第8讲 立体几何中的交线问题(解析版)

立体几何(解析版)立体几何(解析版)立体几何是数学中的一个重要分支，研究物体的空间形状、尺寸以及相互关系。

通过立体几何的学习，我们可以更好地理解并描述物体的形状，并运用相关理论方法解决实际问题。

本文将以解析的方式介绍立体几何的基本概念、性质和定理，并探讨其在实际问题中的应用。

1. 点、线、面的基本概念在立体几何的世界中，点、线、面是最基本的几何元素。

点是没有大小的，只有位置的几何对象。

线由无数个点组成，是长度没有宽度的几何对象。

面是由无数个点和线组成，有着长度和宽度的几何对象。

了解这些基本概念是理解立体几何的第一步。

2. 空间几何关系的性质在立体几何中，物体之间有着各种各样的空间几何关系。

例如，平行是最基本的几何关系之一。

当两条直线或两个平面在空间中永远不相交时，我们称它们为平行。

此外，垂直、相交、共面等几何关系都在立体几何中发挥着重要作用。

通过研究这些几何关系的性质，可以更好地理解物体在空间中的位置和相互关系。

3. 空间几何图形的性质和分类空间几何图形是由点、线、面组成的。

常见的空间几何图形包括球、立方体、锥体等。

每种空间几何图形都有其独特的性质和分类标准。

例如，球是由所有距离圆心相等的点组成的，而立方体则有六个平面和八个顶点等。

通过深入研究这些性质和分类标准，我们能够更好地认识和应用空间几何图形。

4. 空间几何定理及其应用在立体几何中，有许多重要的定理和定律来描述和证明空间几何图形的性质。

例如，欧几里得空间中的平行公设和垂直公设是我们研究空间几何的基础。

此外，勾股定理、皮亚诺定理、欧拉公式等也为我们解决实际问题提供了强大的工具。

在实际问题中，我们可以通过运用这些定理和定律，推导出几何图形之间的关系，解决诸如面积、体积、距离等方面的问题。

5. 立体几何的应用立体几何的应用广泛而重要。

在建筑设计中，我们需要合理利用立体几何理论，确定房屋的尺寸和结构，确保建筑的稳定和美观。

在工程测量中，立体几何被用于计算地表面积和体积，指导建设工程的施工。

立体几何中的相交线与平面关系与平面相交是立体几何中常见的问题，相交线与平面的关系在空间几何中具有重要的意义。

本文将介绍相交线与平面的几种常见关系，并探讨其相关性质。

一、线与平面的相交关系1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，可能会存在以下几种情况：（1）相交于一点：直线与平面相交于一个点时，该点既在直线上，又在平面上。

这种情况下，直线与平面共点，详细表示为：直线l⊂平面P，记作l∩P=P'。

（2）相交于一条直线：直线与平面相交于一条线段时，该线段既在直线上，又在平面上。

这种情况下，直线与平面共线，详细表示为：直线l⊂平面P，记作l∩P=l'。

（3）不相交：直线与平面没有任何公共点，即直线不在平面上，这种情况下，直线与平面没有交点，详细表示为：直线l∩平面P=∅。

2. 曲线与平面相交曲线与平面相交的情况相对复杂，常见情况有以下几种：（1）相交于一个形状：曲线与平面相交于一个封闭曲线或开放曲线时，该曲线既在平面上，又在曲线上。

这种情况下，曲线与平面共形状，详细表示为：曲线C⊂平面P，记作C∩P=C'。

（2）相交于多个点：曲线与平面相交于多个点时，曲线上的每个点都在平面上。

这种情况下，曲线与平面相交于多个点，详细表示为：曲线C∩平面P={P1,P2,P3,…}。

（3）不相交：曲线与平面没有任何公共点，即曲线不在平面上，这种情况下，曲线与平面没有交点，详细表示为：曲线C∩平面P=∅。

二、线与面的相关性质1. 交线垂直于平面的性质当直线与平面相交于一点时，该直线与平面的交线垂直于平面。

这是因为平面上的任意一条垂直于交线的直线都与给定的直线重合于交点，从而证明了两个垂直关系。

2. 平行关系与相交线夹角的性质平行关系是指两条直线在平面上无交点的关系，当两条平行线都与同一平面相交时，它们在该平面上的相交线之间的夹角相等。

这一性质被称为"同位角相等定理"，在立体几何的问题中起到了重要的作用。

2023年高考数学----立体几何中的交线问题典型例题讲解【规律方法】几何法【典型例题】例1．（2022·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体ABCD 中，P 为棱AD （不含端点）上的动点，过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，则m ，n 所成角的正弦值的最大值为__________．【解析】过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，由于平面//α平面PBC ，平面PBC ⋂平面ABD PB =,，平面PBC ⋂平面ACD PC = 所以//,//m BP n PC ,所以BPC ∠或其补角即为m ，n 所成的平面角，设正四棱锥ABCD 的棱长为1，,01AP x x =<<，则1PD x =−，在ABP中，由余弦定理得：cos601BP =+， 同理cos601PC =+, 故在PBC 中，()()22222221211112cos 11221211324x x PB PC BC BPC PB PC x x x x x −+−+−∠===−=−⋅−+−+⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， 由于2133244x ⎛⎫−+≥ ⎪⎝⎭，则212231324x ≤⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，进而2112131324x −≥⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，当12x =时取等号， 故cos BPC ∠的最小值为13，进而sinBPC ∠= 故sin BPC ∠， 故答案为：3例2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.【解析】设外接球半径为r ，外接球球心到底面的距离为h ，则2243h r r h +==+，所以r两球相交形成形成的图形为圆，如图，在PDO △中，661cos DPO +−∠==sin DPO ∠=在1PDO △中，1sin DO PD DOP =∠=所以交线长度为2π=.例3．（2022·福建福州·三模）已知正方体1111ABCD A B C D −1A 为球心，半径为2的球面与底面ABCD 的交线的长度为___________. 【答案】2π 【解析】正方体中，1AA ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 与球的截面是以A 为圆心的圆，且1，所以球面与底面ABCD 的交线为以A 为圆心，1为半径的弧，该交线为1242ππ⨯=. 故答案为：2π.例4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））如图，在四面体ABCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，DA DB DC ===D 为球心，1为半径作球，则该球的球面与四面体ABCD 各面交线的长度和为___．【解析】因为2AB BC AC ===，所以ABC 是边长为2的等边三角形，所以边长为2=122ABC S △=⨯设D 到平面ABC 的距离为d ，12BCD S △=，所以A BCD D ABC V V −−=，所以11=33BCD ABC AD S d S △△⨯⨯⨯⨯，解得d =，则1d <， 所以以D 为球心，1为半径的球与平面ABD ，平面ACD ，平面BCD 的交线为14个半径为1的圆的弧线，与面ABC所以交线总长度为：121324ππ⨯⨯⨯+=..。

立体几何截面和交线问题一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．B ．C D2．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点(1,1)的直线中被圆M 截得的最短弦长为O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A ．B ．4+C ．D ．4．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C ．4D6．体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A．[4π，12]πB．[8π，16]πC．[8π，12]πD．[12π，16]π7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是()πC．}D．)πA．,2)πB．[]8．如图，已知四面体ABCD为正四面体，1AB=，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为()A．1B C D．149．设四棱锥P ABCD-的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，α)则这样的平面(A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是()A ．B ．C ．D ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．56π B ．23π C ．π D ．76π12．已知三棱锥P ABC -的棱AP 、AB 、AC P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．23π B ．56π C ．π D ．32π13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( ) A ．29π B ．89π C ．169πD ．43π 二．多选题（共2小题）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A ．点1C ，1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=︒D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有( )A ．存在点G ，使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点G ，//OA 平面EFGC ．直线EF 的被球OD ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π 三．填空题（共17小题）16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为 ．17．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为．18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为 ．19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 ．20．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为 ．21．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为 ．22．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2AB =，E ，F 分别为棱AD ，1CC 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 ．23．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）24．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和()GF EF +等于 ．25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 表面相交所得到的曲线的长等于 ．26．已知正三棱锥P ABC -侧棱长为1，且PA 、PB 、PC 两两垂直，以顶点A 为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为 ．27．以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 ．28．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以其体对角线的交点O 为球心，3为半径的球与正方体表面的交线长为 ．29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以表面所截得的所有弧长的和为 ．30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R = ④当314CQ <<时，S 为四边形⑤当1CQ =时，S31．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若102CQ<，则S 的面积取值范围是 ．32．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为 ．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD -中，30BAC ∠=︒，AB a =，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由．（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明．34．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点G 在棱11D C 上，且11114D G D C =，点E 、F 、M 分别是棱1AA 、AB 、BC 的中点，P 为线段1B D 上一点，4AB =． （Ⅰ）若平面EFP 交平面11DCC D 于直线l ，求证：1//l A B ； （Ⅱ）若直线1B D ⊥平面EFP ． ()i 求三棱锥1B EFP -的表面积；()ii 试作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM 与棱11A D 交于点Q ，求三棱锥Q EFP -的体积．35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD -中，F 是AC 上的一点，过F 作平行于棱AB 和棱CD 的截面，分别交BC ，AD ，BD 于E ，G ，H ． （1）证明截面EFGH 是矩形；（2）F 在AC 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．36．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11AA =，AB 2AC =，E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点．（1）求异面直线EF 与1A B 所成角的大小；（2）若G 为线段1AA 的中点，试在图中作出过E ，F ，G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．37．已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆与BCD ∆均为等腰直角三角形，且90BAC ∠=︒，6BC CD ==，E 为AD 上一点，且CE ⊥平面ABD ． （1）求证：AB CD ⊥；（2）过E 作一平面分别交AC ，BC ，BD 于F ，G ，H ，若四边形EFGH 为平行四边形，求多面体ABEFGH 的表面积．立体几何截面和交线问题（答案）一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．B ．CD 【解答】解：如图，延长EF ，FE ，分别交11B C ，11B A 的延长线于点H ，G 连结BG ，BH ， 分别交1AA ，1CC 于点I ，J ，则五边形BIEFJ 为所求截面．平面1//B C 平面1A D ，∴平面BGH 与之交线//IE BJ ，棱长为2的正方体1111ADCB A D C B -中，可得BI GJ ==，EI FJ ∴==，EF ， ∴则过D ，E ，F 三点的平面截该正方体，= 故选：C ．2．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点(1,1)的直线中被圆M 截得的最短弦长为O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解答】解：由题意，正方体的棱的中点与O 的距离为，∴2=， ∴最小截面的面积为224ππ=，故选：B ．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A ．B ．4+C ．D ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ，取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ，易求周长为， 故选：A ．4．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为2162⨯⨯=故选：D ．5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，，α截此正方体所得截面最大值为：26． 故选：A ．6．体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A ．[4π，12]πB ．[8π，16]πC ．[8π，12]πD ．[12π，16]π【解答】解：设3BC a =，则2R a =，体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，∴2193a h =224h a ∴=，222())R h R =-+，2222244(2)3a a a a∴=-+，2a ∴=， 6BC ∴=，4R =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =， ODB ∴∆中，4OD OB ==，6DB =，3cos 4ODB ∠=，OE ∴=，截面垂直于OE =，截面圆面积为8π， 以OE 所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，∴所得截面圆面积的取值范围是[8π，16]π．故选：B ．7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是( )A ．,2)πB ．[]πC ．}D ．)π 【解答】解：圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度， 过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2， 设轴截面的中心角为2α，由条件得：42ππα<，2sin 22r r l α==， 解得2r ，2222r l ππθ==，∴2θπ<，θ∴的取值范围是,2)π．故选：A ．8．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．14B C D ．1【解答】解：补成正方体如图：由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得1KL KN +=； 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥； KN KL ∴⊥，(2MNKL NK KL S NK KL +∴=⋅四边形21)4=， 当且仅当NK KL =时取等号． 故选：A ．9．设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(α )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个【解答】证明：由侧面PAD 与侧面PBC 相交，侧面PAB 与侧面PCD 相交， 设两组相交平面的交线分别为m ，n ， 由m ，n 确定的平面为β， 作α与β平行且与四条侧棱相交， 交点分别为1A ，1B ，1C ，1D 则由面面平行的性质定理得： 1111////A B m D C ，1111////A D n B C ，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个． 故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当1x =；②当12x =；③当x = ①当1x =时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；②当12x =时，以A 为球心，12为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x =．以A 其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；对照选项，B 正确． 故选：B ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．56π B ．23π C ．π D ．76π 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为：5326πππ+=．故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的棱AP 、AB 、AC P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．23π B ．56π C ．π D ．32π【解答】解：如图，AP ，1AN =，6APN π∠=，12NPM π∠=，∴2126MN ππ=⨯=．同理6GH π=，122HN ππ=⨯=，2233GM ππ=⨯=，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于2366232πππππ+++=． 故选：D ．13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( )A ．29π B ．89π C ．169πD ．43π 【解答】解：连接正方体的对角线根据交点得出正方体可以分割成6个相同的四棱锥，∴四棱锥O ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，各侧棱长均为以O 为中心，将6个这样的四棱锥放在一起，会得到一个正方体； 而以O 为球心，2为半径的球正好在正方体的内部； 则球与该四棱锥重叠部分的体积为球体积的16； 因此以O 为球心，2为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是314162639V ππ=⨯⨯⨯=，故选：C ．二．多选题（共2小题）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A ．点1C ，1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=︒D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形【解答】解：如图，取BC 中点E ，1CC 中点F ，则有六边形MQNPEF 为正六边形， 对于A ，根据正方体的对称性，可得点1C ，1D 到平面MQNPEF 的距离相等，A ∴正确； 对于B ，PN 与QM 为共面直线，故B 错；对于C ，在正六边形MQNPEF 中，设1PN =，则2PM =，MN =222MN PN PM ∴+=，则MN PN ⊥，故C 正确；对于D ，平面PMN 截该正方体的截面为正六边形，故D 正确． 故选：ACD ．15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有( )A ．存在点G ，使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点G ，//OA 平面EFGC ．直线EF 的被球OD ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π 【解答】解：正方体的内切球的球心即正方体的中心O ，1R =， 对于A ，当G 为BC 的中点时，EG BD ⊥，1BB EG ⊥， 1BB BD B =，EG ∴⊥平面1BB D ，而1B D ⊂平面1BB D ，则1EG B D ⊥，同理，FG ⊥平面1B CD ，可得1FG B D ⊥， EGFG G =，1B D ∴⊥平面EFG ，即OD 垂直于平面EFG ，故A 正确；对于B ，当G 与B 重合时，A ∈平面EFB ，O ∉平面EFB ， OA ∴与平面EFG 相交，此时//OA 平面EFG 不成立，故B 错误；对于C ，EF ==EF 的中点M ，由对称性可知，OE OF =，OM EF ∴⊥，2OE =2OM ∴=O 到EF 的距离为2，∴直线EF 的被球O 截得的弦长为==C 正确； 对于D ，设截面圆的半径为r ，O 到平面的距离为d ，则222r d R +=， 当O 到平面的距离最大时，截面圆的半径r 最小，O 到平面的距离小于等于O 到EF 的距离，∴当d =时，min r ==∴半径最小的圆的面积为22r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．三．填空题（共17小题）16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为 1053+ ． 【解答】解：如图所示：过点F 作//FH AE 交11A D 于H ，由题意可得AE === 易知11D H =，可得HF所以点H 为11A D的四等分点，可得5AH ， 所以11114D H A D =， 过点E 作//EP AH 交1CC 于点P ， 则△1AA H PCE ∆∽， 所以11AA CP A H CE =，解得83CP =， 所以截面与11BCC B的交线段长为103PE，PF =，可得截面的周长10105533L AE EP PF FH HA =++++==++故答案为：1053+ 17．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，∴过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面为梯形1APQD ，12AD PQ ==，1AP D Q ===∴过点A ，P ，Q的平面α截该正方体所得的截面的周长为：11L AP PQ QD AD =+++=故答案为：．18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ，取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ，易求周长为故答案为19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 12π ． 【解答】解：设圆柱的轴截面的边长为x ，则由28x =，解得x =其表面积为：222212S S S πππ=+=⨯⨯+=侧圆柱表底．故答案为：12π．20．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P三点的平面截正方体所得截面的面积为 【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为162⨯⨯=．故答案为：．21．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为23π． 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 与该正方体的各个面相切， 则球O 的半径为1，如图，设E 、F 、G 分别为球O 与平面ABCD 、平面11BB C C 、11AA B B 的切点， 则等边三角形EFG 为平面1ACB 截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得EF EG GF ==∴平面1ACB 截此球所得的截面圆的半径r =．∴截面的面积为223ππ⨯=． 故答案为：23π．22．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2AB =，E ，F 分别为棱AD ，1CC 的中点，则直线EF 被球O【解答】解：连结OE ，OF ，取EF 的中点M ，连结OM ． O 是正方体的中心，E ，F 是AD ，1CC 的中点，OE OF ∴=OM EF ∴⊥．又EF ==OM ∴==． 球O 的半径为1r =，EF ∴被球O 截得弦长为=23．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）【解答】解：由题意知，MN ⊥平面11BB D D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线1BD 上从点B 向1D 运动时，x 变大y 变大，直到P 为1BD 的中点时，y 最大为AC ； 然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样． 故答案为：②．24．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和()GF EF +等于56π．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为5326GF EF πππ+=+=． 故答案为：56π．25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A表面相交所得到的曲线的长等于． 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为AE =，11AA =，则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为6π，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为2π=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=．26．已知正三棱锥P ABC -侧棱长为1，且PA 、PB 、PC 两两垂直，以顶点A为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为． 【解答】解：设以顶点A线是EFNM ，如图所示．则AE AF AM AN ====， 在直角三角形APE中，cos PAE ∠=，6PAE π∴∠=，∴()46ME ππ=-=，同理NF =； 在直角三角形PBC 中，2BPC π∠=，PE PF ==∴2EF π==， 在等边三角形ABC中，MN AM ==3MAN π∠=，∴3MN π==．则这条封闭曲线的长度为ME NF EF MN +++=．．27．以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 [0，12]π ．【解答】解：以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧），∴根据勾股定理可以算出：O 点到正方体各个面距离为1，O以O 点为球心，以(1r r <<为半径的球，当r 为1时球刚好和棱长为2的正方体六个面相切，∴此时若干个圆（或圆弧）的总长度为0；当r 0； 球与正方体表面相交的圆正好与正方体的十二个棱边相切的时候若干个圆（或圆弧）的总长度才是最大的， 一共是6个圆，而且正方形的棱长为2，∴每个圆的直径是2，则每个周长是2π， ∴圆的总长度最大为6212ππ⨯=，圆（或圆弧）的总长度的取值范围是：[0，12]π． 故答案为：[0，12]π．28．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以其体对角线的交点O 为半径的球与正方体表面的交线长为． 【解答】解：依题意，球心O 到正方体表面的距离为1， 设正方形ABCD 的中心为1O ，正方形ABCD 所在平面裁球O 所得的圆的半径1r >． 故球O 与每一个面的交线均为四段圆弧，且13EO F π∠=．故四段圆弧的圆心角之和为2()4233πππ-⨯=，故一个面上的交线长23l π==，则66⨯=，29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以表面所截得的所有弧长的和为 6π ．【解答】解：如图，不妨以D 为球心，则正方体的表面被该球面所截得的弧长有相等的三部分， 与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以4为半径的四分之一圆周， 则弧长：111824AC ππ=⨯=． ∴该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为6π．故答案为：6π．30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号） ①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R = ④当314CQ <<时，S 为四边形⑤当1CQ =时，S【解答】解：如图当12CQ =时，即Q 为1CC 中点，此时可得1//PQ AD ，1AP QD =，故可得截面1APQD 为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q 向C 移动时，满足102CQ <<，只需在1DD 上取点M 满足//AM PQ ， 即可得截面为四边形APQM ，故①正确； ③当34CQ =时，如图， 延长1DD 至N ，使112D N =，连接AN 交11A D 于S ，连接NQ 交11C D 于R ，连接SR ， 可证//AN PQ ，由11NRD QRC ∆∆∽，可得1111::1:2C R D R C Q D N ==，故可得113C R =，故③正确；④由③可知当314CQ <<时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故④错误；⑤当1CQ =时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，可证1//PC AF ，且1PC AF =，可知截面为1APC F 为菱形，故其面积为112AC PF ⋅，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．31．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若102CQ<，则S 的面积取值范围是 3(4，9]8．【解答】解：在1CC 上取点M 使得2CM CQ =，在1DD 上取点N ，使得DN CM =，连接BM ，AN ，MN ，CN ，AP ，则PQ 为BCM ∆的中位线，//PQ BM ∴，//DN CM =，CD CM ⊥，∴四边形CDNM 是矩形， ////MN CD AB ∴==，∴四边形ABMN 是平行四边形，//AN BM ∴，//AN PQ ∴，故截面多边形为梯形APQN ， 设CQ x =，则PQ =，2AN BM PQ ===， 取AD 的中点O ，过O 作OE AN ⊥，过D 作DF AN ⊥，则可证PE AN ⊥，则DF =12OE DF ∴=，PE ∴=∴梯形APQN的面积为S =， 102x<，∴3948S <．故答案为：3(4，9]8．32．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为．【解答】解：当1CQ =时，1C 与Q 重合，取11A D 中点E ，则菱形1APC E 就是过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面，1AC =PE∴过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为：112S AC PE =⨯⨯=．．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD -中，30BAC ∠=︒，AB a =，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由．（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明．【解答】解：（1）//AD 面EFGH ，面ACD ⋂面EFGH HG =，AD ⊂面ACD//HG EF ∴．（2分）同理//EH FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形（3分）三棱锥A BCD -是正三棱锥，A ∴在底面上的射影O 是BCD ∆的中心，DO BC ∴⊥， AD BC ∴⊥，HG EH ∴⊥，四边形EFGH 是矩形（5分）（2）当AP =时，平面PBC ⊥平面EFGH ．（7分） 证明如下：作CP AD ⊥于P 点，连接BP ， AD BC ⊥，AD ∴⊥面BCP （10分）//HG AD ，HG ∴⊥面BCP ，HG ⊂面EFGH ⇒面BCP ⊥面EFGH ，在Rt APC ∆中，30CAP ∠=︒，AC a =，AP ∴（12分） 34．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点G 在棱11D C 上，且11114D G D C =，点E 、F 、M 分别是棱1AA 、AB 、BC 的中点，P 为线段1B D 上一点，4AB =． （Ⅰ）若平面EFP 交平面11DCC D 于直线l ，求证：1//l A B ； （Ⅱ）若直线1B D ⊥平面EFP ．()i 求三棱锥1B EFP -的表面积；()ii 试作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM 与棱11A D 交于点Q ，求三棱锥Q EFP -的体积．【解答】解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面EFP ⋂平面11ABB A EF =， 所以//EF l ，因为点E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点， 所以1//EF A B ， 所以1//l A B ．（2）()i 因为直线1B D ⊥平面EFP ，EP ⊂平面EFP ， 所以1B D EP ⊥，又因为DAE ∆≅△11B A E ， 所以1DE B E =， 所以1DP B P =，因为2EFP S ∆==11122EPB FPB S S ∆∆+=⨯⨯=1162EFB S ∆=⨯=，所以三棱锥1B EFP -的表面积为6+ ()ii 作图步骤如下：连接GE ，过点G 作GH DC ⊥于点H ，连接HA 并延长交GE 的延长线于点I ，连接IM 并延长交AB 于点J 交DC 的延长线于点K ，再连接GK 交1CC 于点S ，连接MS 并延长交11B C 的延长线于点R ，连接RG 并延长交11A D 于点Q ，再连接EQ ，GS ，EJ ，则图中EQ ，QG ，GS ，SM ，MJ ，JE 即为平面EGM 与正方体各个面的交线．设BJ CK x ==，由题知 23AJ HC CK x =+=+，所以1322x AJ HK +==，所以342xx ++=，解得53x =， 因为11139553C R C S GC MC SC CK ====， 2MC =，∴1185C R =， 所以111635D Q C R ==，如上图，设N 为线段11A D 的中点，可证点N 在平面PEF 内，且三角形PNE 与三角形PEF 面积相等， 所以，三棱锥Q EFP -的体积=三棱锥Q ENP -的体积=三棱锥P ENQ -的体积183215ENQ AB S ∆==，所以三棱锥Q EFP - 的体积为815． 35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD -中，F 是AC 上的一点，过F 作平行于棱AB 和棱CD 的截面，分别交BC ，AD ，BD 于E ，G ，H ． （1）证明截面EFGH 是矩形；（2）F 在AC 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．【解答】证明：（1）//AB 平面EFGH ，平面ABC ⋂平面EFGH EF = //AB EF ∴同理//AB GH //EF GH ∴同理////EH CD FG。

掌握立体几何中的相交关系在立体几何中，相交关系是一项基本概念，它描述了两个或多个图形在空间中相互穿过或相互接触的情况。

掌握了相交关系的概念和方法，可以帮助我们更好地理解和解决与立体几何相关的问题。

本文将介绍立体几何中的相交关系和相关的定理与应用。

一、平面与直线的相交关系在立体几何中，平面与直线的相交关系是最基本的相交情况之一。

根据平面与直线的位置关系，可以分为以下几种情况：1. 平面与直线相交于一点：当一条直线与一个平面有且只有一个交点时，我们称之为平面与直线相交于一点。

这种情况下，直线与平面的位置关系可以用点线关系来描述，即这条直线同时在平面上和平面外各有一点。

2. 平面与直线相交于一条直线：当一条直线与一个平面有无数个交点时，我们称之为平面与直线相交于一条直线。

这种情况下，直线与平面的位置关系可以用线线关系来描述，即这条直线完全位于平面内部。

3. 平面与直线平行：当一条直线与一个平面没有交点时，我们称之为平面与直线平行。

这种情况下，直线与平面的位置关系可以用平行线关系来描述，即这条直线完全位于平面外部，并且与平面的距离始终保持不变。

二、平面与平面的相交关系除了平面与直线的相交关系之外，平面与平面的相交关系也是立体几何中常见的情况。

根据平面与平面的位置关系，可以分为以下几种情况：1. 平面与平面相交于一条直线：当两个平面有且只有一条直线同时位于两个平面上时，我们称之为平面与平面相交于一条直线。

这种情况下，两个平面的位置关系可以用线线关系来描述，即这条直线同时在两个平面上。

2. 平面与平面平行：当两个平面没有共同的交点时，我们称之为平面与平面平行。

这种情况下，两个平面的位置关系可以用平行平面关系来描述，即两个平面永远保持平行，并且始终保持着相同的距离。

3. 平面与平面重合：当两个平面完全重合时，我们称之为平面与平面重合。

这种情况下，两个平面的位置关系可以用重合平面关系来描述，即两个平面是完全一样的。

第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P­ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A ­BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A ­BCB 1＝V B 1­ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法] 证明面面垂直的2种方法 定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ­ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P­NBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P ­NBM ＝V M ­PNB ＝23V C ­PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∵E ，F 分别是CD ，PC 的中点， ∴PD ∥EF ，∴CD ⊥EF ，又EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .。

第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题考点一 立体几何中的探索性问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点．连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练]1.如图，三棱锥P ­ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ­ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ­ABC 的高，又P A ＝1，所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.2.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG . 证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， 所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23，所以AM 的长为23.考点二 平面图形的翻折问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝23DA ，求三棱锥Q­ABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 平行且等于13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.因此，三棱锥Q­ABP 的体积为V Q­ABP ＝13×S △ABP ×Q E ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D ­ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F ­BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，几何体F ­BCE 的体积V F ­BCE ＝V B ­CEF ＝13×S △CEF ×BC ，S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F ­BCE ＝13×12×22＝23.2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P ­ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝ 72＋72－2×7×7×57＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2. 又AP ＝3，∴在△P AE 中，AP 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面P AB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .[课时跟踪检测]1.如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P ­ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ， 因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1. 同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3. 因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P ­ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233.(2)存在，A Q ＝23.理由如下．延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ， 则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝ABAE.经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23.故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M ­BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ， 因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形， 所以MN 平行且等于A 1D 1平行且等于AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1， 又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ，所以AM ∥平面BC 1E . 故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M ­BC 1E ＝V A ­BC 1E ＝V C 1­ABE ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1­ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D 1AE . (2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ， ∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面， 又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1­BCD ，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下： 如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a .因为EM ＝33a ， 所以MF ＝23EF ＝233a ，所以MF 平行且等于AN ， 所以四边形ANFM 是平行四边形， 所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G ­ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下． 取点H 为AD 的中点，连接GH ， 因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ， 又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ， 所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ， 所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ， 所以BE ∥平面ACFD ， 所以V G ­ECD ＝V E ­GCD ＝V B ­GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°，又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12，又BC ⊥平面ACFD ，所以V B ­GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312.所以三棱锥G ­ECD 的体积为312.。