及当方程有三个实根时。

下面将分别介绍这两种情况下的求根公式和求解步骤。

1. 方程有一个实根和两个复根的情况：对于方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，可以使用如下公式来求解实根x1和复根x2、x3：x1 = -b / (3a) - (2Δ)^(1/2) / (3a)x2 = (-b + i(3^(1/2))Δ^(1/2)) / (3a)x3 = (-b - i(3^(1/2))Δ^(1/2)) / (3a)其中，Δ = (18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2) / (4a^2)为判别式。

如果Δ > 0，则方程有一个实根和两个复根；如果Δ = 0，则方程有三个实根且其中两个相等；如果Δ < 0，则方程有三个不相等的实根。

求解步骤：a) 计算判别式Δ。

b) 根据Δ的值，代入上述求根公式计算实根和复根。

2. 方程有三个实根的情况：对于方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，可以使用如下公式来求解实根x1、x2、x3：x1 = (q + (q^2 + r^3)^(1/2))^(1/3) + (q - (q^2 + r^3)^(1/2))^(1/3) - b / (3a)x2 = ω(q + (q^2 + r^3)^(1/2))^(1/3) + ω^2(q - (q^2 + r^3)^(1/2))^(1/3) - b / (3a)x3 = ω^2(q + (q^2 + r^3)^(1/2))^(1/3) + ω(q - (q^2 + r^3)^(1/2))^(1/3) - b / (3a)其中，q = (3ac - b^2) / (9a^2)，r = (9abc - 27a^2d - 2b^3) / (54a^3)为中间变量，而ω为虚根单位，满足ω^3 = 1。

一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式，即可利用一个公式求得该方程的三个根，可谓一个十分重要的数学公式。

其公式的推导过程，虽繁琐，但也是有一定的规律可循的。

本文将就这一推导过程，加以详述。

首先来看一元三次方程的一般形式：$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$将该方程的左右两边分别平方，得到：$$a^2x^6+2abx^5+2acx^4+b^2x^4+2bcdx^3+2acdx^2+cd^2x^2+2abdx +c^2=0$$将上式两边同时乘以$4a^3$，得到：$$4a^3x^6+8a^2bx^5+8a^2cx^4+4a^2b^2x^4+16a^2bcdx^3+16a^2acd x^2+4a^2cd^2x^2+8a^2abdx+4a^2c^2=0$$将上式整理得到：$$x^2(4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2a cd)+c^2-4a^3d^2=0$$设 $P =4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2acd$，则上式变为：$$x^2P+c^2-4a^3d^2 = 0$$再将上式整理得到：$$x^2P+(frac{-b}{2a})^2-frac{1}{4a^2}(4ac-b^2)=0$$ 把上式分解因式，即有：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{2ac-b^2}{4a^2P} = 0$$ 设$D = b^2-4ac$，则上式可写为：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{D}{4a^2P} = 0$$将上式左右两边同时乘以$frac{1}{4a^2P}$，得到：$$frac{x^2}{4a^2P}+frac{-b}{8a^3P}+frac{1}{16a^4P^2}D=0$$ 根据二次方程的求根公式，即有：$$x=frac{-2a^2Ppmsqrt{8a^2Pb+D^2}}{4a^3P}$$再将上式改写，即得最终的一元三次方程求根公式：$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}-frac{2a^2P}{bpmsqrt{b^2-4ac }}$$由此可见，一元三次方程求根公式，是通过繁琐的整理、变形，最终才得到的。

三次方程求根公式卡丹公式卡丹公式，又称三次方程求根公式，是用来求解三次方程的根的一种公式。

在数学中，三次方程是指一个变量的三次多项式方程，通常表示为ax^3+bx^2+cx+d=0。

三次方程的解析解较为复杂，因此卡丹公式的引入使得求解三次方程的过程更加简便和高效。

卡丹公式的形式如下：x = -\frac{b}{3a} + \frac{\sqrt[3]{Q + \sqrt{Q^2 + R^3}}}{3a\sqrt[3]{2}} + \frac{\sqrt[3]{Q - \sqrt{Q^2 + R^3}}}{3a\sqrt[3]{2}}其中，Q = \frac{3ac - b^2}{9a^2} 和 R = \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3}。

卡丹公式的推导相对复杂，这里不做详细讨论。

下面我们将通过一个具体的例子来展示卡丹公式的应用。

假设我们要求解方程2x^3 + 3x^2 - x - 1 = 0的根。

我们计算Q和R的值：Q = \frac{3(2)(-1) - (3)^2}{9(2)^2} = -\frac{1}{4}，R = \frac{9(2)(-1)(-1) - 27(2)^2(-1) - 2(3)^3}{54(2)^3} = 0接下来，我们将Q和R的值代入卡丹公式，计算出方程的三个根：x_1 = -\frac{3}{4}，x_2 = \frac{1}{4}，x_3 = -1通过卡丹公式，我们成功求解了该三次方程的根。

卡丹公式的引入极大地简化了求解三次方程的过程。

在没有卡丹公式之前，求解三次方程需要通过复杂的代数运算和因式分解来获得解析解，计算过程繁琐而复杂。

而有了卡丹公式，我们只需要计算出Q和R的值，代入公式即可得到方程的三个根，大大提高了求解的效率。

需要注意的是，卡丹公式只适用于一般的三次方程，对于特殊情况，如方程存在重根或虚根，或者方程的系数不满足一定条件时，卡丹公式的应用可能会有限。

韦达定理一元三次方程求根公式
韦达定理一元三次方程求根公式是一种有效的解决一元三次方程的方法。

它可以用来求解一元三次方程的根，并且可以更快捷地解决这种方程。

韦达定理一元三次方程求根公式的基本步骤如下：
首先，将一元三次方程化为一元二次方程，即：
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
将其转化为：
x^3 + px + q = 0
其中，p = b/a，q = c/a - b^2/a^2
其次，求得一元三次方程的判别式：
Δ = q^2 + 4p^3/27
根据Δ的值可以得出三次方程的解，有三种情况：
1、当Δ > 0时，一元三次方程有一个实根，且有两个共轭复根，即：
x = (3q/2p)^(1/3) - (p/3)^(1/2) + k(2/3)^(1/2)(3q/2p)^(1/2)
其中，k = 0,1,-1
2、当Δ = 0时，一元三次方程有三个实根，且有一个共轭复根，即：
x = (3q/2p)^(1/3) - (p/3)^(1/2)
3、当Δ < 0时，一元三次方程有三个不同的实根，即：
x = (3q/2p)^(1/3) cos (θ/3) - (p/3)^(1/2)
其中，θ = arccos (3q/2p^3)
最后，根据上面的三种情况可以得出一元三次方程的根。

由此可见，韦达定理一元三次方程求根公式是一种有效的解决一元三次方程的方法，它可以更快捷地求解一元三次方程的根，并且可以更好地理解一元三次方程求根的原理。

⼀元三次⽅程求根公式及韦达定理转⾃百度百科公式法（卡尔丹公式）（如右图所⽰）若⽤A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

⼀元三次⽅程求根公式判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有⼀个实根和⼀对个共轭；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的。

⼀元三次⽅程求根公式推导第⼀步：ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）为了⽅便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代⼊⽅程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

第⼆步：⽅程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。

×推导过程：1、⽅程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、⽅程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、⼀般三次⽅程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。

一元三次方程的一般解法求根公式求解一元三次方程是数学中常见的问题，可以通过一般解法来求得方程的根公式。

一元三次方程的一般形式是ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知系数。

下面将介绍一元三次方程的解法。

我们可以利用一元三次方程的根公式来求解。

根公式的推导过程较为复杂，这里不做详细展开，只介绍其一般形式。

一元三次方程的根公式可以表示为：x = (-b + √(b^2 - 3ac))/(3a) 或x = (-b - √(b^2 - 3ac))/(3a)其中，√表示开方，b^2 - 3ac为判别式，当判别式大于0时，方程有三个不同的实根；当判别式等于0时，方程有一个实根和一个重根；当判别式小于0时，方程有三个不同的虚根。

接下来，我们可以通过代入系数的值来计算根的具体数值。

需要注意的是，由于一元三次方程的计算较为复杂，一般需要使用计算器或计算软件进行求解。

在实际计算中，可以先计算判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质，最后再通过根公式来求解根的具体数值。

需要强调的是，求解一元三次方程的过程中，应该注意将方程化简为标准形式，确保系数的准确性。

此外，对于复数解，可以使用复数形式表示，其中虚部为√(-1)。

在实际应用中，可以根据具体问题的需要，选择合适的解法来求解一元三次方程。

总结起来，求解一元三次方程可以通过一般解法来求得根公式。

通过代入系数的值，计算判别式的值，来确定方程的根的性质，最后通过根公式求解根的具体数值。

求解过程中需要注意方程的标准形式和系数的准确性，以及对于复数解的处理。

通过掌握一元三次方程的解法，可以更好地应对实际问题的求解。

一元三次方程求根公式卡尔丹定理卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。

在数学中，一元三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。

解一元三次方程的问题在数学中具有重要的意义，它在实际生活中的应用也非常广泛。

卡尔丹定理是由法国数学家卡尔丹于16世纪提出的。

该定理通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题。

通过求解这两个方程，可以得到原方程的根。

我们将一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的系数进行变量替代，令x = y - b/3a。

将此代入原方程，可得到一个新的方程ay^3 + Py + Q = 0，其中P和Q是与原方程的系数相关的新的常数。

接下来，我们对新方程应用求解二次方程的公式，将其转化为一个二次方程求解问题。

通过求解这个二次方程，我们可以得到两个根y1和y2。

我们将得到的根y1和y2代入原方程中，得到两个新的一次方程，通过求解这两个一次方程，我们可以得到另外两个根x1和x2。

需要注意的是，卡尔丹定理对于一元三次方程可能存在的重根和虚根也是适用的。

重根是指方程有两个或三个相等的根，虚根是指方程的根不是实数。

在使用卡尔丹定理求解一元三次方程时，我们需要对不同情况进行分类讨论，并得出相应的结论。

除了卡尔丹定理，还有其他方法可以求解一元三次方程，比如牛顿迭代法和龙贝格-维尔斯特拉斯算法等。

这些方法在不同的情况下可能更加高效或精确，但卡尔丹定理作为一种经典的方法，仍然被广泛使用。

卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。

通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题，卡尔丹定理为我们解决一元三次方程提供了一种简洁而有效的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解一元三次方程，以解决各种问题。

一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法Shengjin’s Formulasand Shengjin’s Distinguishing Meansand Shengjin’s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

盛金公式Shengjin’s Formulas一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b－3ac；B=bc－9ad；C=c－3bd，总判别式：Δ=B－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。

当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1<T<1)。

一般三次方程的求根公式大家好！今天我们来聊聊一个可能听起来有点复杂的话题——一般三次方程的求根公式。

不过别担心，我们会用最简单的语言，把它讲清楚，让你听得懂、学得会。

准备好了吗？那就让我们开始吧！1. 三次方程是什么首先，咱们得搞清楚什么是三次方程。

简单来说，三次方程就是形如 ( ax^3 +bx^2 + cx + d = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、( c )、( d ) 都是常数，而 ( x ) 是我们要找的未知数。

这个方程里面，( x ) 的最高次方是三次，因此叫做三次方程。

1.1 三次方程的例子比如，方程 ( 2x^3 3x^2 12x + 5 = 0 ) 就是一个三次方程。

看起来是不是有点复杂？别急，我们会一步步破解这个难题。

1.2 为什么要找根那么，为什么我们要找三次方程的根呢？实际上，找到这些根能帮助我们解决很多实际问题，比如在物理、工程等领域里，三次方程经常出现。

找到它的根就是找到它的解，也就是方程的答案。

2. 求解三次方程的公式三次方程的求解公式其实是有的，但它的过程比较复杂。

不过没关系，我们可以用简单的方式来理解它。

要记住，最重要的不是公式本身，而是理解它的步骤和原理。

2.1 公式概述三次方程的求根公式确实有点长，但大概可以分成两个主要的步骤。

第一个步骤是通过代换，把三次方程转化为一种更简单的形式，通常是没有二次项的形式。

第二个步骤是用具体的公式来求解。

2.2 代换法代换法听起来有点复杂，但实际上就是把方程变得更简单。

比如，我们可以通过一些变换，把 ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ) 变成一个没有二次项的方程。

这样，我们就可以用比较简单的公式来求解了。

3. 具体的求根步骤接下来，我们来看看具体的求根步骤。

虽然整个过程可能稍微复杂一点，但只要掌握了方法，就不会觉得难。

3.1 转换方程首先，我们用一个叫做“卡尔丹公式”的方法，把方程转换成没有二次项的形式。

3次方程求根公式三次方程求根公式是一类解决多项式的复杂方程的有效方法，它主要通过分解三次多项式的方程，从而解出方程的根。

下面介绍三次方程求根的常用公式：一、基本公式该型方程为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a≠0。

解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=–b/ax1x2+x1x3+x2x3=c/ax1x2x3=-d/a二、牛顿迭代法该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0。

解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=-p/ax1x2+x1x3+x2x3=q/ax1x2x3=r/a三、伽玛函数法该型方程为ax³+px²+qx=0，其中a≠0，其中x1、x2、x3不满足互异性。

解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=-p/ax1x2+x1x3+x2x3=-q/2a四、贝尔根斯法该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0，其中x1、x2、x3不满足互异性。

解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=u-p/3ax1x2+x1x3+x2x3=v+2p²/27a³-q/3bx1x2x3=-2u³/27a-qv/6a²+r/a五、拉塞尔根式该型方程为ax³+px²+qx+r=0，其中a≠0，且y1、y2、y3分别满足条件：y1+y2+y3=0y1y2+y1y3+y2y3=p/ay1y2y3=q/2a解得三个实根x1、x2、x3，则有：x1+x2+x3=u+q/2ax1x2+x1x3+x2x3=v-pq/4a²+r/ax1x2x3=-u²v/4a²-p³/27a³-pr/6a²+q²/8a³+s/a。