函数的三要素

第8讲函数的三要素函数的三要素是指函数的定义、函数的参数和函数的返回值。

这三个要素是函数的基本组成部分，决定了函数的行为和功能。

1.函数的定义：函数是一段封装了特定功能的代码块，用于实现特定的任务。

函数的定义包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。

函数名是用来唯一标识函数的名称，可以根据函数的功能来命名函数名，通常使用驼峰命名法。

参数列表是函数用来接收外部传入数据的部分。

参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。

返回类型是函数执行完任务后返回的数据类型。

返回类型可以是任意有效数据类型，可以是基本数据类型、数组、结构体等。

函数体是函数的具体实现逻辑。

函数体中包含了一组语句，用来实现函数的功能。

函数的定义示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例定义了一个函数名为add的函数，该函数有两个参数a和b，返回类型为int。

函数的功能是计算a和b的和，并将结果返回。

2.函数的参数：函数的参数是函数定义中的一部分，用来接收外部传入的数据。

函数的参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。

函数可以通过参数来获取外部传入的数据，并在函数体中使用这些数据进行计算或逻辑操作。

函数的参数可以分为两种类型：值传递和引用传递。

值传递是指将参数的值复制给函数内部的局部变量，函数内部对参数的修改不会影响外部变量的值。

引用传递是指将参数的地址传递给函数内部的指针变量，函数内部可以通过指针修改外部变量的值。

函数的参数示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例中的add函数有两个参数a和b，都是int类型的。

在函数体内，使用a和b进行计算，并将结果返回。

3.函数的返回值：函数的返回值是函数执行完任务后返回的数据。

函数可以根据实际需要选择是否返回值，以及返回的数据类型。

函数三要素一、定义域1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（7）复合函数定义域 1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②xx f -+=42)( ③ 1+=x x y④ xx y 1+=2. 求下列函数的定义域 （1）8|3x |15x 2xy 2-+--=（1）2|1|)43(432-+--=x x xy （2）)103(log 22327---=x x y（－≦，－3）∪（－3，－1）∪[4，+≦] [－3，－2]∪（5，6）3. 求下列函数的定义域：（1）y=x x x -+||)1(0; (2)y=232531xx -+-; (3)y=1·1-+x x .{x|x ＜0且x ≠-1}. {x|-5≤x ≤5且x ≠〒3} ［1，+≦）.复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。

已知函数[()]f g x 的定义域为（a,b ），则f （x ）的定义域a ≤x≤b ，推导出…≤g （x ）≤…，即得f （x ）的定义域。

1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：（1）y=f(3x); (2)y=f(x 1); (3)y=f()31()31-++x f x （1）2()23f x + （2）2y =（3）|1|1y x =--2.函数(2)xf 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域 3已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。

函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。

【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。

（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。

【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。

函数概念及函数三要素2.1函数的概念及表示【知识梳理】函数：一般地，设A, B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)与之对应；那么就称：f : A 个函数。

记作y f (x)函数三要素：定义域、值域、对应法则函数主要的表示方法：列表法、图象法、解析式题型一.函数的表示方法【例1】•已知函数f( x), g( X)分别由下表给出：(1) 求f( g(1))的值;(2) 求满足f( g( x))> g( f( x))的x 的值.例2.画出下列函数的图像：(1) f (x) x ( x表示不大于x的最大整数)⑵ f (x) |x 2f，使对于集合A中任意B为从集合A到集合B的一x,x 2【例3].函数f(x) x 1, 2 x 4,若f (a)3x, x 4【过关练习］2x 2,x 1练习2•已知函数f (x) 1 若f (a) 1,则a的取值范围是一1,x 1x2x a x 1练习3•已知实数a 0,函数f(x) ' 若f(1 a) f (1x 2a, x 1f(x 1), 2 x 0练习4•已知 f (x) 2x 1,0 x 2x21,x 2(1) 求f ( 3)的值; 2(2) 若f (a) 4且a 0,求a的值. 3,则a的取值范围是练习1.函数f (x) x 2,x 2f(x 1),xa),则a的值为2 则f(2)题型二.判断函数相等【例1】•下列函数中，不满足 f(2x) 2f(x)的是()A f (x) xB. f (x) x x|C. f (x) x 1D.f(x) x【过关练习】 练习1•判断下列各组中的两个函数是否是同一个函数，并说明理由。

3 3 x,g(x) 、x; (x 3)(x 5),g(x) x 5 x 3练习2•下列各组函数中是相等函数的是()Ay x 1与 yx 2 1 x 1 B.y x 2 1 与s t 2 1(1) f (x) x, g(x)x 2; C.y x 与 y |x |D.y (x 1)与 y x 2 ⑵ f (x) ⑶ f(x)kx 1k2x2 3kx 1 的定义域为R,求实数k的取值范围【知识梳理】求给出解析式的函数定义域的基本方法:(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R;(2)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；(4)f(x)为零次幕型函数时，定义域为底数不为零的实数的集合；(5 )若f(x)是由上述几部分式子构成，则定义域为各个简单函数定义域的交集。

第一章函数第一讲函数的概念【知识归纳】(1) 映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；(2) 映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).（3）函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.（4）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.【经典例题】例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A = {P | P 是数轴上的点}，集合B = R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P 是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y ) | x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x 是三角形}，集合B = {x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x 是新华中学的班级}，集合B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.练1 已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由： （1）A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；（2）A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； （3）A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；（4）A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.例21. 函数y = f (x )表示（ ）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．f (x )一定是解析式C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ( )A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2+ 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2(x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.x y o x y o x y o x y o第二讲 函数的定义域【知识归纳】1.函数的定义域：函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x 的取值。

函数三要素分别是
函数三要素分别是：定义域A、值域C和对应法则f。

一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x 是自变量，y是x的函数。

x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。

函数的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

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第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值X 围。

（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。

③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数()2143432-+--=x x xy 的定义域。

例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。

1.2 函数的三要素1.2.1 函数的定义域1．对函数定义域的理解：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，是研究函数的重要内容.在给定函数的同时应该给定函数的定义域.如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x 的取值范围或使实际问题有意义的x 的取值范围.2．确定函数定义域的方法：（1）如果()x f 是整式，那么函数的定义域是实数集R ;（2）如果()x f 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;（3）如果()x f 是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合; （4）如果()x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各集合的交集;（5）实际问题中，定义域要满足实际问题有意义. 例1求下列函数的定义域：（1）373122+++-=x x y ；（2）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=.解：（1）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠+≥+-.073,022x x 解得R ∈x ，且37-≠x . 所以，函数的定义域为.37,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈x x x 且R（2）要使函数有意义，必须⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-.023,112,012,022x x x x x 解得221≤<x 且23,1≠≠x x .所以，函数的定义域为]2,23()23,1()1,21( .例2 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图1.2-1），若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数式，并求它的定义域.解：设x AB 2=，则CD 弧长为x π，于是22xx l AD π--=. ∴221222x x x l x y ππ+--⋅=lx x ++-=224π.由题意知⎪⎩⎪⎨⎧>-->,022,02x x l x π π+<<∴20l x . 所以，所求函数式为lx x y ++-=224π,其定义域为（π+2,0l）. 例3 已知函数54322++-=kx kx x y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.分析：本题已知函数的定义域为R ，说明函数恒有意义，也就是分母恒不为0. 解：由题意知0542≠++kx kx 的解集为R .当0=k 时，函数53254322-=++-=x kx kx x y 的定义域为R . 当0≠k 时，由()02042<-=∆k k ，解得450<<k .所以，所求k 的取值范围是.45,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡说明：给定定义域求参数的取值范围，要注意对二次项系数k 的讨论. 3．复合函数的定义域：（1）已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域：若()f x 的定义域为[],a b ，则函数[]()f g x 的定义域是使()a g x b ≤≤有意义的x 的集合，也就是不等式()b x g a ≤≤的解集.（2）已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域：若[()]f g x 的定义域为[],a b ，则函数()x g 在[]b a x ,∈上的取范围就是()f x 的定义域.例4 （1）已知函数()x f 的定义域为[]4,0，求函数()2xf 的定义域；（2）已知函数()12+x f 的定义域为[]3,1-，求函数()x f 的定义域； （3）已知函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，求函数)2(x f 的定义域.解：（1） ()x f 的定义域为[]4,0，C图1.2-1402≤≤∴x .解得22≤≤-x .所以，函数)(2x f 的定义域为[]2,2-.（2） ()12+x f 的定义域为[]3,1-，31≤≤-∴x ，7121≤+≤-∴x .所以，函数)(x f 的定义域为[]7,1-. （3） 函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，12≥∴x ，122-≥-∴x ，即函数()x f 的定义域为),1[+∞-.12-≥∴x，即2-≥x . 所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛2x f 的定义域[)+∞-,2.方法提炼：由()x f y =的定义域，求复合函数()()x g f y =的定义域，实质上是已知中间变量()x g u =的值域，求自变量x 的取值范围.练习1： 1.函数()x x x y +-=1的定义域为(C)A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1} 2.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数()()12-=x x f x g 的定义域是(B) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1) 3.函数x xy lg 21+-=的定义域为__________.答案：[)2,11.2.2 函数的解析式求函数解析式的常用方法有：（1）由实际问题建立函数关系式；（2）对函数特征已明确的函数，一般可用待定系数法；（3）对“已知()()x h x g f =][，求()x f 的解析式”的问题，一般用换元法； （4）若给出函数方程，一般可用构造方程组解出函数法； （5）复合函数，一般可用代入法.例5 （1）已知()x f 是一次函数，且有()[]89+=x x f f ，求()x f ； （2）已知()x f 是二次函数，且()()()11,00++=+=x x f x f f ，求()x f . 解：（1）设()b ax x f +=.由题意，有()[]()()b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2.由已知，得892+=++x b ab x a .⎩⎨⎧=+=∴.8,92b ab a 解得⎩⎨⎧==,2,3b a 或⎩⎨⎧-=-=.4,3b a()23+=∴x x f 或()23--=x x f .（2）设()()02≠++=a c bx ax x f .由()00=f ，得0=c .∴()()02≠+=a bx ax x f .又由()()11++=+x x f x f ，得()()1122+++=+++x bx ax x b x a ，即()()11222+++=++++x b ax b a x b a ax .⎩⎨⎧=++=+∴.1,12b a b b a 解得.21==b a ().21212x x x f +=∴ 方法提炼：本题给出的函数是模型函数（如一次函数、二次函数等），求函数的解析式一般用待定系数法.例6 已知()x x x f21+=+，求()x f .解：方法一 (换元法) 令1+=x t ()1≥t ，则()21-=t x .()()()112122-=-+-=∴t t t t f .()()112≥-=∴x x x f .方法二（配凑法） 由题意，有()x x x f21+=+()112-+=x .所以()12-=x x f . 又11≥+x ，()()112≥-=∴x x x f .方法提炼：形如()()()x h x g f =求()x f 一般使用换元法时，换元时一定要注意所换元的取值范围. 例7 （1）已知()()232+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式； （2）已知()x xf x f 3)1(2=+，求()x f 的解析式. 解：（1）（取反消元法）()()232+=-+x x f x f ， ① ∴()()232+-=+-x x f x f . ②由①,②，解之得().323+=x x f （2）（取倒消元法）()x xf x f 3)1(2=+， ①∴xx f x f 3)(2)1(=+. ②由①,②，消去)1(x f ，得().22xx x f -=方法提炼：“()()232+=-+x x f x f ”和“()x xf x f 3)1(2=+”是以函数为未知元的等式，叫做函数方程.一般可考虑构造方程组解出函数解析式.例8 设()x f 是R 上的函数，且满足()10=f ，并且对任意实数y x ,有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求()x f 的解析式.解：取y x =,则()()()120+--=x x x x f f . 而()10=f ,∴().12++=x x x f方法提炼：本题给出的是抽象函数,求函数的解析式一般用赋值法.练习2：1.已知2211)11(xx x x f +-=+-，则f (x )的解析式为(C) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 2.已知幂函数)(x f 的图象过点)3,3(，则)(x f 的解析式为 ．答案：21x y =3.已知二次函数()x f y =的最小值为4，且()()620==f f ，求()x f 的解析式. 答案：().6422+-=x x x f1.2.3 函数的值域与最值1．函数值域的理解：函数的值域是全体函数值所组成的集合.是函数的三要素之一，它由定义域和对应法则确定.2．确定函数值域的方法：（1）当函数()x f y =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数()x f y =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合； （3）当函数()x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及对应法则唯一确定； （4）当函数()x f y =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定. 3．常见函数的值域：（1）一次函数()0≠+=k b kx y 的值域为R .（2）二次函数()02≠++=a c bx ax y ：当0>a 时，值域为),44[2+∞-ab ac 当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞.（3）反比例函数()0≠=k xky 的值域为{}0,≠∈y y y R . 4．函数的最值：最大值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最大值.最小值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≥；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最小值.注意：（1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在I x ∈0，使得()M x f =0；（2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤（或()M x f ≤）.例9 求下列函数的值域:(1)xy 1=； (2)x y -=3. 解：（1）∵0x ≠，∴01≠x.所以，函数的值域是()()+∞∞-,00, . （2）∵0x ≥，3x 3,0x ≤-≤-∴. 所以，函数的值域是(]3,∞-.方法提炼：对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察法得到.如利用01≠x，0≥x 等. 例10 （1）求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域；（2）求函数2211xx x y +++=的值域. 解：（1）将函数配方，得()412+-=x y ..∵[]2,1-∈x ，由二次函数的性质可知： 当x=1时，4min =y ，当1x -=时，8max =y . 所以，函数的值域是[4，8].（2）原函数可化为()()0112=-+-x y x y .当1≠y 时，R ∈x .由()()()011412≥----=∆y y ，解得2321≤≤y . 当1=y 时，解得0=x ，此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211. 所以，函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.方法提炼：（1）配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；（2）“二次型分式函数”可以转化为一元二次方程后用判别式法求值域.例11 求下列函数的值域：（1）1-+=x x y ；（2）82++-=x x y 的值域.解：（1）方法一：令t x =-1()0≥t ,则12+=t x .∴4321122+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=t t t y .又0t ≥，由二次函数的性质可知当0=t 时，1min =y ,当+∞→t 时，+∞→y . 所以，函数的值域为[)+∞,1.方法二：易知函数在定义域),1[+∞上单调递增.()11min ==∴f y .所以函数的值域为[)+∞,1.（2）方法一：82++-=x x y 可以看成数轴上的点()x P 到定点()2A ，()8-B 间的距离之和，如图1.2-2所示.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，1082==++-=AB x x y . 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，1082=>++-=AB x x y . 所以，函数的值域为[)+∞,10. 方法二：原函数可化为()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=.262),28(10,862x x x x x y当8-≤x 时，1062≥--x ，即10≥y ； 当28<<-x 时，10=y ；当2≥x 时，1062≥+x ，即10≥y .图1.2-3 A B P图1.2-2图1.2-4所以，函数的值域为[)+∞,10.方法提炼：第（1）题方法一采用的换元法把一个函数变为简单函数后再求值域，对应二次函数的图象如图1.2-2所示；第（2）题函数解析式具有明显的几何意义，方法一采用的是数形结合法求值域；方法二采用的转化成分段函数后求值域，其对应分段函数的图象如图1.2-4所示.例12 已知函数()()R ∈++-=x a ax x x f 6242.（1）求函数的值域为),0[+∞时a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数()32+-=a a a f 的值域. 解：(1）∵函数的值域为),0[+∞,∴()0624162=+-=∆a a ，即0322=--a a 0.∴1-=a 或23=a . （2）对一切x ∈R ，函数值均非负, ∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0，即-1≤a≤23,∴a+3＞0. ∴()]23,1[,417)23()3(22-∈++=+-=a a a a a f . ∵二次函数()a f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴()419)23(min -==f a f ，()4)1(max =-=f a f . ∴()a f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419. 函数的最值与值域的关系：(1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值；(2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标；(3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区间时),最值是值域为闭区间时的端点值.练习3：1.函数xa x f =)(（0>a ，且1≠a ）在]2,1[上的最大值比最小值大2a，则a 的值为 ． 答案：2321或2.设函数21)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n （n 是正整数），那么在)(x f 的值域中共有 个整 数．答案：22+n3.求函数y ＝3xx 2＋4的值域．答案：⎣⎡⎦⎤－34，34.习题1.2一、选择题1．（2008，全国）函数x x y +-=1的定义域为（D ）A ．{}1≤x xB ．{}0≥x xC ．{}01≤≥x x x 或D ．{}10≤≤x x 2．函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（ A ）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y3．已知函数()12-x f 的定义域为]3,3[-，则()x f 的定义域为（ C ）A ．[]2,2-B ．[]2,0C ．[]2,1-D ．]3,3[- 4．（2010，山东）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ A ） A.()0,+∞ B.)0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D.)1,+∞⎡⎣5．函数()log (1)[0,1]xa f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( B )A .41 B. 21C. 2D. 4 6． 函数()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=1,0,423,0,1,622x x x x x f 的最大值为（ B ）A ．11B ．6C ．4D ．2117．用{}b a ,m in 表示b a ,两个数中的最小值，设(){}x x x f ,2m in 2-=,则()x f 的最大值为( C )A ．-2 B.-1 C.1 D.28．函数()x f 的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)．函数()()x f x x g ⋅=，那么函数g (x )的值域为(B)A ．[0,2]B ．[0，94]C ．[0，32] D ．[0,4]二、填空题9.已知二次函数()x f 的图象经过A(-1,3),B(0,1),C(2,3)三点,则()x f 的解析式为 .答案：()x f =x 2-x+110.已知()x f 是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则()x f =__________. 答案：1()33f x x =+. 11.函数962++-=x x y 在区间[]()3,<<b a b a 上有最大值9，最小值7-，则=a _______，（第8题）=b __________.答案：2-；012.（2011上海文14）设()x g 是定义在R 上，以1为周期的函数.若函数()()x g x x f +=在区间[]1,0上的值域为[]5,2-，则()x f 在区间[]3,0上的值域为________.答案：[]7,2-三、解答题13．求下述函数的定义域：（1）()()021122lg -+-+-=x x x x y ； (2)()()024534lg -++=x x x y . 解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-,01,012,022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<.1,43,2x x x所以-3＜x ＜2且x≠1. 所以，函数的定义域为（-3，1）∪(1,2). （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->.54,21,43x x x 所以，函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 14.已知函数()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求函数()()x f x f y 21-+=的值域. 解:令()x f u 21-=,则0≥u ,()()2121u x f -=. ()11212+--=∴u y . ()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83, ()94121832≤-≤∴u , 解得2131≤≤u . ()11212+--=u y 当2131≤≤u 时是关于u 的增函数,又31=u 时,97=y ; 21=u 时,87=y . ∴()()x f x f y 21-+=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97. 15.（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足()()x x f x f 32=-+，求()f x . 解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）.（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-. （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =.∴()27f x x =+.（4）()()x x f x f 32=-+ ①把①中的x 换成x -,得()()x x f x f 32-=+- ②①2⨯-②，得()x x f 93=,()x x f 3=∴.16.求下列函数的值域：（1）y =； （2）312x y x +=-；（3）y x =+ （4）|1||4|y x x =-++； （5）22221x x y x x -+=++；解：（1）设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =.又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2].（2）313(2)773222x x y x x x +-+===+---. ∵702x ≠-，∴7332x +≠-. ∴函数312x y x +=-的值域为{}3≠∈y y R . （3）设0t =≥，则21x t =-.∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤. ∴原函数值域为(,5]-∞. （4）23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩， ∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞.（5）∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R . 由22221x x y x x -+=++,得2(2)(1)20y x y x y -+++-=. （*） ①当20y -=，即2y =时，（*）即为300x +=.∴∈=0x R .②当20y -≠，即2y ≠时，∵R ∈x 时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴△22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥.∴15y ≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[1,5].。

1. 函数的定义设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x f y =，A x ∈.其中x 叫自变量，它的取值范围叫做函数的定义域；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()a f y =或a x y =，所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．☆ 函数的三要素：定义域、对应关系和值域;其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系一确定，则值域也就确定了.2. 映射 设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()x f ，于是y =()x f ，x 称作y 的原象．映射f 也可以记为B A f →:，→x ()x f ，其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象()x f 构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作()A f ．3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．4．函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一一对应关系”．5．函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种．列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 图象法：对于函数()x f y =（A x ∈）定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数构成有序实数对()y x ,作为点P 的坐标，即P ()y x ,，则所有这些点的集合F 叫做函数()x f y =的图象，即{}(,)|(),F P x y y f x x A ==∈．这就是说，如果F 是函数()x f y =的图像，则图像上的任一点的坐标()y x ,都满足函数关系()x f y =；反之，满足函数关系()x f y =的点()y x ,都在图象F 上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．解析法：如果在函数()x f y =, A x ∈中，()x f 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）．6．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如⎩⎨⎧≤+>-=0,230,12x x x x y 、423-+=x y 等．7．求函数定义域：在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围．①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④0x y =，0≠x . 研究函数时常会用到区间的概念：定义名称 符号数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 []b a ,{}b x a x << 开区间 ()b a ,{}b x a x <≤ 半开半闭区间 )[b a ,{}b x a x ≤<半开半闭区间](b a ,例题1：求下列函数的定义域（1）()43-=x xx f （2）()2x x f =（3）()2362+-=x x x f （4）()14--=x x x f☆ 如何判断两个函数是否为同一个函数：①看定义域是否相同，如果相同再看对应关系（解析式）是否一样.例题2：下列哪一组中的函数()x f 与()x g 相等？（1）()1-=x x f ， ()12-=xx x g （2）()2x x f =， ()()4x x g =（3）()2x x f = ， ()36x x g =例题3:画出下列函数的图象，并写出函数的定义域和值域.（1）x y 3= （2）xy 8=（3）54+-=x y （4）762+-=x x y例题4：已知函数()62-+=x x x f . （1）点（3，14）在()x f 的图象上吗？ （2）当4=x 时，求()x f 的值； （3）当()2=x f 时，求x 的值.例题5：已知()12+=x x f ，则()()1-f f 的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5例题6:已知函数()x f 的定义域为()0,1-，则函数()12+x f 的定义域为（ ）A.()1,1-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.()0,1- D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21例题7:用区间表示下列数集： （1）{}=≥1x x （2）{}=≤<42x x （3）{}=≠->21x x x 且 例题8:求下列函数的值域.（1）()1123≤≤-+=x x y ； （2）()x x f -+=42（3）x x y 422+--=例题9:已知函数()2211x x x f -+=.（1）求()x f 的定义域； （2）若()2=a f ，求a 的值；（3）求证：()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1求函数解析式(1) 配凑法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式，一般也可以用换元法；例题1：已知函数()x x x f 21+=+，求()x f ；例题2：已知函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ；(2) 换元法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式；例题3：已知()x x f 2sin cos 1=-，求()x f 的解析式.(3) 待定系数法求函数解析式:已知所求函数类型；例题4：已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ，求()x f .(4) 方程组法求函数解析式：已知()x f 和⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的关系式或者()x f 和()x f -的关系式.例题5：已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()112-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x f ，求()x f ；函数的单调性与最值1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.如果函数()x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值. 用定义法判断函数的单调性 例题1：已知函数()12-=x x f []()6,2∈x ，求函数的最大值和最小值.例题2：用定义法判断函数()12++=x x x f 在区间)(∞+-,1上的单调性.函数单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有： （1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数； （2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数； （3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数； （4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.2x 1x 1x 2x函数的奇偶性一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.（偶函数的图象一定是关于 对称）一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数.（奇函数的图象一定是关于 对称） 判断函数的奇偶性方法：1.不对称：函数()x f 为非奇非偶函数；2.对称例题8:判断下列函数的奇偶性.（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()xx x f 1+= （4）()21xx f = （5）()1122-+-=x x x f （6）()2433xx x f -+-=()x f y =求出定义域判断定义域是否关于原点对称 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧①()()x f x f =-，则()x f 为偶函数 ②()()x f x f -=-，则()x f 为奇函数③若以上两个式子都不满足，则()x f 为非奇非偶函数④若以上两个式子都满足，则()x f 既是奇函数又是偶函数函数。