【精品习题】高二数学人教A必修5练习：3.3.2 简单的线性规划问题(一) Word版含解析

3.3.2 简单的线性规划问题姓名:___________班级:______________________1.如果实数x ,y 满足约束条件10,10,10,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩则2x y -的最大值为( )A.3-B.2-C.2D.12.若,x y 满足30,10,,x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩且2z x y =+的最大值为6,则k 的值为( )A.−7B.−1C.1D.73.在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( ) A. 31-B. 21- C. 1 D. 2 4.已知x ,y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为1a +,则a 的取值范围为( )A.(1,1)-B.[1,1)-C.[1,1]-D.(1,1]-5.若实数y x 、满足240,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则12-+=x y z 的取值范围为( )A.),32[]4,(+∞--∞B.),32[]2,(+∞--∞ C.]32,2[- D.]32,4[-6.设,x y 满足约束条件1,1,2210,x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩向量(2,)a y x m =-,(1,1)b =-,且a ∥b ,则m的最小值为( )A.−2B.2C.6D.−67.设,x y 满足约束条件0,,x y x ≥⎧⎪≥⎨⎪且231x y z x ++=+,则z 的取值范围是( )A.[]1,5B.[]2,6C.[]2,10D.[]3,118.实数,,x y k 满足2230,10,,x y x y z x y x k +-≥⎧⎪-+≥=+⎨⎪≤⎩,若z 的最大值为13,则k 的值为( )A.1B.2C.3D.49.设y x ,满足约束条件1,20,20,x x y y ≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则32-+=y x z 的最大值为_______.10.设变量,x y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则212x y z -⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为______.11.设,x y 满足约束条件0,0,210,x x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数z xy =的取值范围为 .12.已知实数x,y 满足20,40,250.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩求:(1)z ＝x+2y −4的最大值;(2)z ＝x 2+y 2−10y+25的最小值; (3)z ＝211y x ++的取值范围. 13.某工厂造A 、B 型桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时,漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时,而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元,试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张,才能使获得的利润最大？最大利润是多少？14.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨,B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨,B 原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少？(用线性规划求解要画出规范的图形)参考答案1.D【解析】不等式组对应的可行域为直线10,10,10x y y x y -+=+=++=围成的三角形区域,顶点为()()()1,0,0,1,2,1----,令2z x y =-,则当直线z =2x y -过点()0,1-时,z 取得最大值1.考点:求线性目标函数的最值. 2.C【解析】画出满足条件的平面区域,如图所示,由,30,x k x y =⎧⎨-+=⎩解得,3,x k y k =⎧⎨=+⎩则(,3)A k k +,由2z x y =+,得2y x z =-+,显然直线2y x z =-+过(,3)A k k +时,z 最大,故236k k ++=,解得1k =,故选C.考点:由目标函数的最值求参数值. 3.A【解析】由线性约束条件可知其对应的可行域如图,通过观察图象可知当过原点的直线经过点A 的时候斜率最小,由方程组380,210x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得()3,1A -,所以直线OM 斜率的最小值为1133k -==-.考点:分式型目标函数的最值.4.C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示:∵z ＝ax+y 的最大值为a+1,∴最值是在(1,1)处取得,∵y ＝−ax+z, 当−a≥0时,−a≤1,即−1≤a≤0; 当−a ＜0时,需满足−a≥−1,即0＜a≤1,故−1≤a≤1. 考点:由线性目标函数的最值求参数范围. 5.B【解析】作出约束条件表示的可行域,如图OAB △内部(含边界),21y z x +=-表示可行域内部的点(,)x y 与点(1,2)-连线的斜率,221OP k -==-,202143PA k --==-,结合图可知,z 的取值范围是2z ≤-或23z ≥,故选B.考点:分式型目标函数的最值. 6.D【解析】由向量(2,)a y x m =-,(1,1)b =-,且a ∥b ,得()1210y x m -⨯--⨯=,即2m x y =-.由约束条件1,1,2210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩作出可行域如图,联立1,210,x x y =⎧⎨+=⎩解得1,8,x y =⎧⎨=⎩则()1,8C ,由2m x y =-,得2y x m =-,故当直线2y x m =-在y 轴上的截距最大时,m 最小,即当直线2y x m =-过()1,8C 时,m 取最小值为2186⨯-=-.故答案为6-.选D. 考点:平行向量,由线性目标函数最值求参数. 7.D【解析】作出不等式组0,,4312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域,如图阴影部分所示,目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++,表示可行域内的点与()1,1--的连线的斜率的2倍与1的和,其斜率的最小值为min 1,k =最大值为()()max 41501k --==--,所以z 的取值范围是[]3,11,故选D.考点:分式型目标函数的最值. 8.B【解析】画出可行域(如图阴影部分所示)和曲线1322=+y x ,观察图形,知直线k x = 过直线01=+-y x 和1322=+y x 的交点)3,2(,解得2=k ,故选B.考点:由平方和型的目标函数的最值求参数值. 9.5【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,z 在点()4,2处取得最大值,最大值为max 42235z =+⨯-=.考点:线性目标函数的最值. 10.14【解析】作出约束条件10,10,330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩所对应的可行域如图所示,设2t x y =-,则当直线2t x y =-经过点()1,0时,2t x y =-取最大值2,从而212x yz -⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为14.考点:指数函数型目标函数的最值.11.1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中(0,0),(0,1),(1,1)A B C --,因此,当0z >,且z y x =的图象过点C 时,z 取最大值1;当0z <,且zy x =的图象与直线210x y -+=相切时,z 取最小值18-;当0x =时,0z =.综上,目标函数z xy =的取值范围为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点:反比例函数型目标函数的范围. 12.(1)21 (2)92 (3)37,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).(1)易知可行域内各点均在直线x+2y −4＝0的上方,故x+2y −4＞0,将点C(7,9)代入得z 的最大值为21.(2)z ＝x 2+y 2−10y+25＝x 2+(y −5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M 作直线AC 的垂线,易知垂足N 在线段AC 上,故z 的最小值是|MN|2＝92. (3)z ＝2×()121y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭--表示可行域内任一点(x,y)与定点Q 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的两倍,而k QA ＝74,k QB ＝38,故z 的范围为37,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点:简单线性规划.13.每天应生产A 型桌子2张,B 型桌子3张才能获得最大利润,最大利润为13千元 【解析】设每天生产A 型桌子x 张,B 型桌子y 张,获得的利润为z 千元,则28,39,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩z ＝2x+3y,作出可行域如图:把直线l :2x+3y ＝0向右上方平移至l '的位置时,直线经过可行域上的点M,此时z ＝2x+3y 取得最大值,解方程组28,39,x y x y +=⎧⎨+=⎩得2,3,x y =⎧⎨=⎩即M 的坐标为(2,3),此时最大利润223313z =⨯+⨯=千元.答:每天应生产A 型桌子2张,B 型桌子3张才能获得最大利润,最大利润为13千元. 考点:线性规划的实际应用.14.在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品分别为3吨和4吨时可获得最大利润,最大利润是27万元【解析】设该企业生产甲产品为x 吨,乙产品为y 吨,该企业可获得利润为z 万元,则53z x y =+,且0,0,313,2318,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩作出可行域如图所示,联立313,2318,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得3,4,x y =⎧⎨=⎩由图可知,最优解为()3,4P ,∴z 的最大值为max 533427z =⨯+⨯=(万元).所以在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品分别为3吨和4吨时可获得最大利润,最大利润是27万元.考点:简单线性规划的应用.。

第三章不等式
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
简单的线性规划问题
第课时简单的线性规划问题
级基础巩固
一、选择题．若变量，满足约束条件
且＝＋的最大值和最小值分别为和，则－＝( )
．．．．
解析：画出可行域，如图阴影部分所示．
由＝＋，得＝－＋.
由得
所以(－，－)．
由得
所以(，－)．
当直线＝－＋经过点时，＝×(－)－＝－＝，
当直线＝－＋经过点时，＝×－＝＝，故－＝.
答案：．设变量，满足约束条件则目标函数＝－的取值范围是( )
解析：作出可行域如图所示．
：－＝，在可行域内平移，可知在点处取最小值为－，在点处取
最大值为.
答案：．已知实数，满足条件
若目标函数＝－(≠)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数的
值为 ( )
．．－．－
解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线＝－(≠)与直线－＋＝重合，即＝时，目标函数
＝－取最大值的最优解有无穷多个．
答案：．若实数，满足不等式组
目标函数＝－的最大值为，则实数的值是( )
．．．．
解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数＝－，得直线
＝－在点(，)处取得最大值，即＝－·＝－＝，得＝.
答案：。

高中数学新人教A 版必修 5 练习附答案3. 3. 2 简单的线性规划问题课后篇 巩固探究A 组1. 已知某线性规划问题中的目标函数为 z=3x-y , 若将其看成直线方程 , 则 z 的几何意义是()A . 该直线的截距B . 该直线的纵截距C . 该直线的纵截距的相反数D . 该直线的横截距解析 由 z=3x-y , 得 y=3x-z , 在该方程中 -z 表示直线的纵截距 , 因此 z 表示该直线的纵截距的相反数 . 答案 C2. 目标函数 z=x-y 在 的线性约束条件下 , 取得最大值的可行解为 ( )A (0,1)B ( - 1, - 1)C (1,0) D. ... 解析 可以验证这四个点均是可行解 , 当 x=0, y=1 时 , z=-1; 当 x=- 1, y=- 1 时 , z=0; 当 x=1, y=0 时, z=1; 当 x=, y=时 , z=0. 排除选项 A,B,D, 故选 C .答案 C3. 若变量 x , y 满足约束条件 目标函数为 z=4x+2y , 则有 ()A. z 有最大值无最小值B. z 有最小值无最大值C.z 的最小值是 8D. z 的最大值是 10解析 由 z=4x+2y , 得 y=- 2x+.作出不等式组对应的平面区域 , 如图阴影部分所示 .平移直线 y=- 2x ,当直线 y=- 2x+经过点 B (0,1) 时 , 直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最小 , 此时 z 最小 , 且 z min =2.当直线 y=- 2x+经过点 C(2,1)时,直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最大, 此时z最大 , 且z max=4×2+2×1=10. 故选D.答案 D4.若直线y=2x上存在点 ( x, y) 满足约束条件则实数m的最大值为()A.- 1B.1C. D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示, 由得交点P(1,2).当直线 x=m经过点 P 时, m取到最大值1.答案 B5.已知实数x, y 满足约束条件则z=2x+y的最小值为.解析因为 z=2x+y,所以 y=- 2x+z. 不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示. 平移直线2x+y=0, 由图形可求得z=2x+y 的最小值是 - 2.答案 -26.已知变量x, y 满足则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域 , 如图阴影部分所示.由图知 , 目标函数z=x+y- 2在点 A 处取得最大值 .易知 (1,2), 故max 1 2 2 1A z = + - = .答案 17.铁矿石 A 和 B 的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格 c 如下表 :b/c/ 百a 万万元吨A 50%1 3B 70%0. 5 6某冶炼厂至少要生产1. 9 万吨的铁 , 若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨 , 则购买铁矿石的最少费用为百万元 .解析设需购买铁矿石 A x万吨 , 铁矿石 B y万吨 , 购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为目标函数为z=3x+6y. 画出约束条件表示的可行域, 如图阴影部分所示.当直线3 6 经过点 (1,2) 时 ,z 取最小值 , 且z最小值 3 16 215x+ y=z = ×+×= .答案 158.导学号04994076已知S为平面上以A(3, - 1), B( - 1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域 ( 含三角形内部及边界) .若点 ( x, y) 在区域S上移动.(1)求 z=3x- 2y 的最值;(2)求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解 .解 (1) z=3x- 2y可化为y=x-x+b,故求 z 的最大值、最小值, 相当于求直线y=x+b 在 y 轴上的截距 b 的最小值、最大值, 即b取最大值 , z取最小值 ; 反之亦然.①如图 ①, 平移直线 y=x , 当 y=x+b 经过点 B 时 , b max =, 此时 z min =-2b=- 5; 当 y=x+b 经过点 A时, b min =- , 此时 z max =- 2b=11. 故 z=3x- 2y 的最大值为 11, 最小值为 - 5.(2) z=y-x 可化为 y=x+z , 故求 z 的最大值 , 相当于求直线y=x+z 在 y 轴上的截距 z 的最大值 .如图② , 平行移动直线y=x , 当直线y=x+z 与直线 重合时 ,max2, 此时线段 上任一点的坐BCz = BC标都是最优解 .②9. 甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产 , 一农民有山地 20 亩 , 根据往年经验 , 若种脐橙 , 则每年每亩平均产量为1 000 千克 ; 若种甜柚 , 则每年每亩平均产量为1 500 千克 . 已知脐橙成本每年每亩 4 000 元, 甜柚成本较高 , 每年每亩 12 000 元 , 且脐橙每千克卖 6 元 , 甜柚每千克卖 10 元 . 现该农民有 120 000 元 , 那么两种水果的种植面积分别为多少 , 才能获得最大收益 ?解设该农民种 x 亩脐橙 , y 亩甜柚时 , 能获得利润 z 元.则 z=(1 000 ×6- 4 000) x+(1 500 ×10- 12 000) y=2 000 x+3 000 y ,其中 x , y 满足条件作出可行域 , 如图中阴影部分所示 .当直线 y=-x+经过点 A (15,5), 即种 15 亩脐橙 ,5 亩甜柚时 , 每年收益最大 , 为 45 000 元 .B 组1 . 若变量 , y 满足约束条件且 5的最大值为 , 最小值为 b , 则 a-b 的值是x z= y-x a( )A.48B.30C.24D.16解析 画出可行域 , 如图阴影部分所示 .由图可知 , 当直线 y=经过点 A 时 , z 有最大值 ; 经过点 B 时, z 有最小值 . 联立方程组解得即 A (4,4) .对 x+y=8, 令 y=0, 则 x=8, 即 B (8,0), 所以 a=5×4- 4=16, b=5× 0- 8=-8, 则 a-b=16- ( - 8) =24, 故选 C . 答案 C2. 已知正数 x , y 满足则 z=22x+y 的最大值为 ()A . 8B . 16C . 32D . 64解析 设 t= 2x+y , 可求得当直线 t= 2x+y 经过 2x-y= 0 与 x- 3y+5=0 的交点 (1,2) 时 , t 取最大值4, 故22x+y的最大值为 16 . z=答案 B3. 已知 x , y 满足约束条件若 z=x- 3y+m 的最小值为 4, 则 m=( )A .6B .8C .10D .12解析 作出满足约束条件的可行域, 如图中的阴影部分所示 . 由 z=x- 3y+m , 得 y=x- , 则由图可知 z=x- 3y+m 在点 A ( - 2,2) 处取得最小值 , 则有 z=- 2- 3×2+m=4, 所以 m=12, 故选 D .答案 D4. 已知变量 x , y 满足约束条件 则 z=3|x|+y 的取值范围为 ()A . [ - 1,5]B . [1,11]C . [5,11]D . [ - 7,11] 解析 画出可行域 , 由可行域可知 ,当 x ≥0时, 3 的取值范围是 [1,11];当0 时, 3的取值范围是 (1,5] . 综z= x+yx<z=- x+y上, z=3|x|+y 的取值范围为 [1,11] .答案 B5. 若变量 x , y 满足约束条件则 z=x+的取值范围为.解析 由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分( △ OAB 及其内部 ), 其中 (0,0), (1,2), (2, 1), 因此当直线经过点 A 时 , z 取得最大值 , 即 z max 12; 当直线 OAB -z=x+= +=z=x+经过点 O 时 , z 取得最小值 , 即 z min =0. 所以 z=x+的取值范围为 [0,2] .答案 [0,2]6. 某公司生产甲、 乙两种桶装产品 , 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克 ;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元 , 每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中 , 要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克 . 通过合理安排生产计划 , 从每天生产的甲、乙两种产品中 , 公司共可获得的最大利润是元.解析 设生产甲产品 x 桶 , 乙产品 y 桶 , 每天利润为 z 元, 则z=300x+400y.作出可行域 , 如图中的阴影部分所示. 作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点 A时, z=300x+400y取最大值.由所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.答案 2 8007.已知z=2y- 2x+4, 其中x, y满足条件求z的最大值和最小值.解作出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 令2y- 2x=t ,则当直线2y- 2x=t 经过点 A(0,2)时, z max=2×2- 2×0+4=8;当直线 2y- 2x=t经过点B(1,1) 时 , z min=2×1- 2×1+4=4.故z 的最大值为 8, 最小值为 4.8. 导学号 04994077 某公司有 60 万元资金 , 计划投资甲、乙两个项目 , 按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对甲项目每投资 1 万元可获得0. 4 万元的利润 , 对乙项目每投资 1 万元可获得 0. 6 万元的利润 , 该公司正确规划投资后 , 在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x 万元,投资乙项目 y 万元,可获得利润为z 万元,则目标函数为z=0. 4x+0. 6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由 z=0. 4x+0. 6y,得 y=-x+z.由得 A(24,36) .由图知 , 当直线y=-x+z经过点A时 , z取得最大值 , 即z取得最大值. 故 z max=0. 4×24+0. 6×36=31. 2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2 万元.。

3.3.2 简单的线性规划问题基础过关1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是()A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 已知约束条件可行域如图，z ＝x ＋2y 经过B (－1，2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3，故选D.答案 D2.若满足条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( ) A.－3 B.－2 C.－1D.0解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0).当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点.故选C.答案 C3.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( ) A.－3 B.3 C.－1D.1解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.答案 D4.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________.解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2，0)时，有最小值2，过点B (2，2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2，6]. 答案 [2，6]5.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表示的平面区域如图所示．由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2的纵截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.答案 －56.设x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求x ＋y 的取值范围.解 如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2，0).z 最小值＝2，z 无最大值， ∴x ＋y ∈[2，＋∞).7.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 救援物资的任务.该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.A 型车B 型车 限量 车辆数 x y 10 运物吨数 24x 30y 180 费用320x504yz由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出线性区域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5，0)时，z 最小，但A (7.5，0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8，0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，0辆B 型车，成本费最低.所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低.能力提升8.已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A.[－1，0]B.[0，1]C.[0，2]D.[－1，2]解析 作出可行域，如图所示，因为OA→·OM →＝－x ＋y . 所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1，1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点Q (0，2)时，z 有最大值， z max ＝0＋2＝2，所以OA →·OM →的取值范围是[0，2]. 答案 C9.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是()A.5B.6C.8D.10解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)，z ＝2y ＋2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0，4)时，斜率最大，最大值为4－（－1）0－（－1）＝5，∴z max ＝2×5＝10.故选D.答案 D10.某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品________吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大.解析 设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.目标函数为S ＝7x ＋12y ，可行域如图阴影部分(含边界)所示，从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，S 取最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20，24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元). 答案 20 2411.已知⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________.解析 令z ＝x 2＋y 2，画出可行域， 如图阴影部分(含边界)所示，令d＝x 2＋y 2，即可行域中的点到原点的距离， 由图得d min ＝1＋4＝5，∴z min ＝d 2＝5. 答案 512.某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积 2 m 2，可做A ，B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A ，B 的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小. 解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y . 可行域为如图所示的阴影部分(含边界)，其中l 1：3x ＋6y ＝45，l 2：5x ＋6y ＝55， l 1与l 2的交点为A (5，5)，目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5，5)处取得， 此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25. 即甲、乙两种薄钢板各5张， 能保证制造A ，B 的两种外壳的用量， 同时又能使用料总面积最小.创新突破13.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)求2x ＋y 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值； (3)求yx 的最大值和最小值.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1) (1)∵z ＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z max ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (1，2)时，直线 在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z min ＝2×1＋2＝4. ∴2x ＋y 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内，此时可行域内的点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小. 又|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴x 2＋y 2的最小值为92，最大值为13.(3)∵yx 表示可行域内一点(x ，y )与定点O (0，0)连线的斜率，由图知k OB ≤y x ≤k OA ，即12≤yx ≤2，人教版高中数学必修五11 ∴y x 的最大值为2，最小值为12.。

一、本节学习目标1．会利用“数形结合法”求目标函数的最优解；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力． 二、重难点指引重点：线性规划问题的图解法． 难点：建立线性约束条件． 三、学习指导本节最常用的数学思想方法就是：数形结合法，因此，做出的每条直线的相对位置关系必须准确，否则观察结果时就可能有误． 四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．线性约束条件：由y x 、的__________不等式（或方程）组成的条件组； 2．线性目标函数：关于y x 、的__________解析式；3．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的__________或__________的问题，统称为线性规划问题．4．可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的__________叫可行解．由所有可行解组成的__________叫做可行域．5．使目标函数取得_______或________的可行解叫线性规划问题的最优解． ▲ 二读教材1．已知41,31≤≤-≤≤y x ,则y x 23+的取值范围是 ．2．求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++<++<016340440y x y x x 的整数解()y ,x 是__________．▲ 三读教材1．目标函数y x z -=2,将其看成直线方程时，z 的意义是 ( )A ．该直线的截距B ． 该直线的纵截距C ．该直线纵截距的相反数D ．该直线的横截距 2．设E 为平面上以A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为 .3．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,y x ,y x ,y x 3213则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．234．在约束条件：102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下，求22y x z +=的最小值． 五、典型例析例1 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+,02,1,42x y x y x(Ⅰ)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (Ⅱ)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．例2 要将大小不同甲、乙的两种钢板截成A 、B 、C 三种不同规格的钢板，每种钢板可同甲、乙每张钢板的面积分别为1平方米、2平方米.现在需要A 、B 、C 三种钢板各12、15、27块，问各截甲、乙两种钢板各多少张，能满足需要且使所使用的甲、乙两种钢板面积和最小？ 例3 (2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ,目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)例4 如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( ) A.5－1 B.45－1 C ．22－1 D.2－1六、课后自测 ◆ 基础知识自测1．下列命题正确的是 （ ）A ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值B ．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z=2x+4y 的最小值为 ( )A ．5B ．－6C ．10D ．－103．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种4．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x 且84422+--+=y x y x u ，则u 的最小值是 ．5．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 ．◆ 能力提升训练1．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例是2：3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是 ( )A ．⎩⎨⎧∈≤+N y x y x 、532 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+N y x y x y x 、3220004050 C ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+321004050y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x 2．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分包括周界），目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（ ） A ．3-B ． 3C ．1-D ．13．4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花 与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花与3枝月季 花的价格比较结果是（ ）A ．2枝牡丹花贵B ． 3枝月季花贵C ．相同D ．不确定 4．△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A （2，4）B （-1，0）C （1，0），当点P （x,y ）在△ABC 的内部及边界上运动时，z=x-y 的最大值与最小值分别是 .5．满足约束条件,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 的点（x,y ）中使目标函数z=6x+8y 取得最大值的点的坐标是 ．6．设M 为平面上不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+-≥++≤-+020204340634y x y x y x y x 表示的平面区域.求点(x ，y )在M 上变动时，y －2x 的最大值.◆ 智能拓展训练1．设f(x)=ax 2＋bx ，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．2.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x ，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3xyA(1,1)B(5,1)C(4,2)3.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 4.某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B ． （Ⅰ）用x 、y 表示混合物成本C ．（Ⅱ）确定x 、y 、z 的值，使成本最低．5．已知O 为坐标原点，A(2,1)，P(x ，y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ,则| |·cos ∠AOP 的最大值等于______．3.3.2简单的线性规划问题答案▲ 一读教材1．一次；.2．一次；3．最大值、最小值； 4．解（x ,y ）、集合；5．最大值、最小值． ▲ 二读教材 1．[1,17]2．整数解有:(－1,－1)、( －1,－2)、()3,1--( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1) ▲ 三读教材1．C ； 2；14，-18 3． B ； 4．29100． 课后自测◆ 基础知识自测1. D ；2.B ；3.C ；4. 29； 5.9 ． ◆ 能力提升自测1.B ；2.A ；3.A ；4.1,－2 ；5.(0,5) ；6. 724． ◆ 智能拓展训练 1. 解 依题：⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a 而()b a f 242-=-设)()()2(b a n b a m f ++-=-则⎩⎨⎧-=+-=+24n m n m ⎩⎨⎧==∴13n m10)()(31≤++-≤-∴b a b a)2(-∴f 的取值范围是：[]10,1-2. 解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x 所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，∵ABC S ∆＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.答案：D3. 解析：选B.将直线y ＝x ＋1与y ＝2x －1联立解得A (2,3)，据题意即为最优解，又点A 必在直线x ＋y ＝m 上，代入求得m ＝5.4. 解 （Ⅰ）依题意：x 、y 、z 满足x+y+z=100可化为z=100-x-y ∴ 成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）（Ⅱ）依题意⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x∵ y x z --=100∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+0,0130316032y x y x y x作出不等式组所对应的可行域，如图所示． 联立⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 的交点)20,50(A 作直线C y x =++40057则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过)20,50(A 时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元 ∴ x=50千克，z=30千克时成本最低．5. 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)，由于|OP |·cos ∠AOP＝OAAOPCOS OA OP ∠⋅＝OAOAOP ⋅，而OA ＝(2,1)，OP ＝(x ，y )，所以|OP |·cos ∠AOP ＝2x ＋y5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值，由⎩⎨⎧=+=+-2553034y x y x 得M (5,2)，这时z ＝12，所以|OP |·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP |·cos ∠AOP 的最大值等于1255.答案：1255。

3.3.2 简单的线性规划问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y ,若将其看成直线方程,则z 的几何意义是( ) A .该直线的截距 B .该直线的纵截距 C .该直线的纵截距的相反数 D .该直线的横截距z=3x-y ,得y=3x-z ,在该方程中-z 表示直线的纵截距,因此z 表示该直线的纵截距的相反数.2. 目标函数z=x-y 在{2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x +y ≤1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为( )A .(0,1)B .(-1,-1)C .(1,0)D .(12,12),当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=12,y=12时,z=0.排除选项A,B,D,故选C .3.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤3,x -y ≥-1,y ≥1,目标函数为z=4x+2y ,则有( )A.z 有最大值无最小值B.z 有最小值无最大值C.z 的最小值是8D.z 的最大值是10z=4x+2y ,得y=-2x+z.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示. 平移直线y=-2x ,当直线y=-2x+z经过点B (0,1)时,直线y=-2x+z在y 轴上的截距最小,此时z 最小,且z min =2.当直线y=-2x+z2经过点C (2,1)时,直线y=-2x+z 2在y 轴上的截距最大,此时z 最大,且z max =4×2+2×1=10.故选D .4.若直线y=2x 上存在点(x ,y )满足约束条件{x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为( )A.-1B.1C.32D.2,由{y =2x ,x +y -3=0得交点P (1,2).当直线x=m 经过点P 时,m 取到最大值1.5.已知实数x ,y 满足约束条件{x -y +4≥0,x +y ≥0,x ≤3,则z=2x+y 的最小值为 .z=2x+y ,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y 的最小值是-2.26.已知变量x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=x+y-2的最大值为 .作出可行域,如图阴影部分所示.由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取得最大值. 易知A (1,2),故z max =1+2-2=1.7.铁矿石A 和B 的含铁率a 、冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO 2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.A x 万吨,铁矿石B y 万吨,购买费用为z ,则根据题意得到的约束条件为{x ≥0,y ≥0,0.5x +0.7y ≥1.9,x +0.5y ≤2,目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z 经过点(1,2)时,z 取最小值,且z 最小值=3×1+6×2=15.8. 已知S 为平面上以A (3,-1),B (-1,1),C (1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x ,y )在区域S 上移动. (1)求z=3x-2y 的最值;(2)求z=y-x 的最大值,并指出其最优解.z=3x-2y 可化为y=32x-z 2=32x+b ,故求z 的最大值、最小值,相当于求直线y=32x+b 在y 轴上的截距b 的最小值、最大值,即b 取最大值,z 取最小值;反之亦然.①如图①,平移直线y=32x ,当y=32x+b 经过点B 时,b max =52,此时z min =-2b=-5;当y=32x+b 经过点A 时,b min =-112,此时z max =-2b=11.故z=3x-2y 的最大值为11,最小值为-5.(2)z=y-x 可化为y=x+z ,故求z 的最大值,相当于求直线y=x+z 在y 轴上的截距z 的最大值.如图②,平行移动直线y=x ,当直线y=x+z 与直线BC 重合时,z max =2,此时线段BC 上任一点的坐标都是最优解.②9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益?x 亩脐橙,y 亩甜柚时,能获得利润z 元.则z=(1 000×6-4 000)x+(1 500×10-12 000)y=2 000x+3 000y ,其中x ,y 满足条件{x +y ≤20,4 000x +12 000y ≤120 000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤20,x +3y ≤30,x ≥0,y ≥0,作出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-23x+z3 000经过点A (15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元. 能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z=5y-x 的最大值为a ,最小值为b ,则a-b 的值是( )A.48B.30C.24D.16,如图阴影部分所示.由图可知,当直线y=x 5+z5经过点A 时,z 有最大值;经过点B 时,z 有最小值.联立方程组{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4,即A (4,4).对x+y=8,令y=0,则x=8,即B (8,0), 所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8, 则a-b=16-(-8)=24,故选C .2.已知正数x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=22x+y 的最大值为( )A .8B .16C .32D .64t=2x+y ,可求得当直线t=2x+y 经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t 取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.3.已知x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -y +1≤0,x +2y -2≤0,若z=x-3y+m 的最小值为4,则m=( )A .6B .8C .10D .12,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m ,得y=13x-z 3+m 3,则由图可知z=x-3y+m 在点A (-2,2)处取得最小值,则有z=-2-3×2+m=4,所以m=12,故选D .4.已知变量x ,y 满足约束条件{y ≤2,x +y ≥1,x -y ≤1,则z=3|x|+y 的取值范围为( )A.[-1,5]B.[1,11]C.[5,11]D.[-7,11],由可行域可知,当x≥0时,z=3x+y的取值范围是[1,11];当x<0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5].综上,z=3|x|+y的取值范围为[1,11].5.若变量x,y满足约束条件{2x-y≥0, x+2y≥0, 3x+y-5≤0,则z=x+y2的取值范围为.(△OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+y2经过点A时,z取得最大值,即z max=1+22=2;当直线z=x+y2经过点O时,z取得最小值,即z min=0.所以z=x+y2的取值范围为[0,2].6.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是元.x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则{x+2y≤12,2x+y≤12,x≥0,y≥0,z=300x+400y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由{x+2y=12,2x+y=12得{x=4,y=4,所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.7.已知z=2y-2x+4,其中x ,y 满足条件{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t ,则当直线2y-2x=t 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线2y-2x=t 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4. 故z 的最大值为8,最小值为4.8.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?x 万元,投资乙项目y 万元,可获得利润为z 万元,则{x +y ≤60,x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,目标函数为z=0.4x+0.6y. 作出满足题意的可行域如图阴影部分所示. 由z=0.4x+0.6y ,得y=-23x+53z.由{3x -2y =0,x +y =60,得A (24,36).由图知,当直线y=-23x+53z 经过点A 时,53z 取得最大值,即z 取得最大值. 故z max =0.4×24+0.6×36=31.2(万元), 即一共可获得的最大利润为31.2万元.。

【创新方案】2013版高中数学 第三章 3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 利用简单的线性规划求最值 NO.1 课堂强化 新人教A 版必修51．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：画出可行域(如图)，由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，则当目标函数过C (1，－1)时取得最大值，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.答案：B2．(2011·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5解析：作出可行域，如图所示A (0,2.5)，B (3,1)，C (0，－2)当动直线3y ＋2x ＋1－z ＝0经过B (3,1)时z ＝2x ＋3y ＋1取最大值z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.答案：B3．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10解析：先由约束条件作出可行域如图．A (0,1)，B (1,0)，目标函数z ＝(x ＋3)2＋y 2表示阴影部分的点与点C (－3,0)的距离的平方由图可知最小为|AC |2＝32＋12＝10.答案：D4．(2011·全国高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析： 先由约束条件作出可行域如图．A (5，－1)，B (6，－3)，C (4，－5)，D (3，－3)．动直线x ＋2y －z ＝0过C (4，－5)时目标函数z ＝x ＋2y 取得最小值z ＝4＋2×(－5)＝－6.答案：－65．(2012·徐州高二检测)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是________．解析：画出可行域如图，由y x 的几何意义知，最优解为A (52，92)，B (1,6)，而k QA ＝95，k QB＝6，∴y x 的取值范围为[95，6]．答案：[95，6]6．如果实数x ，y 满足3x ＋2y －1≥0，求u ＝x 2＋y 2＋6x －2y 的最小值．解：设不等式3x ＋2y －1≥0表示的平面区域内任意一点M (x ，y )，A (－3,1)，则u ＝(x ＋3)2＋(y －1)2－10＝|MA |2－10，画出不等式3x ＋2y －1≥0表示的平面区域可得|MA |的最小值是点A 到直线3x ＋2y －1＝0的距离|－9＋2－1|13＝813，8 13)2－10＝－6613.u min＝(。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( ) A ．[1,3] B ．[－3,1] C ．[－1,3]D ．[－3，－1]解析：直线m ＝y －x 的斜率k 1＝1≥k AB ＝23，且k 1＝1＜k AC ＝4，∴直线经过点C (1,0)时m 最小，为－1，经过点B (－1,2)时m 最大，为3. 答案：C2．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1y －x ≤1x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A 处取得最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1y －x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，∴A (0,1)，所以z ＝2x －y 在点A 处取得最小值为2×0－1＝－1.答案：A3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0解析：由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0. 答案：D4．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －8≤0，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ． [13,40]B ．[13,40)C ．(13,40)D ．(13,40]解析：作出可行域如图阴影部分所示．x 2＋y 2可以看成点(0,0)与点(x ，y )距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可行域内的点A (2,3)连线的距离最小，即x 2＋y 2最小，最小值为13；点(0,0)与可行域内的点B (2,6)连线的距离最大，即x 2＋y 2最大，最大值为40. 所以x 2＋y 2的取值范围为[13,40]． 答案：A5．已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( ) A ．(－14,16) B ．(－14,20) C ．(－12,18) D ．(－12,20)解析：如图，由▱ABCD 的三个顶点A (－1,2)，B (3,4)， C (4，－2)可知D 点坐标为(0，－4)， 由z ＝2x －5y 知y ＝25x －z 5， ∴当直线y ＝25x －z5过点B (3,4)时，z min ＝－14.当直线y ＝25x －z5过点D (0，－4)时，z max ＝20.∵点(x ，y )在▱ABCD 的内部不包括边界， ∴z 的取值范围为(－14,20)． 答案：B6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．解析：设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值， 此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)． 答案：277．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：3x ＋y ＝0，平移直线l 0，当直线l ：z ＝3x ＋y 过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －2y ＋1＝0解得A (1,1)，∴z ＝3x ＋y 的最大值为4. 答案：48．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1,2)，所以|AO |2＝5. 答案：59．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x y ≥－2x .x ≤3(1)求不等式组表示的平面区域的面积； (2)若目标函数为z ＝x －2y ，求z 的最小值． 解析：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A 、B 的坐标为： A (3,6)，B (3，－6)， 所以三角形OAB 的面积为： S △OAB ＝12×12×3＝18.(2)目标函数化为：y ＝12x －12z ，作图知直线过A 时z 最小，可得A (3,6)，∴z min ＝－9.10．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解析：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55钢板总面积z ＝2x ＋3y . 作出可行域如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝5.所以，甲、乙两种钢板各用5张．[B 组 能力提升]1．设O 为坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个解析：如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域． ∵OA →·OB →＝x ＋y ， 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2. 答案：B2．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.那么a 2＋b 2的取值范围是( ) A ．(45，165)B ．(45，16)C ．(1,16)D ．(165，4)解析：原不等式组等价为⎩⎪⎨⎪⎧2<a ＋2ba ＋2b <4，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，a 2＋b 2表示区域内的动点P (a ，b )到原点距离的平方，由图象可知当P 在D 点时，a 2＋b 2最大，此时a 2＋b 2＝42＝16，原点到直线a ＋2b －2＝0的距离最小，即d ＝|－2|1＋22＝25，所以a 2＋b 2＝d 2＝45，即a 2＋b 2的取值范围是45<a 2＋b 2<16，选B.答案：B3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________．解析：如图所示，依题意直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于A (1,3)，此时取最大值，故a ＞1. 答案：(1，＋∞)4．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值．而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线． 答案：65．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，求：2x －y －5≤0，(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝y ＋1x ＋1的范围． 解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(2)z ＝y －(－1)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，因为k QA ＝2，k QB＝12， 故z 的范围为⎣⎡⎦⎤12，2.6．已知－1＜x ＋y ＜3，且2＜x －y ＜4，求2x ＋3y 的范围．解析：在直角坐标系中作出直线x ＋y ＝3，x ＋y ＝－1，x －y ＝4，x －y ＝2，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜32＜x －y ＜4表示的平面区域是矩形ABCD 区域内的部分． 设2x ＋3y ＝z ，变形为平行直线系l ： y ＝－23x ＋z 3.由图可知，当l 趋近于A 、C 两点时，截距z3趋近于最大值与最小值，即z 趋近于最大值与最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝3，求得点A (52，12)．所以z ＜2×52＋3×12＝132.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝－1，求得点C (32，－52)．所以z ＞2×32＋3×(－52)＝－92.所以－92＜2x ＋3y ＜132.。