苏科版八年级数学上册 2.5 等腰三角形的轴对称性 同步测试题(无答案)

70° 4. 如图，在'ABC 中必3 = AC.^C = 70。

,△力E'C'与△力3C 关于直线对称.^CAF = 10%连接33仃则2LABB 9的度数是（）5. 有一直角三角板，30。

角所对直角边长是6纫?，则斜边的长是（）初中数学苏科版八年级上册第二章2.5等腰三角形的轴对 称性同步练习 一、选择题1. 如图，在四边形ABCD 中，乙BCD =乙BAD = 90。

,AC, BD 相交于点£，点G, H 分别是AC, BD 的中 点，如果乙3EC = 80%那么乙GHE 等于（） A. 5° B. 10° C. 20° I) L>・ OV2.如图，CD 是"SC 的边AB 上的中线，且CD= \AB,则下列结论 错误的是（） A ・ AD = BD B ・ CD = BD C ・'ABC 是直角三角形 D.乙B = 60°3.如图，AD. CE 分别是△A8C 的中线和角平分线.^AB =AC, 乙C&D = 20%贝lUACE 的度数是（ ） A. 20°B. 35°C. 40°D.A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°6. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为（）7. 若一个等腰三角形的两边长分别为2, 4,则第三边的长为（）A. 2B. 3 如图，5ABC 是等边三角形，DE//8C,则△力DE 的周长为（） A.4B.30C. 18D.12 9. 已知△力BC 中，AB = 6, AC = 8, BC = 11,任作一条直线将△力3C 分成两个三角形，若英中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（）A.3条B.5条C.7条D.8条10. 等腰△ M3C 的底角若为顶角的扌，过底边上的一点D 作底边BC 的垂线交AC 于点E,4交BA 的延长线于点F,则△力EF 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰但非等边三角形二、填空题11. 如图，在△M3C 中，AB =AC, LA = 36°,将△力 BC 中的"沿 DE向下翻折，使点A 落在点C 处.若力E = 3,则BC 的长为 ___________ ・12.如图，在△力30中，厶408 = 90°,C 是AB 的中点，若力3= 10cm» 贝IJOC = _____ ；若0C = 2.5cm,则4B = _________ a13. 如图，在中，D 是 BC 上一点，AC =AD = DB. ^BAC = 102°,则Z-ADC = ______ 度.A. 3cmB. 6cmC. \OcmD.\2cmA. 13B. 17C. 13 或 17D. 13 或 10C.4D.2 或 4若力B = 10, BD = 6>14・如图，在厶M3C中，AD丄BC, AB = 6,乙3 = 60% 若DC = 3BD,贝IjDC = _______ .三、解答题15.如图，NAEC都是等边三角形，BE, CD相交于点0・(1)求证：BE = DC；(2)求乙30C的度数.16.已知：如图，点D在厶ABC的边BC上M3 = AC = BD9AD = CD求LBAC的度数.17.如图，在△力3C和△ DC3中，ZJ1 = ZD = 90% AC =BD, AC与BD相交于点O.(1)求证：\ABCW\DCB；(2)求证：AOEC是等腰三角形.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考査了等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、直角三角形的性质，连接AH, CH,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可^AH = CH,根据等腰三角形的性质可得Z-EGH =90°,结合乙GEH = ZBEC = 80。

2021-2022学年苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性能力达标测评卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C2．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG ＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（）A．3B．4C．5D．93．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（）A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．∠1＝∠2D．AD⊥BC4．已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（）A．2B．3C．2或3D．不能确定5．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8B．6或10C．6或7D．7或106．如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（）A．12B．8C．4D．37．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．108．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．16D．329．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．35°10．如果等腰三角形有一个内角为70°，则其底角的度数是（）A．55°B．70°C．55°或70°D．不确定二．填空题（共5小题，满分20分）11．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．12．等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为．13．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为三角形．14．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为．（填序号）15．如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB 交于点E，连接AF，当AE＝AF时，∠BCE＝度．三．解答题（共8小题，满分70分）16．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．19．已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证：AB＝AC．20．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．21．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF＝EF．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．23．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．故选：D．2．解：∵ED∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，∴BD＝DF，CE＝GE，∵FG＝2，ED＝6，∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，故选：B．3．解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∴∠B＝∠C（故A正确）∠1＝∠2（故C正确）AD⊥BC（故D正确）无法得到AB＝2BD，（故B不正确）．故选：B．4．解：当腰长为2时，底边长为8﹣2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；当底边长为2时，腰长为（8﹣2）÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；所以等腰三角形的腰长为3．故选：B．5．解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，∴解得：，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7．故选：A．6．解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周长为12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×12＝4，故选：C．7．解：如图：延长AB，CD交于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，即S△BDC最大＝××10×4＝10．故选：D．8．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝，∴A2B1＝，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝2，A4B4＝8B1A2＝4，A5B5＝16B1A2＝8，…∴△A n B n A n+1的边长为×2n﹣1，∴△A6B6A7的边长为×26﹣1＝×25＝16．故选：C．9．解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，∴∠ACB＝75°，在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，∵a∥b，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝115°﹣75°＝40°，故选：A．10．解：∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴其一个底角的度数是55°或70°．故选：C．二．填空题（共5小题，满分20分）11．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°12．解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长＝8+8+4＝20．故答案是：20．13．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a为方程|x﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，∴a＝2，∴a＝b＝2，∴△ABC是等腰三角形，故答案为：等腰．14．解：①连接OB，如图1，∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；③如图2，在AC上截取AE＝P A，∵∠P AE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝P A，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OP A和△CPE中，，∴△OP A≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故③正确；④如图3，作CH⊥BP，∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S△ABD＝S△AHC，∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD ∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．故答案为：①②③④．15．解：∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠BCF，设∠BAF＝∠BCF＝α，∴∠AEF＝60°+α，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，∴60°+α+60°+α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BCE＝20°，故答案为：20．三．解答题（共8小题，满分70分）16．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．17．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∵∠ADC＝130°，∴∠CDE＝50°，∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝40°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝80°．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20．18．解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°，∴∠AFB＝∠BED，∵∠AEF＝∠BED，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．20．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝AC，∵CE＝BC，∴CD＝CE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∵∠B＝60°，∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即EF⊥AB；（2）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD＝ABC＝30°，∵∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴DE＝BD，∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2DF，即DE＝2DF．21．证明：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE，同理CF＝DF，∴EF＝DE+DF＝BE+CF，即BE+CF＝EF．22．（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．23．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t＝，∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，y﹣10＝30﹣2y，解得：y＝．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．。

2019-2020年八年级数学上册2.5 等腰三角形的轴对称性同步测试2（新版）苏科版一、细心选一选．1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为 ( )A．70° B．80° C．40° D．30°2．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的值为 ( )A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，M为BC的中点．已知EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 ( )A．21 B．18 C．13 D．154．若a，b，c是三角形的三条边，且满足a2+ac=ab+bc，则该三角形的形状为． ( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形5．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( )A．6条 B．7条 C．8条 D．9条6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ( )A．6 B．7 C．8 D．9二、认真填一填．7． (1) 如图①，若AD平分∠BAC，CE∥DA，则△是等腰三角形；(2) 如图②，若AD平分∠BAC，DE∥BA，则△是等腰三角形；(3) 如图③，若AD平分∠BAC，CE∥AB，交AD的延长线于点E，则△是等腰三角形；(4) 如图④，若AD平分∠BAC，且AD∥EC，EG交AB于点F，则△是等腰三角形．8．如图，B，D，F在AN上，C，E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，则∠FEM 度数是9．如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为°．10．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B= .11．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10 cm，动点P从点C出发沿CB以2 cm ／s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1 cm／s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t (s)表示移动的时间，当t= 时，△POQ是等腰三角形．三、耐心解一解．12．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：(1) ∠EDC=∠ECD；(2) OC=OD；(3) OE是线段CD的垂直平分线．13．已知：如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：(1) DM=BM；(2) MN⊥BD．14．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC=10，EF=4．(1) 求△MEF的周长；(2) 若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求△EFM的三个内角的度数．15．如图，在△ABC中，M，N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．求证：MN⊥EF．16．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC 于E，F．(1) 图中有几个等腰三角形? 猜想：EF与BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2) 如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗? 如果有，分别指出它们在第(1)问中EF与BE，CF间的关系还存在吗?(3) 如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗? EF与BE，CF关系又如何?说明你的理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．△ACE △ADE△ACE △AEF8．100° 9．60° 10．65°或25° 11．10或 12．证△EDO≌△ECO(AAS)得出OC=OD，ED=EC→∠EDC=∠ECD，∴EO垂直平分DC，则OE是CD的中垂线． 13．略 14．(1) △MEF周长为14．(2) 三个内角度数分别为40°，70°，70°15．证明：如图，连接MF，ME，∵MF，ME分别为Rt△FBC 是和Rt△EBC斜边上的中线，∴MF=ME=BC，在△MEF中，MF=ME，点N是EF的中点，∴MN⊥EF．且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；(2) 还有两个等腰三角形，为△BEO，△CFO，如图②所示，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=3，∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在． (3)有等腰三角形：△BEO，△CFO，此时EF=BE－CF，∵如图③所示，OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE=EO，OF=FC，∴BE=EF+FO=EF+CF，∴EF=BE－CF．。

苏科新版八年级上学期《2.5 等腰三角形的轴对称性》同步练习卷一．选择题（共40小题）1．如图，等边三角形ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），则点A的坐标为（）A．（2，3）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）2．下列说法中，说法正确的个数有（）①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②等腰三角形的两底角相等；③钝角三角形不可能使等腰三角形；④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形；⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O做DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ADE的周长为18，则AB 的长是（）A．8B．9C．10D．124．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，若∠DCB＝18°，则∠B的度数是（）A．12°B．27°C．30°D．45°5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°，点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，射线CP交AB的延长线于点D，下列四个结论：①∠ACB ＝76°，②∠APB＝38°，③∠D＝24°，④AB+BC＞AP+PC其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．12D．8或107．已知A（0，2）、B（4，0），点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足这样条件的C有（）个．A．3B．4C．5D．68．如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（）A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠29．若实数m、n满足等式|m﹣2|+|n﹣4|＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．6B．8C．8或10D．1010．如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则∠COB的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．65°11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（）A．（0，4）B．（2，4）C．（4，4）D．（4，2）12．已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是（）A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或30°13．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（）A．9B．11C．15D．1814．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15B．16C．14D．14或16 15．如图，在△ABC中，∠C＝29°，D为边AC上一点，且AB＝AD，DB＝DC，则∠A的度数为（）A．54°B．58°C．61°D．64°16．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条17．如图，在正三角形ABC中，D、E分别在边AC、AB上，且＝，AE＝BE，则的值为（）A．B．C．D．18．高为2cm的等边三角形的面积是（）A．4cm2B．2cm2C．cm2D．cm2 19．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝35°，则∠β等于（）A．35°B．30°C．25°D．15°20．若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．8cm或2cm D．14cm或8cm 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④22．如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）23．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④24．等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．4C．5D．625．小明用一根长20cm的铁丝做一个周长是20cm的等腰三角形，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜10B．0＜x＜5C．5≤x≤10D．5＜x＜10 26．若x，y满足|x﹣3|+（y﹣6）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A．12B．14C．15D．12或15 27．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．10B．8C．5D．428．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边AB在x轴上，其中A（﹣4，0），B（2，0）．则点C的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣3）29．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于（）A．20B．20或16C．16D．20或18 30．△ABC中，AB＝AC，过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则∠BAC（）A．36°，90°，，108°B．36°，72°，，90°C．90°，72°，108°，D．36°，90°，108°，31．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（）A．D是BC中点B．AD平分∠BACC．AB＝2BD D．∠B＝∠C32．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，下列结论错误的是（）A．BD是AC边上的中线B．BD是∠ABC的平分线C．图中共有3个等腰三角形D．∠DBC＝36°33．在平面直角坐标系中，等边△ABC的边AB在x轴上，其中A（﹣4，0），B （2，0），则点C的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（3，﹣1），（﹣1，3）C．（﹣1，±3）D．（﹣3，1），（﹣1，﹣3）34．在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，点A到BC的距离是6，O到BC的距离是4，则AO为（）A．2B．10C．2或10D．无法测量35．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，若∠BAD＝36°，则∠C的大小为（）A．36°B．38°C．40°D．42°36．如图，△ABC中，已知，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．45°37．已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB＝PQ＝QC＝AP ＝AQ．则∠BAQ＝（）A．90°B．40°C．60°D．70°38．若等腰三角形的两边长分别是6cm和4cm，则等腰三角形的周长是（）A．16cm B．14cm C．16cm或14cm D．无法确定39．在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝150°，AD＝3，BD ＝1，则CD的长是（）A．B．3C．3D．240．下列说法：①等边三角形的三个内角都相等；②等边三角形的每一个角都等于60°；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4苏科新版八年级上学期《2.5 等腰三角形的轴对称性》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．如图，等边三角形ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），则点A的坐标为（）A．（2，3）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）【分析】如图，作AH⊥OC于H．根据等边三角形的性质以及勾股定理求出OH，AH即可；【解答】解：如图，作AH⊥OC于H．∴C（4，0），∴OC＝4，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∵AH⊥BC，∴OH＝HC＝2，∴AH＝＝2，∴A（2，2），故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．下列说法中，说法正确的个数有（）①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②等腰三角形的两底角相等；③钝角三角形不可能使等腰三角形；④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形；⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确．②等腰三角形的两底角相等，正确；③钝角三角形不可能是等腰三角形，错误；④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形，正确；⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等，正确．【解答】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确．②等腰三角形的两底角相等，正确；③钝角三角形不可能是等腰三角形，错误；④有一高与一中线重合的三角形是等腰三角形，正确；⑤在三角形中，相等的边所对的角也相等，正确．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判断和性质，涉及到等腰三角形基本概念、三线合一等，是一道基本题．3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O做DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若△ADE的周长为18，则AB 的长是（）A．8B．9C．10D．12【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DO，CE＝EO，则△ADE的周长＝AB+AC，由此即可解决问题；【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC，∴BD＝OD，CE＝OE，∴△ADE的周长是：AD+DE+AE＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC ＝18，∴AB＝AC＝9．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的性质．利用平行线+角平分线推出等腰三角形是解题的关键；4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，若∠DCB＝18°，则∠B的度数是（）A．12°B．27°C．30°D．45°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝45°，∵∠DCB＝18°，∴∠B＝∠ADC﹣∠DCB＝45°﹣18°＝27°，故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答．5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°，点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，射线CP交AB的延长线于点D，下列四个结论：①∠ACB ＝76°，②∠APB＝38°，③∠D＝24°，④AB+BC＞AP+PC其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】如图，在AC的延长线上截取CE＝CB，连接PE．由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝76°，由点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，推出∠APB＝∠ACB＝38°，CD平分∠ACE，推出∠BCD＝∠ECD＝（180°﹣76°）＝52°，推出∠D＝∠ECD﹣∠CAB＝52°﹣28°＝24°，故①②③正确，利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系可以证明④错误；【解答】解：如图，在AC的延长线上截取CE＝CB，连接PE．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝76°，∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，∴∠APB＝∠ACB＝38°，CD平分∠BCE，∴∠BCD＝∠ECD＝（180°﹣76°）＝52°，∴∠D＝∠ECD﹣∠CAB＝52°﹣28°＝24°，故①②③正确，PC＝PC，∠PCE＝∠PCB，CE＝CB，∴△PCE≌△PCB（SAS），∴PE＝PB，∵AB＝AC，AP＝AP，∠P AC＝∠P AB，∴△P AC≌△P AB（SAS），∴PC＝PB＝PE，∴P A+PC＝P A+PE＞AC+CE，∵AB＝AC，BC＝CE，∴P A+PC＞AB+BC，故④错误，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（）A．8B．10C．12D．8或10【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为4时，周长＝4+4+2＝10；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为4，这个三角形的周长是10．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．7．已知A（0，2）、B（4，0），点C在x轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足这样条件的C有（）个．A．3B．4C．5D．6【分析】分为三种情况：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝BC，根据等腰三角形性质即可求得．【解答】解：以A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C1点，此时AC＝AB；以B为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C2，C3两点，此时BC＝AB；作AB的垂直平分线交x轴于C4，此时AC＝BC，即1+2+1＝4，故满足条件的点C有4个，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的动手操作能力和理解能力．8．如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（）A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．【解答】解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，∴3∠1﹣∠2＝180°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．9．若实数m、n满足等式|m﹣2|+|n﹣4|＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．6B．8C．8或10D．10【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可；【解答】解：∵|m﹣2|+|n﹣4|＝0，又∵|m﹣2|≥0，|n﹣4|，≥0，∴m＝2，n＝4，当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，当4是底时，2，2，4不能构成三角形．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．10．如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则∠COB的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．65°【分析】利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝25°，∴∠COB＝∠A+∠C＝50°，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（）A．（0，4）B．（2，4）C．（4，4）D．（4，2）【分析】利用描点法，描出各个点即可判断；【解答】解：如图，观察图象可知点（4，2）符合题意，不可能构成等腰三角形，故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是（）A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或30°【分析】首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．【解答】解：本题可分两种情况：①当70°角为底角时，顶角为180°﹣2×70°＝40°；②70°角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．13．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（）A．9B．11C．15D．18【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝4，AC＝7，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝4+7＝11．故选：B．【点评】考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．14．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15B．16C．14D．14或16【分析】由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分4为底边与6为底边两种情况进行讨论．【解答】解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解是解题关键．15．如图，在△ABC中，∠C＝29°，D为边AC上一点，且AB＝AD，DB＝DC，则∠A的度数为（）A．54°B．58°C．61°D．64°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠C＝29°，由外角的性质得到∠ADB＝∠C+∠DBC＝58°，由于AB＝AD，于是得到∠ABD＝∠ADB＝58°，然后根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DB＝DC，∠C＝29°，∴∠DBC＝∠C＝29°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝58°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝58°，∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝64°．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．16．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG 时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．17．如图，在正三角形ABC中，D、E分别在边AC、AB上，且＝，AE＝BE，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝∠C＝60°，BC＝AB，由AE＝BE可得到CB＝2AE，再由得到CD＝2AD，则，然后根据两边及其夹角法可得到：△AED∽△CBD，进而解答即可．【解答】解：∵△ABC为正三角形，∴∠A＝∠C＝60°，BC＝AB，∵AE＝BE，∴CB＝2AE，∵，∴CD＝2AD，∴，而∠A＝∠C，∴△AED∽△CBD．∴，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．18．高为2cm的等边三角形的面积是（）A．4cm2B．2cm2C．cm2D．cm2【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用三角函数求出BD即可解决问题．【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC于D，∵等边三角形△ABC的高为2cm，∴AD＝2cm，∵BD＝AD÷tan60°＝∴BC＝2BD＝cm，＝•BC•AD＝．∴S△ABC故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形的性质，锐角三角函数．此题比较简单，注意熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键．19．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝35°，则∠β等于（）A．35°B．30°C．25°D．15°【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC＝∠α＝35°．再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．【解答】解：过点A作AD∥l1，如图，则∠BAD＝∠β．∵l1∥l2，∴AD∥l2，∵∠DAC＝∠α＝35°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°﹣35°＝25°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．20．若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．8cm或2cm D．14cm或8cm 【分析】分14cm是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【解答】解：①14cm是腰长时，底边为：30﹣14×2＝2cm，三角形的三边长分别为14cm、14cm、2cm，能组成三角形，②14cm是底边长时，腰长为：×（30﹣14）＝8cm，三角形的三边长分别8cm、8cm、14cm，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰长是14cm或8cm故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝BD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝30°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解此题的关键．22．如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形【解答】解：①中作∠B的角平分线即可；③过A点作BC的垂线即可；④中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．故选：B．【点评】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键．23．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断．【解答】解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形；④三边都相等的三角形是等边三角形；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．24．等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．【解答】解：若腰长为3，则底边长为：15﹣3﹣3＝9，∵3+3＜9，∴不能组成三角形，舍去；若底边长为3，则腰长为：＝6；∴该等腰三角形的底边长为：3；故选：A．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键．25．小明用一根长20cm的铁丝做一个周长是20cm的等腰三角形，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜10B．0＜x＜5C．5≤x≤10D．5＜x＜10【分析】根据已知三角形周长公式得出y与x的关系即可，根据三角形三边的关系确定自变量x的取值范围即可；【解答】解：设底边为y（cm）和腰长为x（cm）；∴2x+y＝20，∴y＝20﹣2x；y＝20﹣2x，解得x＜10，两边之和大于第三边，即2x＞20﹣2x，解得：x＞5．故x的取值范围是：5＜x＜10；故选：D．【点评】本题考查了一次函数关系式的应用，要求同学们熟练掌握等腰三角形的性质及三角形三边关系．26．若x，y满足|x﹣3|+（y﹣6）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A．12B．14C．15D．12或15【分析】根据非负数的性质求出x，y的值即可解决问题；【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣6）2＝0，又∵|x﹣3|≥0，（y﹣6）2≥0，∴x＝3，y＝6，∵x，y为等腰三角形的两边，∴等腰三角形的三边分别为：6，6，3．∴等腰三角形的周长为15，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．10B．8C．5D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AB＝5，AD＝3，∴BD＝＝4，∴BC＝2BD＝8，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．28．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边AB在x轴上，其中A（﹣4，0），B（2，0）．则点C的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（﹣3）【分析】根据等边三角形的性质和平面直角坐标系解答即可．【解答】解：如图：∵A（﹣4，0），B（2，0），∴C的坐标为（﹣1，3），故选：C．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和平面直角坐标系解答．29．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于（）A．20B．20或16C．16D．20或18【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况．【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4和8，当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，4+4＝8不满足三角形的三边关系；当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，三角形的周长是20．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．30．△ABC中，AB＝AC，过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形，则∠BAC（）A．36°，90°，，108°B．36°，72°，，90°C．90°，72°，108°，D．36°，90°，108°，【分析】利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论．【解答】解：①如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB＝AC，AD＝CD＝BD，设∠B＝x°，则∠BAD＝∠B＝x°，∠C＝∠B＝x°，∴∠CAD＝∠C＝x°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴x+x+x+x＝180，解得x＝45，则顶角是90°；②如图2，AB＝AC＝CD，BD＝AD，设∠C＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∵BD＝AD，∴∠BAD＝∠B＝x°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝2x°，∴∠BAC＝3x°，∴x+x+3x＝180，x＝36°，则顶角是108°．③如图3，当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB＝AC，BC＝BD＝AD，设∠BAC＝x°，∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠BAC＝x°，∴∠CDB＝∠ABD+∠BAC＝2x°，∵BC＝BD，∴∠C＝∠CDB＝2x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，x＝36°，则顶角是36°．④如图4，当∠BAC＝x°，∠ABC＝∠ACB＝3x°时，也符合，AD＝BD，BC＝DC，∠BAC＝∠ABD＝x，∠DBC＝∠BDC＝2x，则x+3x+3x＝180°，x＝．则∠BAC＝90或108或36或度．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．31．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（）A．D是BC中点B．AD平分∠BACC．AB＝2BD D．∠B＝∠C【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．∴AD平分∠BAC，无法确定AB＝2BD．故A、B、D正确，C错误．故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，下列结论错误的是（）A．BD是AC边上的中线B．BD是∠ABC的平分线C．图中共有3个等腰三角形D．∠DBC＝36°【分析】根据等腰三角形的性质和判定判断即可．【解答】解：A、无法得出CD＝AD，错误；B、∵DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，∴BD是∠ABC的平分线，正确；C、图中共有△ABD，△BDC，△ABC3个等腰三角形，正确；D、∵DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，正确；故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及中垂线的性质，解答本题的关键是掌握各性质定理的内容，注意已经证明的结论在后面的证明过程可以直接使用．33．在平面直角坐标系中，等边△ABC的边AB在x轴上，其中A（﹣4，0），B （2，0），则点C的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（3，﹣1），（﹣1，3）C．（﹣1，±3）D．（﹣3，1），（﹣1，﹣3）【分析】根据等边三角形的性质和平面直角坐标系解答即可．【解答】解：如图：∵A（﹣4，0），B（2，0），∴C的坐标为（﹣1，），故选：C．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和平面直角坐标系解答．34．在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，点A到BC的距离是6，O到BC的距离是4，则AO为（）A．2B．10C．2或10D．无法测量【分析】分两种情况：①O在△ABC内，②O在△ABC外，先根据线段垂直平分线求出AM是线段BC的垂直平分线，即可得出AM＝6，OM＝4，即可得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O都在线段BC的垂直平分线上，∴AM⊥BC，∵点A到BC的距离为6，点O到BC的距离为4，∴AM＝6，OM＝4，∴①O在△ABC内，∴AO＝AM﹣OM＝2，②O在△ABC外，∴AO＝AM+OM＝10．故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出AM是BC的垂直平分线，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．35．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，若∠BAD＝36°，则∠C的大小为（）A．36°B．38°C．40°D．42°【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．由AB＝AD＝DC可得∠DAC＝∠C，易求解．【解答】解：∵∠BAD＝36°，AB＝AD＝DC，∴∠ABD＝∠ADB＝72°，又∵AD＝DC，∴∠C＝∠CAD＝∠ADB＝36°．故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解．36．如图，△ABC中，已知，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．45°【分析】根据三角形的外角的性质即可解决问题；【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，。

苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》同步练习题-带答案一、单选题1．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△CAB=36°，以C 为原点，C 所在直线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M 使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2．如图，等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ．点P 是BA 延长线上一点，O 点是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：△AC 平分△PAD ；△△APO=△DCO ；△△OPC 是等边三角形；△AC=AO+AP.其中正确结论的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，在四边形ABCD 中，△BAD ＝△BCD ＝90°，△ADC =45°，BD =2a ，E 为BD 中点，给出下列结论：△AE =a ， △△CAE =45°，△AC = 2a ，△取AC 的中点F ， 则EF △AC ， 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在ABC 中，AB=AC ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=（ ）A．40︒B．50︒C．20︒D．30︒∠的度数为（）5．如图，ABC中，已知AB AC=，DE垂直平分AC，40∠=︒则BCDAA．15︒B．30︒C．50︒D．65︒6．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且△EBF＝100°，△EAF＝70°，则△AEB等于() A．95°B．15°C．95°或15°D．170°或30°7．等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（）A．65°B．80°C．50°或65°D．50°或80°8．已知等腰三角形的一个内角是50︒，则这个三角形顶角的度数是（）A．130︒B．50︒C．80︒D．50︒或80︒⊥于D点，点E、F分别是AD的三等分点，若ABC的面积为9．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC18，则图中阴影部分面积为（）A．6B．8C．9D．10∠，若AB=m，10．如图，ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高，E是BA延长线上一点，AC平分DAEBC=p，BD=q，则下列等式一定成立的是（）A ．m q p +=B ．2m q p +=C ．2m q p +=D ．12q m p +=二、填空题11．在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED =EC ，若三角形ABC 的边长为1，AE =2，则CD 的长为 ．12．若等腰三角形的周长为30cm ，一边长为6cm ，则腰长为 ．13．如图，CA 1是等腰Rt △ABC 斜边AB 上的高，以CA 1为直角边构造等腰Rt △CA 1B 1（点C ，A 1，B 1按顺时针方向排列），△A 1CB 1＝90°，称为第一次构造；CA 2是Rt △CA 1B 1斜边上的高，再以CA 2为直角边构造等腰Rt △CA 2B 2（点C ，A 2，B 2按顺时针方向排列），△A 2CB 2＝90°，称为第二次构造…，以此类推，当第n 次构造的Rt △CAnBn 的边CBn 与△ABC 的边CB 第二次重合时，构造停止，若S △ABC ＝1，则构造出的最后一个三角形的面积为 ．14．等腰三角形的一个角的度数是36︒，则它的底角的度数是 ．15．如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，EF AB ⊥于点F ，若5EF =，则ED 的长度为 ．三、解答题16．已知等腰三角形的周长为15cm ，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm 的两个三角形，求等腰三角形的腰长．17．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒,OA OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动、C 点固定OC CD DE ==点D E 、可在槽中滑动．若75BDE ∠=︒，请求出CDE ∠的度数．18．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AD//BC ，G 为CD 上一点，连接AG ，BG ．△若AG 平分DAB ∠，BG 平分ABC ∠，求AGB ∠的度数；△若90ABC ∠=︒，AD+BC=AB ，G 为CD 中点，求证：ABG 为等腰直角三角形；（2）某工程队需要在A ，B 两棵树的前方建立一座八角亭．按如下方法选址：如图2，甲工人从C 点直走到树A 处，然后向右转90后再直走一段路等于AC 的长度到点D 处；乙工人从C 点直走到树B 处，然后向左转90后再直走一段路等于BC 的长度到点E 处．工程队队长打算把八角亭建在DE 的中点G 处．过几天，工程队带着建筑材料来施工，却发现忘记标记起始点C ，正当大家懊恼时，队长说：别急，只要找到A ，B 两棵树连线的中点F ，由点F 引AB 的垂线，再往A ，B 两棵树前方量出AB 的长度的一半，就能找到之前的G 点（如图3所示）．你觉得队长的方法对吗？为什么？19．如图，一条船上午6时从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B 处，分别从A ，B 处望灯塔C ，测得30NAC ∠=︒ 60NBC ∠=︒．(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？20．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，但同学们给出了以下建议：(1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，，DO=BO，最后测出CD的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理延长BO至点D，使CO AO由；(2)由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得∠EOC=65°，∠C=80°，∠OEF=145°，CF=127m，EF=78m，请求出该建筑物两端A，B之间的距离．参考答案1．C2．B3．D4．D5．B6．C7．A8．D9．C10．B11．1或3/3或112．12cm13．1612 14．36︒或72°15．516．4cm 或6cm17．80︒18．（1）△90︒△略；（2）队长说法正确，略 19．(1)海岛B 到灯塔C 的距离为30海里(2)上午9时小船与灯塔C 的距离最短 20．(1)甲同学的方案可行；略(2)该建筑物两端A ，B 之间的距离为205m ．。

苏科版八年级上册2.5等腰三角形轴对称性检测题（解析版）2.5等腰三角形性质检测题一、选择题（本大题共6小题，共18分）1.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A. 15°或75°B. 140°C. 40°D. 140°或40°2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（ ）A. cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm3.若（a-4）2+|b-6|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A. 14B. 16C. 13D. 14或164.已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是（ ）A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. 无法确定5.如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为（ ）A. 30°B. 30°或150°C. 60°或150°D. 60°或120°二、填空题（本大题共10小题，共30分）7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=∠BAD=30°，DE⊥AB，若CD=2，则DE= ______．第7题图第8题图第11题图8.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2= ______ °．9.已知等腰三角形的一个内角等于50°，则底角的度数为________．10.等腰三角形的周长为16，其中一边为4，则另两边的长分别为__________．11.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AE，则∠EDC=______．12.一个直角三角形的两条直角边长是6，8，则该直角三角形斜边上的中线长是______．13.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=CE，BE与CD交于点F，则∠EFC的度数等于______度．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为______ ．第13题图第14题图第15题图15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，BC=AB，则∠DCB= ______ ．16.已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为______．第16题图三、解答题（本大题共4小题，共52分）17.（本题12分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：DE=DF．18.（本题12分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，CB=8，求DE的长.19.（本题14分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．20.（本题14分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠AHF=20°，∠AHD=50°，求∠DEF的度数．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键在于分两种情况进行讨论，作出图形更形象直观.分两种情况进行讨论：当三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；当三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解.【解答】解：如图1，三角形是锐角三角形时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠A=90°-50°=40°；如图2，三角形是钝角三角形时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠BAC=50°+90°=140°，综上所述，顶角等于40°或140°.故选D．2.【答案】C【解析】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm，∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm；故选：C．根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值．此题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．先根据非负数的性质得到a、b的长，再分为两种情况：①当腰是4，底边是6时，②当腰是6，底边是4时，求出即可．【解答】解：∵（a-4）2+|b-6|=0，∴a-4=0，b-6=0，∴a=4，b=6，①当腰是4，底边是6时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是4+4+6=14；②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是6+6+4=16．故选D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长=5+5+8=18cm；（2）当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长=5+8+8=21cm．因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．故选C.5.【答案】D【解析】解：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠1=∠CBE，∵∠2=∠1+∠ABE，∴∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．故选：D．易证△ABD≌△BCE，可得∠1=∠CBE，根据∠2=∠1+∠ABE可以求得∠2的度数，即可解题．本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为60°的性质，本题中求证△ABD≌△BCE是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：如图1，∵∠ABD=60°，BD是高，∴∠A=90°-∠ABD=30°；如图2，∵∠ABD=60°，BD是高，∴∠BAD=90°-∠ABD=30°，∴∠BAC=180°-∠BAD=150°；∴顶角的度数为30°或150°．故选：B．分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．7.【答案】2【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵∠B=∠BAD=30°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AD=4，∵∠BAD=30°，∴DE=AD=2，故答案为：2．利用已知条件易求∠CAD=30°，则AD的长可求，又因为∠BAD=30°，进而可求出DE 的长．本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．8.【答案】140【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键.先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论.【解答】解：如图：∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°.故答案为140.9.【答案】或.【解析】【分析】此题考查了等腰三角形的性质，注意等边对等角的性质和分类讨论思想的应用．由等腰三角形的一个内角为50°，可分别从50°的角为底角与50°的角为顶角的分类讨论去分析求解，即可求得答案．【解答】解：若该角为底角，则底角度数为50°，若该角为顶角，底角度数=，故答案为或.10.【答案】6，6【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．由于没有明确边长为4的边是腰还是底，因此要分类讨论，最后还要根据三角形三边关系定理来判断得到的结果是否符合题意．【解答】解：①当腰长为4时，底长为16-4×2=8，即等腰三角形的三边长为4、4、8；4+4=8，不符合三角形三边关系定理，故此种情况不成立．②当底长为4时，腰长为（16-4）÷2=6，即等腰三角形的三边长为6、6、4；经检验，符合三角形三边关系定理.故这个等腰三角形的另两边的长为6、6．故答案为6，6.11.【答案】15°【解析】解：∵在等边△ABC中，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED==75°，∴∠EDC=90°-75°=15°．故答案为：15°．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠ADE=∠AED的度数，进而求出即可．此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形内角和定理，根据已知得出∠ADE=∠AED 的度数是解题关键．12.【答案】5【解析】解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边是10，则斜边上的中线等于5．首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算．此题综合运用了勾股定理和直角三角形的性质．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，∴在△ADC与△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴∠EBC=∠ECD，∵∠EFC=∠EBC+∠FCB=∠EBC+∠ECD=60°．故答案为：60°．根据已知推出△ADC≌△CEB，即可得∠EBC=∠ECD，即∠EFC=∠EBC+∠FCB=60°本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质，解题关键在于求证三角形全等．14.【答案】6【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．15.【答案】30°【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD垂直于AB，垂足为点D，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=30°，故答案为：30°根据含30°角的直角三角形性质求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠B，根据三角形内角和定理求出∠DCB即可．本题考查了含30°角的直角三角形性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠A的度数是解此题的关键．【解析】解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠B=15°，AB=AC，∴∠DAC=30°，∵CD为AB上的高，AC=8cm，∴CD=AC=4cm．故答案为：4cm．根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，从而可求得顶角的邻补角的度数为30°，根据直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半即可求得腰上的高的长．此题主要考查含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形外角性质的应用，注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17.【答案】证明：如图，连接AD．∵AB=AC，点D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．∴DE=DF．【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质的有关知识，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD，D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．18.【答案】解：又．【解析】本题主要考查等边三角形的性质及三角形中位线定理，由条件得出D为BC边上的中点，从而得出DE为三角形的中位线是解题的关键．19.【答案】证明：如图，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠2=60°，∵BD是中线，∴BD是∠ABC的角平分线，∴∠1=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠3，∴∠E=∠2=30°，∴∠E=∠1，∴DB=DE．【解析】根据等边三角形的判定推出三角形ABC是等边三角形，推出∠ABC=∠2=60°，根据三线合一定理得出BD是∠ABC的平分线，求出∠1=30°，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得出∠3=∠E=∠2=30°，推出∠E=∠1，根据等腰三角形的判定推出即可．本题考查了对三角形的外角性质，等边三角形和等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．20.【答案】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．∵∠AHF=20°，∠AHD=50°，∴∠DEF=∠DHF=∠AHF+∠AHD=20°+50°=70°【解析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．。

编 号
课 题 班 级 姓 名 评 价 B 19
注：标★为选做题 1．如图1，已知AC=CD=DA=CB=DE ，则此图中共有 个等腰三角形．
2．如图2，等边三角形ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为 （ ）A ．45° B ．55° C ．60° D ．7
3．用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子
（边缝忽略不计，如图2），在∆ABC 的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边
形AMDN 中，∠MDN 的度数为 （ ）
A. 100︒
B. 110︒
C. 120︒
D. 130︒
4．如图，已知0B 、OC 为△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，△ADE 的周长为10，BC 长为8，求
△ABC 的周长.
B D E F C
A
A B C D E
A
B P Q C
5．如图，P 、Q 是△ABC
6.如图,△ABC 和△CDE 都是等边三角形,且点A,C,E 在一条直线上.
（1）AD 与BE 相等吗？为什么？
（2）连接MN ，试说明△MNC 为等边三角形.
7.如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 边上的一点，且∠1=∠2，BD=CE ．
求证：△ADE 是等边三角形．
初中数学试卷
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初中数学苏科版八年级上册2.5等腰三角形的轴对称性同步练习一、单选题（共10题；共20分）1.下列说法正确是（）A. 等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合B. 等角对等边C. 等腰三角形一定是锐角三角形D. 等腰三角形两个底角相等2.若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为（）A. 92°B. 88°C. 44°D. 88°或44°3.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为（）A. 12B. 12或15C. 15D. 94.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（）A. 70°B. 20°C. 70°或20°D. 40°或140°5.如图，在6×6的正方形网格中，点A ，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（）A. 7个B. 8个C. 10个D. 12个6.如图，AD＝BC＝BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A. ∠1＝2∠2B. 2∠1+∠2＝180°C. ∠1+3∠2＝180°D. 3∠1﹣∠2＝180°7.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（）A. ∠B＝∠CADB. ∠BED＝∠CADC. ∠ADB＝∠AEDD. ∠BED＝∠ADC8.如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE.( )A. ③④B. ①②C. ①②③D. ②③④9.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A. BCB. CEC. ADD. AC10.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A 运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( )A. 2.5sB. 3sC. 3.5sD. 4s二、填空题（共6题；共6分）11.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是________．12.如图△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________.13.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．14.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=________s时，△POQ是等腰三角形.15.如图，等边△中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为________ .16.如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．三、解答题（共6题；共43分）17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点,求证：AG⊥EF18.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）19.如图，在△ABC中，AB=AC，点P 是BC边上的一点，PD⊥AB 于D ，PE⊥AC于E，CM⊥AB 于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。

2.5等腰三角形的对称性同步练习一．选择题1．等腰△ABC中，它的底角∠B＝70°，则顶角∠A的度数为（）A．70°B．30°C．40°D．60°2．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（）A．6B．8C．5D．133．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）A．33°B．30°C．26°D．23°4．等腰三角形的一个内角是70°，则它顶角的度数是（）A．70°B．70°或40°C．70°或50°D．40°5．等腰三角形的两边长为a、b，且满足|a﹣b﹣2|+（2a+3b﹣9）2＝0，则该等腰三角形的周长为（）A．7B．5C．8D．7或56．如图，在△ABC中，AB＝AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，DE经过点O，且DE ∥BC，DE分别交AB、AC于D、E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2B．3C．4D．57．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°．则小意同学判断的依据是（）A．等角对等边B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”8．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交点的连线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若∠A＝40°，则∠DBC＝（）A．40°B．30°C．20°D．10°9．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．1310．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°二．填空题11．已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为．12．若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝cm时，△ABC为等腰三角形．13．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为24，则CD的长为．14．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP 上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是．15．已知：如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB交BO于点O，过点O作DE ∥BC交AB于点D，交AC于点E，则△ADE的周长可用△ABC的边表示为．三．解答题16．已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．求证：AC＝DE+DF．17．如图，在△ABC中，∠C＝∠B＝55°，∠BAD＝30°，∠AED＝∠ADE，试判断∠EDC 与∠BAD的大小关系．18．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．（1）∠1＝∠2＝°．（2）∠1与∠3相等吗？为什么？（3）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．参考答案1．解：根据题意∠C＝∠B＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：C．2．解：∵△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠C＝∠B，∴AC＝AB＝6，故选：A．3．解：∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于D，∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣46°）＝×134°＝67°，∴∠DCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣67°＝23°，故选：D．4．解：本题可分两种情况：①当70°角为底角时，顶角为180°﹣2×70°＝40°；②70°角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°．故选：B．5．解：∵|a﹣b﹣2|+（2a+3b﹣9）2＝0，∴，解得，①1是腰长时，三角形的三边分别为1、1、3，不能组成三角形；②1是底边时，三角形的三边分别为1、3、3，能组成三角形，周长＝1+3+3＝7，所以该等腰三角形的周长为7．故选：A．6．解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等腰三角形，∵BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠DBO＝∠OBC＝∠ABC，∠ECO＝∠OCB＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠DBO＝∠OBC＝∠DOB＝∠OCB＝∠OCE＝∠EOC，∴OD＝BD，OE＝EC，OB＝OC，∴△OBD，△OEC，△OBC是等腰三角形，∴图中有5个等腰三角形．故选：D．7．解：由作图可知，CE＝CD，∵OE＝OD，∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一），∴∠AOB＝90°．故选：D．8．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，故选：B．9．解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故选：C．10．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；综上，∠OEC的度数不可能为60°，故选：C．11．解：∵一个外角为108°，∴三角形的一个内角为72°，当72°为顶角时，其他两角都为54°、54°，当72°为底角时，其他两角为72°、36°，所以等腰三角形的顶角为72°或36°．故答案为：72°或36°．12．解：∵△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，∴BC+AC＝10cm．①当AB＝BC＝8cm时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意．②当BC＝AC＝5cm时，能构成三角形，符合题意．③当AB＝AC＝8cm时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意．综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．故答案是：8cm或5cm或2．13．解：∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∵△ADB的周长为24，即AD+DB+AB＝AB+2AD＝24，∵AB＝AC＝10，∴AD＝7，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣7＝3．故答案为：3．14．解：当BC＝CD时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝40°，当BD＝BC时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝70°．当DB＝DC时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵BD＝CD，∴∠BDC＝100°，故答案为：40°、70°或100°．15．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE，∴BD＝DO，OE＝CE，∴△ADE的周长＝AD+DO+OE+AE＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC 故答案为：AB+AC．16．证明：∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE为平行四边形，∴DF＝EA，∴AC＝AE+EC＝DE+DF．17．解：设∠EDC＝x，则∠AED＝∠EDC+∠C＝x+55°，又因为∠AED＝∠ADE，由三角形的外角性质，得∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠ABD．即x+55°+x＝30+55°，解得x＝15°，所以2∠EDC＝∠BAD．18．解：（1）∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝ABD＝22.5°，故答案为：22.5；（2）∠1＝∠3，理由是：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3；（3）AB＝BD+DH，理由是：∵在△BDH和△ADC中，∴△BDH≌△ADC（ASA），∴DH＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DH，∵AB＝BC，∴AB＝BD+DH．。

2.5等腰三角形的对称性一、选择题（共6小题）1．如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE ⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）A．4B．5C．6D．82．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（ ）A．9个B．8个C．7个D．6个3．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，2），在坐标轴上取一点C，使△ABC 为等腰三角形，符合条件的点C有（ ）A．5个B．6个C．7个D．8个4．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个．A．7B．8C．9D．105．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为边画等腰△BCP，使点P在△ABC的边上，则符合条件的点P有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）A．5B．6C．7D．8二、填空题（共11小题）7．△ABC中，∠B＝∠C，CD是AB边上的高，∠ACD＝20°，则∠B＝ °．8．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为 ．9．在等腰三角形ABC中，∠B＝40°，若AB＜BC，则∠C＝ ．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E 是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是 ．11．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为 ．12．等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为 ．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心、以BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为 ．14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．15．已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于 ．16．已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，则它的周长为 cm．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC边上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝ ．三．解答题（共5小题）18．等腰三角形的一个角是70°，求另两个角．19．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）如图1，图中所有的等腰三角形有 个．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图2，AB≠AC，图中等腰三角形是 ，（1）中的EF与BE、CF之间的关系还存在吗？（3）如图3，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们，写出EF与BE、CF关系，并说明理由．20．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．21．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，求证：AD＝PE+PF+PG．22．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．参考答案一．选择题（共6小题）1．解：连接AD，则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC，即：×8•DF+8•DE＝24，可得：DE+DF＝6，∵DF＝2DE，∴DF＝4，故选：A．2．解：分三种情况说明：①以点O为圆心，OA长为半径画圆，与x轴、y轴有4个交点，这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．故选：B．3．解：如图所示：当AB＝AC时，符合条件的点有3个；当BA＝BC时，符合条件的点有2个；当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有1个．故符合条件的点C有6个．故选：B．4．解：如图所示：①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．所以符合条件的点C共有8个．故选：B．5．解：如图，以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB，AC分别为P2，P1，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AB于P3，作BC的垂直平分线交AB于P4，故选：C．6．解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．二．填空题（共11小题）7．解：当D在线段AB上时，如图①，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣20°＝70°，∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∠B＝∠ACB，∴∠B＝(180°﹣∠BAC)＝×(180°﹣70°)＝55°；当D在线段AB延长线上时，如图②，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝20°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°＝20°＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠CAD＝180°﹣70°＝110°，∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°,∠B＝∠ACB，∴∠B＝(180°﹣∠BAC)＝×(180°﹣110°)＝35°；综上所述：∠B＝35°或55°，故答案为：35或55．8．解：∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，∵∠AEB＝∠B＝45°，∠EAC＝∠C，∴∠EAC＝22.5°，∴∠DAE＝∠DAE+∠EAC＝45°，故答案为：45°．9．解：∵AB＜BC，∴∠B是底角，①当∠B＝∠A＝40°时，∠C＝100°，此时AB＞BC，不符合题意；②当∠B＝∠C＝40°时，条件成立；综上，∠C＝40°．故答案为：40°．10．解：∵在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝20°，当∠EDC＝90°时，∠BDE＝180°﹣20°﹣40°﹣90°＝30°；当∠DEC＝90°时，∠BDE＝90°﹣20°＝70°．故∠BDE的度数是30°或70°．故答案为：30°或70°．11．解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，当40°角为底角时，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：40°或100°．12．解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长＝8+8+4＝20．故答案是：20．13．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，∵BC＝BD，∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣38°）＝71°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝71°+38°＝109°，故答案为：109°．14．解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；②∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE当AE＝DE时，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，当AD＝DE时，则∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝100°，∴∠BAD＝30°，故③错误，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正确；故答案为：①②④．15．解：∵等腰三角形的一个外角等于130˚，∴与其相邻的内角为50°．当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；当50°为底角时，其他两角为50°、80°．所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故答案为：50°或80°．16．解：∵等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，又三角形任意两边之和大于第三边，∴这个等腰三角形的第三边的长为12cm．∴这个等腰三角形的周长为：5+12+12＝29（cm）．故答案为：29cm．17．解：连接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP＝AB•PE+AC•PF＝AC•BD，∴PF+PE＝BD，∵PE＝5cm，PF＝3cm，∴BD＝8cm，故答案为：8cm．三．解答题（共5小题）18．解：当底角为70°时，则另一个底角为70°，则顶角为180°﹣2×70°＝40°，即另两个角分别为70°和40°；当顶角为70°时，则另两个角为底角，大小为＝55°，即另两个角分别为55°和55°；综上可知另两个角分别为70°、40°或55°、55°．19．解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个；EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC．理由如下：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，即EO＝EB，FO＝FC，∴EF＝EO+OF＝BE+CF；故答案为：5；（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，即EO＝EB，FO＝FC，∴EF＝EO+OF＝BE+CF；故答案为：△EOB、△FOC；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC＝∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC．20．解：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．21．解：连接PA、PB、PC，如图所示：∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，∴AB•PE+BC•PD+AC•PF＝BC•AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴BC（PE+PF+PG）＝BC•AD，∴PE+PD+PF＝AD．22．证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．。