2020年河北省石家庄市高考数学一模试卷(文科)

2020年河北省石家庄市高考数学综合训练试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}2.已知复数z满足(1+i)z=(1−i)2，则z=()A. −1+iB. 1+iC. 1−iD. −1−i3.林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是()A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐4.已知A={a|关于x的不等式ax2+2ax−2<0的解集为R}，B={a|−2<a<0}，则x∈A是x∈B的()A. 既不充分也不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 充分而不必要条件5.已知抛物线x2=2py的焦点是F，其上一点M(m,1)，其中|MF|=3，则p=()A. 8B. 4C. 14D. 186.在△ABC中，4sinA+3cosB=5，4cosA+3sinB=2√3，则角C等于()A. 150∘或30∘B. 120∘或60∘C. 30∘D. 60∘7.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且(a+c)2=12+b2，则△ABC的面积为()A. 6−3√3B. 6√3−9C. 2√3D. √38.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A. β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B. β内不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直C. β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D. β内必存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直9. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)10. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 311. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为( ) A. 14 B. √24 C. √26 D. √212 12. 如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−18,3]B. [−1,3]C. [−1,1]D. [−18,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=−3，a 17= ______ ．14. 小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．15. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．16. 设函数f(x)=e x −e −x ，若对所有x ≥0都有f(x)≥ax ，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=an 2a n +1(n ∈N ∗). (1)求证：数列{1a n }为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式a n；(3)设2b n =1a n+1，数列{b n b n+2}的前n项和T n，求证：T n<34．18.如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC和△PAC都是正三角形，AC=2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面PAC⊥平面ABC．(Ⅰ)证明：EF⊥ED；(Ⅱ)求点F到平面PAB的距离．19.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两名学生在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图所示(单位：mm)：平均数方差完全符合要求的个数A200.0262B20s B25根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为_________学生的成绩好些；(2)计算出s B2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0b>0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x−y+√6=0相切．(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若过点F2的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F l MN面积最大时直线l的方程．21.设函数f(x)=xe a−x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e−1)x+4．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为x2+y2−2x=0，以原点O为极点，x轴正半轴为．极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=31+2sinθ(Ⅰ)求C1的参数方程与C2的直角坐标方程；(ρ≥0)与C1交于异于极点的点A，与C2的交点为B，求|AB|．(Ⅱ)射线θ=π323.已知函数f(x)=|2x−1|−a(a∈R)．(1)若f(x)在[−1,2]上的最大值是最小值的2倍，解不等式f(x)≥5；f(x+1)成立，求实数a的取值范围．(2)若存在实数x使得f(x)<12-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|−1≤x≤2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查交集的运算，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，则z−可求．解：由(1+i)z=(1−i)2=−2i，得z=−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i，∴z−=−1+i．故选：A．3.答案：D解析：解：由茎叶图中的数据得，甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知得：甲的中位数是12×(25+29)=27，乙的中位数是12×(27+30)=28.5；且甲的数据分布比较集中，乙的数据分布较为分散，∴乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．由茎叶图中的数据求出甲、乙的中位数，根据数据的分布情况得出甲、乙树苗长得整齐情况． 本题考查了茎叶图与中位数、方差的应用问题，是基础题．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式恒成立的条件求出A 的集合是解决本题的关键．难度不大．根据不等式恒成立，求出集合A 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：当a =0时，不等式ax 2+2ax −2<0等价为−2<0，此时不等式恒成立，满足条件；当a ≠0时，要使不等式ax 2+2ax −2<0的解集为R ，则{a <0△=4a 2+8a <0，得−2<a <0， 综上A ={a|关于x 的不等式ax 2+2ax −2<0的解集为R}={a|−2<a ≤0}，∵B ={a|−2<a <0}，∴B ⫋A ，即x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，故选：B ．5.答案：B解析：解：抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，抛物线C 上一点M(m,1)满足|MF|=3，可得：{m 2=2p m 2+(1−p 2)2=9， 解得：m 2=8，p =4，故选：B ．利用点的抛物线上，推出m ，p 的方程，利用|MF|=3，列出方程，求出m 2，p 即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查方程思想的应用，是中档题．6.答案：C解析：本题考查三角函数的化简求值，属于中档题，注意角的范围的判断，是本题的易错点． 利用同角函数的关系式求出A ，B 的关系，可得C 的大小．解：由4sinA+3cosB=5，可得：16sin2A+9cos2B+24sinAcosB=25…①，由4cosA+3sinB=2√3，可得：16cos2A+9sin2B+24sinBcosA=12…②，用①+②可得：25+24(sinAcosB+sinBcosA)=37，∵sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，∴24sinC=12，sinC=12，∴C=150∘或C=30∘．∵当C=5π6，即A+B=π6时，A<π6，∴cosA>cosπ6=√32，∴4cosA>4√32，∵sinB>0，∴3sinB>0，∴3sinB+4cosA>2√3，与题中的3sinB+4cosA=2√3矛盾．故选C.7.答案：D解析：由角A、B、C依次成等差数列，可求角B，由余弦定理及(a+c)2=12+b2，可求ac，再利用三角形面积公式可求答案．该题考查余弦定理、三角形面积公式，属于基础题．解：∵角A、B、C依次成等差数列，∴2B=A+C，又∵A+B+C=180°，∴B=60°，则由余弦定理得：b2=a2+c2−2accos60°，即b2=a2+c2−ac①，又∵(a+c)2=12+b2，②由①②可得ac=4，∴S△ABC=12acsin60°=√3，故选D．。

2020年河北省石家庄市高考数学模拟试卷(文科)(七)(5月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.若集合A={x|1<x<2}，集合B={x|2≤2x<4}，则A∪B=()A. (1,2)B. [1,2)C. [0,2)D. (0,2)2.已知i为虚数单位，则|3+2i|=()A. √5B. √7C. √13D. 33.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,3)，且k a⃗+b⃗ 与a⃗−k b⃗ 垂直，则k=()A. −1±√2B. √2±1C. √2±3D. 3±√24.已知双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线C的实轴长等于()A. 2B. 1C. 4D. 2√25.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数的概率是()A. 12B. 13C. 16D. 16.若0>m>n，则下列结论正确的是()A. 2m<2nB. m+1m >n+1nC. log12(−m)<log12(−n) D. m2<n27.设函数f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=3对称，则()A. g(x)=f(32−x) B. g(x)=f(3−x)C. g(x)=f(−3−x)D. g(x)=f(6−x)8.已知函数f(x)=|sin x|+cos x，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称B. 函数f(x)在[π,2π]上单调递增C. 函数f(x)的图象关于点(kπ+π2,0)(k∈Z)对称D. 函数f(x)的值域为[−√2,√2]9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π10. 已知定义在正整数集上的函数f (x )满足条件：f (1)=2，f (2)=−2，f (n +2)=f (n +1)−f (n )，则f (2011)的值为( )A. −2B. 2C. 4D. −411. 已知椭圆C:x 2a2+y 23=1(a >0)的一个焦点为F(−1,0)，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.若直线l 的倾斜角为45∘，则线段AB 的长为( )A. 127B. 12√27C. 247D. 24√2712. 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1=2，设其前n 项和为S n ，若a 1，a 2+9，a 3成等差数列，则S 5=( )A. 682B. 683C. 684D. 685二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）13. 在等差数列{a n }中，已知a 6+a 9+a 13+a 16=20，则S 21= ______ ． 14. 14.设x,y 满足约束条件{x +2y −4≤0x −y −1≤02x +y +1≥0，则z =y+2x+3的最大值是__________．15. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点P 是AA 1的中点，点M 在侧面AA 1B 1B 内，若D 1M ⊥CP ，则△BCM 面积的最小值为______． 三、多空题（本大题共1小题，共3.0分）16. 函数y =f(x)图象上不同两点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M,N)=|k M −k N ||MN|(|MN|为线段MN 的长度)叫做曲线y =f(x)在点M 与点N 之间的“弯曲度”.①函数f(x)=x 3+1图象上两点M 与点N 的横坐标分别为1和2，φ(M,N)= (1) ；②设曲线f(x)=x3+2上不同两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，且x1⋅x2=1，则φ(M,N)的取值范围是(2)．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边．若a=1，c=√2，cosC=3．4(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=3，E为PD中点，F在棱PA上，且AF=1．(1)求证：CE//平面BDF；(2)求点P到平面BDF的距离．19. 某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如表：(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：参考公式：b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2，a ̂=y −−b ̂t −．y ̂=b ̂x +a ̂．20. 已知抛物线y 2=2px(p >0)，过点(1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3． (1)求抛物线的方程；(2)以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，当点C 在y 轴上时，求△ABC 的面积．21. 已知函数f(x)=xlnx +ax ，x >1．(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a =2，求函数f(x)的极小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+ty =t −3(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθsin 2θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．23. 已知函数f(x)=|x −m|−|x +2m|的最大值是3，其中m >0．(1)求m 的值；(2)若实数a ，b 满足ab >0，且a 2+b 2=m 2，求证：a 3b+b 3a≥1．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的并集运算．先由指数函数的性质求出集合B中x的范围，再求A∪B即可．解：易得B={x|2⩽2x<4}={x|21⩽2x<22}={x|1⩽x<2}．所以A∪B={x|1⩽x<2}．故选B．2.答案：C解析：本题考查了复数的模长概念，根据模长计算公式，即可得到结果．解：|3+2i|=√32+22=√13．故选C．3.答案：A解析：本题考查向量的坐标运算，向量垂直时数量积为0，属于基础题．先用坐标表示k a⃗+b⃗ ，a⃗−k b⃗ ，根据题意得到(k a⃗+b⃗ )·(a⃗−k b⃗ )=0，结合坐标运算可得答案．解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,3)，∴k a⃗+b⃗ =(k−2,2k+3)，a⃗−k b⃗ =(1+2k,2−3k)，根据题意得到(k a⃗+b⃗ )·(a⃗−k b⃗ )=0，即(k−2,2k+3)·(1+2k,2−3k)=0，则(k−2)(1+2k)+(2k+3)(2−3k)=0，解得k =−1±√2． 故选A ．4.答案：A解析：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 根据双曲线的方程求得渐近线方程为y =±2a x ，即可求出a 的值． 解：∵双曲线的渐近线方程为y =±2a x ， 又已知一条渐近线方程为y =2x ， ∴2a=2，a =1，则实轴长为2a =2． 故选A ．5.答案：A解析：本题考查古典概率，属于基础题．抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“向上的点数为奇数”的情况有3种，即可求得结果．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果， 每种结果等可能出现，出现“向上的点数为奇数”的情况有3种， 故所求概率为P =36=12． 故选A ．6.答案：D解析：解：对于A ，y =2x 为增函数，∵0>m >n ，∴2m >2n ，故A 不正确， 对于B ，当m =−12，n =−1时，m +1m =−52，n +1n =−2，故B 不正确，对于C ，y =log 12x 为减函数，∵0>m >n ，∴0<−m <−n ，∴log 12(−m)>log 12(−n)，故C 不正确，对于D，y=x2，x∈(−∞,0)上为减函数，∵0>m>n，∴m2<n2，故D正确，故选：D．根据指数函数对数函数幂函数的单调性即可判断本题考查了不等式的性质，利用函数的单调性来判断，是常用的方法，属于基础题7.答案：D解析：本题考查函数图象的对称变换，根据条件利用对称关系即可求出答案，属基础题．解：设点P(x,g(x))为函数y=g(x)图象上任意一点，又点P(x,g(x))关于直线x=3的对称点为P′(6−x,g(x))，因为函数f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=3对称，所以点P′(6−x,g(x))在函数f(x)的图象上，因此f(6−x)=g(x)．故选D．8.答案：A解析：本题考查三角函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于中档题．分x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)和x∈[2kπ−π,2kπ](k∈Z)化简函数f(x)，结合图象可得答案．)，解：因为x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时，sin x≥0，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，x∈[2kπ−π,2kπ](k∈Z)时，sin x≤0，f(x)=−sinx+cosx=√2cos(x+π4结合图象可知函数f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称．故选A．9.答案：C解析：本题考查了四棱锥外接球的表面积，以及三视图的有关知识，属于基础题．该几何体是正方体的一个内接四面体，此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，故得球的表面积．解：由三视图可知：该几何体是正方体的一个内接四面体P−ABC，∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长2√3，所以四面体的外接球的表面积为4π×(√3)2=12π．故选：C．10.答案：B解析：由题意得f(3)=−4,f(4)=−2,f(5)=2，f(6)=4,f(7)=2，f(8)=−2，∴数列a n=f(n)是周期数列，周期为6，∴f(2011)=f(335×6+1)=f(1)=2.故答案选B．11.答案：C解析：∵F(−1,0)为椭圆的焦点，∴c=1，又b2=3，∴a2=4，椭圆方程为x24+y23=1.又由题意知直线AB的方程为y=x+1，与椭圆方程联立，消去y得，3x2+4(x+1)2=12，即7x2+8x−8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=x1x2=−87，∴线段长|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+1√(x1+x2)2−4x1x2=247．12.答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．设等比数列的公比为q，q>0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求．解：数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，公比设为q，q>0，若a1，a2+9，a3成等差数列，可得2(a2+9)=a1+a3，即2(2q+9)=2+2q2，解得q=4(−2舍去)，则S5=2(1−45)1−4=682．故选：A．13.答案：105解析：解：∵等差数列{a n}中，a6+a9+a13+a16=20，∴a1+a21=10，∴S21=212(a1+a21)=105．故答案为：105．由等差数列的性质可得a1+a21=10，然后代入等差数列的前n项和公式求解．本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，关键是对性质的灵活运用，是中档题．14.答案：5解析：本题考查了线性规划的应用，利用线性规划来求取值范围的内容，为中档题．作出不等式组对应的平面区域，再利用z=y+2x+3的几何意义即点P(x,y)与点A(−3,−2)的斜率，数形结合即可解答．解：实数x和y满足约束条件{x+2y−4≤0x−y−1≤02x+y+1≥0，画出区域如下图：z =y+2x+3的几何意义为点P(x,y)与点A(−3,−2)的斜率， 联立方程组{x +2y −4=02x +y +1=0可得C(−2,3)，由图象可得点P(x,y)与点A(−3,−2)的斜率最大时，直线过点C ， 所以z =y+2x+3的最大值为k AC =3+2−2+3=5， 故答案为5．15.答案：8√55解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH ⊥BC ，交BC 于H ， 连结MH ，则：D(0,0，0)，C(0,4，0)，A(4,0，0)，P(4,0，2)，C(0,4，0)，D 1(0,0，4)，B(4,4，0)，设M(4,a ，b)，则D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,a ，b −4)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−4,2)， ∵D 1M ⊥CP ，∴D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =16−4a +2b −8=0，解得2a −b =4， ∴CH =4−a ，MG =b =2a −4，MH =√GH 2+MG 2=√(4−a)2+(2a −4)2=√5a 2−24a +32， S △BCM =12×BC ×MH =12×4×√5(y −125)2+165，∴y =125时，(S △BCM )min =2⋅√5(2−125)2+165=8√55． 故答案为：8√55． 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出△BCM 面积取最小值．本题考查三角形的面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：9√210(0,3√105)解析：解：对于①，由y =x 3+1，得y′=3x 2，则k M =3，k N =12，则|k M −k N |=9，y 1=2，y 2=9，则|MN|=√(2−1)2+(9−2)2=5√2， φ(M,N)=5√2=9√210；②曲线f(x)=x 3+2，则f′(x)=3x 2， 设x 1+x 2=t(|t|>2)，则φ(M,N)=1222√(x 2−x 1)2+(x 2−x 1)2=22=√t 2+t2−2，∴0<φ(M,N)<3√105． 故答案为9√210，(0,3√105).对于①，由y =x 3+1，得y′=3x 2，则k M =3，k N =12，则|k M −k N |=9，y 1=2，y 2=9，则|MN|=√(2−1)2+(9−2)2=5√2，即可求出φ(M,N)=5√2=9√210；对于②，利用定义，再换元，即可得出结论．本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：(1)∵cosC =34，0<C <π，∴sinC =√1−cos 2C =√74．根据正弦定理：a sinA =csinC ，即 sinA =asinC c=√74√2=√148． (2)根据余弦定理 c 2=a 2+b 2−2abcosC ，即2=1+b 2−32b ，即2b 2−3b −2=0． ∵b >0，∴b =2，∴S △ABC =12absinC =√74．解析：(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin C 的值，再利用正弦定理求得sin A 的值． (2)由条件利用余弦定理求得b 的值，可得△ABC 的面积S △ABC =12absinC 的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)证明：取PF 中点G ，连接AC 交BD 于O点，连接FO ，GC ，EG由题意易知G 为PF 中点，又E 为PD 中点，所以GE//FD ，故{GE//FDGE ⊄面BDF FD ⊂面BDF⇒GE//面BDF FO 为三角形AGC 的中位线，所以FO//GC ，{GC//FOGC ⊄面BDF FO ⊂面BDF⇒GC//面BDF ， 所以面EGC//平面BDF ，EC ⊂EGC ，∴CE//平面BDF(2)由题意知点P 到平面BDF 的距离等于A 到平面BDF 的距离的两倍， 记A 到平面BDF 的距离为h ，则在四面体FABD 中，易求得S △BDF =3√394， 由体积自等得V A−BDF =V D−ABF ⇒13⋅3√394⋅ℎ=13⋅12⋅3⋅1⋅3√32， ∴ℎ=3√1313，∴P 到平面BDF 的距离等于2ℎ=6√1313解析：(1)取PF 中点G ，连接AC 交BD 于O 点，连接FO ，GC ，EG 证明GE//FD ，FO//GC ，然后证明面EGC//平面BDF ，推出CE//平面BDF ．(2)由题意知点P 到平面BDF 的距离等于A 到平面BDF 的距离的两倍，记A 到平面BDF 的距离为h ，则在四面体FABD 中，利用等体积法求解P 到平面BDF 的距离．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.答案：解：(1)t −=1+2+3+4+5+6+77=4，y −=2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.97=4.3，b ̂=−3×(−1.4)+(−2)×(−1)+(−1)×(−0.7)+0+0.5+2××0.9+3×1.69+4+1+0+1+4+9=1428=0.5，a ̂=y −−b ̂×t −=4.3−0.5×4=2.3， y 关于t 的线性回归方程为：y ̂=0.5x +2.3．(2)2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番． 当t =8时，y =0.5×8+2.3=6.3千元．∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．解析：本题考查了线性回归方程，属基础题． (1)根据公式计算可得：y ̂=0.5x +2.3． (2)t =8代入计算可得．20.答案：解：(1)依題意，设直线l 方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立y 2=2px ，得：y 2−2pmy −2p =0． 由韦达定理：y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=−2p ，又x 1x 2=y 122p⋅y 222p =1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=1+y 1y 2=1−2p =−3， 所以p =2.故抛物线方程为y 2=4x ．(2)设线段AB 中点为M(x M ,y M )，C(0,y C )由(1)知y M =2m,x M =2m 2+1．法一：|AB|=x 1+x 2+p =2x M +2=4m 2+4，|CM|=√1+(−m)2|x M −x C |=√1+m 2(2m 2+1)．依题意：|AB|=2|CM|，即4(m 2+1)=2√1+m 2(2m 2+1)． 整理得m 2=√32．所以S △ABC =12|AB|⋅|CM|=14|AB|2=14(2√3+4)2=7+4√3． 法二：直线CM 方程为：y −2m =−m(x −2m 2−1)， 即y =−mx +2m 3+3m ． 令x =0，则y C =2m 3+3m ．依题意CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−y C )(y 2−y C )=x 1x 2+y 1y 2−y C (y 1+y 2)+y C 2=0．代入，整理得4m 6+4m 4−3m 2−3=0， 即(4m 4−3)(m 2+1)=0.所以m 2=√32．又|AB|=x 1+x 2+p =2x M +2=4m 2+4，S △ABC =12|AB|⋅|CM|=14|AB|2=14(2√3+4)2=7+4√3．法三：因为直线l 与x 垂直时，不满足题意．故可设直线l ：y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1y 2)，B(x 2y 2). 线段AB 中点为M(x M ,y M )，C(0,y C ).联立y 2=4x 得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 由韦达定理：x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1．故y 1+y 2=4k ,y 1y 2=−4，所以M(k 2+2k 2,2k )，线段AB 的垂直平分线为y −2k =−1k (x −1−2k 2)， 可得C(0,3k +2k 3)．依题意CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−y C )(y 2−y C )=x 1x 2+y 1y 2−y C (y 1+y 2)+y C 2=0． 整理得：ky C 2−4y C −3k =0，代入y C =3k +2k 3，整理得(3k 4−4)(k 2+1)=0.解得k 2=2√33．又|AB|=x 1+x 2+p =4k +4．所以S △ABC =12|AB|⋅|CM|=14|AB|2=14(2√3+4)2=7+4√3．解析：(1)由题意设直线l 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，再由题意求出p 的值，求出抛物线的方程；(2)用3种方法求出面积，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB 及中点M 的坐标，在y 轴取一点C 使CM =12AB ，且CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出参数，进而求出面积． 本题考查直线与抛物线的位置关系，数量积运算，考查弦长问题，面积问题，属于中档题．21.答案：解：(1)函数f(x)=xlnx +ax ，x >1，∴f′(x)=lnx−1ln 2x+a ，由题意可得f′(x)≤0在x ∈(1,+∞)上恒成立； ∴a ≤1ln 2x−1lnx=(1lnx −12)2−14，∵x ∈(1,+∞)，∴lnx ∈(0,+∞)，∴当1lnx −12=0时函数t =(1lnx −12)2−14的最小值为−14， ∴a ≤−14．(2) 当a =2时，f(x)=xlnx +2x ，∴f′(x)=lnx −1+2ln 2xln 2x令f′(x)=0得2ln 2x +lnx −1=0， 解得lnx =12或lnx =−1(舍)，即x =√e ，当1<x <√e 时，f′(x)<0，当x >√e 时，f′(x)>0 ∴f(x)的极小值为f(√e)=√e12+2√e =4√e解析：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．(1)求出函数的导数，通过f′(x)≤0在x ∈(1,+∞)上恒成立，得到a 的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a 的范围．(2)利用a =2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．22.答案：解：由曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθsin 2θ，得ρ2sin 2θ=2ρcosθ．所以曲线C 的直角坐标方程是y 2=2x ． 由直线l 的参数方程{x =1+ty =t −3(t 为参数)， 得x −y −4=0，所以直线l 的普通方程为x −y −4=0．将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ， 得t 2−8t +7=0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以AB =√2|t 1−t 2|=√2√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√2√82−4×7=6√2， 因为原点到直线x −y −4=0的距离d =2=2√2，所以△AOB 的面积是S =12⋅AB ⋅d =12×(6√2)×(2√2)=12．解析：直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，把方程转换为普通式，进一步利用直线和曲线的位置关系求出点到直线的距离，最后利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)∵m >0，∴f(x)=|x −m|−|x +2m|≤|(x −m)|−(x +2m)|=|3m|=3m∴3m =3，得m =1．(2)证明：由(1)得，a 2+b 2=1， ∴a 3b+b 3a=(a 2+b 2)2−2a 2b 2ab=1ab −2ab ．∵a 2+b 2=1≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立． ∴0<ab ≤12，令ℎ(t)=1t −2t ，0<t ≤12， 则ℎ(t)在(0,12]上单调递减， ∴ℎ(t)≥ℎ(12)=1，∴当0<ab ≤12时，1ab −2ab ≥1，∴a3b +b3a≥1．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查了转化思想、函数思想，属中档题．(1)分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；(2)将所证不等式转化为12ab−2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．。

石家庄市高中毕业班模拟考试（一）文科数学（A 卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ）A ．{1,2}B ．{3,4,5,6,7}C ．{1,3,4,7}D ．{1,4,7}2.复数121ii -=+（ ）A ．iB ．i -C ．132i --D ．332i-3.已知四个命题：①如果向量a r 与b r 共线，则a b =r r 或a b =-r r；②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2xy =是增函数” 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.若数列{}n a 满足12a =，111nn n a a a ++=-，则2018a 的值为（ ）A ．2B ．-3C ．12-D ．135.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．236. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤D ．5?i ≥ 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：2222221[()]42c a b S c a +-=-a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．84平方里B ．108平方里C ．126平方里D ．254平方里8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π9.设()f x 是定义在[2,3]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(3)f x f -≥的解集为（ ）A ．[3,3]-B ．[2,4]-C ．[1,5]-D ．[0,6]10.抛物线C ：214y x=的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF =时，AMF ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．22D ．411.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则3AC BC +的最大值为（ ）A 7B ．27C ．37D ．712.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1B 2C ．2D ．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设向量(1,2)a m =r ，(1,1)b m =+r ，若a b ⊥r r ，则m = ．14.x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，满足37a =，且2a 、4a 、9a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S.18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=u u u u r u u u r，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求点B 到平面SAD 的距离.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；日均派送单数 52 54 56 58 60 频数（天） 20 30 20 20 10 ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为2，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=o时，12F MF ∆的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值. 21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试题文科数学答案一、选择题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12：DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-.（2）由（1）得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L 11(1)33131n n n =-=++. 18．（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM I 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //，所以四边形BCDM 为平行四边形，又CD AB 2=，所以M 为AB 的中点.因为AB AM λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD I 平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ，则SE ⊥平面ABCD ，在Rt SEA V和Rt SED V 中， 因为SA SD =，所以AE DE ==，又由题知45EDA ∠=o， 所以AE ED ⊥，由已知求得AD =1AE ED SE ===，连接BD ，则111133S ABD V -=⨯⨯=三棱锥， 又求得SAD V的面积为， 所以由B ASD S ABDV V --=三棱锥三棱锥点B 到平面SAD的距离为3. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ，k.KS5U（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则1=15220+15430+15620+15820+16010100x ⨯⨯⨯⨯⨯甲（）=155.4， ()()()()()2222221=[20152155.4+30154155.4+20156155.4+20158155.4+10010160155.4]=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则1=14050+15220+17620+20010100x ⨯⨯⨯⨯乙（）=155.6， ()()()()222221=[50140155.6+20152155.6+20176155.6+10200155.6]100=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙， ②、答案一：由以上的计算可知，虽然x x <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，x x <乙甲，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x yC x y ，当直线1AF 的斜率不存在时，设(1,)2A -，则(1,)2B --，直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --=，275x ∴=，210y =-，则7(,510D -，∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k ---==--，直线OA的斜率为2k =，121()626k k ∴⋅=⋅-=-，当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x ，设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=，又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---，∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+，Q 直线OA 的斜率为20y k x =，∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1xf x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e '-=-=-+， 若1a e =，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x=+--，()()22x g x x e '=+-，当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，当2x >-时， 设()()()22x h x g x x e '==+-，()()30x h x x e '=+>，故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0g '=， 所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，故()()2()(0)011x g x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+故2()f x mx x ≥+. 法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，由0m ≤，可得2x mx x ≥+，令()()()11x g x x e x=+--，()()22x g x x e '=+-，令当时，，单调递减，且；当时，，单调递增；且，所以在上当单调递减，在上单调递增，且，故()()2()(0)011x g x g x e x mx x≥=⇒+-≥≥+，故2()f x mx x ≥+. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为32y x =+，曲线C 是圆心为(3,1)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：33122r ⋅-+==；可知曲线C的方程为22(3)(1)4x y -+-=， 所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即4sin()3ρθπ=+. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>），6sin21πON OM S MON =∆，，当12πθ=时， 32+≤∆MON S ，所以△MON 面积的最大值为23.23. 【解析】 （1）由题意可知32x x m--≥恒成立，令3()2x g x x-=-，去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=，当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立，所以222111123a b c +++++的最小值为35.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案选择题（A 卷答案）1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD （B 卷答案）1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题(解答题仅提供一种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………2分即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩，解得13,1d a ==，……………4分所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-,………………………………6分（2）由（1）得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+，…………………………8分12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L…………………10分11(1)33131n n n =-=++ (12)分.18．（1）因为//BC 平面SDM,BC ⊂平面ABCD,平面SDM I 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形，又， CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。

河北省石家庄市2020届高三一模考试数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()()123g x g x ⋅=-，则12x x -的值可能为（ ）A ．2πB ．34πC ．πD ．3π2．将()2sin 22cos 21f x x x =-+的图像向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是8x π=C ．函数()y g x =的一个零点是38π D ．函数()y g x =在区间5,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 3．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．82D ．854．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ） A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜ D ．()()()3.512.54.5f f f -＜＜5．设, x y 满足约束条件20,20,210,y x x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则z x y =+的最大值与最小值的比值为（ ）A ．1-B ．32-C ．2-D ．52-6．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为530x y ±=，则此双曲线的离心率为（ ）A ．263B ．343C ．76Q mq 0.08kg 2.110J/kg 1.6810J ==⨯⨯=⨯放 D ．437．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为()()2,2,1,2,2,1A B -，()()0,2,1,0,0,1C D ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π8．如图，网格纸上正方形小格边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）A ．366++B ．8226++C ．6226++D ．6236++9．数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．2710．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ） A ．1,4a + B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +11．如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（ ）A ．点A 到EF 的距离为3 B ．三棱锥C DMN -的体积是16C ．EF 与平面CDN 所成的角是45︒D ．EF 与MN 所成的角是60︒12．平行四边形ABCD 中，120,2,3,BAD AB AD ∠===ou u u r u u u r 11,32BE BC CF CD ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AE AF ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．3B ．32C ．3-D ．32-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，3）B．（﹣1，3）C．{2} D．{﹣1，2，3}2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A．1 B．3 C．D．﹣195．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A．B．C．D．﹣1x，若a=f（﹣3），，6．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b7．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．48．为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④9．如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（8，2）为（）A．B．C．D．10．某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A ．4B ．C ．D ．1211．A ，B ，C 是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB 交于点D ，若=λ+μ（λ∈R ，μ∈R ），则λ+μ的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．（1，] D ．（﹣1，0）12．若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx （a ，b ∈R ）的图象与x 轴相切于一点A （m ，0）（m ≠0），且f （x ）的极大值为，则m 的值为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知命题p ：“”，则￢p 为 ．14．已知椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，点F 1关于直线y=﹣x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为 ． 15．已知△ABC 中，AC=4，BC=2，∠BAC=60°，AD ⊥BC 于D ，则的值为 ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=BC=4，PB=AC=5，，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等差数列{a n }中，2a 2+a 3+a 5=20，且前10项和S 10=100． （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若，求数列{b n }的前n 项和．18．在平面四边形ACBD （图①）中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC ． （Ⅰ）当时，求证：平面C′AB⊥平面DAB ；（Ⅱ）当AC′⊥BD 时，求三棱锥C′﹣ABD 的高．19．某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线．21．已知函数f（x）=e x﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ=2cosθ和曲线C 2：ρcosθ=3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x|+|x ﹣1|．（Ⅰ）若f （x ）≥|m ﹣1|恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2+b 2=M ，证明：a+b ≥2ab ．河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，3）B．（﹣1，3）C．{2} D．{﹣1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】直接找出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={2}，故选：C．2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴．故选：B．3．已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=4，b=3，求得c，运用离心率公式即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线为，可得a=4，又b=3，可得c==5，检验离心率e==．故选：C．4．设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A．1 B．3 C．D．﹣19【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，），化目标函数z=3x+4y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3，故选：B．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A．B．C．D．﹣1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（）的值【解答】解：由图象可得A=， =﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得：φ=，故f（x）=sin（2x+），故f（）=sin（2×+）=﹣sin=﹣=﹣1．故选：D．6．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=logx，若a=f（﹣3），，2c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，∴f（﹣3）=f（3），x，在x（0，+∞）为增函数，∵f（x）=log2∴f（3）＞f（2）＞f（），∴a＞c＞b，故选：D．7．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，x=2013，满足进行循环的条件，第2次执行循环体后，x=2010，满足进行循环的条件，第3次执行循环体后，x=2007，满足进行循环的条件，…第n次执行循环体后，x=2016﹣3n，满足进行循环的条件，…第672次执行循环体后，x=0，满足进行循环的条件，第673次执行循环体后，x=﹣3，不满足进行循环的条件，故y=，故选：A8．为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，分别求出甲、乙两地某月11时气温这两组数据的平均数、方差即可．【解答】解：由茎叶图中的数据知，乙两地某月11时的气温分别为：甲：28，29，30，31，32乙：26，28，29，31，31；可得：甲地该月11时的平均气温为=（28+29+30+31+32）=30，乙地该月11时的平均气温为=（26+28+29+31+31）=29，故甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温；①错误，②正确；又甲地该月11时温度的方差为= [（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]=2乙地该月14时温度的方差为= [（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=3.6，故＜，所以甲地该月11时的气温标准差小于乙地该月11时的气温标准差，③正确，④错误．综上，正确的命题是②③．故选：C．9．如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（8，2）为（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】由已知中的数阵，可得第n行的第一个数和最后一个数均为：，其它数字等于上一行该数字“肩膀“上两个数字的和，结合裂项相消法，可得答案．【解答】解：由已知中：归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为：，其它数字等于上一行该数字“肩膀“上两个数字的和，故A（8，2）=A（7，1）+A（7，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（6，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A （5，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（4，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（3，1）+A（3，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（3，1）+A（2，1）+A（2，2）=++++++=2（）+==，故选：D．10．某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】画出图形，说明几何体的形状，然后利用三视图的数据求解即可．【解答】解：由三视图可知几何体的图形如图．是三棱柱截去两个四棱锥的几何体，原三棱柱的高为：4，底面是等腰直角三角形，直角边长为2．截去的四棱锥如图：几何体的体积为：﹣=．故选：B．11．A，B，C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D，若=λ+μ（λ∈R，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，] D．（﹣1，0）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作图：取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，从而便得到四边形AOBC为菱形，这样便有，从而根据平面向量基本定理即可得到λ+μ=2，这样便可排除选项B，C，D，从而便可得出正确选项．【解答】解：∵A，B，C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D；∴如图所示，不妨取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，则四边形AOBC为菱形；∴；又；∴λ=μ=1，λ+μ=2，∴可排除B，C，D选项．故选：A．12．若函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立方程组，求出a，b，求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，得到函数f（x）的单调区间，求出f（x）的极大值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），∴f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），∴，解得，∴f′（x）=（3x﹣m）（x﹣m），m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞m或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜m，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，m）递减，在（m，+∞）递增，=f（）=，解得：m=，∴f（x）极大值m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜m或x＞，令f′（x ）＜0，解得：＞x ＞m ，∴f （x ）在（﹣∞，m ）递增，在（m ，）递减，在（，+∞）递增， ∴f （x ）极大值=f （m ）=，而f （m ）=0，不成立， 综上，m=， 故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知命题p ：“”，则￢p 为 ∀x∈R，|x|+x 2≥0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p ：“”，则￢p 为：∀x ∈R ，|x|+x 2≥0．故答案为：∀x ∈R ，|x|+x 2≥0．14．已知椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，点F 1关于直线y=﹣x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为 2+2 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出椭圆的左焦点，关于直线y=﹣x 的对称点P （m ，n ），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式解得m=0，n=c ，由椭圆方程可得b=c=1，进而得到a 的值，再由椭圆的定义可得周长为2a+2c ．【解答】解：设椭圆的左焦点为（﹣c ，0）， 点F 1关于直线y=﹣x 的对称点P （m ，n ）， 由=1， =﹣，解得m=0，n=c ，即P （0，c ），由题意方程可得b=c=1，a==，由题意的定义可得△PF 1F 2的周长为2a+2c=2+2．故答案为：2+2．15．已知△ABC 中，AC=4，BC=2，∠BAC=60°，AD ⊥BC 于D ，则的值为 6 ．【分析】设AB=x ，由余弦定理可得： =x 2+42﹣2x ×4ccos60°，解得x=6．设BD=m ，CD=n ．由于AD ⊥BC 于D ，可得=，m+n=2，解出即可得出．【解答】解：设AB=x ， 由余弦定理可得： =x 2+42﹣2x ×4ccos60°， 化为x 2﹣4x ﹣12=0， 解得x=6． 设BD=m ，CD=n ． ∵AD ⊥BC 于D ， ∴=，m+n=2，解得m=，n=，∴==6．故答案为：6．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=BC=4，PB=AC=5，，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 26π ．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积． 【解答】解：∵三棱锥P ﹣ABC 中，PA=BC=4，PB=AC=5，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，则x 2+y 2=16，y 2+z 2=25，x 2+z 2=11， ∴x 2+y 2+z 2=26∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为，∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为4=26π．故答案为：26π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等差数列{a n }中，2a 2+a 3+a 5=20，且前10项和S 10=100． （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若，求数列{b n }的前n 项和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． （II ）==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 2+a 3+a 5=20，且前10项和S 10=100， ∴4a 1+8d=20， d=100，联立解得a 1=1，d=2． ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1． （II ）==，∴数列{b n }的前n 项和=+…+==．18．在平面四边形ACBD （图①）中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC ． （Ⅰ）当时，求证：平面C′AB⊥平面DAB ；（Ⅱ）当AC′⊥BD 时，求三棱锥C′﹣ABD 的高．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（I ）取AB 的中点O ，连C′O，DO ，利用直角三角形的性质解出OC′，DO ，利用勾股定理的逆定理得出OC′⊥OD ，由等腰三角形三线合一得OC′⊥AB ，故OC′⊥平面ABD ，于是平面C′AB⊥平面DAB ； （II ）由AC′⊥BC′，AC′⊥BD 得出AC′⊥平面BC′D，故AC′⊥C′D，利用勾股定理解出C′D，由勾股定理的逆定理得出BD ⊥C′D，使用等积法求出棱锥的高． 【解答】解：（I ）取AB 的中点O ，连C'O ，DO ，∵△ABC′，△ABD 是直角三角形，∠AC′B=∠ADB=90°，AB=2， ∴C′O=DO==1，又C′D=，∴C′O2+DO2=C′D2，即C′O⊥OD，∵∠BAC′=45°，∴AC′=BC′，∵O是AB中点，∴OC′⊥AB，又∵AB∩OD=O，AB⊂平面ABD，OD⊂平面ABD，∴C′O⊥平面ABD，∵OC′⊂平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB．（II）∵AC′⊥BD，AC′⊥BC′，BD⊂平面BC′D，BC′⊂平面BC′D，∴AC′⊥平面BDC′，又C′D⊂平面BDC'，∴AC′⊥C′D，∴△AC′D为直角三角形．∵AB=2，∠BAC′=45°，∠BAD=30°，∠AC′B=∠ADB=90°，∴AC′=BC′=，BD=1，AD=，∴C′D==1，∴C′D2+BD2=BC′2，∴VA﹣BC′D =S△BC′D•AC′==，设三棱锥C'﹣ABD的高为h，则VC′﹣ABD===，解得．19．某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由中位数两边矩形的面积相等列式求得中位数的估计值；（Ⅱ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B1，B2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C1，C2，C3，C4，然后由古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：（ I）设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，∴x∈[4，5]，由0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，x=4.25，∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25（米）．（II）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B1，B2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C1，C2，C3，C4．从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A1，C2），（A1，C3），（A1，C4），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B1，C3），（B1，C4），（B2，C1），（B2，C2），（B2，C3），（B2，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4）共21个基本事件．其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个．所以该运动员得的概率P=．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义，结合抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），且|MF|=2，求出p，即可求抛物线C的方程；（Ⅱ）设EA：y=kx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2=0，利用直线EA与抛物线C相切，得到kt=1代入，求出A的坐标；由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y=﹣tx+t对称，求出B的坐标，证明kAF =kBF，即A，B，F三点共线；当t=±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线．【解答】（I）解：抛物线C的准线方程为：，∴，又抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），∴4=2pm，即…∴p2﹣4p+4=0，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．…（II）证明；设E（0，t）（t≠0），已知切线不为y轴，设EA：y=kx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2=0∵直线EA与抛物线C相切，∴△=（2kt﹣4）2﹣4k2t2=0，即kt=1．代入，∴x=t2，即A（t2，2t），…设切点B（x0，y），则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y=﹣tx+t对称，则，解得：，即…直线AF的斜率为，直线BF的斜率为，∴kAF =kBF，即A，B，F三点共线．…当t=±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线．综上：A，B，F三点共线．…21．已知函数f（x）=e x﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；选择结构．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，列出变化表，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题等价于，设，根据函数的单调性证明即可．【解答】（ I）解由f（x）=e x﹣3x+3a，x∈R知f′（x）=e x﹣3，x∈R．…令f′（x）=0，得x=ln 3，…于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表．x （﹣∞，ln 3）ln 3 （ln 3，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓3（1﹣ln 3+a）↑故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln 3]，单调递增区间是[ln3，+∞），…f（x）在x=ln 3处取得极小值，极小值为f（ln 3）=e ln3﹣3ln 3+3a=3（1﹣ln 3+a）．…（II）证明：待证不等式等价于…设，x∈R，于是g'（x）=e x﹣3x+3a，x∈R．由（ I）及知：g'（x）的最小值为g′（ln 3）=3（1﹣ln 3+a）＞0．…于是对任意x∈R，都有g'（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．…而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即，故…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AB ，利用P 、B 、F 、A 四点共圆，PA 与圆O 切于点A ，得出两组角相等，即可证明：AE ∥CD ；（Ⅱ）四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，OP 是该外接圆的直径，由切割线定理可得PA ，即可求四边形PBFA 的外接圆的半径． 【解答】（ I ）证明：连接AB ．∵P 、B 、F 、A 四点共圆，∴∠PAB=∠PFB ． … 又PA 与圆O 切于点A ，∴∠PAB=∠AEB ，… ∴∠PFB=∠AEB ∴AE ∥CD ．…（ II ）解：因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由△PAB 外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径．… 由切割线定理可得PA 2=PC•PD=3×9=27 … ∴． ∴四边形PBFA 的外接圆的半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ=2cosθ和曲线C 2：ρcosθ=3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可． （Ⅱ）设出直线PQ 的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：（ I ）C 1的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2=1，…，C的直角坐标方程为x=3；…2（ II）设曲线C与x轴异于原点的交点为A，1∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为，可得t2+2tcosθ=0，解得，代入C1|=|2cosθ|…可知|AP|=|t2可得2+tcosθ=3，解得，代入C2可知…所以PQ=，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．【考点】函数恒成立问题．【分析】（ I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（ II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】解：（ I）由已知可得，所以f（x）=1，…min所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2…（ II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a=b时取等号，①…又∴∴，当且仅当a=b时取等号，②…由①②得，∴，所以a+b≥2ab…法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…。

2020年河北省普通高考模拟考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =，则()U A B =I ð（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4,5,6} （C ）∅ （D ）{1,2,3,4,5,6} （2）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（3）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （4）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63 （5）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12 （7）函数1()222xf x x =--的其中一个零点所在的区间为 （A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）3(1,)2（D ）3(,2)2（8）设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（9）已知椭圆221:12x yCm n+=+与双曲线222:1x yCm n-=共焦点，则椭圆1C的离心率e的取值范围为（A）2(,1)2（B）2(0,)2（C）(0,1)（D）1(0,)2（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是（A）7（B）2 （C）3（D）5（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m=，1813n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333（12）已知函数|21|,2()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，则()f x的值域是（A）[0,)+∞（B）[1,3]（C）[1,)+∞（D）[0,3]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。