六年级奥数题：最值问题(B)

例1．1.有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。

他们一共最多能比赛多少场？2.直角三角形斜边长为10cm，求这个直角三角形面积的最大值。

3.一个边长为30的正方形，四个角减去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？4.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成两个多位数，那么这两个多位数的乘积最大是多少？5.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0，2，4，6，8这5个⨯-⨯的计算结果的最大值。

数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。

求算式ABC DE FGH IJ例2．1.如图，用1×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满5×8的地面，至少需要地板砖多少块？2. 国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3的棋盘控制了。

那么为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？3. 通过在表达式1÷2÷3中加括号，我们可以得到两个不同的值（1÷2）÷3＝61和1÷（2÷3）＝23，现在表达式1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8中加上括号，问我们所能得到的最大值是多少？4. 把14分拆成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，使得到的积尽可能大，这个乘积是多少？请证明你的结论。

5. 在1，3，5，……99中选取k 个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是多少？6. A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 表示9个各不相同的不为零的自然数，这9个数排成一排，如果其中任何五个相邻的数之和都大于40，那么这9个数的和最小是多少？。

2019年六年级奥数题：最值问题(B)一、填空题1.下面算式中的两个方框内应填 ,才能使这道整数除法题的余数最大. □25=104…□2.在混合循环小数 2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点,使新产生的循环小数尽可能大.写出新的循环小数:3.一个整数乘以13后,乘积的最后三位数是123,那么这样的整数中最小的是 .4.将37拆成若干个不同的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能大,那么,这个最大乘积等于 .5.一个五位数,五个数字各不同,且是13的倍数.则符合以上条件的最小的数是 .6.把1、2、3、4...、99、100这一百个数顺序连接写在一起成一个数. Z =1234567891011 (9899100)从数Z 中划出100个数码,把剩下的数码顺序写成一个,要求尽可能地大.请依次写出的前十个数码组成一个十位数 .7.用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm 3,长方体的长,宽,高各是 cm 时,所用的铁丝长度最短.8.若一个长方体的表面积为54平方厘米,为了使长方体的体积最大,长方体的长,宽,高各应为 厘米.9.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .10.将进货的单价为40元的商品按50元售出时,每个的利润是10元,但只能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个.为了赚得最多的利润,售价应定为 .二、解答题11.王大伯从家(A 点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B 点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.12.某公共汽车线路上共有15个车站(包括起点站和终点站),公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中,每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车,要使汽车在行驶中乘客都有座位,那么在车上至少要安排乘客座位多少个?13.有一块长24厘米的正方形厚纸片,如果在它的四个角各剪去一个小正方A B · · 河形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸合容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?14.某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台.已知从A地运一台到甲方的运费为5百元,到乙方的运费为4百元,从B地运一台到甲方的运费为3百元,到乙方的运费为6百元.已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?———————————————答案——————————————————————1. 2426和24因为除数是25,余数最大应是24,所以被除数为25104+24=2426.算式应为262425=104…24.2.3. 471设这个整数为1000K+123,其中K是整数.因1000K+123=(1001K+117)+(K-6),1001K和117都是13的倍数,因而(K-6)是13的倍数,K的最小值是6,这个数为6123,612313=471.4. 2618因37=17+11+7+2,它们的积为171172=2618.5. 10257五位数字各不相同的最小的五位数是10234.1023413=787…3.故符合题意的13的最小倍数为788.验算:13788=10244有两个重复数字,不合题意,13789=10257符合题意.6. 9999978956由计算可知,Z共有192位数,去掉100位数码,还剩92个数字,所以是92位数.对来说,前面的数字9越多,该数越大.因此中开头应尽可能多保留9.在Z中先划去第一个9前的8个数码,再分别划去第二个9、第三个9、第四个9、第五个9前各19个数码，这时共划去了84个数,这时得到的数是:99999505152535455565758596061……还需要划去16个数码,第六个9前面有19个小于9的数码,划掉7以前的6和6以下的所有数码,这样又划掉16个数码,还剩下7、8、5等3个数码,新组成的数为:999997859606162…99100,前十个数码组成的十位数是9999978596.7.6,6,6设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm和zcm.则有xyz=216.铁丝长度之和为(4x+4y+4z)cm,故当x=y=z=6时,所用铁丝最短.8.3,3,3设长、宽、高分别为x、y、z厘米,体积为V厘米3,则有2(xy+yz+zx)=54,从而xy+yz+zx=27.因V2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx),故当xy=yz=zx即x=y=z=3时, V2有最大值,从而V 也有最大值.9. 7每次朝上的两个面上的和,最小可能是2,这时两个面都出现1,最大可能是12.以朝上的两个面上的数为加数,依次列出的加法算式共有66=36个,其中和为7的算式共有6个:6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6.故每次朝上的两个面上的数的和,可能出现的次数最多是7.10. 20元设每个商品售价为(50+x )元,则销量为(500-10x )个,总共可获利(50+x -40) (500-10x )=10(10+x )(50-x )元.因(10+x )+(50-x )=60为一定值.故当10+x =50-x ,即x =20时,它们的积最大.11. 以河流为轴,取A 点的对称点C ,连结BC 与河流相交于D 点,再连续AD .则王大伯可沿着AD 走一条直线去河边D 点挑水,然后再沿DB 走一条直线到积肥潭去.这就是一条最短路线.12. 从第一站开始,车上人数为114,到第二站时,车上人数为213,依次可算出以下各站车上人数为312、411、510、69、78、86…车上最多的人数为56人,故车上至少应安排乘客座位56个.13. 如图,设剪去的小正方形边长为x 厘米,则纸盒容积为:V =x (24-2x )(24-2x )=22x (12-x )(12-x )因2x +(12-x )+(12-x )=24是一个定值,故当2x =12-x 时,即x =4时,其乘积最大从而纸盒容积也最大.14. 设由A 地运往甲方x 台,则A 地运往乙方(16-x )台,B 地运往甲方 (15-x )台,B 地运往乙方(x -3)台.于是总运价为(单位:元):S =500x +400(16-x )+300(15-x )+600(x -3)=400x +9100.显然x 满足不等式.故当x =3时,总运费最省,为4003+9100=10300(元).附送：2019年六年级奥数题：染色问题(A)(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了A B D C 河流x一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?(a) (b)4.一个88国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21)把象棋盘上的62个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 证明:一只马不可能从位置B 出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.13.88的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个41的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.表 1表 2———————————————答案——————————————————————1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(2931),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.3. 图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有33=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.(1)若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2)若三角形DEF中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA、DB、DC三条线段，其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA、DB是红色的,则三角形DAB为第二个同色三角形(图1).(图1)②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.(图2)7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.。

第十五章最值问题知识要点1.如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，它们的乘积越大。

当两个数相等时，它们的乘积最大。

2.两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。

3.把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2的个数不超过2个。

典例巧解例1 两个自然数的和是13，要使两个整数的乘积最大，这两个整数是多少？点拨将两个自然数的和为13的所有情况都列出来，有以下7种情况：13＝0＋13，0×13＝0； 13＝1＋12，1×12＝12；13＝2＋11，11×2＝22； 13＝3＋10，3×10＝30；13＝4＋9，4×9＝36； 13＝5＋8，5×8＝40；13＝6＋7，6×7＝42。

由此可见，两个整数的和一定时，两个整数的差越小，它们的乘积越大。

解13÷2＝6……1，6×(6＋1)＝42。

答：这两个整数分别为6和7。

例2 比较下面两个乘积的大小。

A＝57128463×87596512 B＝57128470×87596505点拨要比较A与B的大小，用计算的方法求积会很麻烦。

仔细观察两组对应因数的大小，我们不难发现，两个因数的和是一定的，只要比较每组两个因数差的大小就可以了，差大的积反而小，差小的积反而大。

解 A组两个因数的差：87596512－57128463＝30468049，B组两个因数的差：87596505－57128470＝30468035。

因为30468049＞30468035，所以B＞A。

例3 两个自然数的积是50，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？点拨两个自然数乘积是50的，共有三种情况：50＝50×1，50＋1＝51；50＝25×2，25＋2＝27；50＝10×5，10＋5＝15。

练习一1、将新运算定义为a ＊b=（a+b ）×（a —b ），求27＊92、设a ＊b=a 2+2b ，求10＊6和5＊（2＊8）3、设a ＊b=3a —b ×21,求(15＊24）＊（10＊12）实战演练：1、我们学过+、—、×、÷这四种运算，现在规定“※”是一种新的运算。

设a 、b 是两个数，规定a ※b=a ×b+2a ，例如：2※3=2×3+2×2=10，那么10※2=。

（2011年2题）2、我们学过+、—、×、÷这四种运算，现在规定“#”是一种新的运算。

设a 、b 是两个数，规定a#b=（a —b ）×（a+b ），那么8#（4#3）=。

（2012年4题）16、观察下列图形的排列规律：……左起第20个是，前72个图形中共有 个。

13、用小木棒搭三角。

987根小棒可以搭几个三角形？14、观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中的a=,b=,c=.表二 表三 表四六年级奥数－分数、百分数应用题1.一块菜地和一块麦地，菜地的1/2和麦地的1/3共13公顷，麦地的1/2和菜地的1/3共12公顷，菜地和麦地各有多少公顷？2.菜园里西红柿获得丰收，收下全部的3/8时，装满3筐还多24千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？3.服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少1/5，三车间人数比二车间多3/10，三车间是156人，这个服装厂全厂共有多少人？4.二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的3/4，二班少先队员占本班人数的5/6，求两个班各有多少人？5.某校有学生465人，其中女生的2/3比男生的4/5少20人，男生比女生少几人？6.红旗商场的木桌按20%的利润定价，结果又按8折出售,亏本32元,这个木桌买入价多少元？六年级奥数－浓度问题1、浓度为10％的盐水800克和浓度为20％的盐水200克混在一起，浓度是多少？2、有浓度为3.5％盐水200克，为了制成浓度为2.5％的盐水，需要加水多少克？3、有浓度为2.5％的盐水900克，为了制成浓度为7.5％的盐水，要蒸发掉多少克水？4、小明的妈妈买了10千克萝卜，含水量为80％，晾晒一段时间后，含水量只有75％，这时萝卜重多少千克？5、有浓度为10％的盐水170克，加入多少克盐后，盐水的浓度为15％？6、有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？六年级奥数－工程问题1. 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。

四初一奥数培训专题4：最值问题四初一班姓名：；例1 .如果2007a=b2,其中a,b为大于0的自然数，则a的最小值是例2.将50拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是例3.在1—2007的所有自然数中，挑选出一些数，使它们中的每一个数都不是另外一个数的倍数，而且不会出现对称数（如：22，303，1001），则至多能选出个数例4若甲的身高和体重这两个数量中至少有一个比乙大，则称甲不亚于乙，在10个小伙子中如果某人不亚于其余9人，那么称之为棒小伙子，那么这10个小伙子中棒小伙子最多可以有个。

例5 学校购进作文类，奥数类，英语类，文艺类，科普类图书若干本，能够满足全校数百名学生没人从中任意借两本（同类书不能借两本），则至少有名学生中一定有两人所借的图书种类完全相同。

四初2018级数学竞赛班作业4四初一班姓名：1.六年级的几位同学合拍了一张照片，已知冲洗一张底片需要0.8元，洗一张照片需要0.35元，在每位同学得到一张照片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的人至少有多少个？2.某邮局只有1.2元，0.8元，0.6元三种邮票，某人要邮寄一个包裹，其邮资为6.2元，若刚好贴满6.2元，则至少要贴多少张邮票？3.四个人年龄之和是100岁，其中一个年龄正好是他们年龄的平均数，另外三个人的年龄最多相差7岁，最少相差2岁，求这四个人的年龄4.现有分别写着1，2，3，4，5，6六个数字卡片各若干张，从中任取出2010张摆放成一行，然后从这一行卡片中任意取出相邻的两张卡片，让其数字相乘得到一个乘积，那么在这些乘积中至少有多少个相同？5.有形状，长短，质量完全一样的6种颜色的筷子各24根，在黑暗中至少应摸出多少根筷子，才能保证摸出8双筷子（每双筷子的两根颜色相同）6.某校有201人参加数学竞赛，按照百分制计分且得分均为整数，若总分为9999 分，则至少有多少名同学的分数相同？为什么？。

第十八讲最值问题二「、最值问题中的常用方法a）极端思考在分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端”，因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解.b）枚举比较根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案.c）分析推理根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法.d）构造调整在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果.二、求最大值和最小值的结论1和一定的两个数，差越小，积越大；2. 积一定的两个数，差越小，和越小；3. 两点之间线段最短.例1.用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的「分析」题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这二者联系起来呢? 练习1、（1）用一根长100 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36 立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？例2．有5袋糖，其中任意 3 袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？「分析」每3 袋的总块数都超过60，要求5 袋的总块数．事实上我们以前做过类似的题：“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？它的处理方法能否应用到本题中来呢？练习2、有 5 个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500 分，那这五人的总积分最少是多少？例3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．「分析」为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大．那么首位应该是多少呢？注意到这三个数都是9 的倍数，9 的倍数有什么特征呢？它对这三个数提出了怎样的要求？练习3、用1、2、3、4、5、6 各一个组成两个三位数，使得它们都是 3 的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．例4.把1至99依次写成一排，行成一个多位数：1234_ 9899 •从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是 0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多 少？「分析」要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？练习4、把1至20依次写成一排，行成一个多位数：1234_ 1920.从中划去20个数字, 剩下的数字组成一个首位不是 0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能 是多少？例5.邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长 1千米.如果邮递员从邮局出发，必么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题, 形才能一笔画出来呢?例6.如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A 点出发，沿柜子表面爬到右上角的B 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？ 一共有几条最短路线？请在图 中表示出来.「分析」如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道,则这样走的总路程就是最短的. 那同学们回想一下，什么样的图「分析」众所周知，两点之间线段最短.然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行•这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A到B的最短路线•可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？罐头装箱问题我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题， 怎么摆放才能最有效地利用包装箱内的空间呢？一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图1这样.它是一种较优排法，但不是最优的办法.没有最大限度地利用空间， 浪费不少，圆的面积只占总共的 78.5% .图1 图2比上述办法好得多的办法， 是将罐头摆放成图2所示的六边形.不难算出，正六边 形内圆所覆盖的面积超过了 90%.实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的， 这种六边形摆放法是最紧密的包装方式.但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大的时候.例如要放9个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的•如图3，它的放法就不比图 4好.当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越 倾向于正六边形排法.比如，13个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径3.7倍的正方形就够了•如图 5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优 解•我们可以看到，12个罐头紧紧地靠在一起，而第 13个（黄色的那个）则自由自在地放在中间.最后，大家思考一个问题：设 1角钱硬币的直径为 a 厘米，那么我们在边长为 10a 厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是 100枚吗？能否放进去更多？图3图5作业1. 用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？2. 高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有多少块？3. 用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式.4. 把21至40依次写成一排，行成一个多位数：21222324. 3940 .从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？5. 如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？第十八讲最值问题二例7. 答案：294详解：长方体满足：长宽高80 4 20 厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近.所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为7 7 6 294 立方厘米.例8. 答案：103详解：任意 3 袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现在余下 4 袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋.现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103 块.由于 5 袋糖果分别有21、21、21、20、20 块，是符合要求的，所以103 就是最小值.例9.答案：954X873X621详解：每个数都是9 的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9 的倍数.由于1到9 总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过7+8+9=24，因而三个数的各位数字之和分别为18、18 和9.各位数字之和为9 的数最大只能是621.其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9 和8，十位取7 和5，个位取4和3，有最大乘积954X872，故所求的乘法算式是954X873X521 .例10 . 答案：最大为999997585960 ...9899 ;最小是10000012345061626364 (9899)详解：（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9.首先，最开头的12345678 这8 个数字是要去掉的，留下了第一个9;然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9;再去掉 3 次的19个数，使得剩下第3、4、5个9.现在已经去掉了一共8+19X4=84 个数，剩下的数前 5 个数字都是9，然后是50515253545556575859 一直写到9899，还能再去掉15 个数.但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8 要去掉17个数，到下一个7 要去掉15个数，于是最后结果的第6 个数字最大是7，应该去掉的15 个数字为505152535455565.所以剩下的数最大为999997585960 (9899)（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0．首位上的1取第一个数字 1就行了 .然后去掉 234567891共9个数，留下第一个 0;再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0;再去掉3次的19个数，就能得到第 3、4、5个0.现在一共去掉了 9 19 4 85个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0,余下的部分是 515253545556575859 一直写到9899，还能再去掉14个数.下一 位取不到0 了，只能去掉一个 5,留下1;再下一位连1都取不到，只能去掉 1个5, 取2；再去掉一个5,留下3 ;去掉一个5,留下4 •现在还能再去掉10个数字，而剩 下的是55565758596061••…，接下来11个数中最小的数是 5,所以取一个 5•然后剩 下的数前11个数字为55657585960 ,因而我们去掉10个数字5565758596,使下一位达 到最小数字0.所以最后剩下的数最小是 1000001234506162636…9899 .例11 . 答案：26他至少应该多走1千米街道，最小是26千米.在图2中, 26千米走遍所有街道的一种方法.例12 . 答案：最短的长度是 5; 4详解：为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图3.蚂蚁要从A 处爬到B 处，途中必须经过两个相邻的面， 两个相邻面的交线必是 EH 、HF 、FG 、GC 、CD 、 DE 六条线段中的一条.一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是FG 、DE 的情形为一类，交线是 HE 、GC 的情形为一类，交线是 FH 、DC 的情形为一 类.详解: 如图1,由于的A 、 B 两点连出的边是 3条，也就是奇数条，仅当 A 与B 为出发点和终点时，才能一笔画.我们不能从邮局出发一笔把这个图画出, 即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局, 1 1 1图2我们给出了邮递员走图1图3 图4情况1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF和FGBH ,那么我们可以沿着它们的交线FG把这两个面展开到同一个平面上，如图 4 •这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A为起点，B为终点•此时从A到B的最短连线就是A、B两点的连线,它恰好直角三角形ABC的斜边. 由于AC 3 , BC 3 1 4，因此AB 5 •D B1图63 C 3 GHF G33 CH7D： 1B图A73 C情况2：如果两相邻面的交线是GC •同样我们也可以沿着GC,把两个相邻面展开到同一个平面上，如图 5 .此时A、B两点的连线是直角三角形ABD的斜边•由于BD 3 ,AD 3 1 4，因此AB 5 .情况3：如果两相邻面的交线是DC •同样我们也可以沿着DC ,把两个相邻面展开到同一个平面上，如图 6 .此时A、B两点的连线是直角三角形AGB的斜边，一定比直角边AG长.而AG的长度是3 36，所以AB 一定大于6・其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同. 所以爬行路线长度最少是5, (1)和(2)的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线.展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线(如图7) •因此在长方体表面，从到B的最短路线的长度是5, 一共有4条满足要求.练习1、答案：576简答：100 4 25 8 8 9 ，8 8 9 576 ．练习2、答案：834简答：总积分最少是167 167 500 834 ，此时 5 人分数可以是166、167、167、167、167．练习3、答案：642 X 531简答： 6 和 5 分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是 3 的倍数，可得到乘积最大的算式642 531 ．练习4、答案：95617181920；10111111110简答：同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性．作业6. 答案：1000简答：120 4 30 10 10 10 ，10 10 10 1000 ．7. 答案：17简答：必有两人的勋章数都不多于 4 块，余下两人勋章数之和不多于9 块，因而最多只能有 4 4 9 17 块．8. 答案：8532 7641简答：首位要尽量大，取8 和7，次位也尽量大，取 6 和5，然后是十位要尽量大，从 4 和 3 里取．也就是前三位分别取853和764能使乘积最大．但还要保证都是3的倍数，故只能是8532 和7641，所求的乘法算式是8532 7641 ．9. 答案：93333334353637383940；1012333435363738394010. 答案：36简答：这个图是可以一笔画画出的，最少路程等于街道全程36 千米．。

小学六年级奥数计算试题及答案：最值问题(20211003224733)
小学六年级奥数计算试题及答案：最值问题
这篇【小学六年级奥数计算试题及答案：最值问题】，是专门为大家整理的，供大家学习参照！
一把钥匙只好开一把锁 .此刻有 4 把钥匙 4 把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试 ()次才能配好所有的钥匙和锁.
剖析：第一把钥匙最坏的状况要试 3 次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的3 把锁和3 把钥匙，最坏的状况要试2 次，把这把钥匙和这把锁取出 ;剩下的 2 把锁和 2 把钥匙，最坏的状况要试 1 次，把这把钥匙和这把锁取出 ;剩下的 1 把锁和 1 把钥匙就不用试了 .
解： 3+2+1=6(次);
答：最多要试 6 次才能配好所有的钥匙和锁.
故答案为： 6.。

最值问题1、六年级最值问题：难度：高难度表示一个四位数，表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字。

已知，问：乘积的最大与最小值差多少？答：2、六年级六年级最值问题：难度：高难度一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。

答：3、六年级最值问题：难度：高难度将l，2，3…49，50任意分成l0组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，求这l0个中位数之和的最大值及最小值。

答：4、六年级最值问题：难度：中难度把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？答：5、六年级最值问题：难度：高难度下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？答：1、六年级最值问题习题答案：【解】可以看出A＝1，因为E≠O，1，所以B最大为7，这时E＝2由于D、G都不能是O，1，所以D＋G＝13，C＋F＝8由于F≠O，1，2，所以C最大为5。

从而三位数最大为759，这时＝34。

最小为234(这时＝759最大)。

＝(1000＋)×(993－)，＝1000×993－1000×＋993×一×＝993000－7×—－×于是在最大时，乘积最小，最小时，乘积最大，因此，所求的差是(993000－7×234－234×234)－(993000－7×759－759×759)＝7×(759－234)＋759×759－234×234 ＝7×(759－234)＋(759＋234)×(759－234)＝7×(759－234)＋993×(759－234)＝1000×<759－234)＝525000。