浙江省9+1高中联盟2017-2018学年高一上学期期中联考数学---精校解析Word版

2016-2017学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|log2x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（0，3）C．（0，8）D．（﹣1，8）2．已知命题p：（x+2）（x+1）＜0命题，则下列说法正确的是（）A．p是q的充要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充分不必要条件D．是q的既不充分也不必要条件3．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．4．为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位5．展开式中，各项系数之和为3，则展开式中的常数项为（）A．﹣120 B．﹣80 C．80 D．1206．设x，y满足约束条件若0≤ax+by≤2恒成立，则a2+b2的最大值是（）A．1 B．C．D．47．如图，已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=4，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，（a，b，c均为非零整数），且f（a）=a3，f（b）=b3，a ≠b，则c=（）A．16 B．8 C．4 D．1二、填空题（本题共7道小题，共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9．如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．10．已知抛物线x2=4y的焦点F的坐标为；若M是抛物线上一点，|MF|=5，O为坐标原点，则cos∠MFO=．11．已知，则sinα的值为；的值为．12．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率为；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为．13．已知x，y∈R+，且满足x+2y=2xy，那么3x+4y的最小值为．14．已知定义域为R的函数f（x），对任意的x∈R，均有f（x+1）=f（x﹣1），且x∈（﹣1，1]时，有f（x）=，则方程f（f（x））=3在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为．15．已知函数f（x）=ax2（a＞0），点A（5，0），P（1，a），若存在点Q（k，f（k））（k＞0），要使=λ（+）（λ为常数），则k的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的最大值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．18．数列{a n}中，S n是{a n}的前n项和且S n=2n﹣a n，（1）求a1，a n；（2）若数列{b n}中，b n=n（2﹣n）（a n﹣2），且对任意正整数n，都有，求t 的取值范围．19．已知椭圆，过的直线l与椭圆交于A，B两点，过Q（x0，0）（|x0|＜a）的直线l'与椭圆交于M，N两点．（1）当l的斜率是k时，用a，b，k表示出|PA|•|PB|的值；（2）若直线l，l'的倾斜角互补，是否存在实数x0，使为定值，若存在，求出该定值及x0，若不存在，说明理由．20．已知函数：f（x）=﹣x3﹣3x2+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．（1）令h（x）=f（x﹣1）﹣b+a+3，判断h（x）的奇偶性，并讨论h（x）的单调性；（2）若g（x）=|f（x）|，设M（a，b）为g（x）在[﹣2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．2016-2017学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|log2x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（0，3）C．（0，8）D．（﹣1，8）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|log2x＜3}={x|0＜x＜8}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：B．2．已知命题p：（x+2）（x+1）＜0命题，则下列说法正确的是（）A．p是q的充要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充分不必要条件D．是q的既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设知：命题p：﹣2≤x≤﹣1，命题q：﹣2≤x≤﹣，由此得到p是q的充分不必要条件．【解答】解：∵命题p：（x+2）（x+1）＜0，∴命题P：﹣2＜x＜﹣1，∵命题，∴﹣2≤x≤﹣，∴p是q的充分不必要条件，故选：C．3．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（5+）×2=，故选：B4．为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，得出结论．【解答】解：∵函数=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，即可得到函数=sin（2x+）的图象，故选：D．5．展开式中，各项系数之和为3，则展开式中的常数项为（）A．﹣120 B．﹣80 C．80 D．120【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式中，各项系数之和为3，令x=1，求出a．再求出展开式中x的一次项及x的﹣1次项即可．【解答】解：展开式中，各项系数之和为3，展开式中各项系数和为3 ∴x=1时，1+a=3，∴a=2．=5∵展开式中x的一次项为80x，x的﹣1次项为﹣40 x﹣1，展开式中的常数项为160﹣40=120故选：D，6．设x，y满足约束条件若0≤ax+by≤2恒成立，则a2+b2的最大值是（）A．1 B．C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，利用线性规划知识，通过0≤ax+by≤2，得到a，b的不等式组，然后求解a2+b2的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），可得C（0，1），可得B（1，2）．0≤ax+by≤2恒成立，可得：，画出关于a，b的可行域，如图：a2+b2的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方，显然D到原点的距离最大，由，解得D（﹣，）∴a2+b2的最大值=．故选：C．7．如图，已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=4，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则，OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=4，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则PQ=2R，OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=，由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①，在△OQA中，=，所以R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得e==．故选：A．8．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，（a，b，c均为非零整数），且f（a）=a3，f（b）=b3，a ≠b，则c=（）A．16 B．8 C．4 D．1【考点】函数的值．【分析】由f（a）=a3，f（b）=b3列出等式化简即b=1﹣a﹣，因为b为整数，得出a=﹣2，从而求出b与c值．【解答】解：由已知得，①﹣②化简得：a（a+b）（a﹣b）+b（a﹣b）=0，b=﹣a（a+b），即b=1﹣a﹣，a，b，c均为非零整数且a≠b，得为整数，所以a=﹣2，所以a=﹣2，b=4，∵f（﹣2）=﹣8⇒c=16．故选：A二、填空题（本题共7道小题，共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9．如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=1；f（﹣t）=0．【考点】函数的值．【分析】由函数性质列出方程组，求出a=1，t2sint=1，由此能求出f（﹣t）．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．10．已知抛物线x2=4y的焦点F的坐标为（0，1）；若M是抛物线上一点，|MF|=5，O为坐标原点，则cos∠MFO=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．利用抛物线的方程与定义，即可得出结论．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴=1∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．∵M是抛物线上一点，|MF|=5，∴M（±4，4），∴cos∠MFO=﹣．故答案为11．已知，则sinα的值为；的值为3﹣2．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可求范围α+β∈（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β），sinβ的值，利用角的关系α=（α+β）﹣β，根据两角差的正弦函数公式即可化简求值，进而可求cosα，利用同角三角函数基本关系式，降幂公式即可计算得解的值．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈（，），…1分∴cos（α+β）=﹣=﹣，…3分∴cosβ==﹣，…5分∴sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×（﹣）﹣（﹣）×=．∵cosα==，∴===3﹣2．故答案为：．12．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率为；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】①每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率=．②设摸到红球次数为X，则X的取值分别为0，1，2，3，P（X=k）=，（k=0，1，2，3）．【解答】解：①每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率P===．②设摸到红球次数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=k）=，（k=0，1，2，3）．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，∴E（X）=0+1×+2×+3×=．故答案为：．13．已知x，y∈R+，且满足x+2y=2xy，那么3x+4y的最小值为5+2．【考点】基本不等式．【分析】由正数x，y满足x+2y=2xy，得到+=1，再利用基本不等式即可求出．【解答】解：由正数x，y满足x+2y=2xy，∴+=1，∴3x+4y=（3x+4y）（+）=3+2++≥5+2=5+2，当且仅当x=，y=时取等号，故3x+4y的最小值为：，故答案为：5+214．已知定义域为R的函数f（x），对任意的x∈R，均有f（x+1）=f（x﹣1），且x∈（﹣1，1]时，有f（x）=，则方程f（f（x））=3在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为3．【考点】抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】计算f（x）的周期，做出f（x）的函数图象，根据函数图象判断f（x）=3，从而得出x的值．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），∴f（x）是以2为周期的函数．做出f（x）的函数图象如图所示：∵f（f（x））=3，∴f（x）=1+2k，k∈Z．∵1＜f（x）≤3，∴f（x）=3，∵x∈[﹣3，3]，∴x=﹣1或x=1或x=3．f（f（x））=3在[﹣3，3]内的所有跟之和为（﹣1）+1+3=3．故答案为：3．15．已知函数f（x）=ax2（a＞0），点A（5，0），P（1，a），若存在点Q（k，f（k））（k＞0），要使=λ（+）（λ为常数），则k的取值范围为（2，+∞）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据向量和+共线得出a，k的关系式，化简即可得出k=．根据条件得出0＜1﹣a2＜1，【解答】解：Q（k，ak2），=（1，0），=（，），=（1，a）．∴+=（1+，），∵=λ（+）（λ为常数），∴﹣a（1+）=0，∴ak2﹣ak=a=ak，∴k﹣1=，即k2﹣2k+1=a2k2+1，若a=1，则k=0，不符合题意；∴a≠1，∴k=．∵a＞0且a≠1，k＞0，∴0＜1﹣a2＜1，∴＞2．故答案为（2，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得2cos2A+3cosA﹣2=0，可得cosA=，进而可求A的值．（2）由已知及余弦定理可求得，利用基本不等式即可求得b+c的最大值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A，得3（cosBcosC﹣sinBsinC）=cos2A﹣1，即3cos（B+C）=2cos2A﹣2，即2cos2A+3cosA﹣2=0…可得：（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，可得：cosA=或cosA=﹣2（舍去），可得：A=…6分（2）由及b2+c2﹣2bccosA=a2得b2+c2﹣bc=12，…从而（b+c）2﹣3bc=12，即，…又因，所以即（b+c）2≤48，所以，当且仅当时取到最大值．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）∴cos＜，由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．18．数列{a n}中，S n是{a n}的前n项和且S n=2n﹣a n，（1）求a1，a n；（2）若数列{b n}中，b n=n（2﹣n）（a n﹣2），且对任意正整数n，都有，求t的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（2）利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）设n=1时，a1=1，由已知S n=2n﹣a n…①，得S n+1=2n+2﹣a n+1…②②式减①式得，∴，∴{a n﹣2}是﹣1为首项，为公比的等比数列．∴a n﹣2=﹣，．（2），n≤3时，b n+1﹣b n＞0，n≥4时，b n+1﹣b n＜0，（b n）max=b4=1．∴1+t≤2t2，2t2﹣t﹣1≥0；t≥1或．19．已知椭圆，过的直线l与椭圆交于A，B两点，过Q（x0，0）（|x0|＜a）的直线l'与椭圆交于M，N两点．（1）当l的斜率是k时，用a，b，k表示出|PA|•|PB|的值；（2）若直线l，l'的倾斜角互补，是否存在实数x0，使为定值，若存在，求出该定值及x0，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设直线AB的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理，因此，由弦长公式可知：，（2）当直线MN的斜率存在时：设直线MN的方程：y=﹣k（x﹣x0），代入椭圆方程，由韦达定理可知：，由弦长公式求得丨MN 丨，则，，当x0=0时，为常数，当直线MN的斜率不存在时：时，为定值，所以当x0=0时，为常数．【解答】解：（1）椭圆，焦点在x轴上，焦距为2c，设直线AB的方程：，由，整理得：，由韦达定理可知：，…，…（2）当直线MN的斜率存在时：设直线MN的方程：y=﹣k（x﹣x0），M（x3，y3），N（x4，y4）．由，可知得：，则，由韦达定理可知：，由弦长公式可知：丨MN丨=•，…∴，…，…∴当x0=0时，为常数…当直线MN的斜率不存在时：时，为定值．综上：所以当x0=0时，为常数．…20．已知函数：f（x）=﹣x3﹣3x2+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．（1）令h（x）=f（x﹣1）﹣b+a+3，判断h（x）的奇偶性，并讨论h（x）的单调性；（2）若g（x）=|f（x）|，设M（a，b）为g（x）在[﹣2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）根据已知求也函数h（x）的解析式，结合函数奇偶性的定义，可判断函数的奇偶性，求导，可分析出h（x）的单调性；（2）若g（x）=|f（x）|，则f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，结合导数法分类讨论，可得M（a，b）的最小值．【解答】解：（1）h（x）=﹣（x﹣1）3﹣3（x﹣1）2+（1+a）x+2，h（﹣x）=（x+1）3﹣3（x+1）2﹣x（a+1）+2，故h（x）是非奇非偶函数；h′（x）=﹣3x2+a+4，a+4≤0即a≤﹣4时，h′（x）≤0，h（x）在R递减；a+4＞0即a＞﹣4时，令h′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令h′（x）＜0，解得：x＜﹣或x＞，故h（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，）递增，在（，+∞）递减；（2）g（x）=|f（x）|=|x3+3x2﹣（1+a）x﹣b|，（a＜0），则f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，则h′（t）=3t2﹣（a+4），t∈[﹣1，1]，①当a≤﹣4时，h′（t）≥0恒成立，此时函数为增函数，则M（a，b）=max{|h（﹣1）|，|h（1）|}=max{|2a﹣b+6|，|b|}②当﹣4＜a＜0时，h（t）有两个极值点t1，t2，不妨设t1＜t2，（i）当﹣1≤a＜0时，t1=﹣≤﹣1，t2=≥1，此时函数为减函数，则M（a，b）=max{|h（﹣1）|，|h（1）|}=max{|2a﹣b+6|，|b|}（ii）当﹣4＜a＜﹣1时，t1=﹣＞﹣1，t2=＜1，此时函数在[﹣1，t1]上递增，在[t1，t2]上递减，在[t2，1]上递增，则M（a，b）=max{|2a﹣b+6|，|b|，|2（）3+a﹣b+3|，|﹣2（）3+a﹣b+3|}则M（a，b）≥min{|a+3|，2（）3}，由|a+3|=2（）3得：a=﹣1，或a=﹣，当a=﹣1时，M（a，b）≥2，当a=﹣时，M（a，b）≥，故当a=﹣，b=﹣时，M（a，b）的最小值为．。

已知全集，则B. C. D.已知集合为从到等于（B. C. D.映射到，即，故选三个数B. C. D.【答案】C【解析】，故选下列函数中，在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是（B. C. D.【答案】【解析】，奇函数，在，奇函数，在，奇函数，在，偶函数，在单调递减，，非奇非偶函数，在所以与原函数有相同奇偶性和单调性的是已知函数是的零点同时在区间内，则与B. C. D.）零点在内，则有，不妨设）零点在内，则有，则）零点在内，则有，则，取中点）零点在内，则有，则符号相同的是，故选A。

的图象不经过（第一象限 B. 第二象限【解析】的图象可由设函数的值域为 B.对于任意，都有 D.，所以值域为为有理数时，也是有理数，则；同理可得，当为无理数时，也满足时，均有为有理数时，为无理数时，也满足时，均有在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，已知函数，则满足）B. C. D.【答案】C【解析】当时，时，；易知，在单调递增，时，时，在上单调递增，得：，故选新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到在解不等式要符合定义域和单调性的双重要求，则已知函数（其中），设，①对于任意不相等的实数；对于任意不相等，都有；时，存在不相等的实数，使得，其中正确的是（A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【解析】试题分析：表示函数图象上任意两点连线的斜率，同理表示函数图象上任意两点连线的由于是减函数，所以①正确；左减右增，所以②错误；由于两个函数图像有两个交点，此时..................10. 已知对任意的恒成立，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则原不等式为，得，由对勾函数性质可知，，，得，故选点睛：首先由定义域去绝对值得，解绝对值不等式得到，结合对勾函数的性质得到，由不等式恒成立可知，解得答案。

二、填空题（本大题共函数(1). (2).【解析】：，即定义域为同时，可知的值域为，则的值域为。

绝密★启用前2017--2018高一年级第一学期期中考试数学模拟试卷一考试范围：必修一；考试时间：120分钟一、选择题1．设全集{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,U A ==集合则U C A =（ ） A. {2}? B. {1,23}， C. {3} D. {45}， 【答案】D【解析】全集{}1,2,3,4,5,U =集合{}1,2,3A =，所以{45}U C A =，故选D.2．下列函数中，定义域为(0，＋∞)的是( )D. 41y x =-【答案】A【解析】对于A 中，的定义域为()0,+∞；对于B 中，[)0,+∞；对于C 中，的定义域为{}|0 x x ≠；对于D 中， 41y x =-的定义域为R ，故选A.3．【2018届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次月考】函数()ln 1y x =-的大致图像为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】∵函数y =ln(1−x )的定义域为{x |x <1}，故可排除A ，B ； 又y =1−x 为(−∞,1)上的减函数，y =ln x 为增函数， ∴复合函数y =ln(1−x )为(−∞,1)上的减函数，排除D ；故选C. 4．幂函数的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么()8f 的值为（ ）【答案】A【解析】设幂函数的解析式为f x x α=（）， ∵幂函数f x （）的图象过点选A.5．函数y =）A. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. [)0,+∞D. (],3-∞-【答案】D【解析】令2t 3x x =+，则y =t 0≥，解得3x ≤-或0x ≥2t 3x x =+的对称轴为32x =-，所以2t 3x x =+在3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.又3x ≤-，所以y =(],3-∞-.故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =, ()y f x =的复合函数， ()y g x =为内层函数, ()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”，同时要注意定义域的限制.6．【2018） A. a b c >> B. b c a >> C. c b a >> D. b a c >> 【答案】A所以a b c >>,故选A.7．【2018届山东省菏泽第一中学高三上学期第一次月考】已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，故.选B.8．【2018届山西省45校高三第一次联考】函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是 （ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过()0,1-点，故排除,A D ；，当01a <<时，指数函数递减， C 符合题意；当1a>时，指数函数递增， B 不合题意，故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除. 9．【2018届河北省定州中学高三上学期第二次月考】若函数()()1{4211x a x f x a x x >=-+≤是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (1，＋∞)B. (1,8)C. (4,8)D. [4,8) 【答案】D【解析】首先1a >，其次420a ->， 2a < ，又1x =时，，则a 的取值范围是选D.10．【2018届山东省菏泽第一中学高三上学期第一次月考】对任意实数 定义运算“ ”： ，设 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得，画图f(0)=-1,f(-2)=2,由图可知， ，选D.【点睛】对于函数零点问题，对于能分离参数的题型，我们一般分离参数，如本题-k=f(x),所以只需画出函数y=f(x)与y=-k 的图像，两图像有几个交点，就有几个零点。

2017学年第一学期9+1高中联盟期中考试高一年级数学学科 试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,3,5,7,9},{1,5,7}U A ==，则U C A =（ ） A ．{}1,3 B ．{}3,7,9 C ．{}3,5,9 D ．{}3,92. 已知集合2{1,1,0},{,},:M N a b f x x =-=→为从M 到N 的映射，则a b +等于（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．23. 三个数0560.56,05,log 6 的大小顺序为（ ）A ．6050.5056log 6<<B ．0560.5log 6605<<C ．6050.5log 6056<<D ．6050.5056log 6<<4. 下列函数中，在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是（ ） A ．1y x =-B ．122x x y =- C ．ln y x = D ．3xy = 5. 已知函数()f x 是R 上的单调函数，且()f x 的零点同时在区间3(0,4),(0,2),(1,)2内，则与()0f 符号相同的是（ ）A ．()1fB ．()2fC ．3()2f D ．()4f 6. 函数()12log 2f x x =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 设函数()1,1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的值域为{}1,1-B ．()f x 是非奇非偶函数C ．对于任意x R ∈，都有()()1f x f x +=D ．()f x 不是单调函数8. 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()(1)2(2)([2,2])f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()(1)f m f x +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞ B ．1[,2]2 C ．12[,]23 D ．2[1,]3-9. 已知函数()()22,x f x g x x ax ==+（其中a R ∈），对于不相等的实数12,x x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-，现有如下结论：①对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；②存在实数a ，对于任意不相等12,x x ，都有0n >；③当0a =时，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =，其中正确的是（ ） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③ 10. 已知对任意4[1,4],14x x x m x m x ∈-++--+≤的恒成立，则m 的取值范围（ ）A ．9(,]2-∞ B ．(,4]-∞ C ．9[4,]2D ．(,5]-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.函数()f x =的定义域为 ．()1y f x =的值域为 ． 12.已知定义在R 上的函数()f x 恒满足(1)(1)f x f x -=+，且()f x 在[1,)+∞为单调减函数，则当x = 时，()f x 取得最大值；若不等式()()0f f m <成立，则m 的取值范围是 ．13.已知()211f x x +=-+，则()f x =，y =的单调递增区间为 ．14.若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则()2f = ，函数()()2g x f x ax a =-+过定点 ．15.设函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()111f x x =++，则()10f = ．16.已知函数()11,021(),232x x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ ，若存在实数123,,x x x ，当12303x x x ≤<<≤时，123()()()f x f x f x ==，则1223()()x x x f x +的取值范围是 ．17.函数()12123x x x f x x x x ++=+++++的对称中心为 ． 三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. （1211log 33(0.008)2++（2）设,,a b c 均为实数，且364ab=-，求11a b-的值. 19. 已知集合231{|230},{|log ,27},9A x x xB y y x x =+-<==<<2{|(1)220,}C x x m x m m R =----<∈ .（1）求A B ；（2）若()C A B ⊆ ，求实数m 的取值范围. 20.已知函数()1x f x x a+=+. （1）若()34f a =，求()[],2,3y f x x =∈ 的值域； （2）若()y f x =，当{}3,4,5x ∈时最小值为()4f ，求a 的取值范围.21. 已知函数()221x x af x +=+ .（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）在（1）的条件下判断()f x 在R 上的单调性，并证明之；（3）若对任意123,,[0,1]x x x ∈，总有()()()i j k f x f x f x +>成立，其中{},,1,2,3i j k ∈，求a 的取值范围.22.已知函数()221f x ax x b =-++，在1x =处有最小值为0.（1）求,a b 的值；（2）设()()f xg x x=， ①求1(21),[,2]2xy g x =-∈的最值及取得最值时x 的取值； ②是否存在实数k ，使关于x 的方程3(21)(3)021x xg k -+-=-在(,0)(0,)-∞+∞ 上恰有一个实数解？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.2017学年第一学期9+1高中联盟期中考试高一年级数学学科 试题答案一、选择题1-5: DACBA 6-10: BBCDA 二、填空题11. 1[,),(0,1]2-+∞ 12.1,(0,2) 13.22,(1,2)x x -+ 14.3,(2,3) 15.2- 16. 53[,)8217. (2,3)-三、解答题18.解：（1）原式3568ππ=-++=+；（2）36log 4,log 4a b ==，所以原式123641log 4log 4log 2=-==-. 19.解：（1）(3,1),(2,3)A B =-=-,所以(2,1)A B =- . （2）由（1）可知(3,3)A B =- ， 当3m =-时，C φ= ，符合题意；当3m >-时，12m +>-，所以{|21}C x x m =-<<+，所以13m +≤，所以32m -<≤； 当3m <-时，12m +<-，所以{|12}C x m x =+<<-，所以13m +≥-，所以42m -≤<-，综上所述，实数m 的取值范围是42m -≤≤. 20.(1)由题意()34f a =，则2a =，此时()11122x f x x x +==-++，在[]2,3上单调递增，值域为34[,]45； （2）因为()11af x x a-=-+， 利用单调性和图象可知：①105445a a a ->⎧⇒-<<-⎨<-<⎩；②1034a a ->⎧⇒⎨<-<⎩无解；③101a a -=⇒=符合题意；所以实数a 的取值范围是{}(5,4)1a ∈-- . 21.解：（1）()00f =，解得1a =-，经验证的：当1a =-时，()2121x x f x -=+为奇函数.（2）由（1）()()2121,2121x xx f x f x -==-++在R 上递增， 证明过程如下：任取12,x x R ∈，且12x x <，()12121212222(22)()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-+=++++， 因为12x x <，所以1222xx<，所以()12()0f x f x -<，即()12()f x f x <，所以()f x 在R 上递增.（3）即()()minmax 2f x f x >，则①10121232a a a a ->⎧⎪⇒>++⎨⋅>⎪⎩；②当1a =时，21>成立；③1011122223a a a a ->⎧⎪⇒-<<++⎨⋅>⎪⎩，综上所述1(,)2a ∈-+∞.22.解：（1）()211()1f x a x b a a =--++，所以11110ab a⎧=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，得10a b =⎧⎨=⎩.（2）()12g x x x =+-， ①令121,[,2]2xt x =-∈，则1,3]t ∈，()g t在1,1]递减，[]1,3递增，所以min 0y =，此时1x =，max 43y =，此时2x =.②令21,(0,)xt t =-∈+∞，则122(3)0t k t t+-+-=，即2(23)210t k t k -+++=.()*方程()*有两个不相等的大于1的根，则2(23)4(21)0232k k k ⎧∆=+-+=⎨+≥⎩，得0k =；方程()*有两个根12,t t ，且121,0t t ≥≤，则2101(23)210k k k +≤⎧⎨-+++≤⎩，得无解，综上所述，存在这样的,0k k =.。

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2０17学年第一学期高一期中考试数学试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共４0分)１．已知全集Ｕ={1,2，3,４,5，6，7,8｝，M ={1,3,５,7},Ｎ ={5,６，7, 8｝,则()N M C u =（ )A.｛5,7} B ．{2,4} Ｃ.｛2,4，8｝ ﻩ D.{1,3，５，6，７｝2．下列各组函数中,表示同一函数的是( )A ．01,y y x ==B.y y =C.2)(|,|x y x y ==D. 33,x y x y ==3．函数y =( )A.[0,)+∞ B ．(,3]-∞ Ｃ.[0,3] D ．(0,3)4．设函数1(1)21f x x+=+,则)(x f 的表达式为（ ）ﻩA ．x x -+11 Ｂ.11-+x x C ．x x +-11 D.12+x x 5．设函数2460()60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，，，，则不等式)1()(f x f >的解集是( ) Ａ．),3()1,3(+∞⋃- Ｂ．),2()1,3(+∞⋃-Ｃ．),3()1,1(+∞⋃- D.)3,1()3,(⋃--∞６.若α、β是关于x 的方程()053222=+++--k k x k x （R k ∈）的两个实根,则22βα+的最大值等于( ）A ．6B ．950 C.18 D ．１９7．设偶函数)(x f 在[0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，则()0xf x <的解集为( ）ﻩA ．),1()0,1(+∞-B ．)1,0()1,( --∞C ．),1()1,(+∞--∞D ．)1,0()0,1( -8.已知函数251 ()1x ax xf xaxx⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，，，，是R上的增函数,则a的取值范围是( ）A.3-≤a<0 Ｂ.3-≤a≤2-C.a≤2-D.a＜０9．如图所示,单位圆中弧AB的长为x，()f x表示弧AB与弦AB所围成的弓形（阴影部分)面积的２倍，则函数()y f x=的图象是（ )A.B．Ｃ．Ｄ．10.已知非空集合A B C，，，且满足2{|,}A y y x x B==∈，{|,}B y y x x C==∈，3{|,}C y y x x A==∈，则A B C，，的关系为( )A.A B CＢ.=A B C.=B C D．=A C二、填空题(本大题共5小题,每小题4分，共20分)1１．函数2()xf x-=的定义域为12.函数123xyx-=+的单调递减区间为13．已知OAB∆为右图所示的直角边长为1的等腰直角三角形，各边上为的点在映射:(,)(1,2)f x y x y→+的作用下形成的新图形'''O A B∆，那么'''O A B∆的面积为＿______＿＿_１4.具有性质:1()()f f xx=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数:11yxOAB①1y x x =-；②1y x x =+；③0<10111x x y x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪->⎩， ，， ，， ， 中满足“倒负"变换的函数有__＿____＿＿_15．定义：若存在常数k ,使得对定义域D 内的任意两个()2121,x x x x ≠,均有()()2121x x k x f x f -≤-成立,则称函数()x f 在定义域D 上满足利普希茨条件。

2017-2018学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，B={1，2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{3，4}B．{3}C．{4}D．{2，3，4}2．（4分）下列函数中，满足奇函数且在区间（1，+∞）上为增函数的是（）A．y=log x B．y= C．y=2x D．y=x33．（4分）函数f（x）=a x﹣2﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（）A．（2，﹣3）B．（3，﹣3）C．（2，﹣2）D．（3，﹣2）4．（4分）已知实数，，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（4分）已知函数g（x）=2x﹣1，且f[g（x）]=x2+2x，则f（﹣1）=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣16．（4分）已知log43=p，log325=q，则lg5（用p，q表示）等于（）A． B． C．D．7．（4分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+4x，则f （x+2）＞5的解集为（）A．（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）B．（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣7）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣7）∪（3，+∞）8．（4分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣b（a，b为实数）在区间[﹣2，2]上最大值为M，最小值为m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，但与b有关D．与a无关，且与b无关9．（4分）设方程22x﹣1+x﹣1=0的根为x1，函数f（x）的零点为x2，若|x1﹣x2|≤，则函数f（x）可以是（）A． B．f（x）=2x﹣1 C．D．f（x）=2x﹣1二、填空题（共6小题，每小题6分，满分30分）10．（6分）计算：lg4+lg25=4+20﹣（）=．11．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（2））=，若f（a）=﹣9，则实数a=．12．（6分）函数f（x）=log（x2﹣5x+6）的定义域是，单调增区间是．13．（4分）已知集合A={（x，y）|=0}，集合B={（x，y）|=}，集合C={（x，y）|=}，请写出集合A，B，C之间的关系．14．（4分）已知函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x）（x∈R），且对任意的x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）时，恒有＜0成立，则当f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）时，实数a的取值范围为．15．（4分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+2﹣a，若集合A={x∈N|f（x）＜0}中有且只有一个元素，则实数a的取值范围为．三、解答题（共4小题，满分50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）设全集U=R，集合A={x|2x﹣1≥1}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}．（Ⅰ）求A∩B，（∁U A）∪（∁U B）；（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．17．（12分）已知实数a＞0且满足不等式33a+2＞34a+1．（Ⅰ）解不等式log a（3x+2）＜log a（8﹣5x）；（Ⅱ）若函数f（x）=log a（2x﹣1）在区间[1，3]上有最小值为﹣1，求实数a 的值．18．（13分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0，且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）当a∈[1，+∞）时，mf（x）≤2x+2恒成立，求实数m的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）=x2+ax+1．（Ⅰ）设g（x）=（x﹣2）•f（x），若y=g（x）的图象与x轴恰有两个不同的交点，求实数a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在区间[0，1]上的最大值．2017-2018学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，B={1，2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{3，4}B．{3}C．{4}D．{2，3，4}【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，B={1，2，5}，∴∁U B={3，4}，A∩（∁U B）={3，4}．故选：A．2．（4分）下列函数中，满足奇函数且在区间（1，+∞）上为增函数的是（）A．y=log x B．y= C．y=2x D．y=x3【解答】解：对于A，非奇非偶函数，不合题意；对于B，函数在（0，+∞）递减，不合题意；对于C，非奇非偶函数，不合题意；对于D，是奇函数在R递增，符合题意；故选：D．3．（4分）函数f（x）=a x﹣2﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（）A．（2，﹣3）B．（3，﹣3）C．（2，﹣2）D．（3，﹣2）【解答】解：令x﹣2=0，求得x=2，y=﹣2，可得函数f（x）=a x﹣2﹣3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（2，﹣2），故选：C．4．（4分）已知实数，，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＞1，b∈（0，1），c＜0．∴a＞b＞c．故选：B．5．（4分）已知函数g（x）=2x﹣1，且f[g（x）]=x2+2x，则f（﹣1）=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【解答】解：∵函数g（x）=2x﹣1，且f[g（x）]=x2+2x，∴f（2x﹣1）=x2+2x，∴f（﹣1）=f（2×0﹣1）=02+20=1．故选：B．6．（4分）已知log43=p，log325=q，则lg5（用p，q表示）等于（）A． B． C．D．【解答】解：∵log43=p，log325=q，∴lg5====．故选：D．7．（4分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+4x，则f （x+2）＞5的解集为（）A．（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）B．（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣7）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣7）∪（3，+∞）【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，因为当x≤0时，f（x）=x2+4x，所以f（﹣x）=x2﹣4x，因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=x2﹣4x，因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＞3可化为f（|x+2|）＞5，即|x+2|2﹣4|x+2|＞5，（|x+2|﹣5）（|x+2|+1）＞0，所以|x+2|＞5，解得：x＞3或x＜﹣7，所以不等式f（x+2）＞5的解集是{x|x＞3或x＜﹣7}，故选：C．8．（4分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣b（a，b为实数）在区间[﹣2，2]上最大值为M，最小值为m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，但与b有关D．与a无关，且与b无关【解答】解：函数f（x）=﹣x2+ax﹣b（a，b为实数）的对称轴为x=a，且开口向下，当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣2，2]上单调递减，则M=f（﹣2）=﹣4﹣2a﹣b，m=f（2）=﹣4+2a﹣b，则M﹣m=﹣4a，当a≥2时，函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，则M=f（2）=﹣4+2a﹣b，m=f （2）=﹣4﹣2a﹣b，则M﹣m=4a，当﹣2＜a＜2时，函数f（x）在[﹣2，a]上单调递增，再[a，2]上单调递减，则M=max{f（2），f（﹣2）}，m=f（a）=﹣b，因为f（2）+b=﹣4+2a﹣b+b=﹣4+2a，f（﹣2）+b=﹣4﹣2a﹣b+b=﹣4﹣2a，所以M﹣m=max{﹣4+2a，﹣4﹣2a}，综上所述M﹣m与a有关，但与b无关，故选：B．9．（4分）设方程22x﹣1+x﹣1=0的根为x1，函数f（x）的零点为x2，若|x1﹣x2|≤，则函数f（x）可以是（）A． B．f（x）=2x﹣1 C．D．f（x）=2x﹣1【解答】解：∵方程22x﹣1+x﹣1=0的根为x1，设g（x）=22x﹣1+x﹣1，则它的零点为x1，且g（1）=2+1﹣1＞0，g（0）=﹣1＜0，g（）=1+﹣1＞0，g（）=＜0，则x1∈（），A．由f（x）=﹣1=0，得x=1，即函数的零点为x2=1，则不满足|x1﹣x2|≤；B．由f（x）=2x﹣1=0，得x=，即函数的零点为x2=，满足|x1﹣x2|≤；C．由ff（x）=ln（x﹣）=0得x=，即函数零点为x2=，则不满足|x1﹣x2|≤；D．由f（x）=2x﹣1=0，得x=0，即函数的零点为x2=0，则不满足|x1﹣x2|≤；故选：B．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分30分）10．（6分）计算：lg4+lg25=24+20﹣（）=1．【解答】解：lg4+lg25=lg100=2．4+20﹣（）=4+1﹣=5﹣4=1．故答案为：2，1．11．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（2））=﹣4，若f（a）=﹣9，则实数a=﹣9或3．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=﹣4，∴f（f（2））=f（﹣4）=﹣4，∵f（a）=﹣9，∴当a≥0时，f（a）=﹣a2=﹣9，解得a=3或a=﹣3（舍），当a＜0时，f（a）=a=﹣9．综上实数a的值为﹣9或3．故答案为：﹣4，﹣9或3．12．（6分）函数f（x）=log（x2﹣5x+6）的定义域是（﹣∞，2）∪（3，+∞），单调增区间是（﹣∞，2）．【解答】解：函数f（x）=log（x2﹣5x+6），由x2﹣5x+6＞0，解得x＞3或x＜2，即定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）；由t=x2﹣5x+6在（﹣∞，2）递减，在（3，+∞）递增，y=log t在（0，+∞）递减，可得f（x）的单调增区间为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞），（﹣∞，2）．13．（4分）已知集合A={（x，y）|=0}，集合B={（x，y）|=}，集合C={（x，y）|=}，请写出集合A，B，C之间的关系B⊊C⊊A．【解答】解：∵集合A={（x，y）|=0}={（x，y）|x﹣y﹣1=0}，集合B={（x，y）|=}={（x，y）|y=x﹣1，y≥0，x≥1}，集合C={（x，y）|=}={（x，y）|x=y+1，x≥0，y≥﹣1}．∴B⊊C⊊A．故答案为：B⊊C⊊A．14．（4分）已知函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x）（x∈R），且对任意的x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）时，恒有＜0成立，则当f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）时，实数a的取值范围为a＞．【解答】解：由f（2﹣x）=f（x）得函数关于x=1对称，∵任意的x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）时，恒有＜0，∴当x≥1时，函数为减函数，2a2+a+2=2（a+）2+＞1，2a2﹣2a+4=2（a﹣）2+＞1，则不等式f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）等价为2a2+a+2＞2a2﹣2a+4，即a＞，故答案为：a＞．15．（4分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+2﹣a，若集合A={x∈N|f（x）＜0}中有且只有一个元素，则实数a的取值范围为（，]．【解答】解：f（x）=x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，分别令y=x2﹣2x+1，y=a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A={x∈N|f（x）＜0}中有且只有一个元素，结合图象可得∴，解得＜a≤故答案为：（，]三、解答题（共4小题，满分50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）设全集U=R，集合A={x|2x﹣1≥1}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}．（Ⅰ）求A∩B，（∁U A）∪（∁U B）；（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x﹣1≥1}={x|x≥1}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}={x|﹣1＜x＜5}…（2分）∴A∩B={x|1≤x＜5}，…（3分）（C U A）∪（C U B）={x|x＜1或x≥5}…（5分）（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m﹣1}，B∩C=C，∴C⊆B，当C=∅时，2m﹣1＜m+1…（6分）解得m＜2…（7分）当C≠∅时，由C⊆B得，解得：2＜m≤3…（10分）综上所述：m的取值范围是（﹣∞，3]…（12分）17．（12分）已知实数a＞0且满足不等式33a+2＞34a+1．（Ⅰ）解不等式log a（3x+2）＜log a（8﹣5x）；（Ⅱ）若函数f（x）=log a（2x﹣1）在区间[1，3]上有最小值为﹣1，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由33a+2＞34a+1，得2a+2＞4a+1，即a＜1．又∵a＞0，∴0＜a＜1．由log a（3x+2）＜log a（8﹣5x），可得，解得．∴不等式log a（3x+2）＜log a（8﹣5x）的解集为（）；（Ⅱ）当x∈[1，3]时，2x﹣1∈[1，5]，∵0＜a＜1，∴由函数单调性可知，当2x﹣1=5时，函数f（x）有最小值，即log a5=﹣1，解得a=．18．（13分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0，且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）当a∈[1，+∞）时，mf（x）≤2x+2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=1﹣==0，解得a=2，检验，当a=2时，f（x）=，此时f（﹣x）===﹣f（x），∴函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴a=2，（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，m（1﹣）≤2x+2恒成立，即m•≤2x+2，∵x≥1，∴2x≥2，∴m≤，在x∈[1，+∞）时，恒成立，设t=2x﹣1（t≥1），则m≤=t++5，设g（t）=t++5，则函数g（t）在t∈[1，）时减函数，在[，+∞）上是增函数．∴g（t）min=g（）=2+5，（利用基本不等式也可以t++5≥2+5=2+5，当且仅当t=时取等号）∴m≤2+519．（13分）已知函数f（x）=x2+ax+1．（Ⅰ）设g（x）=（x﹣2）•f（x），若y=g（x）的图象与x轴恰有两个不同的交点，求实数a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）若f（x）=0恰有一解，且解不为2，△=a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为2，代入得4+2a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max=f（1）=2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，（3）若﹣≥1，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，y max=max{f（0），﹣f（1）}=max{1，﹣a﹣2}=，综上所述y max=赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

浙江省2017-2018学年高三上学期第一次联考试卷（理科数学）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x ∈R|x 2＞4}，B{x ∈R|1≤x ≤2}，则（ ）A ．A∩B=∅B ．A ∪B=RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．（2﹣）8展开式中含x 3项的系数为（ ）A ．112x 3B ．﹣1120x 3C ．112D ．11203．已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．过点（0，﹣2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 12﹣y 22=1，则△OAB （O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．设实数a ，b ，则“|a ﹣b 2|+|b ﹣a 2|≤1”是“（a ﹣）2+（b ﹣）2≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n 位回文数的个数为a n （n 为正整数），如11是2位回文数，下列说法正确的是（ ）A ．a 4=100B ．a 2n+1=10a 2n （n ∈N +）C ．a 2n =10a 2n ﹣1（n ∈N +）D ．以上说法都不正确7．如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f （x ）相切于两点，则F （x ）=f （x ）﹣kx 有（ ）A ．1个极大值点，2个极小值点B ．2个极大值点，1个极小值点C ．3个极大值点，无极小值点D ．3个极小值点，无极大值点8．已知A 1，A 2，A 3为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足=λ（+）（λ是实数），且++是单位向量，则这样的点M 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）9．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n （n ∈N *），则a 3= ，S 5= ．10．设a ∈R ，若复数（i 为虚数单位）的实部和虚部相等，则 ， |= ．11．若实数x ，y 满足，则的取值范围是 ．12．若函数f （x ）=2sin 2（ωx ）+2sin （ωx+）﹣1（ω＞0）的最小正周期为1，则ω= ，函数f （x ）在区间[﹣，]上的值域为 ．13．甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．设甲赢的局数为ξ，则P （ξ=2）= ，E （ξ）= ，D （ξ）= ．14．如图，已知矩形ABCD ，AD=2，E 为AB 边上的点，现将△ADE 沿DE 翻折至△ADE ，使得点A'在平面EBCD 上的投影在CD 上，且直线A'D 与平面EBCD 所成角为30°，则线段AE 的长为 ．15．对任意的两个实数a ，b ，定义，若f （x ）=4﹣x 2，g （x ）=3x ，则min （f （x ），g （x ））的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b （1﹣2cosA ）=2acosB ．（1）证明：b=2c ；（2）若a=1，tanA=2，求△ABC 的面积．17．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC=60°，E 是DP 中点．（1）证明：PB ∥平面ACE ；（2）若AP=PB=，AB=PC=2，求二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．18．已知数列{a n }的各项都不为零，其前n 项为S n ，且满足：2S n =a n （a n +1）（n ∈N *）．（1）若a n ＞0，求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列{a n }，使得a 2016=﹣2015？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．19．已知椭圆+y 2=1（a ＞1）的离心率为，P （m ，n ）为圆x 2+y 2=16上任意一点，过P 作椭圆的切线PA ，PB ，设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）证明：切线PA 的方程为+y 1y=1；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值．20．已知函数f （x ）=﹣xlnx （a ∈R ），g （x ）=2x 3﹣3x 2．（1）若m 为正实数，求函数y=g （x ），x ∈[，m]上的最大值和最小值；（2）若对任意的实数s ，t ∈[，2]，都有f （s ）≤g （t ），求实数a 的取值范围．浙江省2017-2018学年高三上学期第一次联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x ∈R|x 2＞4}，B{x ∈R|1≤x ≤2}，则（ ）A ．A∩B=∅B ．A ∪B=RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合A ，再根据集合的基本关系即可判断．【解答】解：集合A={x ∈R|x 2＞4}={x ∈R|x ＞2或x ＜﹣2}，B={x ∈R|1≤x ≤2}，∴A∩B=∅，故选：A ．2．（2﹣）8展开式中含x 3项的系数为（ ）A ．112x 3B ．﹣1120x 3C ．112D ．1120【考点】二项式系数的性质．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含x 3项的系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=C 8r •28﹣r •（﹣1）r x，令=3，求得r=6，故开式中含x 3项系数为C 86•28﹣6•（﹣1）6=112，故选：C3．已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，根据三视图的“长对正，高平齐，宽相等”原则．高已知，只需判断几何体的形状，依次对照计算下列各选项的视图的底面积，满足体积为即为答案．【解答】解：对于A 和C ：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是直角三角形，其体积为，故A ，C 不对；对于B ：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是正方形，其体积为，故B 正确；对于D ：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是四分之一的圆，其体积为，故D 不对．故选：B ．4．过点（0，﹣2）的直线交抛物线y 2=16x 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 12﹣y 22=1，则△OAB （O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+2m ，代入y 2=16x 可得y 2﹣16my ﹣32m=0，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为x=my+2m ，代入y 2=16x 可得y 2﹣16my ﹣32m=0，∴y 1+y 2=16m ，y 1y 2=﹣32m ，∴（y 1﹣y 2）2=256m 2+128m ，∵y 12﹣y 22=1，∴256m 2=1，∴△OAB （O 为坐标原点）的面积为|y 1﹣y 2|=．故选：D ．5．设实数a ，b ，则“|a ﹣b 2|+|b ﹣a 2|≤1”是“（a ﹣）2+（b ﹣）2≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知|a ﹣b 2|+|b ﹣a 2|≤1结合绝对值不等式的性质可得（a ﹣）2+（b ﹣）2≤，举例说明由（a ﹣）2+（b ﹣）2≤不一定有|a ﹣b 2|+|b ﹣a 2|≤1，则答案可求．【解答】解：由|a ﹣b 2|+|b ﹣a 2|≤1，得|（a ﹣b 2）+（b ﹣a 2）|≤|a ﹣b 2|+|b ﹣a 2|≤1，即|a 2﹣a+b 2﹣b|≤1，∴|﹣|≤1，得（a ﹣）2+（b ﹣）2≤；反之，若（a ﹣）2+（b ﹣）2≤，取a=1，b=0，此时|a ﹣b 2|+|b ﹣a 2|=2＞1．∴“|a ﹣b 2|+|b ﹣a 2|≤1”是“（a ﹣）2+（b ﹣）2≤”的充分不必要条件．故选：A ．6．回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n 位回文数的个数为a n （n 为正整数），如11是2位回文数，下列说法正确的是（ ）A ．a 4=100B ．a 2n+1=10a 2n （n ∈N +）C ．a 2n =10a 2n ﹣1（n ∈N +）D ．以上说法都不正确【考点】进行简单的合情推理．【分析】由回文数的特点，故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等，均为9×10n 个，逐一判断即可．【解答】解：由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90=9×10个，4位回文数有1001，1111，1221，…，1991，2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等，均为9×10n 个，即a 2n+2=a 2n+1=9×10n 个，所以a 2n =9×10n ﹣1个，所以a 2n+1=10a 2n （n ∈N +）所以a 2n =a 2n ﹣1（n ∈N +），故选：B ．7．如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f （x ）相切于两点，则F （x ）=f （x ）﹣kx 有（ ）A ．1个极大值点，2个极小值点B ．2个极大值点，1个极小值点C ．3个极大值点，无极小值点D ．3个极小值点，无极大值点【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】对函数F （x ）=f （x ）﹣kx ，求导数，根据条件判断f′（x ）与k 的关系进行判断即可．【解答】解：∵直线y=kx+m 与曲线y=f （x ）相切于两点，∴kx+m=f （x ）有两个根，且f （x ）≥kx+m ，由图象知m ＞0，则f （x ）＞kx ，即F （x ）=f （x ）﹣kx ＞0，则函数F （x ）=f （x ）﹣kx ，没有零点，函数f （x ）有1个极大值点，2个极小值点，则F′（x ）=f′（x ）﹣k ，，结合图象，函数F （x ）=f （x ）﹣kx 有1个极大值点，函数F （x ）=f （x ）﹣kx 有2个极小值点，故选：A ．8．已知A 1，A 2，A 3为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足=λ（+）（λ是实数），且++是单位向量，则这样的点M 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】设A 1，A 2，A 3的坐标，表示出M 的坐标，令|++|=1得出关于λ的方程，判断方程的解的个数即可得出M 的位置的个数．【解答】解：以A 1为原点建立坐标系，设A 2（a ，b ），A 3（m ，n ），则+=（a+m ，b+n ）， ∴M （λ（a+m ），λ（b+n ）），∴=（﹣λ（a+m ），﹣λ（b+n ）），=（a ﹣λ（a+m ），b ﹣λ（b+n ）），=（m ﹣λ（a+m ），n ﹣λ（b+n ）），∴++=（（1﹣3λ）（a+m ），（1﹣3λ）（b+n ）），∵++是单位向量，∴（1﹣3λ）2[（a+m ）2+（b+n ）2]=1，∵A 1，A 2，A 3为平面上三个不共线的三点，∴（a+m ）2+（b+n ）2＞0．显然λ有两解，故满足条件的M 有两个．故选：C ．二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）9．在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n （n ∈N *），则a 3= 9 ，S 5= 121 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，由此能求出结果，【解答】解：∵在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n （n ∈N *），∴数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴=9，==121． 故答案为：9，121．10．设a ∈R ，若复数（i 为虚数单位）的实部和虚部相等，则 0 ， |= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则化简z ，再根据实部和虚部相等求出a 的值，求出其模即可．【解答】解：复数==，由于复数（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则a+1=1﹣a，解得a=0，则z=﹣i，则|==，故答案为：0，11．若实数x，y满足，则的取值范围是[，] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点到点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最大，AD的斜率最小，由得，得B（4，3），由得，得A（3，0），则BD的斜率k==，AD的斜率k==，则≤≤，即的范围是[，]，故答案为：[，]12．若函数f（x）=2sin2（ωx）+2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的最小正周期为1，则ω= π，函数f（x）在区间[﹣，]上的值域为[0，2﹣1] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用诱导公式和降次升角公式化简函数解析式，进而结合余弦型函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=2sin2（ωx）+2sin（ωx+）﹣1=﹣cos（2ωx）+2cos（2ωx）=（2﹣1）cos（2ωx）∵函数f（x）的最小正周期为1，ω＞0∴ω=π，∴f（x）=（2﹣1）cos（2πx）当x∈[﹣，]，2πx∈[﹣，]，∴f（x）∈[0，2﹣1]，故答案为：π，[0，2﹣1]13．甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．设甲赢的局数为ξ，则P（ξ=2）= ，E（ξ）= ，D（ξ）= ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意ξ～B（5，），由此能求出P（ξ=2），E（ξ），D（ξ）．【解答】解：∵甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．设甲赢的局数为ξ，∴ξ～B（5，），∴P（ξ=2）==，E （ξ）=5×=，D （ξ）==．故答案为：．14．如图，已知矩形ABCD ，AD=2，E 为AB 边上的点，现将△ADE 沿DE 翻折至△ADE ，使得点A'在平面EBCD上的投影在CD 上，且直线A'D 与平面EBCD 所成角为30°，则线段AE 的长为 ．【考点】直线与平面所成的角．【分析】过A′作A ′F⊥平面ABCD ，垂足为F ，连结EF ，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，设AE=A′E=x，分别在△MEF 和△A′EF 中用勾股定理表示出EF ，列方程解出x ．【解答】解：过A′作A′F⊥平面ABCD ，垂足为F ，连结EF ．则F 在CD 上，且∠A′DF=30°，∵AD=A′D=2，∴DF=，A′F=1，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则AM=DF=，设AE=x ，则ME=x ﹣，A′E=x，∵EF 2=MF 2+ME 2=A′E 2﹣A′F 2，∴4+（x ﹣）2=x 2﹣1，解得x=．故答案为：．15．对任意的两个实数a ，b ，定义，若f （x ）=4﹣x 2，g （x ）=3x ，则min （f （x ），g （x ））的最大值为 3 ．【考点】函数最值的应用．【分析】4﹣x 2﹣3x=﹣（x+4）（x ﹣1），从而比较f （x ）与g （x ）的大小，再求min （f （x ），g （x ））的最大值即可．【解答】解：∵4﹣x 2﹣3x=﹣（x+4）（x ﹣1），∴当x≤﹣4或x≥1时，f（x）≤g（x），当﹣4＜x＜1时，f（x）＞g（x），故min（f（x），g（x））=，易知min（f（x），g（x））在（﹣∞，1]上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，故min（f（x），g（x））的最大值为4﹣1=3；故答案为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b（1﹣2cosA）=2acosB．（1）证明：b=2c；（2）若a=1，tanA=2，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）利用同角三角函数基本关系式可得cosA，sinA．再利用余弦定理可得c，利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵b（1﹣2cosA）=2acosB，∴由正弦定理得sinB（1﹣2cosA）=2sinAcosB，∴sinB=2sinBcosA+2sinAcosB=2sin（A+B）=2sinC，∴b=2c．（2）∵tanA==2，∴sinA=2cosA，∴sin2A+cos2A=+cos2A=1，A为锐角，解得，∴．由余弦定理有，即，解得，∴．17．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，E是DP中点．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）若AP=PB=，AB=PC=2，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，BD∩AC=F，连接EF，推导出EF∥PB，由此能证明PB∥平面ACE．（2）取AB的中点Q，连结PQ、CQ，以Q点为原点，BA所在的直线为x轴，QC所在的直线为y轴，QP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）连结BD，BD∩AC=F，连接EF，∵四棱锥的底面为菱形，∴F 为BD 中点，又∵E 是DP 中点，∴在BDP 中，EF 是中位线，∴EF ∥PB ，又∵EF ⊆平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ，∴PB ∥平面ACE ．…（2）取AB 的中点Q ，连结PQ 、CQ ，∵菱形ABCD ，且∠ABC=60°，∴正△ABC ，∴CQ ⊥AB ，∵，AB=PC=2，∴，且等腰直角△PAB ，即∠APB=90°，PQ ⊥AB ．∴AB ⊥平面PQC ，且PQ=1，∴PQ 2+CQ 2=CP 2，∴PQ ⊥CQ ．如图，以Q 点为原点，BA 所在的直线为x 轴，QC 所在的直线为y 轴，QP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则…平面APC 上， =（﹣1，0，1），=（0，﹣，1），设平面APC 的法向量为=（x 1，y 1，z 1），则有，即=（），…设平面DPC 的法向量为=（x 2，y 2，z 2），∵=（2，0，0），=（0，﹣，1），则有，可取=（0，1，），…∴cos ＜＞===，∴二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值为．…18．已知数列{a n }的各项都不为零，其前n 项为S n ，且满足：2S n =a n （a n +1）（n ∈N *）．（1）若a n ＞0，求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列{a n }，使得a 2016=﹣2015？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）由2S 1=2a 1=a 1（a 1+1），解得a 1=1，由2S n+1=a n+1（a n+1+1），得{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出a n 0．（2）由a 1=1，0=（a n+1﹣a n ﹣1）（a n +a n+1），得a n+1=a n +1或a n+1=﹣a n ，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵数列{a n }的各项都不为零且满足…①∴2S 1=2a 1=a 1（a 1+1），解得a 1=1…∴2S n+1=a n+1（a n+1+1）…②，②﹣①得，整理得到0=（a n+1﹣a n ﹣1）（a n +a n+1），∴a n+1﹣a n =1…∴{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ．…（2）根据（1）a 1=1，0=（a n+1﹣a n ﹣1）（a n +a n+1），可得a n+1=a n +1或a n+1=﹣a n ，…∴从第二项开始每一项都有两个分支，∴通项为的数列满足题意，使得a 2016=﹣2015（其他符合的答案类似给分）．…19．已知椭圆+y 2=1（a ＞1）的离心率为，P （m ，n ）为圆x 2+y 2=16上任意一点，过P 作椭圆的切线PA ，PB ，设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）证明：切线PA 的方程为+y 1y=1；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e====，求得a ，求得椭圆方程，当y 1=0时，直线x 1=±2，求得PA 的方程是x=±2，当y 1≠0时，求导，求得PA 的切线斜率，根据直线的点斜式方程及x 12+4y 12=4，即可求得+y 1y=1；（2）由（1）可知：切线PB 的方程为，代入求得直线AB 方程，代入椭圆方程，求得弦长丨AB 丨，根据点到直线的距离公式d ，由S △OAB =•丨AB 丨•d=，由均值不等式，即可求得△OAB 面积的最大值．【解答】解：（1）证明：离心率e=====，∴a=2，椭圆方程为：， 当y 1=0时，直线x 1=±2，∴x 2=4，代入椭圆方程得到y=0，∴切线PA 的方程是x=±2；当y1≠0时，对椭圆方程两边求导得：，则过切点A的斜率为k=y′=﹣，切线方程为：y﹣y1=﹣（x﹣x1），∵又x12+4y12=4，∴+y1y=1；（2）根据（1）可得切线 PA的方程为+y1y=1，切线PB 的方程为，∴，∴直线 AB方程为，∴，消y 得到（1+）2﹣x+﹣4=0，∴丨AB丨=•=•，又∵原点 O到直线AB 的距离d=，∴S△OAB=•丨AB丨•d=••，=，又∵P（m，n）为圆x2+y2=16上任意一点，∴m 2+n 2=16，∴S △OAB =，令t=≥2，则S △OAB == 在[2，+∞） 上单调递减，∴S △OAB ≤．20．已知函数f （x ）=﹣xlnx （a ∈R ），g （x ）=2x 3﹣3x 2．（1）若m 为正实数，求函数y=g （x ），x ∈[，m]上的最大值和最小值；（2）若对任意的实数s ，t ∈[，2]，都有f （s ）≤g （t ），求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；（2）求出g （x ）的最小值，问题转化为a ≤x 2lnx+x 恒成立，x ∈[，2]，令h （x ）=x 2lnx+x ，x ∈[，2]，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答】解：（1）g （x ）=2x 3﹣3x 2，g′（x ）=6x （x ﹣1），令g′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜0，令g′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，∴g （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，若m ＞0，＜m ，则m ＞1，＜1，∴g （x ）在[，1）递减，在（1，m]递增，∴g （x ）min =g （1）=﹣1，g （x ）max =g （）=﹣或g （m ）=2m 3﹣3m 2；（2）若对任意的实数s ，t ∈[，2]，都有f （s ）≤g （t ），即f （s ）max ＜g （t ）min ，s ，t ∈[，2]，由（1）g （t ）在[，2]的最小值是1，只需﹣xlnx ≤1即可，x ∈[，2]，等价于a ≤x 2lnx+x 恒成立，x ∈[，2]，令h （x ）=x 2lnx+x ，x ∈[，2]，显然h（x）在x∈[，2]上递增，=h（）=﹣ln2，h（x）min故a≤﹣ln2．。

绝密★启用前2017--2018高一年级第一学期期中考试数学模拟试卷二考试范围：必修一；考试时间：120分钟一、选择题1．【2018届贵州省黔东南州高三上学期第一次联考】已知集合{}{}1,0,2,4,2,1,0,1A B =-=--，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0,2-B. {}1,0,1-C. {}1,0-D. {}2,0- 【答案】C【解析】因为{}{}1,0,2,42,1,0,1={-1,0}A B ⋂=-⋂=--，故选C.2( ) A. ()0,3 B. [)3,+∞ C. ()3-∞， D. ()3,+∞ 【答案】D有意义，则有30x ->，即3x >，故函数()f x 的定义域为()3,+∞，故选D.3．【2018届山西省河津三中高三一轮测评】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递减的是（ ）A. ()xf x e = B. D. ()2f x x =- 【答案】D【解析】逐一考查函数的性质：A. ()xf x e =，函数是非奇非偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增，不合题意；，函数是奇函数，且在区间()0,+∞上不具有单调性，不合题意； ，函数是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增，不合题意； D. ()2f x x =-，函数是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减，符合题意；本题选择D 选项.4．【2018届山东省菏泽第一中学高三上学期第一次月考】设 ，则 的大小关系（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得 , , ，故 。

选D 。

5．【2018届吉林省汪清县第六中学高三9月月考】若0<x<y<1，则( ) A. 3y<3xB. log x 3<log y 3C. log 4x<log 4【答案】C 【解析】故选C6．【2018届山东省菏泽第一中学高三上学期第一次月考】已知函数 与 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由图可知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，所以y=f(x)g(x)是奇函数，排除B,f(1)>0,g(1)<0,所以f(1)g(1)<0,，排除C,函数在x=0处无定义，所以选A.7．【2018届吉林省汪清县第六中学高三9则()()2ff等于( )【答案】D【解析】由题意可得选D.8 ） A. B.C. D.【答案】B观察所给函数图像结合反比例函数的图像可知选项B 符合题意. 本题选择B 选项.9．若函数f （x ）的定义域为R ，则实数a 取值范围是（ ） A. [﹣2，2] B. （2，+∞） C. （﹣∞，2） D. （﹣2，2） 【答案】A【解析】由题意得210x ax ++≥在R 上恒成立，所以240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，即实数a 取值范围为[]2,2-.答案：A.10．已知,是 上的减函数,那么 的取值范围是( )A. B.C.D.【答案】C【解析】指数函数为减函数，则：0<a<1，① 一次函数为减函数，则：3a −1<0，② 且当x=1时，应有：3a −1+4a ⩾0，③ 结合①②③可得 的取值范围是. 本题选择C 选项.点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法． 二、填空题11．【2018届江苏省南通中学高三10月月考】幂函数 的图像过点 ，则 _________. 【答案】2【解析】设函数的解析式为： ，由题意可得：，函数的解析式为：， 据此可知：.点睛：(1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 12．【2018届江苏省东台市创新学校高三9月月考】已知函数f(x)= 13x a ++ 的图象一定过点P,则P 点的坐标是__________. 【答案】P(-1,4)【解析】解：∵当10x +=,即1x =-时， ()1x f x a +=+3=4恒成立，故函数()1x f x a+=+3恒过()14-，点，故答案为P ()14-，.13．已知集合{}{}|3,|A x x B x x m =≥=≥，且A B A ⋃=，则实数m 的取值范围是________． 【答案】3m ≥【解析】因为集合{}{}|3,|A x x B x x m =≥=≥，且A B A ⋃=，所以B A ⊆ ，所以3m ≥，故答案为3m ≥.14．如果二次函数()2321y x a x b =++－ 在区间(],1-∞ 上是减函数，那么a 的取值范围是_____.【答案】2a ≤-在区间(],1-∞ 上是减，所以2a ≤- . 15．【2018届江苏省东台市创新学校高三9月月考】函数()()2ln f x x x =-的单调增区间为_________.【解析】()f x 额定义域为（0，1），令2z x x =-,则原函数可以写成y lnz = y lnz =为增函数， ∴原函数的增区间即是函数2z x x =-， x ∈ (0,1)的增区间，∴函数()()2ln f x x x =-)的单调增区间是（0. 点睛：复合函数求其单调区间运用同增异减，先看原函数的单调性，在看复合部分的单调性，从而得出最后的单调区间.16．已知函数， ，则 __________．【答案】-1【解析】分情况：当 时 ，故此时 当 ， ，故舍掉. 综上 故结果为-1.17．【2018届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考】已知函数，若方程 有3个不等的实根，则实数 的取值范围是__________. 【答案】（0，2）【解析】画出函数图像如图所示，得二次函数最高点位 ，常函数 和曲线有三个交点，则位于 轴上方，最高点下方即可.故得 ．三、解答题18．已知集合}{|2 6 A x x =<<， }{|3782 B x x x =-≥-． （1）求A B ⋃；（2）求 ()R C A B ⋂.【答案】（1）{}| 2 A B x x ⋃=>；（2）{}|3 6 x x x <≥或【解析】试题分析：（1）解出一元一次不等式，得到集合{}| 3 B x x =≥，故可求出A B ⋃；（2）先求出A B ⋂，根据补集的定义即可求出最后结果. 试题解析：（1）由}{|3782B x x x =-≥-得： {}| 3 B x x =≥，故{}|2 A B x x ⋃=>（2）{}|3 6 A B x x ⋂=≤<，故(){}|3 6 R C A B x x x ⋂=<≥或. 19．【2018届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次考试】求值： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）1.【解析】试题分析：（1）根据指数运算法则可得； （2）根据对数运算法则可得. 试题解析：（1）原式=（2）原式= .20．【2018届山东省菏泽第一中学高三上学期第一次月考】已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， .（1）当时，求的解析式；（2）若，求的值.【答案】（1）当时，.（2）【解析】试题分析：（1）设x<0,-x>0,则-x可以代.再根据奇函数性质，f（x）=-f(-x).(2)由（1）中表达式，分x>0,和x<0，代入f(x)=,可求得x.试题解析：（1）当时，又是奇函数，所以，所以，即当时，.（2）当时，由，得，解得或（舍去），所以，当时，由，得，解得或（舍去），所以，综上所述获.21．【2018届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考】已知函数. （1）若函数为偶函数，求的值；（2）若，直接写出函数的单调递增区间；（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 和（3）【解析】试题分析：（1）因为函数（）为偶函数，所以可由定义得（）（）恒成立，然后化简可得．（2）分＜将绝对值符号去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”．（3）先整理（）（）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分＜＞讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出的范围，最后求它们的交集．试题解析：(1)由于函数为偶函数,则,即恒成立，所以,则平方得恒成立,则(2)若,则，，,则单调递增区间为和（3）不等式转化为在上恒成立,由于则当时,原式为恒成立,即,即;当时,原式为恒成立,即,解得或当时,原式为恒成立,即,解得或综上.22．已知函数f(x)(1) 判别函数f(x)的奇偶性；(2) 判断函数f(x)的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断正确；(3) 求关于x的不等式f(1－x2)＋f(2x＋2)＜0的解集．【答案】（1）奇函数．（2）减函数．（3）－1＜x【解析】试题分析：（1）先确定函数定义域：－3＜x＜3，再根据f(－x)与－f(x)相反关系，确定函数奇偶性（2数f(x)的单调性，再根据函数单调性定义进行证明：先设，再作差变形，最后判断符号（3）利用函数奇偶性得f(2x＋2)＜f(x2－1)，再根据函数单调性及定义域得－3＜x2－1＜2x＋2＜3，解得不等式解集试题解析：解：(1) ∵ f(－x)＝f(x)，∴ f(x)是奇函数．(2)0，得－3＜x＜3，∴ f(x)的定义域是(－3，3)，f(x)＝是减函数．证明如下：设－3＜x1＜x2＜3f(x 1)＞f(x 2)，∴ f(x)是减函数．(3) 由(1)(2)知f(x)在定义域(－3，3)上是减函数，∴ 不等式可化为f(2x ＋2)＜f(x 2－1)，∴ －3＜x 2－1＜2x ＋2＜3，解得－1＜x点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。

2017-2018学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合P={x|x＞0}，Q={x|﹣1＜x＜1}，那么（∁R P）∩Q=（）A．（﹣1，+∞）B．（0，1） C．（﹣1，0]D．（﹣1，1）2．（4分）设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=1+i，则=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（4分）“m=2”是“直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y﹣2=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知x，y满足约束条件若2x+y≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．D．5．（4分）已知函数（a∈R），下列选项中不可能是函数f （x）图象的是（）A． B．C．D．6．（4分）已知实数a＞0，b＞0，+=1，则a+2b的最小值是（）A．B．C．3 D．27．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，若，则的值是（）A．B．C．D．8．（4分）设点P是双曲线（a，b＞0）上异于实轴端点上的任意一点，F1，F2分别是其左右焦点，O为中心，，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．29．（4分）已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近点B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，则（）A．β＞γ＞α B．γ＞β＞α C．α＞β＞γ D．α＞γ＞β10．（4分）如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB=2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．（4分）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b=N⇔b=log a N．现在已知2a=3，3b=4，则ab=．12．（6分）设sin2α=sinα，α∈（0，π），则cosα=；tan2α=．13．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=；展开式中的常数项为．14．（6分）4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有种结果；其概率为．15．（6分）某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为；此几何体的体积．16．（4分）已知圆C：x2+（y﹣r）2=r2（r＞0），点A（1，0），若在圆C上存在点Q，使得∠CAQ=60°，r的取值范围是．17．（4分）当x∈[，4]时，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，则6a+b的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（14分）设函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角A满足f（A）=1，，△ABC的面积为，求b+c的值．19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，面PAB⊥面ABC，∠PAB=30°，AB=PB=2，△ABC和△PBC的重心分别为D，E．（1）证明：DE∥面PAB；（2）求AB与面PDE所成角的正弦值．20．（14分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a≠1时，存在实数x0，使f（x0）＜1．21．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：上一点，从原点O向圆M：作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2．（1）求证：k1k2为定值；（2）求四边形OPMQ面积的最大值．22．（18分）已知数列{a n}满足：，p＞1，．＞1；（1）证明：a n＞a n+1（2）证明：；（3）证明：．2017-2018学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合P={x|x＞0}，Q={x|﹣1＜x＜1}，那么（∁R P）∩Q=（）A．（﹣1，+∞）B．（0，1） C．（﹣1，0]D．（﹣1，1）【解答】解：集合P={x|x＞0}，Q={x|﹣1＜x＜1}，∴∁R P={x|x≤0}，∴（∁R P）∩Q={x|﹣1＜x≤0}=（﹣1，0]．故选：C．2．（4分）设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=1+i，则=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【解答】解：∵z=1+i，∴=．故选：B．3．（4分）“m=2”是“直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y﹣2=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故“m=2”是“直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选：A．4．（4分）已知x，y满足约束条件若2x+y≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，），令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．∴满足2x+y≥m恒成立的m的取值范围是m≤．故选：D．5．（4分）已知函数（a∈R），下列选项中不可能是函数f （x）图象的是（）A． B．C．D．【解答】解：当a=0时，函数的图象如图A所示：当a＞0时，f′（x）=ax2+x+1，若0，则导函数有两个负根，即原函数的两个极值点均为负，不存在满足条件图象；若a，则导函数至多有一个根，即原函数在R上递增，图象如图B所示：当a＜0时，导函数有两个异号的根，即原函数的两个极值点异号，图象如图C 所示，故D不可能是函数f（x）图象，故选：D．6．（4分）已知实数a＞0，b＞0，+=1，则a+2b的最小值是（）A．B．C．3 D．2【解答】解：∵实数a＞0，b＞0，，则a+2b=[（a+1）+2（b+1）]﹣3=+≥2=2，当且仅当a+1=（b+1）=+1时取等号．∴a+2b的最小值是2．故选：B．7．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，若，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，不妨设S n=n（n+2），T n=n（n+1），可得a6=S6﹣S5=6×8﹣5×7=13，b7=T7﹣T6=7×8﹣6×7=14．则=．8．（4分）设点P是双曲线（a，b＞0）上异于实轴端点上的任意一点，F1，F2分别是其左右焦点，O为中心，，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|OP|=t，P在双曲线右支上，且|F1F2|=2c，在△PF1O中，m2=t2+c2﹣2tccos∠POF1，①在△PF2O中，n2=t2+c2﹣2tccos∠POF2，②由cos∠POF1+cos∠POF1，=0，①+②可得m2+n2=2t2+2c2，由题意可得mn﹣t2=，由双曲线的定义可得m﹣n=2a，可得m2+n2﹣2mn=4a2，即有2c2﹣b2=4a2，即为c2+a2=4a2，即c2=3a2，即有e==．故选：C．9．（4分）已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近点B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，A．β＞γ＞α B．γ＞β＞α C．α＞β＞γ D．α＞γ＞β【解答】解：取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，设正四面体棱长为2，则OG===，PO==，BO==，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，则P（，0，0），A（﹣，1，0），B（0，0，），C（﹣，﹣1，0），E（，，0），F（﹣，﹣，），=（﹣，﹣，），=（﹣，1，0），=（﹣，0，），=（﹣，﹣1，0），∵EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，∴cosα===0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===，∴α＞γ＞β．故选：D．10．（4分）如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB=2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：如图所示，根据题意，PC⊥PA，AC⊥BC，∴•=0，•=||×||×cos∠BAC=；又=+，=+，∴=（+）•（+）=﹣﹣•+•+•=﹣+•（﹣）=﹣+•=﹣+=，∴当PC=PA=AC=1时，取得最大值是1．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．（4分）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b=N⇔b=log a N．现在已知2a=3，3b=4，则ab=2．【解答】解：∵2a=3，3b=4，∴a=log23，b=log34．∴a=，b=．∴ab=•=2．故答案为：2．12．（6分）设sin2α=sinα，α∈（0，π），则cosα=；tan2α=．【解答】解：由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵α∈（0，π），∴sinα≠0，得cosα=；则α=，2α=，∴tan2α=﹣．故答案为：，．13．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=6；展开式中的常数项为15．【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，解得n=6，则其通项公式为C6r x，令6﹣3r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为C62=15故答案为：6，1514．（6分）4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有24种结果；其概率为．【解答】解：设有甲、乙、丙、丁四支足球队参加比赛，共有甲对乙，甲对丙，甲对丁，乙对丙，乙对丁，丙对丁六场比赛，∵每场一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，∴每场比赛均有2种结果，∴4支足球队两两比赛，一共有：26=64种结果，每队赢的场数各不相同，∴四支球队赢球的场次分别为3，2，1，0，∴4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，共有A=24种结果，其概率为P==．故答案为：24，．15．（6分）某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为+2；此几何体的体积π+．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个底面半径r=1，高h=2的半圆柱和一个倒放的四棱锥的组合体，其中四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，且SD=2，∴俯视图的面积为S===+2，此几何体的体积为：V===．故答案为：，．16．（4分）已知圆C：x2+（y﹣r）2=r2（r＞0），点A（1，0），若在圆C上存在点Q，使得∠CAQ=60°，r的取值范围是．【解答】解：如图当AQ与圆相切时，∠CAQ最大，若在圆C上存在点Q，使得∠CAQ=60°，则∠CAQ的最大值不小于600，即∠CAO≥600∴，∴，r．故答案为：[，+∞）．17．（4分）当x∈[，4]时，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，则6a+b的最大值是6．【解答】解：当x∈[，4]时，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，即：|ax+b+|≤2，即：|a（x+）+b|≤2，x∈[，4]时，恒成立，因为当x∈[，4]时：4=2≤x+≤5，所以x+∈[4，5]，令f（x）=|a（x+）+b|f（x）max=Max{f（2），f（4）}，∴，画出可行域如图：解得A（4，﹣18），目标函数z=6a+b经过可行域的A时，取得最大值：4×6﹣18=6故答案为：6．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（14分）设函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角A满足f（A）=1，，△ABC的面积为，求b+c的值．【解答】解：（1）设函数，则：，=，令：，（k∈Z），解得：，（k∈Z）．所以，f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）．（2）由条件，∵，∴，∴，解得．∵，∴bc=2．又，化简得（b+c）2﹣3bc=3，则（b+c）2=9，∴b+c=3．19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，面PAB⊥面ABC，∠PAB=30°，AB=PB=2，△ABC和△PBC的重心分别为D，E．（1）证明：DE∥面PAB；（2）求AB与面PDE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取BC中点F，连结AF，由重心性质可知D，E分别在AF，PF上且AD=2DF，PE=2EF，所以在△AFP中有，所以DE∥AP，又DE⊄平面PAB，AP⊂平面PAB，所以DE∥平面PAB．（2）解：以AB中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=PB=2，∠PAB=30°，∴∠PBA=120°，∴，又由条件A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，∴，，．设面PDE的法向量为，则取，则∴，∴，即所求角的正弦值为．20．（14分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a≠1时，存在实数x0，使f（x0）＜1．【解答】解：（1）∵f（x）=e ax﹣x，∴f'（x）=ae ax﹣1．①当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在R上单调递减；②当a＞0时，令f'（x）＞0得，令f'（x）＜0得，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）因为f（0）=1，所以①若a≤0，则f（x）在R上递减，所以当x0＞0时能使f（x0）＜1；②若0＜a＜1，则，而f（x）在上单调递减，所以取时能使f（x0）＜f（0）=1；③若a＞1，则，而f（x）在上单调递增，所以取时能使f（x0）＜f（0）=1，综上，当a≠1时，存在实数x0，使f（x0）＜1．21．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：上一点，从原点O向圆M：作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2．（1）求证：k1k2为定值；（2）求四边形OPMQ面积的最大值．【解答】（1）证明：∵直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x与圆M相切，由，可得k1，k2是方程的两个不相等的实数根，∴，∵点M（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴；（2）解：①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵2k1k2+1=0，∴，即，∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，∴，整理得，∴，∴OP2+OQ2=3．②当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=3，综上：OP2+OQ2=3．∵，又，∴S OPMQ的最大值为1．22．（18分）已知数列{a n}满足：，p＞1，．（1）证明：a n＞a n＞1；+1（2）证明：；（3）证明：．【解答】证明：（1）先用数学归纳法证明a n＞1．①当n=1时，∵p＞1，∴；②假设当n=k时，a k＞1，则当n=k+1时，．由①②可知a n＞1．．，再证a n＞a n+1令f（x）=x﹣1﹣xlnx，x＞1，则f'（x）=﹣lnx＜0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0，．所以，即a n＞a n+1（2）要证，只需证，只需证其中a n＞1，先证，令f（x）=2xlnx﹣x2+1，x＞1，只需证f（x）＜0．因为f'（x）=2lnx+2﹣2x＜2（x﹣1）+2﹣2x=0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0．再证（a n+1）lna n﹣2a n+2＞0，令g（x）=（x+1）lnx﹣2x+2，x＞1，只需证g（x）＞0，，令，x＞1，则，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，从而g'（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0，综上可得．（3）由（2）知，一方面，，由迭代可得，因为lnx≤x﹣1，所以，所以ln（a1a2…a n）=lna 1+lna 2+…+lna n =；另一方面，即，由迭代可得．因为，所以，所以=；综上，．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。