小学六年级数学教案—— 斜三角形的“一题多解”.doc

解斜三角形（导学案）§1．1．1正弦定理课堂学习目标：1． 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2． 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

知识梳理：1． 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos 2A B +=sin 2C 2. 面积公式: （1）1()2a a S a h h a = 表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R====为外接圆半径； （3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === 形式二：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c R; 形式三：a:b:c=sinA: sinB: sinC; 和 sin sin sin sin a b c a A B C A ++=++ 二、基础检测：1. 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ B ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、在C ∆AB 中，已知8a =，60B = ，75C = ，则b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．323 3、在C ∆AB 中，5a =，3b =，120C = ，则sin sin A B的值是（ ） A ．53 B ．35 C ．37 D ．574、在C ∆AB 中，若2sin b a =B ，则A 等于（ ）A ．30 或60B ．45 或60C ．60 或120D ．30 或1505、在C ∆A B 中，若()()()cos cos cos 1C C A-B ⋅B-⋅-A =，则C ∆A B 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．顶角为120 的等腰三角形6、一个三角形的两个内角分别为30 和45 ，如果45 角所对的边长为8，那么30 角所对的边长是（ ）A ．4B ．C ．D ．7、在C ∆AB 中，1a =，b =30A = ，则B 等于（ ）A ．60B ．60 或120C ．30 或150D ．1208、在C ∆AB 中，45B = ，60C = ，1c =，则最短边的长等于（ ）A ．B ．C ．12D 9、在C ∆AB 中，若sin cosa b A B=，则B 的值为（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 9010、在C ∆AB 中，6=a ，30B = ， 120=C ，则C ∆AB 的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．31811、在C ∆AB 中，若60A = ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（）A ．620B ．75C ．51D ．4912、在C ∆AB 中，若12+=+c b ，45C = ，30B = ，则（ ）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c b D ．22,221=+=c b13、在C ∆AB 中，60A = ，a =4b =，那么满足条件的C ∆AB （ ）A ．不存在B ．唯一存在C ．有2个D ．不确定14、在C ∆AB 中，若60A = ，a =sin sin sin a b cC ++A +B +等于（ ）A ．2B ．12C D15、在C ∆AB 中，60A = ，1b =，C S ∆AB ，则sin sin sin a b c C++=A+B+（ ）A ．3B ．3C ．3D ．16、在C ∆AB 中，若cos cos cos a b c C ==A B ，则C ∆AB 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形17、在C ∆AB 中，若::1:2:3C A B =，则::a b c =________________．18、在C ∆AB 中，2a =，b =4πA =，则B =______________．19、在C ∆AB 中，已知12a b +=，60A = ，45B = ，则a =_________，b =________．20、在C ∆AB 中，已知a =2b =，60A = ，则这样的三角形有_______个．21、在C ∆AB 中，已知12C B =，60A = ，45B = ，则C A = _．22、在C ∆AB 中，已知8a =，6b =，且C S ∆AB =C =________．23、在C ∆AB 中，已知a =4b =，30A = ，则sin B =________． 24、在C ∆AB 中，周长为7.5cm ，且sin :sin :sin 4:5:6C A B =，下列结论：①::4:5:6a b c =；②::a b c =；③2a cm =， 2.5b cm =，3c cm =；④::4:5:6C A B =．其中成立的序号依次是___________．25、在C ∆AB 中，已知10c =，45A = ，30C =，求a ，b 和B ．26、C ∆AB 中，c =45A = ，a =b 和B 、C ．三、典例分析：1. 在ΔABC 中，（1）若o ,求a 及C 的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C 。

授课主要内容或板书设计
例题变式解：在∆ABC中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，
根据余弦定理，
AC=ABC
BC
AB
BC
AB∠
⨯
⨯
-
+cos
2
2
2
=
︒
⨯
⨯
⨯
-
+137
cos
0.
54
5.
67
2
0.
54
5.
672
2
≈113.15
根据正弦定理,
CAB
BC
∠
sin
=
ABC
AC
∠
sin
sin∠CAB =
AC
ABC
BC∠
sin
=
15
.
113
137
sin
0.
54︒
≈0.3255,
所以∠CAB =19.0︒
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需
要航行113.15n mile
练习：（对例3的变式）
在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，
沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角
为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A
的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD
中，
实际问题中需要
掌握
近似估计、运算
通过变式，让学生
体会该数学模型
的在不同问题中
的应用。

解斜三角形（第二课时）时间：2015年10月28日 地点：录播室执教老师：吴宇亮 授课班级：高三（1）班一、教学目标：1．复习正弦定理、余弦定理在边角转换、边角计算中的应用，进一步巩固对斜三角形面积公式的掌握；2．体会解斜三角形中知识点与三角函数求值域、基本不等式求最值、向量运算等问题的结合，培养和提高分析、解决综合题的能力；3．在综合问题的解决中建立转化与化归的重要数学思想。

二、教学重点和难点：1．教学重点：正弦定理、余弦定理在边角转化及计算中的应用2．教学难点：解斜三角形与三角函数求值域、基本不等式求最值、向量运算等知识的综合应用三、教学过程：【考题引入】【旧知回顾】正弦定理：余弦定理：三角形面积公式：【典型例题】例1．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、且B ac b c a sin 332222=-+． （1）求角B 的大小；（2）若3=b 且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈26ππ，A ，求边长c 的取值范围．例2．在ABC ∆中，c b a 、、分别为内角C B A 、、的对边，且()()C b c B c b A a sin 2sin 2sin 2+++=．（1）求角A 的大小；（2）求C B sin sin +的最大值．例3．已知外接圆半径为6的ABC ∆的边长分别为c b a 、、，角C B 、和面积S 满足条件：()22c b a S --=和34sin sin =+C B ． （1）求A sin 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值．例4．已知三角形的三边长组成公差为1的等差数列，且其最大角为最小角的2倍，求三边的长．例5．如图所示，在ABC ∆中，H 为垂心，6=⋅，又C A B C A sin sin sin sin sin 222⋅+=+．（1）求角B 的大小；（2）ABC ∆外接圆的半径R 最小时，判断ABC ∆的形状．【课堂小结】【作业布置】 《三角比》单元练习卷。

第11章 解三角形课时1 §11.1正弦定理(一) 教学目标掌握正弦定理的推导过程,并利用正弦定理，解决以下两类解斜三角形的问题： （１）已知两角与任一边，求其他两边和一角；（２）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． 教学重点三角形的各边和它所对角的正弦之比相等，即正弦定理（ｓｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ）：CcB b A a sin sin sin == 教学难点已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角时解的个数的讨论. 教学过程:通过下面的途径尝试证明正弦定理： （１）转化为直角三角形中的边角关系；（２）建立直角坐标系，利用三角函数的定义；（３）通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题； （４）利用向量的投影或向量的数量积（产生三角函数）．举一反三 1. 在中，三个内角之比，那么相对应的三边之比等于（ ）．A ．B ．C ．D ．2. 在△ABC 中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 .3.在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．举一反三1.、 不确定　二解 一解 无解 是 （　），此三角形的解的情况，中，在D .C .B .A 45A ,32b 22a ABC 0===∆ 2、根据下列情况，解三角形时，有两组解的是 （ ）A. A ＝300，c ＝20 a=10B. A ＝300，c ＝20 a=28C. A ＝300，c ＝20 a=12D. A ＝300，c ＝20 a=3113．在△ABC 中，已知a ＝x cm ，b ＝2 cm ，B ＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．2＜x ＜22B ．2＜x ≤22C ．x ＞2D ．x ＜2拓展与延伸例3．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．例4．在ABC ∆中，c b a ,,分别是ABC ∆的三边长,若31cos =A . (1)求A CB 2cos 2sin 2++的值; (2)若3=a ,求bc 的最大值.教材练习布置作业 一．选择题1. 在△ABC 中,已知︒︒===75,60,8C B a ,则b 等于( ) A.24 B.34 C.64 D.332 2. 在△ABC 中,已知1,45,2===︒c B b ,则a 等于( )A.226- B. 226+ C.12+ D.23-3. 在ABC ∆中，根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( ) A.︒=︒==75,45,10C A b B .︒===60,48,60C b a C.︒===80,5,7A b a D.︒===45,16,14A b a4.已知ABC ∆，面积2,32,3===b a S ，则此三角形的内角C 的度数是( )A.300B.600C.300或1500D. 600或12005．在ABC ∆中，,4,6,60===∠︒b a A 则满足条件的三角形有（ ）（A ）一解 （B ）两解 （C ）无解 （D ）不能确定 二．填空题6. 在ABC ∆中,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c= .7. 在ABC ∆中，4,15,120=︒=︒=a B A ,则b=8. 在ABC ∆中，8,30,120=︒=︒=a B A ,则c=9. 已知ABC ∆，面积26,32,33+==+=b a S ，则角C 的度数是10.在△ABC 中,已知ab=60,sinA=cosB,S △ABC =15,则 △ABC 的三个内角度数等于 . 三．解答题11．解△ABC ，(1)已知45=∠A , a=100,c=502;(2) 已知18=∠A ,a=4, b=4(15+).12.解△ABC ，(1)已知32=a ，6=b ，︒=30A(2) 已知︒===45,2,3B b a13.在△ABC 中，已知b ＝2c sin B ，求∠C 的度数．14．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．15. 已知△ABC 中，tanA=2,tanB=3, a=1. (1)求∠C 的度数; (2)求△ABC 的面积. 16. 已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若COS 2(2π+A)+cosA=45，b+c=3a ，求A 、B 、C 的大小。

1.2解斜三角形应用举例 教案（一）教学目标：1．掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法；2．懂得解三角形知识在实际中有着广泛的应用，从而培养学生分析问题、 解决问题的能力；3．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图教学重、难点：1．正弦定理及余弦定理的综合应用；2．数学建模。

教学过程：（一）复习：正弦定理及余弦定理。

（二）新课讲解：例1 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为620'，AC 长为1.40米，求货物开始下滑时BC 的长。

解： 设车箱倾斜角为θ，货物重量为m kg ， ∴cos f N mg μμθ==，当cos sin mg mg μθθ≤即θμtan ≤时货物下滑， 令θμtan =，得θtan 3.0=，∴'42163.0arctan==θ， 又∵'0223'206'4216=+， 在ABC ∆中，BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222 221.95 1.402 1.95 1.40cos 2302'0.7365=+-⨯⨯⨯=, 所以，0.859BC =()m ．例2 如图，一鱼船在海上由西向东航行，在A 处望见灯塔C 在船的东北方向，半小时后在B 处望见灯塔在船的北偏东30，若船速每小时30海里，当船行至D 处望见灯塔在船的西北方向时，求AD 两点的距离。

（精确到0.1，提供数据1.732==）解：300.515AB =⨯= 9030120ABC ∠=+=，∴180(12045)15ACB ∠=-+=，由正弦定理得：sin sin AB ACACB ABC =∠∠， ∴sin 15sin12050.19sin sin15AB ABC AC ACB ⋅∠===∠， 又∵180(4545)90ACD ∠=-+=，∴50.1971.0sin sin 45AC AD D ==≈（海里）答：AD 两点的距离为71.0海里。

第一讲 解斜三角形一.知识提要1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin .利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.⑴已知两角和任一边，求其他两边和一角；⑵已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即 a 2=b 2+c 2－2bccosA ①; b 2=c 2+a 2－2cacosB ②; c 2=a 2+b 2－2abcosC ③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cosA=bc a c b 2222-+;cosB=ca b a c 2222-+;cosC=abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴已知三边，求三个角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 二.基础练习1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ） A.sinA+cosA=51B.AB ·BC ＞0C.tanA+tanB+tanC ＞0D.b=3，c=33，B=30°3.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果2b=a+c,∠B=30°,△ABC 的面积为23，那么b 等于（ ） A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+34.已知（a+b+c ）（b+c －a ）=3bc ，则∠A=_______.5.在锐角△ABC 中,边长a=1,b=2,则边长c 的取值范围是____.三.应用举例例1.△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b+c ），求证：A=2B.例2.已知锐角△ABC 中，sin （A+B ）=53，sin （A －B ）=51.⑴求证：tanA=2tanB ；⑵设AB=3求AB 边上的高.例3.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知b 2=ac ，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值.例4.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,y=cotA+）（C B A A-+cos cos sin 2⑴若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论.⑵求y 的最小值.例5.在△ABC 中，sinA=CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 四.练习1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S=41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是___.2.在△ABC 中，若∠C=60°，则ca bc b a +++=_______.3.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A.b=20，A=45°，C=80°； B.a=30，c=28，B=60°；C.a=14，b=16，A=45°；D.a=12，c=15，A=120°4.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y=BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.5.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，外接圆半径为2.⑴求∠C ；⑵求△ABC 面积的最大值.6.在△ABC 中，BC=a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围. 小结1.在△ABC 中，∵A+B+C=π，∴sin 2B A +=cos 2C，cos2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C. 2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°. 3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC. 4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化. 5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.。

课题：5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形（4）教案教学目的：1、能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题。

2、能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定和余弦定理。

3、通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力。

教学重点：利用解斜三角形解决一些实际问题教学过程：（一）、新课例1、我舰在敌岛A 南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行 才能用2小时追上敌舰？解：如图，在△ABC 中由余弦定理得：∴我舰的追击速度为14海里/小时.又在△ABC 中由正弦定理得：例2、某船在距救生艇A 处10 海里的C 处遇险，测得该船的方位角为45︒，还测得船正沿方位角105︒的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间.解：设所需时间为t 小时，在点B 处相遇（如图）在△ABC 中，∠ACB = 120︒, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t 由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 - 2×10×9t×cos120︒ 整理得：36t2 -9t - 10 = 0 解得：125,3221-==t t （舍去） 由正弦定理：1433322123)329(sin sin 120sin =⨯⨯⨯=∠⇒∠=CAB CAB BC ABA1433arcsin =∠∴CAB例3、如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ. 解：在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒ 由正弦定理： 15sin 30sin 100BC = ∴BC = 200sin15︒在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ 由正弦定理：)90sin(15sin 20045sin 50θ+︒︒=︒ ⇒cos θ =13- ∴θ = 42.94︒（二）小结：解斜三角形应用题的一般步骤是：1、分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．2、建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．3、求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．4、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 即解斜三角的基本思路（三）课堂练习1、自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1．95ｍ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1．40ｍ，计算BC 的长。