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创新思维与方法课程实验总结专业姓名得分1.实验的基本内容1）本学期完成的创新思维与科技创新的实验主要有（请根据实际完成的实验情况填写）以下几个。
（1）第1章：主要内容是：理解和熟悉了创新发明的基础概念。
熟悉科技创新的内容构成,了解知识创新、技术创新和管理创新的基本思想。
熟悉了知识创新的主要内容。
浏览“创新方法研究会"等网站提升了自己的就业和从业能力。
（2）第2章：主要内容是理解和熟悉发明问题的传统方法。
理解和熟悉头脑风暴创新方法，了解该方法的基本规则和组织方法。
通过实践，实际体会和掌握头脑风暴法的运用，尝试依靠传统创新方法提升自己的创新思维的实践能力.（3）第3章：主要内容是：了解了什么是思维定势。
了解创造性思维方式中的发散思维与收敛思维、横向思维与纵向思维、正向思维与逆向思维、求同思维与求异思维。
熟悉创造性思维技法，通过实践掌握创造性思维技法的应用方法。
（4）第4章：主要内容是:了解TRIZ理论的发展历程和核心思想.理解TRIZ的基本概念,熟悉技术系统、矛盾和理想化方法等重要内容。
熟悉阿齐舒勒的5个发明级别，了解TRIZ的适用范围。
（5）第5章:主要内容是：熟悉S曲线及其应用与技术预测的作用。
熟悉技术进化法则及其主要作用.运用最终理想解方法分析创新问题.（6）第6章:主要内容是：熟悉TRIZ发明原理的由来,浏览并了解TRIZ的40个发明原理.熟悉10个主要的发明原理，通过学习提升自己的创新思维能力。
深入研究嵌套发明原理，熟悉其具体应用方法，从而举一反三，理解发明原理的内涵。
（7）第7章:主要内容是：理解什么是技术矛盾，以及它在TRIZ理论体系中的意义.熟悉39个通用工程参数,准确理解每个参数的含义，理解39个通用工程参数所具有的高度概括性和应有的灵活性。
通过对飞机发动机整流罩进行改进的案例，熟悉矛盾矩阵的作用和使用方法，在解决实际问题的过程中,提炼技术矛盾，并利用矛盾矩阵获得解决方案.（8）第8章：主要内容是：理解物理矛盾的概念，以及它在TRIZ理论体系中的意义。
科学实验：培养科学思维的实验项目1. 介绍本文将为您介绍一些旨在培养科学思维的实验项目。
这些项目涵盖了不同领域的科学知识和技能，通过实际操作和观察，能够激发孩子们对科学的兴趣，并帮助他们培养批判性思维、观察力、实验设计以及科学分析能力。
2. 实验项目2.1 高度与重心实验材料： - 四个相同长度的木棒 - 中心标志物（如小纸片）步骤： 1. 将四个木棒竖直地固定在平坦表面上，并确保它们稳定。
2. 在每个木棒的中间位置粘贴一个小纸片作为标志物。
3. 这时，你可以尝试移动其中一个木棒来改变整个结构的稳定性。
观察并记录结果。
目标：通过这个实验，孩子将认识到高度和重心之间的关系，并理解到一个结构的平衡如何受到不同因素影响。
2.2 风车制作与风力实验材料： - 框架饼干盒 - 刺破的吸管 - 线 - 画纸 - 铅笔、彩色笔步骤： 1. 在框架饼干盒的顶部切一个正方形的孔，并固定一个刺破的吸管。
2. 使用彩色纸将吸管装饰得漂亮一些，制作风车的扇叶。
3. 将线系在风车上，并通过顶部的孔固定。
4. 把风车放在有风力的地方，观察它是否会旋转。
目标：这个实验将帮助孩子们理解风力对物体运动的影响，并学习到如何制作简单而有效的风车。
2.3 寻找水中隐藏物体材料： - 透明容器（例如玻璃杯、瓶子） - 水 - 不同颜色和形状的小玩具或物品步骤： 1. 把透明容器填满水。
2. 在水中添加几个小玩具或物品，确保它们能够沉入水底并不易察觉。
3. 让孩子仔细观察容器，尝试找出隐藏在水中的物体。
目标：这个实验将帮助孩子们培养观察力和注意力，并理解光线穿过水的折射原理。
3. 结论通过参与以上实验项目，孩子们可以在实践中学习科学的基本概念和原理。
这些有趣而又教育性的活动将帮助他们培养起探究和思考问题的能力，以及形成科学思维的习惯。
同时，通过观察、记录实验结果并得出结论，他们也将提高自己的实验设计和分析能力。
不仅如此，这些实验还可为家长和教育者提供一个很好的机会来与孩子们一起探索和讨论科学现象。
探究应用新思维七年级讲解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：探究应用新思维是一门综合性课程，旨在培养学生的创新能力、解决问题的能力和批判性思维能力。
作为七年级的学生，初步接触这门课程，将对他们今后的学习和生活产生深远的影响。
在这篇文章中，我们将探讨探究应用新思维课程的重要性，课程内容以及如何帮助学生培养新思维。
探究应用新思维课程的重要性不可忽视。
在现代社会，知识更新日新月异，传统的死记硬背已经无法满足学生的需求。
而探究应用新思维课程注重培养学生的问题解决能力和创新思维，让学生在面对实际问题时能够迅速提出解决方案，有助于他们适应未来社会的发展。
探究应用新思维课程包括许多内容，如科学探究、数学探究、社会探究等。
这些内容将帮助学生建立扎实的学科基础，培养跨学科的思维能力。
通过实践活动和探究任务，学生将学会如何主动获取知识、如何与他人合作解决问题，以及如何运用所学知识解决真实问题。
探究应用新思维课程将帮助学生培养新思维。
新思维是一种积极的思考方式，能够帮助学生挖掘问题背后的本质，提出创新的解决方案。
通过课程的学习，学生将懂得如何积极主动地思考问题，如何灵活运用所学知识解决难题，以及如何与他人合作共同探究问题。
探究应用新思维课程对七年级学生的成长至关重要。
通过学习这门课程，学生将不仅仅掌握了知识，更重要的是培养了解决问题的能力和创新思维，为未来的学习和生活奠定了坚实的基础。
希望学生们能够积极参与课程学习，发挥自己的潜力，成为具有创新能力的优秀学生。
【文章2000字】。
第二篇示例：探究应用新思维七年级讲解一、引言在当今社会，新思维的重要性越来越被人们所认可。
随着科技的不断发展和社会的不断进步，传统的思维方式已经不能满足现代社会的需求。
探究应用新思维成为现代教育的重要内容之一。
在初中七年级的课程教学中，也越来越强调培养学生的新思维能力。
本文将探究应用新思维七年级讲解进行详细探讨。
二、新思维的重要性新思维是指独立思考、创新思维、综合思维等多种思维方式的统称。
初一科学思维训练1. 引言科学思维是培养学生创新能力和解决问题能力的重要方法之一。
在初中阶段，培养学生的科学思维能力尤为重要，可以为他们未来的研究和生活打下坚实的基础。
本文档旨在介绍一些初一科学思维训练的方法和策略，帮助学生更好地发展自己的科学思维能力。
2. 科学思维的重要性科学思维是指基于科学方法进行思考和问题解决的能力。
具有良好的科学思维能力有助于培养学生的观察、推理、实验和创新能力。
这些能力对于学生在研究各个学科以及日常生活中都至关重要。
3. 科学思维训练方法3.1 提问和质疑培养学生主动提问和质疑的能力是科学思维训练的重要一环。
老师可以在教学过程中鼓励学生提出问题，并引导他们通过观察、实验和推理等方法寻找答案。
通过提问和质疑，学生可以培养批判性思维和探索精神。
3.2 实践和实验科学思维的培养离不开实践和实验。
学校可以为学生提供实验条件和实践机会，让他们亲自动手进行观察和实验。
通过实践和实验，学生可以从中积累经验，培养解决问题的能力。
3.3 组织和分析信息学生在研究过程中会遇到大量的信息和知识点，培养学生组织和分析信息的能力对于科学思维的发展很重要。
教师可以引导学生学会查找和筛选信息，培养学生分析和理解信息的能力，并帮助他们将所学知识应用到实际问题中。
3.4 创新和解决问题培养学生创新和解决问题的能力是科学思维训练的核心目标之一。
老师可以通过启发式问题解决、团队合作等方式，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
同时，鼓励学生提出自己的想法和观点，培养他们的自信心。
4. 应用与展望科学思维是培养学生创新能力和解决问题能力的重要手段。
通过合理运用科学思维训练方法，可以帮助初一学生培养科学思维能力，为他们未来的研究和生活打下坚实的基础。
进一步深化科学思维训练方法研究，既需要学校和教师的努力，也需要家庭和社会的支持。
相信通过共同的努力，我们能够培养出更多具有科学思维的优秀人才，为社会进步做出贡献。
以上是一些初一科学思维训练的方法和策略。
一、实验背景随着社会的快速发展，人们对思维能力的需求越来越高。
为了提高人们的思维品质，我国教育部门及心理学研究者们开展了各种思维训练实验。
本实验旨在通过一系列科学、系统的训练方法，提高参与者的思维敏捷性、逻辑推理能力、创新思维能力和问题解决能力。
二、实验目的1. 了解思维训练的基本原理和方法；2. 探讨思维训练对个体思维能力的影响；3. 建立一套适用于我国国情的思维训练方案。
三、实验方法1. 实验对象：选取100名年龄在18-25岁之间的大学生作为实验对象，随机分为实验组和对照组。
2. 实验工具：采用思维训练软件、智力测试题、案例分析等工具。
3. 实验步骤：（1）实验前对实验组和对照组进行思维能力测试，记录数据；（2）实验组进行为期12周的思维训练，对照组不进行任何干预；（3）实验结束后，再次对实验组和对照组进行思维能力测试，记录数据；（4）分析实验数据，比较实验组和对照组在思维能力上的差异。
四、实验结果1. 实验前，实验组和对照组在思维能力测试中的得分无显著差异（P>0.05）。
2. 经过12周的思维训练后，实验组在思维能力测试中的得分显著高于对照组（P<0.01），具体表现在以下方面：（1）思维敏捷性：实验组得分提高了15%，对照组得分提高了5%；（2）逻辑推理能力：实验组得分提高了20%，对照组得分提高了10%；（3）创新思维能力：实验组得分提高了25%，对照组得分提高了15%；（4）问题解决能力：实验组得分提高了30%，对照组得分提高了20%。
3. 实验结果表明，思维训练对提高个体思维能力具有显著效果。
五、实验结论1. 思维训练是一种有效提高个体思维能力的手段；2. 思维训练能够显著提高个体的思维敏捷性、逻辑推理能力、创新思维能力和问题解决能力；3. 本实验建立的思维训练方案具有一定的可行性，可推广应用于我国教育、企业等领域。
六、实验讨论1. 本实验结果表明，思维训练对提高个体思维能力具有显著效果。
28.实验与操作问题解决例1 （第4届《时代学习报》数学文化节试题）循环往复图中的程序表示，输入一个整数x便会按程序进行计算．设输入的x值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是_______，第2009次计算的结果是_______．【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为4-．例2将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线截剪，最将图④的纸再展平铺平，所看到的图案是（）．图④（向右对折）（向上对折）A B C D图①图②图③【答案】D例3（贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：……（第3次）（第2次）（第1次）第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数(m)填入下表.（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】（1）当n=3时，13m=；4n=时，17m=；……一般的41m n=+．（2）由41m n=+，得1034125.5n n=+=，，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形．例4（太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1-（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为1000997(1)(1)1+⨯-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的．例5在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：（5）（6）（7）（4）由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：（23）（22）（21）（19）（18）（12）（20）（9）（15）（7）（8）俄罗斯方块例6游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？分析与解 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格． 用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图①仅出示一种． 下面证明不能7种图形方块都各用一次．将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各14个．若7×4的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中“品”字形如图③必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格．7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾．因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法． 所出，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．图①图②图③数学冲浪知识技能广场 1．（《时代学习报》数学文化节试题）乐在其中七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《骨髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．（第1题）图①图②如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是_______平方厘米． 图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．【答案】12.5 画图略 2．（乌鲁木齐市中考题）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_______种． 【答案】5（第3题）（第2题）3．（乌鲁木齐市中考题）如图，将长度为20cm ，宽为2cm 的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为_______cm 2． 【答案】36 4．（浙江省嘉兴市中考题）定义一种对正数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取26n =，则26134411F F F −−−→−−−→−−−→第一次第二次第三次②①②…若449n =，则第449次“F ”运算的结果是_______．【答案】8 5．（浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．图④（第5题）图③图②图①观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑色部分都是三个小正三角形．请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征． 【答案】略 思维方法天地 6．（《时代学习报》数学文化节试题）折折剪剪一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：（第6题①）第三次对折第二次对折第一次对折请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．（第6题②）【答案】或7．（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等，请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：___________________________________________________．【答案】先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P的位置，保持中心P的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答案不唯一）．（第8题）（第7题）8．（俄罗斯萨温市竞赛题）方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？【答案】9．（“希望杯”邀请赛试题）有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1-，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8．继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？【答案】一个依次排列的n个数组成一个数串：123na a a a，，，，，依题设操作方法可得新增的数为：2132431n na a a a a a a a-----，，，，，则新增数之和为：2132()()a a a a-+-+ 4311()()n n na a a a a a--++-=-（※）原数串为3个数：3，9，8．第1次操作后所得数串为：3，6，9，1-，8，根据（※）可知，新增2项之和为：6+（1-）=5=83-，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8，根据（※）可知，（第7题）新增4项之和为3+3+（10-）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（83-）=520． 10．（五城市联赛题）有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22； （2）三堆都是12．如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为（19，8，9）⇒（18，7，11）等]． 【答案】（1）经过6次操作可达到要求：（19，8，9）⇒（21，7，8）⇒（23，6，7）⇒（25，5，6）⇒（24，4，8）⇒（23，3，10）⇒（22，2，12）．（2）不可能．因为每次操作后，每堆码数要么加2，要么少1，而19，8，9被3除余数分别为1，2，0，经过任何一次操作后余数分别是0，1，2，不可能同时被3整除． 11．（中国科技技术大学“少年班”招生入学试题）如图a 所示的展览馆有36个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其人口与出口位置如图b 所示，现有人希望每个陈列都能参观，但只经过每个展室一次．这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如果不能，请说明理由．ba入口展览大厅==进口出口【答案】不可能 我们设想36个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白→黑→白→黑→白→……的次序前进．因此，不管参观者怎样走法，第36次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口．应用探究乐园12．（江苏省竞赛题）如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两线纸片都不完全相同． （1）能否分成5张满足上述条件的纸片？ （2）能否分成6张满足上述条件下纸片？若能分，用“a ×b ”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．【答案】（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5．若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有1×1、1×2、1×3、1×4、1×5（如图①）或1×1、1×2、1×3、2×2、1×5（如图②）（第12题）出口进口（第11题）图①图②（第12题）（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19>15．所以分成6张满足条件的纸片是不可能的． 13．（河北省中考题）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）在图①中，将线段12A A 向右平移1个单位到12B B ，得到封闭图形1221A A B B （即阴影部分）； 在图②中，将折线123A A A 向右平移1个单位到123B B B ，得到封闭图形123321A A A B B B （即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： 1S =_______，2S =_______，3S =_______；（3）联想与探索：如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．图③33A B B A 22图④图①图②【答案】（1）略；（2）123S S S 、、的结果都是ab b -；（3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤．关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况．猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是ab b -．方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形．此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是b ，其水平方向的长度变成了1a -，所以草地面积是(1)b a ab b -=-．设而不求（微探究）（第13题）字母示数是代数式的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃．字线示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用． 为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义．例1 （四川省竞赛题）老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，甲、乙、丙、丙的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是_______．【答案】乙 所得差=11×[909(e a -)+90(d b -)]是11的倍数例2 （2012年湖北省恩施自治州中考题）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%．假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）．A ．40%B ．33.4%C ．33.3%D ．30%【答案】B 设水果质量为m ，进价为a ，售价在进价的基础上至少提高x ， 则101(1)20100100m x a ma ma⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-，解得33.4%x ≈． 例3 （江苏省竞赛题）某地区的民用电，按白天时段和晚间规定了不同的单位．某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．【答案】设白天的单价为a 元/度，晚间的单价比白天低的百分数为x ，即晚间的单价为（1-x ）a 元/度，又设8月份晚间用电量为n 度，则8月份白天用电量为（1+50%）n =1.5n 度，8月份电费为1.5(1)(2.5)na x na x na +-=-元，9月份白天用电量为1.5(160%)0.6n n -=度，9月份晚间用电量为（ 1.5n n +）（120%+）-0.6 2.4n n =度，9月份电费为0.6 2.4(1)(3 2.4)na x na x na +-=-．由题意得，（3 2.4-x ）na =（2.5-x ）（110-%）na ，解得0.550%x ==．例4 从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？【答案】设所切下的合金的重量为x 千克，重12千克的合金的含铜百分数为p ，重8千克的合金的含铜百分数为()q p q ≠，于是有(12)(8)128xq x p xp x q-+-=，整理得()24()p q p x q p -=-．因为p q ≠，所以0p q -≠，因此 4.8x =，即所切下的合金重4.8千克．例5 （“华罗庚杯”邀请赛试题）能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例；如果不能，请简术理由． 分析 假设存在7个整数1234567a a a a a a a ，，，，，，排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理．若推得矛盾，则原假设不成立． 解 由题意aa 4a1232342929a a a a a a ++=++=……6717122929a a a a a a ++=++=将上述7式相加，得312345673()297a a a a a a a ++++++=⨯，12345672673a a a a a a a ∴++++++=，与1234567a a a a a a a ++++++为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7个整数． 难解的结英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士·卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本《乱纷纷的结》，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：例6 两个步行者正在急促地以每小时6千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面．年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3千米．在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4千米．年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了．我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了．今天可真走了不少路．年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧．题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？解 设旅行都一共走过的路程为x 千米，上坡（或下坡）走过的路程为y 千米， 整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路．开始走平路所花的时间是124x y-小时，上坡所花的时间是3y 小时，下坡所花的时间是6y 小时，再走平路所花的时间是124x y -小时． 依题意可得方程：112254364x y x yy y --+++=， 原方程化简得15204x x ==，，故他们一共走了20千米． 练一练 1．（2012年“希望杯”邀请赛试题）已知23566914x y z y z x -=+=--，，则x y z ，，的平均数是_______．【答案】4932．（世界数学团体锦标赛试题）A B 、两校男生、女生人数的比分别为8∶7，30∶31，两校合并后男生、女生人数的比是27∶26．若用一位整数的比近似表示合并前A B 、两校的人数的比，则这个近似比是_______．【答案】453614≈ 3．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙两车从A 向B 行驶，甲比乙晚出发6小时，开始时甲、乙的速度比是4∶3．甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达B ．则甲从A 到B 共走了_______小时．【答案】8.4 设甲出发6小时后再用t 小时即可追上乙，甲原速为u ，乙速为v ，由题设知当甲出发行驶6小时，乙已经行驶了12小时，故有(12)62t v u tu +=+，即12t +=(62)t u v +=(62t +)·u v =（6+2t ）·43，故363248 2.4t t t +=+=，（小时）．故甲共走了6+2.4=8.4（小时）．4．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%（每件冬装的利润=出厂价–成本），10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）．A ．2%B ．8%C ．40.5%D ．62%【答案】B 设9月份每件冬装的出厂价为x 元，则每件成本为0.75x 元，10月份每件冬装的利润为（1-10%）0.75x x -=0.15x 元，又设9月份销售冬装m 件，则10月份销售冬装（1+80%）m =1.8m 件，故10月份的利润总额与9月份相比，增长0.15 1.80.258%0.25x m xmxm⋅-=．5．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）． A ．28 B ．27 C ．19 D ．18 【答案】D 6．（“希望杯”邀请赛试题）一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少6%，则a b 、的关系是（ ）． A ．1001%a b a =+ B ．1001%b a =+ C ．1a b a =+ D ．100100ab a=+【答案】D 设A B 、两地之间的距离为S ，汽车行驶的速度为v ，汽车从A 地到B 地所用的时间为t ，则(1%)(1%)S vt v a t b ==+-． 7．（环求城市数学奥林匹克试题）如图3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为S ．求证：（1）S =3e ；（2）2()4a c g i b d f h e +++=++++．【答案】（1）S a e i b e h c e g d e f =++=++=++=++， 相加得43S a b c d e f g h i i e =++++++++++，故3S e =． （2）S a b c b e h =++=++，故a c e h +=+，同理a g e f g i e b c i e d +=++=++=+，，，四式相加得2()4a c g i b d f h e +++=++++．8．（湖北省黄冈市竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司赞助的款购买一批奖品．若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品．问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？【答案】设每台计算器x 元，每本《数学竞赛讲座》书y 元，则100(3)x y +=80（5x y +），d i h g fe c b a解得5x y =，故可购买计算器100(3)10085x y yx y+⨯==160（台）， 书100(3)1008800()x y yy y+⨯==本． 9．（河北省中考题）甲、乙二人分别从A B 、两地出发，相向而行．若同时出发，经24分钟相遇；若乙比甲提前10分钟出发，甲出发20分钟与乙相遇．求甲从A 地到B 地、乙从B地到A 地各需多少分钟？ 【答案】40分钟、60分钟 10．（广州市中考题）在车站开始检票时，有(0)a a >名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随时随检，问需要同时开放几个检票口？【答案】设需要开放x 个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是c ，每分钟来排队的人数是b ，则30301021066a b c a b c a b cx +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩①②③由①，②得302a b c b ==，．将302a b c b ==，带入③，得3x =．借助图形思考（微探究）数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题．当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题．”现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题．例 1 A B C D E F 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A B C D E 、、、、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则这没有与B 队比赛的球队是_______．【答案】E 队D例2 （山东省威海市中考题）古希望常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数．类似地，称图②中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）．A ．289B ．1024C ．1225D ．1378图②图①……1361014916【答案】C 图①中第n 个图共有石子1+2+…+n =(1)2n n +（个），图②中第n 个图共有石子2n （个），1225=249501225352⨯=，． 例3 （浙江省衢州市中考题）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．122333______________________________________________________________________________ 这个长方形的代数意义是___________________________________________________ （2）小明想用类似方法解释多项式乘法（3a b +）（2a b +）=22273a ab b ++，那么需要用2号卡片_______张，3号卡片_______张．【答案】（1）或2232()(2)a ab b a b a b ++=++．（2）3；7 眼见亦可为虚例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿．如果不把它堵上，渔船就有沉淀的危险．船中只有一块边长是8cm 的正方形木板．但是和船的窟窿相比，木板的面积少1cm 2．怎么办好呢？正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开（如下图），然后用胶粘接拼成了长方形木板．13×5=65 (cm 2)8×8-64 (cm 2)5855333①②③④④③②①从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是64cm 2，可是改成长方形以后的木板的面积却变成了65cm 2了，正好多出1cm 2．船员赶紧把它堵在窟窿上，避免渔船的沉没．可是大家都感到惊奇的是，这1cm 2是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？ 【答案】如图，形成“对角线”的三角形之边与梯形之边不在同一条直线上，则180αβ+≠︒，这便函是问题的症结所在．横看成岭侧成峰例5 21()()()()()()24222a b a b a b a b a b a b a b +-⎡⎤-=+-=+-⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦．下面的图形，形象直观验证了平方差公式：baaa b ab a柳卡趣题例6 法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献．在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”． 每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔．轮船在途中需要七天七夜．假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？ 这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决．后来有一位数学家通过构图解法，才能使问题最终得以解决． 解 用“时间—路程图”解答．日期171234567891011121314151616151413121110987654321纽约日期勒阿佛尔17从图上可以很清楚地看到，某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到13艘从纽约开来的轮船，加上开航时与到达时相遇的2艘，因此一共遇到了15艘从纽约开出的轮船． 练一练 1．（浙江省湖州市中考题）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形，现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片_______张，才能用它们拼成一个新的正方形．【答案】4 设至少取丙类纸片n 张，新的正方形边长为a ，则2222142n a +⨯+=． 2．（四川省眉山市中考题）有若干张如图①所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a b +），宽为（a b +）的矩形，则需要A 类卡片_______张，B类卡片_______张，C 类卡片_______张，请你在图②中的大矩形中画出一种拼法．【答案】2；1；3 拼法略3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图①所示，恰好可以拼成一个大的长方形． 小红看见了，说：“我来试一试．”结果七拼八凑，拼成如图②那样的正方形．咳，怎么中间还留下了一个边长为2mm 的正方形洞！你能帮他们解开其中的奥秘吗？【答案】图①的面积为2480mm ，图②的面积为4842mm ． 4．（江苏省盐城市中考题）如图①，现有a ×a 、b b ⨯的正方形纸片和a b ⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须丙乙甲Ca+b2a+b 图①图②a A a B bb （第3题）图①图②（第4题）ba ab b a保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽．【答案】22252(2)(2)a ab b a b a b b a ++=++>，，矩形的长为2a b +，宽为2a b +，给出如图所示的两种拼法．babba abba b b a5．用新方法解释旧模式常会推导绝妙的公式．请你依下列图形直观分别写出相应公式．图③3333图①图②图③3+=图④【答案】（1）(1)123;2n n n +++++=（2）2135(21)n n ++++-= ； （3）333212(12)n n +++=+++ ；（4）2223(12)(12)(21)n n n +++=++++ ，代入1+2+…+n =(1)2n n +， 得22212n +++=(1)(21)2n n n ++．6．（安徽省芜湖市竞赛题）如图，九块大小不等的正方形纸片A B ，，…，I 无重叠、无缝隙地铺满了一块长方形，已知E 的边长为7，求其余各正方形的边长．【答案】设a b c h i ，，，，，分别表示正方形A B C ，，，H I ，，的边长，由其相互位置可得到8个线性无关（独立）的方程，从该方程组不难解得：B CD EF G H AI。
动手实验培养实验思维科学实验教学教案科学实验是培养学生实验思维和科学素养的重要途径之一。
本文将从实验教学的目标、实验内容的选择与设计、实验的步骤与要求等方面，探讨如何编写一份科学实验教学教案，以提升学生的实验能力和科学探究能力。
一、实验教学的目标科学实验的教学目标是培养学生的实验思维，激发他们的科学兴趣，提高他们的动手能力和观察能力。
因此，实验教学应该注重培养学生的实验设计能力、数据处理与分析能力以及解决问题的能力。
二、实验内容的选择与设计1.选择适合的实验内容在选择实验内容时，应根据学生的实际情况和年龄特点，选择具有一定难度和趣味性的实验内容。
同时，实验内容应与所学知识紧密结合，突出重点和难点，引导学生主动探索和思考。
2.实验设计的要求（1）明确实验目的在设计实验时，首先要明确实验的目的和主题。
实验目的应明确、具体，能够引导学生在实际操作中寻找答案，并与实验过程形成有机联系。
（2）合理布置实验步骤实验步骤应简单明了、逻辑清晰。
每个步骤都要具体指导学生的操作，确保学生能够按照步骤进行实验，并能够准确地观察、记录数据。
（3）考虑实验安全在实验设计中，要考虑实验的安全性。
对于有些可能存在危险因素的实验，应采取相应的安全措施，并在教案中明确强调，引导学生注意实验安全。
三、实验的步骤与要求1.实验步骤（1）准备实验材料：列出所需实验材料的清单，并组织学生准备。
（2）说明实验目的：在引导学生进行实验前，要简要明确实验的目的，引发学生的思考。
（3）操作步骤：具体指导学生按照步骤进行实验，要求学生仔细观察，记录实验现象和数据。
（4）数据处理与分析：指导学生对实验数据进行整理、分析，并引导学生从中得出结论。
（5）实验总结：引导学生对实验进行总结，对实验结果进行讨论，并提出自己的见解和思考。
2.实验要求（1）实验要求具体明确，避免模棱两可。
（2）要求学生按照实验步骤进行操作，确保实验结果的准确性和可靠性。
（3）鼓励学生提出自己的猜想和问题，在实验中寻找答案。
科学实践进行实践活动培养学生科学思维的实验教案引言：科学实践是培养学生科学思维的重要方法之一。
通过实践活动，学生能够亲身参与并体验科学知识，激发他们的好奇心和创造力。
在本教案中，将介绍一种科学实践活动，旨在培养学生的科学思维能力。
该实验教案将注重观察、推理和实践，并通过系统性的步骤引导学生进行科学实践，以实现对科学思维的培养。
实验教案：实验名称：探索物体密度的变化实验目的：通过观察和实践，引导学生探索物体密度的变化，并培养学生的科学思维能力。
实验材料：- 一杯水- 不同大小和形状的物体（如木块、纸张、塑料球等）- 实验记录表格- 浮力计（可选）实验步骤：第一步：观察和记录物体的性质1. 预先准备几个不同大小和形状的物体，并列出它们的特征。
2. 让学生观察这些物体，并记录每个物体的性质，如大小、形状、材料等。
第二步：测量物体的质量1. 使用天平或秤量每个物体的质量，并记录在实验记录表格中。
第三步：测量物体的体积1. 准备一杯水，然后将每个物体依次放入水中。
2. 观察物体在水中的水平面上升的情况，并记录在实验记录表格中。
3. 根据 Archimedes 定律，物体在液体中排开的液体体积等于物体的体积。
4. 让学生测量每个物体的体积，并记录在实验记录表格中。
第四步：计算物体的密度1. 让学生使用公式密度=质量/体积来计算每个物体的密度，并记录在实验记录表格中。
第五步：分析和讨论结果1. 让学生观察和分析每个物体的密度。
2. 引导学生思考并回答以下问题：- 密度高的物体会沉还是浮于水中？为什么？- 密度低的物体会沉还是浮于水中？为什么？- 密度相等的物体会沉还是浮于水中？为什么？第六步：总结实验结果1. 让学生总结这次实验的结果，并归纳出密度与物体浮沉的关系。
2. 引导学生思考并讨论密度与物体性质之间的关联。
3. 鼓励学生提出自己的观点和解释。
实验延伸：1. 调查不同材料的密度，并与本实验结果进行对比。
第1篇实验主题：探究重力对物体运动的影响实验目的：1. 通过实验验证重力对物体运动的影响。
2. 培养科学思维，提高观察、分析、推理和实验操作能力。
实验时间：2023年10月15日实验地点：学校实验室实验材料：1. 平滑的斜面2. 小车（带滚轮）3. 测量工具（尺子、秒表）4. 重物（砝码）5. 记录本和笔实验步骤：1. 将斜面固定在实验台上，调整斜面角度，使其与水平面成30度角。
2. 将小车放在斜面底部，确保小车能够自由滑动。
3. 使用尺子测量小车从斜面底部到顶部的距离，记录数据。
4. 将小车从斜面底部释放，使用秒表记录小车从释放到到达斜面顶部所需的时间。
5. 在小车上加装一个重物，重复步骤4，记录小车加重后到达斜面顶部所需的时间。
6. 改变斜面角度，重复步骤4和5，记录不同角度下小车运动的时间。
7. 对实验数据进行整理和分析。
实验结果：1. 在30度斜面角度下，小车不加重时，从底部到顶部所需时间为3.5秒；加重后，所需时间为4.2秒。
2. 当斜面角度增加到45度时，小车不加重时，所需时间为2.8秒；加重后，所需时间为3.0秒。
3. 随着斜面角度的增加，小车运动时间总体呈缩短趋势。
实验分析：1. 实验结果表明，重力对物体的运动有显著影响。
当小车加重后，其到达斜面顶部所需时间增加，说明重力使小车的加速度减小。
2. 斜面角度的改变也对小车运动时间产生影响。
斜面角度越大，小车运动时间越短，这是因为斜面角度越大，小车在斜面上的重力分量越大，从而增加了小车的加速度。
3. 实验结果与牛顿第二定律相符，即加速度与作用力成正比，与物体质量成反比。
实验结论：1. 重力对物体的运动有显著影响，使物体的加速度减小。
2. 斜面角度的改变会影响物体的运动时间，斜面角度越大，物体运动时间越短。
3. 本实验验证了牛顿第二定律的正确性，提高了我们对科学思维的认识。
实验反思：1. 在实验过程中，需要注意斜面角度的调整，确保实验结果的准确性。
初一实践操作考试题及答案一、实验操作题（共50分）1. 实验名称：测量物体的密度实验目的：通过实验学会测量物体的密度。
实验器材：天平、量筒、水、待测物体。
实验步骤：（1）用天平测量待测物体的质量m；（2）在量筒中倒入适量的水，记下体积V1；（3）将待测物体放入量筒中，使其完全浸没在水中，记下体积V2；（4）计算物体的体积V=V2-V1；（5）计算物体的密度ρ=m/V。
答案：（1）用天平测量待测物体的质量m；（2）在量筒中倒入适量的水，记下体积V1；（3）将待测物体放入量筒中，使其完全浸没在水中，记下体积V2；（4）计算物体的体积V=V2-V1；（5）计算物体的密度ρ=m/V。
2. 实验名称：探究凸透镜成像规律实验目的：通过实验探究凸透镜成像规律。
实验器材：凸透镜、光屏、蜡烛、光具座。
实验步骤：（1）将蜡烛、凸透镜、光屏依次放在光具座上，使它们的中心大致在同一高度；（2）点燃蜡烛，移动蜡烛、光屏，直到在光屏上得到一个清晰的像；（3）观察物距、像距和像的性质；（4）改变蜡烛的位置，重复步骤（2）和（3），记录实验数据。
答案：（1）将蜡烛、凸透镜、光屏依次放在光具座上，使它们的中心大致在同一高度；（2）点燃蜡烛，移动蜡烛、光屏，直到在光屏上得到一个清晰的像；（3）观察物距、像距和像的性质；（4）改变蜡烛的位置，重复步骤（2）和（3），记录实验数据。
3. 实验名称：测量小灯泡的电功率实验目的：通过实验学会测量小灯泡的电功率。
实验器材：电压表、电流表、滑动变阻器、小灯泡、开关、导线、电池组。
实验步骤：（1）按照电路图连接电路；（2）闭合开关，调节滑动变阻器，使小灯泡正常发光；（3）观察电压表和电流表的示数，计算小灯泡的额定功率P=UI；（4）改变滑动变阻器的阻值，观察小灯泡的亮度变化，记录不同阻值下的电压和电流值，计算对应的电功率。
答案：（1）按照电路图连接电路；（2）闭合开关，调节滑动变阻器，使小灯泡正常发光；（3）观察电压表和电流表的示数，计算小灯泡的额定功率P=UI；（4）改变滑动变阻器的阻值，观察小灯泡的亮度变化，记录不同阻值下的电压和电流值，计算对应的电功率。
28.实验与操作问题解决例1 （第4届《时代学习报》数学文化节试题）循环往复图中的程序表示，输入一个整数x便会按程序进行计算．设输入的x值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是_______，第2009次计算的结果是_______．【答案】-4；-4 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果-4开始，每6次一个循环，而（2009-4）÷6=2005÷6=334余1，故第2009次计算的结果为4-．例2将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线截剪，最将图④的纸再展平铺平，所看到的图案是（）．图④（向右对折）（向上对折）A B C D图①图②图③【答案】D例3（贵州省中考题）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：……（第3次）（第2次）（第1次）第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数(m)填入下表.（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】（1）当n=3时，13m=；4n=时，17m=；……一般的41m n=+．（2）由41m n=+，得1034125.5n n=+=，，因n不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形．例4（太原市竞赛题）有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．【答案】用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1-（或+1），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为1000997(1)(1)1+⨯-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的．例5在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：（5）（6）（7）（4）由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：（23）（22）（21）（19）（18）（12）（20）（9）（15）（7）（8）俄罗斯方块例6游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？分析与解 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格． 用其中的6种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，方法很多，如图①仅出示一种． 下面证明不能7种图形方块都各用一次．将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各14个．若7×4的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中“品”字形如图③必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格．7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾．因此，不存在7种图形方块每个各用一次拼成7×4的长方形的方法． 所出，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．图①图②图③数学冲浪知识技能广场 1．（《时代学习报》数学文化节试题）乐在其中七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《骨髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．（第1题）图①图②如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是_______平方厘米． 图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．【答案】12.5 画图略 2．（乌鲁木齐市中考题）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_______种． 【答案】5（第3题）（第2题）3．（乌鲁木齐市中考题）如图，将长度为20cm ，宽为2cm 的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为_______cm 2． 【答案】36 4．（浙江省嘉兴市中考题）定义一种对正数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取26n =，则26134411F F F −−−→−−−→−−−→第一次第二次第三次②①②…若449n =，则第449次“F ”运算的结果是_______．【答案】8 5．（浙江省金华市中考题）图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．图④（第5题）图③图②图①观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑色部分都是三个小正三角形．请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征． 【答案】略 思维方法天地 6．（《时代学习报》数学文化节试题）折折剪剪一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：（第6题①）第三次对折第二次对折第一次对折请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．（第6题②）【答案】或7．（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等，请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：___________________________________________________．【答案】先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P的位置，保持中心P的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答案不唯一）．（第8题）（第7题）8．（俄罗斯萨温市竞赛题）方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？【答案】9．（“希望杯”邀请赛试题）有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1-，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8．继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？【答案】一个依次排列的n个数组成一个数串：123na a a a，，，，，依题设操作方法可得新增的数为：2132431n na a a a a a a a-----，，，，，则新增数之和为：2132()()a a a a-+-+ 4311()()n n na a a a a a--++-=-（※）原数串为3个数：3，9，8．第1次操作后所得数串为：3，6，9，1-，8，根据（※）可知，新增2项之和为：6+（1-）=5=83-，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8，根据（※）可知，（第7题）新增4项之和为3+3+（10-）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（83-）=520． 10．（五城市联赛题）有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22； （2）三堆都是12．如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为（19，8，9）⇒（18，7，11）等]． 【答案】（1）经过6次操作可达到要求：（19，8，9）⇒（21，7，8）⇒（23，6，7）⇒（25，5，6）⇒（24，4，8）⇒（23，3，10）⇒（22，2，12）．（2）不可能．因为每次操作后，每堆码数要么加2，要么少1，而19，8，9被3除余数分别为1，2，0，经过任何一次操作后余数分别是0，1，2，不可能同时被3整除． 11．（中国科技技术大学“少年班”招生入学试题）如图a 所示的展览馆有36个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其人口与出口位置如图b 所示，现有人希望每个陈列都能参观，但只经过每个展室一次．这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如果不能，请说明理由．ba入口展览大厅==进口出口【答案】不可能 我们设想36个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白→黑→白→黑→白→……的次序前进．因此，不管参观者怎样走法，第36次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口．应用探究乐园12．（江苏省竞赛题）如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两线纸片都不完全相同． （1）能否分成5张满足上述条件的纸片？ （2）能否分成6张满足上述条件下纸片？若能分，用“a ×b ”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．【答案】（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5．若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有1×1、1×2、1×3、1×4、1×5（如图①）或1×1、1×2、1×3、2×2、1×5（如图②）（第12题）出口进口（第11题）图①图②（第12题）（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19>15．所以分成6张满足条件的纸片是不可能的． 13．（河北省中考题）图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）在图①中，将线段12A A 向右平移1个单位到12B B ，得到封闭图形1221A A B B （即阴影部分）； 在图②中，将折线123A A A 向右平移1个单位到123B B B ，得到封闭图形123321A A A B B B （即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： 1S =_______，2S =_______，3S =_______；（3）联想与探索：如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．图③33A B B A 22图④图①图②【答案】（1）略；（2）123S S S 、、的结果都是ab b -；（3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤．关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况．猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是ab b -．方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形．此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是b ，其水平方向的长度变成了1a -，所以草地面积是(1)b a ab b -=-．设而不求（微探究）（第13题）字母示数是代数式的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃．字线示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用． 为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义．例1 （四川省竞赛题）老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，甲、乙、丙、丙的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是_______．【答案】乙 所得差=11×[909(e a -)+90(d b -)]是11的倍数例2 （2012年湖北省恩施自治州中考题）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%．假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）．A ．40%B ．33.4%C ．33.3%D ．30%【答案】B 设水果质量为m ，进价为a ，售价在进价的基础上至少提高x ， 则101(1)20100100m x a ma ma⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-，解得33.4%x ≈． 例3 （江苏省竞赛题）某地区的民用电，按白天时段和晚间规定了不同的单位．某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．【答案】设白天的单价为a 元/度，晚间的单价比白天低的百分数为x ，即晚间的单价为（1-x ）a 元/度，又设8月份晚间用电量为n 度，则8月份白天用电量为（1+50%）n =1.5n 度，8月份电费为1.5(1)(2.5)na x na x na +-=-元，9月份白天用电量为1.5(160%)0.6n n -=度，9月份晚间用电量为（ 1.5n n +）（120%+）-0.6 2.4n n =度，9月份电费为0.6 2.4(1)(3 2.4)na x na x na +-=-．由题意得，（3 2.4-x ）na =（2.5-x ）（110-%）na ，解得0.550%x ==．例4 从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？【答案】设所切下的合金的重量为x 千克，重12千克的合金的含铜百分数为p ，重8千克的合金的含铜百分数为()q p q ≠，于是有(12)(8)128xq x p xp x q-+-=，整理得()24()p q p x q p -=-．因为p q ≠，所以0p q -≠，因此 4.8x =，即所切下的合金重4.8千克．例5 （“华罗庚杯”邀请赛试题）能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例；如果不能，请简术理由． 分析 假设存在7个整数1234567a a a a a a a ，，，，，，排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理．若推得矛盾，则原假设不成立． 解 由题意aa 4a1232342929a a a a a a ++=++=……6717122929a a a a a a ++=++=将上述7式相加，得312345673()297a a a a a a a ++++++=⨯，12345672673a a a a a a a ∴++++++=，与1234567a a a a a a a ++++++为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7个整数． 难解的结英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士·卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本《乱纷纷的结》，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：例6 两个步行者正在急促地以每小时6千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面．年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3千米．在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4千米．年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了．我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了．今天可真走了不少路．年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧．题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？解 设旅行都一共走过的路程为x 千米，上坡（或下坡）走过的路程为y 千米， 整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路．开始走平路所花的时间是124x y-小时，上坡所花的时间是3y 小时，下坡所花的时间是6y 小时，再走平路所花的时间是124x y -小时． 依题意可得方程：112254364x y x yy y --+++=， 原方程化简得15204x x ==，，故他们一共走了20千米． 练一练 1．（2012年“希望杯”邀请赛试题）已知23566914x y z y z x -=+=--，，则x y z ，，的平均数是_______．【答案】4932．（世界数学团体锦标赛试题）A B 、两校男生、女生人数的比分别为8∶7，30∶31，两校合并后男生、女生人数的比是27∶26．若用一位整数的比近似表示合并前A B 、两校的人数的比，则这个近似比是_______．【答案】453614≈ 3．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙两车从A 向B 行驶，甲比乙晚出发6小时，开始时甲、乙的速度比是4∶3．甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达B ．则甲从A 到B 共走了_______小时．【答案】8.4 设甲出发6小时后再用t 小时即可追上乙，甲原速为u ，乙速为v ，由题设知当甲出发行驶6小时，乙已经行驶了12小时，故有(12)62t v u tu +=+，即12t +=(62)t u v +=(62t +)·u v =（6+2t ）·43，故363248 2.4t t t +=+=，（小时）．故甲共走了6+2.4=8.4（小时）．4．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%（每件冬装的利润=出厂价–成本），10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）．A ．2%B ．8%C ．40.5%D ．62%【答案】B 设9月份每件冬装的出厂价为x 元，则每件成本为0.75x 元，10月份每件冬装的利润为（1-10%）0.75x x -=0.15x 元，又设9月份销售冬装m 件，则10月份销售冬装（1+80%）m =1.8m 件，故10月份的利润总额与9月份相比，增长0.15 1.80.258%0.25x m xmxm⋅-=．5．（“希望杯”邀请赛试题）甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）． A ．28 B ．27 C ．19 D ．18 【答案】D 6．（“希望杯”邀请赛试题）一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少6%，则a b 、的关系是（ ）． A ．1001%a b a =+ B ．1001%b a =+ C ．1a b a =+ D ．100100ab a=+【答案】D 设A B 、两地之间的距离为S ，汽车行驶的速度为v ，汽车从A 地到B 地所用的时间为t ，则(1%)(1%)S vt v a t b ==+-． 7．（环求城市数学奥林匹克试题）如图3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为S ．求证：（1）S =3e ；（2）2()4a c g i b d f h e +++=++++．【答案】（1）S a e i b e h c e g d e f =++=++=++=++， 相加得43S a b c d e f g h i i e =++++++++++，故3S e =． （2）S a b c b e h =++=++，故a c e h +=+，同理a g e f g i e b c i e d +=++=++=+，，，四式相加得2()4a c g i b d f h e +++=++++．8．（湖北省黄冈市竞赛题）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司赞助的款购买一批奖品．若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品．问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？【答案】设每台计算器x 元，每本《数学竞赛讲座》书y 元，则100(3)x y +=80（5x y +），d i h g fe c b a解得5x y =，故可购买计算器100(3)10085x y yx y+⨯==160（台）， 书100(3)1008800()x y yy y+⨯==本． 9．（河北省中考题）甲、乙二人分别从A B 、两地出发，相向而行．若同时出发，经24分钟相遇；若乙比甲提前10分钟出发，甲出发20分钟与乙相遇．求甲从A 地到B 地、乙从B地到A 地各需多少分钟？ 【答案】40分钟、60分钟 10．（广州市中考题）在车站开始检票时，有(0)a a >名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随时随检，问需要同时开放几个检票口？【答案】设需要开放x 个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是c ，每分钟来排队的人数是b ，则30301021066a b c a b c a b cx +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩①②③由①，②得302a b c b ==，．将302a b c b ==，带入③，得3x =．借助图形思考（微探究）数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题．当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题．”现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题．例 1 A B C D E F 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A B C D E 、、、、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则这没有与B 队比赛的球队是_______．【答案】E 队D例2 （山东省威海市中考题）古希望常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数．类似地，称图②中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）．A ．289B ．1024C ．1225D ．1378图②图①……1361014916【答案】C 图①中第n 个图共有石子1+2+…+n =(1)2n n +（个），图②中第n 个图共有石子2n （个），1225=249501225352⨯=，． 例3 （浙江省衢州市中考题）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．122333______________________________________________________________________________ 这个长方形的代数意义是___________________________________________________ （2）小明想用类似方法解释多项式乘法（3a b +）（2a b +）=22273a ab b ++，那么需要用2号卡片_______张，3号卡片_______张．【答案】（1）或2232()(2)a ab b a b a b ++=++．（2）3；7 眼见亦可为虚例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿．如果不把它堵上，渔船就有沉淀的危险．船中只有一块边长是8cm 的正方形木板．但是和船的窟窿相比，木板的面积少1cm 2．怎么办好呢？正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开（如下图），然后用胶粘接拼成了长方形木板．13×5=65 (cm 2)8×8-64 (cm 2)5855333①②③④④③②①从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是64cm 2，可是改成长方形以后的木板的面积却变成了65cm 2了，正好多出1cm 2．船员赶紧把它堵在窟窿上，避免渔船的沉没．可是大家都感到惊奇的是，这1cm 2是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？ 【答案】如图，形成“对角线”的三角形之边与梯形之边不在同一条直线上，则180αβ+≠︒，这便函是问题的症结所在．横看成岭侧成峰例5 21()()()()()()24222a b a b a b a b a b a b a b +-⎡⎤-=+-=+-⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦．下面的图形，形象直观验证了平方差公式：baaa b ab a柳卡趣题例6 法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献．在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”． 每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔．轮船在途中需要七天七夜．假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？ 这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决．后来有一位数学家通过构图解法，才能使问题最终得以解决． 解 用“时间—路程图”解答．日期171234567891011121314151616151413121110987654321纽约日期勒阿佛尔17从图上可以很清楚地看到，某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到13艘从纽约开来的轮船，加上开航时与到达时相遇的2艘，因此一共遇到了15艘从纽约开出的轮船． 练一练 1．（浙江省湖州市中考题）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形，现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片_______张，才能用它们拼成一个新的正方形．【答案】4 设至少取丙类纸片n 张，新的正方形边长为a ，则2222142n a +⨯+=． 2．（四川省眉山市中考题）有若干张如图①所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a b +），宽为（a b +）的矩形，则需要A 类卡片_______张，B类卡片_______张，C 类卡片_______张，请你在图②中的大矩形中画出一种拼法．【答案】2；1；3 拼法略3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图①所示，恰好可以拼成一个大的长方形． 小红看见了，说：“我来试一试．”结果七拼八凑，拼成如图②那样的正方形．咳，怎么中间还留下了一个边长为2mm 的正方形洞！你能帮他们解开其中的奥秘吗？【答案】图①的面积为2480mm ，图②的面积为4842mm ． 4．（江苏省盐城市中考题）如图①，现有a ×a 、b b ⨯的正方形纸片和a b ⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须丙乙甲Ca+b2a+b 图①图②a A a B bb （第3题）图①图②（第4题）ba ab b a保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽．【答案】22252(2)(2)a ab b a b a b b a ++=++>，，矩形的长为2a b +，宽为2a b +，给出如图所示的两种拼法．babba abba b b a5．用新方法解释旧模式常会推导绝妙的公式．请你依下列图形直观分别写出相应公式．图③3333图①图②图③3+=图④【答案】（1）(1)123;2n n n +++++=（2）2135(21)n n ++++-= ； （3）333212(12)n n +++=+++ ；（4）2223(12)(12)(21)n n n +++=++++ ，代入1+2+…+n =(1)2n n +， 得22212n +++=(1)(21)2n n n ++．6．（安徽省芜湖市竞赛题）如图，九块大小不等的正方形纸片A B ，，…，I 无重叠、无缝隙地铺满了一块长方形，已知E 的边长为7，求其余各正方形的边长．【答案】设a b c h i ，，，，，分别表示正方形A B C ，，，H I ，，的边长，由其相互位置可得到8个线性无关（独立）的方程，从该方程组不难解得：B CD EF G H AI。
