自适应滤波器原理 第四讲-NLMS算法

基于光照矫正的面部局部区域心率检测桑海峰;金芷伊【摘要】针对基于视频的非接触式心率信号易受光照干扰的问题,提出一种利用光电容积描记法(PPG)结合光照矫正和面部区域分割的非接触式心率信号检测方法.首先,对在正常光照环境下采集到的包含人体面部区域的视频进行人脸和背景分割,在面部区域以眼睛为基准按比例选取感兴趣区域(ROI);其次,在RGB颜色模型中分别对背景区域和ROI区域提取绿色(G)通道像素均值获得原始信号并利用归一化最小均方自适应(NLMS)滤波算法进行光照矫正;最后,对去除环境光照干扰的心率信号进行时域滤波和频谱分析得到心率.经实验对比,基于NLMS去除光照干扰的视频心率检测在环境光强变化时检测稳定性好,误差率小于5％.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2018(038)0z2【总页数】5页(P301-305)【关键词】光电容积描记法;归一化最小均方;自适应滤波算法;面部区域分割;心率信号提取【作者】桑海峰;金芷伊【作者单位】沈阳工业大学信息科学与工程学院,沈阳110870;沈阳工业大学信息科学与工程学院,沈阳110870【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言心血管疾病现已成为当今世界最易高发的几大疾病之一，由于其早期病症特征不明显，很容易被忽略，往往导致错过了最佳的治疗时间。

目前针对心率的测量主要集中于心电图和指夹式心率仪，二者依赖于特殊的电子和光学传感器，直接与皮肤接触的测量方式存在一定的局限性，容易引起被测者的不舒适感。

因此，对非接触式的心率测量的探究显得尤为必要。

已有研究[1～5]表明，可以通过视频提取心率信号。

Pho在2010年发表的文章[1]中首次提出了利用网络摄像头进行心率检测的方法，Poh等在RGB颜色空间下对视频每一帧图像的R、G、B三通道计算全部人脸区域像素均值作为原始心率信号，通过盲源分离(Blind Source Separation，BSS)中的独立成分分析算法(Independent Component Analysis，ICA)结合相关性分析筛选出一组与G通道原始信号相关性最高的一组信号为待测信号，然后对待测信号进行频谱分析，在0.75～4 Hz频率范围内估计心率值。

第二章自适应滤波器原理2.1 基本原理2.1.1 自适应滤波器的发展在解决线性滤波问题的统计方法中，通常假设已知有用信号及其附加噪声的某些统计参数（例如，均值和自相关函数），而且需要设计含噪数据作为其输入的线性滤波器，使得根据某种统计准则噪声对滤波器的影响最小。

实现该滤波器优化问题的一个有用方法是使误差信号（定义为期望响应与滤波器实际输出之差）的均方值最小化。

对于平稳输入，通常采用所谓维纳滤波器（Wiener filter）的解决方案。

该滤波器在均方误差意义上使最优的。

误差信号均方值相对于滤波器可调参数的曲线通常称为误差性能曲面。

该曲面的极小点即为维纳解。

维纳滤波器不适合于应对信号和/或噪声非平稳问题。

在这种情况下，必须假设最优滤波器为时变形式。

对于这个更加困难的问题，十分成功的一个解决方案使采用卡尔曼滤波器（Kalman filter）。

该滤波器在各种工程应用中式一个强有力的系统。

维纳滤波器的设计要求所要处理的数据统计方面的先验知识。

只有当输入数据的统计特性与滤波器设计所依赖的某一先验知识匹配时，该滤波器才是最优的。

当这个信息完全未知时，就不可能设计维纳滤波器，或者该设计不再是最优的。

而且维纳滤波器的参数是固定的。

在这种情况下，可采用的一个直接方法是“估计和插入过程”。

该过程包含两个步骤，首先是“估计”有关信号的统计参数，然后将所得到的结果“插入（plug into）”非递归公式以计算滤波器参数。

对于实时运算，该过程的缺点是要求特别精心制作，而且要求价格昂贵的硬件。

为了消除这个限制，可采用自适应滤波器（adaptive filter）。

采用这样一种系统，意味着滤波器是自设计的，即自适应滤波器依靠递归算法进行其计算，这样使它有可能在无法获得有关信号特征完整知识的环境下，玩完满地完成滤波运算。

该算法将从某些预先确定的初始条件集出发，这些初始条件代表了人们所知道的上述环境的任何一种情况。

我们还发现，在平稳环境下，该运算经一些成功迭代后收敛于某种统计意义上的最优维纳解。

基于去相关NLMS算法的自适应回波抵消
王振力;张雄伟;杨吉斌;韩彦明
【期刊名称】《应用科学学报》
【年(卷),期】2006(024)001
【摘要】在NLMS算法的基础上,从语音信号相关性的角度出发,提出了一种去相关NLMS算法(DC-NLMS).该算法收敛速度快,稳态失调小,计算量与NLMS算法相当,克服了APA算法收敛速度快但计算量大的缺陷.计算机仿真结果表明,DC-NLMS 算法在自适应回波抵消中的综合性能要优于NLMS算法、APA算法以及文献[7]中的算法.
【总页数】4页(P21-24)
【作者】王振力;张雄伟;杨吉斌;韩彦明
【作者单位】解放军理工大学电子信息工程系,江苏,南京,210007;解放军理工大学电子信息工程系,江苏,南京,210007;解放军理工大学电子信息工程系,江苏,南
京,210007;空军驻沪宁地区军事代表室,江苏,南京,210013
【正文语种】中文
【中图分类】TN912.3
【相关文献】
1.基于FPGA的DLMS自适应回波抵消滤波器实现 [J], 尹永超;薛文玲;李会雅
2.基于DSP的自适应回波抵消器的设计与实现 [J], 郑华
3.自适应回波抵消中变步长NLMS算法 [J], 张琦;王霞;王磊;薛涛
4.基于LMS算法自适应回波抵消器的Simulink仿真分析 [J], 张园;王辉
5.基于PN序列和改进NLMS算法的直放站回波抵消 [J], 田佳璐;陈盛云;胡觉辉;董伯辉
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2011年1月第27卷第1期　沈阳建筑大学学报(自然科学版)Journal of Shenyang J ianzhu U niversity (N atural Science )　Jan.　2011V ol.27,N o.1 收稿日期:2010-03-03基金项目:辽宁省博士启动基金项目(20071003);辽宁省教育厅基金项目(2009B150)作者简介:戴敬(1968—),女,副教授,博士,主要从事微型化分析仪器检测与控制,射频领域信号检测与处理研究.文章编号:1671-2021(2011)01-0190-06N LM S 自适应滤波器的FPGA 实现戴　敬1,赵延洲1,张　辉1,田　越2,白浠霖1(1.沈阳建筑大学信息与控制工程学院,辽宁沈阳110168;2.奥维通信股份有限公司,辽宁沈阳110179)摘　要:目的采用FPG A 芯片实现NLMS 算法,从而生成高性能的自适应滤波器来滤除通信信号中时变、未知的干扰信号,得到高质量的通信信号.方法通过对LMS 及其改进算法的原理讨论及比较,确定适合于FPG A 芯片上实现的NLMS 算法,并对算法的具体实现方法进行论述.采用分段移位的方法实现除法运算,从而提高运算速度.结果通过对输出信号的频谱分析,当信号带宽为200kHz,频率偏离中心频率010875MHz 时,衰减达到了99121dB.结论本设计能高速度、高质量地滤除通信信道中的干扰信号,并很好地处理了FPG A 的资源与速度的关系,能满足高速信号处理的要求.关键词:自适应滤波器;FPGA;LM S;NLM S;M A TLAB 中图分类号:TN 713+7 文献标志码:A The FPGA I mple ment ati on of N LM S Adapti ve FilterDA I J i ng 1,ZHAO Y anzhou 1,ZHANG Hui 1,TI AN Y ue 2,BA I Xilin1(1.School of Infor m ation and C ontrol Engineering,Shenyang J ianzhu U niversity,Shenyang,C hina,110168;2.A ll w in Telecom 2m unication C om pany,Shenyang,C hina,110179)Abstract:A n adap tive filter w as i m p lem en ted in this paper,w hich w as based on NLM S algorithm.H igh per 2for m ance signals cou ld be obtained by filtering the ti m e 2varying and unknow n interferences in the comm uni 2cation channels .The NLM S algorithm w as achieved by considering the p rinci p le of LM S algorithm and its i m p rovem ents .It w as concluded that NLM S algo rithm could be i m p lem ented on FPGA chips .This paper de 2scribed the m ethod of the specific i m p lem entation as w ell .Th is m ethod introduced bit 2shift in ter m s of sub 2section instead of division com p ution,by w hich the operation speed of FPGA w as g reatly i m p roved .The spectrogram of the out p ut signals p roved that the attenuation reached to 99121dB w hen the signal bandw id th w as 200KH z and the frequency w as 010875M H z offset from the center frequency .The adap tive filter cou ld effectively filter the in terferences in the comm unication channels and sp lit the d ifferences bet w een the re 2sou rces and areas of the FPGA chips,m eeting the requirem en ts of high 2speed signal p rocessing .Key words:adap tive filter ;FPGA;LM S;NLM S;M A TLAB 数字信号处理已在很多领域广泛应用,它是现今通信行业中最重要的环节,可实现频带选择、滤波等功能,它能满足滤波器对幅度和相位特性的要求[1],而自适应滤波器和信息论、优化理论、检测与估计理论等密切相关,是近20多年来发展起来的信息科学的一个重要分支,并在通信、雷达以及许多领域获得了广泛应用.自适应滤波器通过自适应算法调整权系数来滤除时变、未知的干第27卷戴　敬等:NLM S 自适应滤波器的FPGA 实现191　扰信号,得到高质量的通信信号.设计它的目的和意义就是在输入过程的统计特性未知时,自动跟踪和自我调整来满足某种最佳准则的要求[2].W idrow 和H off 提出的最小均方误差法(L east M ean Square,LM S )和高斯提出的递归最小二乘法(R ecursive L east Squares,RL S )是其中两种最典型的算法.LM S 算法因为实现简单、鲁棒性好、对信号统计特性变化具有稳健性因而得到了广泛的应用.它是基于最小均方误差准则(M ini m um M ean S quare E rror,MM S E )的维纳滤波器和最陡下降法而提出的[3].LM S 算法的收敛速度比RL S 算法慢,但是需要的资源比RL S 算法要少很多.同样,RL S 算法能够快速收敛,极好的性能,但是以增加计算复杂度和降低计算稳定性为代价的.因此在高速信号处理中,一般都采用LM S 算法及其各种改进算法.之前因为技术的原因,FPGA 的资源非常有限,无法用它实现自适应滤波器.随着技术的发展,FPGA 内部资源呈几何倍数的增长.自适应滤波器的FPGA 实现才开始受到重视.笔者采用FPGA 实现基于NLM S 算法的自适应滤波器,并且采用分阶段移位的方法取代了影响信号处理速度的除法器,从而大大地加快了信号的处理速度.仿真结果证明笔者设计的NLM S 自适应滤波器性能良好,完全能满足高速信号处理的要求.1　自适应滤波LM S 算法原理自适应滤波器的设计原理如图1所示.图1　自适应滤波器的原理图F i g 11　The schem atic diagram of the adap tive filter图中,d (n )为期望信号;y (n )为滤波器的输出信号;e (n )为误差信号;用来调整自适应滤波器的抽头系数.111　定步长LM S 算法原理基于定步长LM S 算法自适应滤波器的结构图如图2所示.图2　基于定步长LM S 算法的N 阶自适应滤波器结构图F i g 12　The structure diagram of N 2order adap tive filter based on LM S 基于定步长LM S 算法原理如下[4-5]:抽头权系数向量为ω,则输出函数为　y (n )=∑ni =1ω(i )x (n -i +1)=ωT X (n ).(1)目标函数的最佳滤波器系数递归关系为[6]ω(n +1)=ω(n )+μx (n )e 3(n ).(2)算法的失调系数δ为[7]δ=μTr R =μM P in .(3)式中:μ为步长因子;Tr R 为自相关矩阵R 的迹;M 为滤波器阶数;P in 为输入信号功率.由此可知,滤波器的步长因子越长,阶数越高,输入信号的功率越大,滤波器的失调系数就越大[8].112　归一化LM S (NLM S )算法原理为了改变滤波器失调情况,学者们推导出了很多改进算法,归一化LM S 算法是其中之一.由式(3)可知:如果使LM S 算法的μ值随着输入功192　沈阳建筑大学学报(自然科学版)第27卷率Pin成反比,则失调系数将保持不变,为此确立一个关于μ的函数μ(n),令μ(n)=δηTrR.(4)η为介于0和1之间的常数,这样就可以保证LM S算法的失调系数为一个定值[9].即令μ(n)=ηx H(n)x(n).(5)其中,x H(n)为x(n)的厄尔米特矩阵.在实际应用时,式(5)的分母有时很小,从而使收敛不稳定,因此通常采用式(6)作为归一化算法系数的递归式[10-11]ω(n+1)=ω(n)+ηx H(n)x(n)+Ψe3(n)x(n).(6)式中:Ψ为常数.将式(6)与式(2)比较,就可以发现NLM S算法其实是一种变步长LM S算法,它通过间接改变步长因子来加快收敛速度[12].113　符号LM S算法原理符号LM S算法也利用随机梯度达到最优解,但只给出梯度迭代的方向不给出具体改变量[13].其系数递归公式为ω(n+1)=ω(n)+μ・sign[e(n)]・x(n).(7)ω(n+1)=ω(n)+μ・e(n)・sign[x(n)].(8)其中,sign[]表示符号函数.式(7)是误差的符号LM S算法,式(8)是输入信号的符号LM S算法.在步长和滤波器阶数相同的情况下,三种LM S算法的均方误差的收敛情况如图3所示. 由图3可以看出,在相同步长的情况下,定步长LM S算法收敛的最慢,符号LM S算法次之, NLM S算法收敛最快.但是符号LM S算法收敛虽然快,但是它只给出了变化的方向,没有给出具体的变化尺度.这样虽然节省了硬件乘法器,但是运算过程却不稳定,除了硬件资源极度匮乏的情况之外,很少采用符号LM S算法.综合考虑各种算法的收敛速度以及FPGA硬件资源的消耗情况,采用NLM S算法实现自适应滤波.图3　三种LM S算法的均方误差F i g13　The m ean square error of three LM S algorithm s2　NLM S算法自适应滤波器的FP2 GA实现 笔者要设计一个输入和输出信号位宽为16位,输入信号的多径干扰为9径的NLM S算法自适应滤波器,采用的FPGA芯片是X ilinx公司生产的V irtex5系列,设计语言是V erilog D HL,使用m odelsi m进行仿真,之后将仿真结果送入M A T2 LAB进行频域分析. 在设计自适应滤波器之前,必须首先确定滤波器的阶数.自适应滤波器的阶数要大于或等于多径干扰的径数,这样才能保证自适应滤波器的性能达到最佳[14].根据美国直放站厂商安德鲁的测试,在人口密集地区,多径干扰的径数为6～9.因此选定自适应滤波器的阶数为10.在使用FPGA实现NLM S算法之前,首先要确定步长因子η和定值ψ.这是因为步长因子越小,算法收敛后的误差就越小,但是如果因子选得太小,就不能快速收敛,因此要根据实际情况选择步长因子的值.同样,在运算的过程中,步长因子μ(n)的运算过程中出现了除法.除法在FPGA设计中是要尽量避免的运算,尽量以移位运算代替.而且X il2 inx提供的除法器IP核需要19个周期的延时,这样会大大降低滤波器的处理速度.因此本设计采用了如下的替代方法.因为μ(n)始终小于1,大于0,因此它与e(n)的乘法运算可以归结为移位运算.第27卷戴　敬等:NLM S 自适应滤波器的FPGA 实现193　根据式(6)可得:μ(n )=ηx H(n )x (n )+Ψ.(9)设η=1/256,Ψ=1,则μ(n )m ax =1/256=2-8,μ(n )m in =1/274877906945≈2-38.因为e (n )的位宽为32位,所以采用分段近似的方法,即当x H(n )x (n )=0的时候,将e (n )左移8位既可;1≤x H(n )x (n )≤2时,将e (n )左移9位;3≤x H(n )x (n )≤7时将e (n )左移10位;…;依次类推,当x H(n )x (n )≥4194303时,将e (n )左移31位.这样就可以通过移位代替除法运算,减少延时.运算过程中同样要处理好每一次加法运算的输出结果,适当的对计算结果进行扩位,防止计算结果数据溢出.最后再适当对输出信号进行截位.如果截位不当,会造成输出信号不理想.NLM S 自适应滤波器FPGA 单阶实现的结构如图4所示. 图4中判决器是一个状态选择结构,它的作用是根据先前生成的x H(n )x (n )的不同范围来产生不同的移位因子,然后将移位因子输出. 移位器用来对误差信号进行移位和截取.因为自适应算法部分的乘法器、判决器,移位器会分别产生1个周期的延时.因此,x (n )也要延时3个周期防止产生时序混乱.图4　单阶NLM S 自适应滤波器结构图F i g 14　The structure diagra m of 12order NLM S adap tive filter 通过乘法器,判决器和移位器代替除法器,至少减少了17个周期的延时,加快了数据的处理速度.左边第一个乘法器用来对每个周期输入的x (n )进行平方运算.之后将平方值送给判决器进行移位因子选择.另一个乘法器将对应周期的输入信号和权系数相乘.加法器是一个并行加法器,负责将每个抽头的权系数和对应的x (n )的乘积相加.Z -3对输入信号x (n )进行三个周期的延时.它通过调用X ilinx 的移位寄存器的IP 核实现.程序编译后生成的R TL 电路如图5所示.图5　NLM S 自适应滤波器R TL 布线图F i g 15　The R TL w iring diagram of NLM S adap tive filter3　系统仿真仿真时用M A TLAB 生成输入信号x (n )和期望信号d (n ).x (n )为加入了多径干扰的正弦信号,信干比为-15dB.d (n )为无噪声的正弦信号.数据率为100M H z .它们的波形分别如图6和7所示.然后将信号数据送入m odelsi m 进行仿真.194　沈阳建筑大学学报(自然科学版)第27卷图6　输入信号F i g 16　The input signals图7　期望信号F i g 17　The desired signals 仿真完毕之后,m odelsi m 生成的输出结果如图8中所示的eout:图8　M odelsi m 仿真结果F i g 18　M odelsi m si m ulation result 将仿真结果eout 从m odelsi m 导出,利用m atlab 分析自适应滤波器输出结果的频谱图波形[15].输入信号的频谱和干扰消除后信号的频谱如图9所示.图9　自适应滤波器性能对比F i g 19　A dap tive filter perfor m ance com parison第27卷戴　敬等:NLM S自适应滤波器的FPGA实现195 由图9可以看出:图9(a)中输入信号完全淹没在了噪声之中,而笔者设计的NLM S算法自适应滤波器能够滤除干扰,得到很好的输出信号频谱.图9(b)输出信号频谱的归一化频率为数据率的奈奎斯特极限频率,即50M H z.带宽为200kH z,中心频点在0105π.当输入信号的频率偏移中心频点010875M H z时,衰减达到99121 dB.由此可以看出,自适应滤波器对带外的衰减效果已经比较好,完全能够满足信号处理的要求.4　结　论基于FPGA的NLM S算法的实现是一种变步长的LM S算法,它通过统计输入信号的特征函数来改变每次运算的步长.这样可以根据输入数据的大小自适应地加快收敛速度.笔者在FPGA 实现的过程中通过划分区间移位来实现除法运算,虽然损失了一些精度,但是大大减小了延时,加快了数据的处理速度,很好的符合了高速信号处理的要求,而且这种方法占用的资源要远远小于除法器IP核,在FPGA设计的过程中,很好地处理了FPGA资源利用和速度的关系.参考文献:[1]　龚耀寰.自适应滤波-时域自适应滤波和智能天线[M].2版.北京:电子工业出版社,2003.　(G ong Yaohuan.A dap tive filtering2ti m e2dom ain a2dap tive filtering and sm art antennas[M].2nd ed.B eijing:Publishing H ouse of Electronics Industry,2003.)[2]　田耘,徐文波,张延伟,等.无线通信FPGA设计[M].北京:电子工业出版社,2008.　(Tian Yun,X u W enbo,Zhang Yanw ei,et al.W ire2 less FPGA design[M].B eijing:Publishing H ouse ofElectronics Industry,2008.)[3]　S ivakum ar B,S ubha R ani S,R avi K iran V S V,et al.A dap tive filter app roaches for interference supp res2sion in CDM A system s[J].Infor m ation TechnologyJournal,2006(5):1098-1101.[4]　崔丽珍,杜普选.基于D SP的回波抵消技术[J].包头钢铁学院学报,2005,24(2):168-170.　(C ui L izhen,D u Puxuan.R ealization of the echocancellation on D SP[J].Journal of B aotou U niversityof Iron and S teel Technology,2005,24(2):168-170.)[5]　L otfizad M,Yazdi H S.M odified cli pped LM S algo2rithm[J].EU RA S IP Journal on A 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一种改进的NLMS算法及其在回声消除中的应用陈霞【摘要】针对回波抵消器中大量抽头系数需要更新的问题,提出了一种善于权系数局部迭代和集员漶波的NLMS算法.首先基于权系数瞬时梯度估计的Mmax系数局部避代方法,在每次迭代中把幅度较大输入元素对应的权系数筛选出来进行更新.其次.为了进一步减少算法的运算量,引入了善于系数稀疏更新理论的集员滤波算法,该算法中只有当参数估计误差大于给定的误差门限时滤波器系数才进行逸代更新,从而有效地减少了滤波器系数的迭代次数.【期刊名称】《智能计算机与应用》【年(卷),期】2010(000)006【总页数】3页(P34-36)【关键词】NLMS;回声消除;MMax;集员【作者】陈霞【作者单位】湖南省岳阳职业技术学院计算机系,湖南,岳阳414000【正文语种】中文【中图分类】TN911.721 NLMS算法常规的NLMS算法可以克服LMS算法经常会遇到的梯度噪声放大问题，NLMS算法与LMS算法所不同的是用可变的步长因子代替了LMS算法中的常量因子μ，其目的是加快算法的收敛速度，在NLMS算法系数更新过程中，根据下式来改变式中步长因子：P为输入功率归一化值，δ为一个较小的正数，用于避免在P很小的情况下μ(k)过大而引起稳定性的下降。

归一化算法的基本迭代公式为：2 MMAX-NLMS算法Mmax-NLMS算法权系数迭代公式如式（3）所示：Mmax-NLMS算法中更新子集的选取考虑的是权向量中每个权系数对于误差函数的影响程度。

在NLMS算法中，权系数对误差性能的贡献取决于如下两个因素:误差性能曲面的形状以及每次迭代时各个权系数相对于性能曲面底部所处的位置。

这两条因素可以用梯度向量中的各元素值的幅度大小来客观反映，即对应于梯度向量中幅度较大元素值的那些权系数将比其他权系数更快的收敛于最优维纳解附近，其相应的权系数对于算法整体的收敛性能贡献比较大。

基于这种思路，可通过对权系数的瞬时梯度估计来决定更新的可采用选择性权系数局部迭代机制，在每次权向量迭代更新中把对算法收敛性能贡献较大的部分权系数筛选出来进行每一次迭代需更新的权系数。

自适应滤波算法原理与应用经典的滤波算法包括,维纳滤波，卡尔曼滤波，自适应滤波。

维纳滤波与卡尔曼滤波能够满足一些工程问题的需求，得到较好的滤波效果。

但是他们也存在局限性，对于维纳滤波来说,需要得到足够多的数据样本时，才能获得较为准确的自相关函数估计值，一旦系统设计完毕，滤波器的长度就不能再改变,这难以满足信号处理的实时性要求；对于卡尔曼滤波，需要提前对信号的噪声功率进行估计，参数估计的准确性直接影响到滤波的效果。

在实际的信号处理中,如果系统参数能够随着输入信号的变化进行自动调整，不需要提前估计信号与噪声的参数,实现对信号的自适应滤波，这样的系统就是自适应滤波系统.1。

基本自适应滤波算法自适应滤波算法的基本思想是根据输入信号的特性自适应调整滤波器的系数，实现最优滤波。

图1 自适应滤波结构框图若自适应滤波的阶数为M ，滤波器系数为W ，输入信号序列为X ，则输出为： 10()()()M m y n w m x n m -==-∑（ 1）()()()e n d n y n =-( 2）其中()d n 为期望信号，()e n 为误差信号。

11()()()M Mj i ij m i y n w m x n m y w x -===-→=∑∑（ 3） 令T T 01112[,,,],[,,,]M j j j Nj W w w w X x x x -==（ 4）则滤波器的输出可以写成矩阵形式： T Tj jj y X W W X == ( 5）T Tj j j j j jj e d y d X W d W X =-=-=- （ 6）定义代价函数：222()[][()][()]j j j T j j J j E e E d y E d W X ==-=- （ 7）当使上式中的代价函数取到最小值时,认为实现最优滤波，这样的自适应滤波成为最小均方自适应滤波（LMS)。

对于最小均方自适应滤波，需要确定使得均方误差最小的滤波器系数，一般使用梯度下降法求解这类问题。

⾃适应滤波：最⼩均⽅误差滤波器（LMS、NLMS）作者：桂。

时间：2017-04-02 08:08:31链接：声明：欢迎被转载，不过记得注明出处哦~【读书笔记08】前⾔西蒙.赫⾦的《⾃适应滤波器原理》第四版第五、六章：最⼩均⽅⾃适应滤波器（LMS，Least Mean Square）以及归⼀化最⼩均⽅⾃适应滤波器（NLMS，Normalized Least Mean Square）。

全⽂包括： 1）LMS与维纳滤波器（Wiener Filter）的区别； 2）LMS原理及推导； 3）NLMS推导； 4）应⽤实例；内容为⾃⼰的读书记录，其中错误之处，还请各位帮忙指出！⼀、LMS与维纳滤波器（Wiener Filter）的区别这⾥介绍的LMS/NLMS，通常逐点处理，对应思路是：随机梯度下降；对于Wiener Filter，给定准则函数J，随机/批量梯度都可以得出最优解；LMS虽然基于梯度下降，但准则仅仅是统计意义且通常引⼊误差，可以定义为J_0，简⽽⾔之J通常不等于J_0，得出的最优解w_o⾃然也通常不等于维纳最优解；分析LMS通常会分析稳定性，稳定性是基于Wiener解，。

但LMS是Wiener解的近似，所以：迭代步长的稳定性，严格适⽤于Wiener 解，对于LMS只是⼀种近似参考，并没有充分的理论依据。

下⽂的分析仍然随机梯度下降的思路进⾏。

⼆、LMS原理及推导LMS是时间换空间的应⽤，如果迭代步长过⼤，仍然有不收敛的问题；如果迭代步长过⼩，对于不平稳信号，还没有实现寻优就⼜引⼊了新的误差，屋漏偏逢连夜⾬！所以LMS系统是脆弱的，信号尽量平稳、哪怕短时平稳也凑合呢。

给出框图：关于随机梯度下降，可以。

这⾥直接给出定义式：利⽤梯度下降：- \nabla J = {\bf{x}}{\left( {{{\bf{w}}^T}{\bf{x}} - {d}} \right)^T}给出LMS算法步骤：1）给定\bf{w}(0)，且1<\mu<1/\lambda_{max}；2）计算输出值：y\left( k \right) = {\bf{w}}{\left( k \right)^T}{\bf{x}}\left( k \right);3）计算估计误差：e\left( k \right) = d\left( k \right) - y\left( k \right);4）权重更新：{\bf{w}}\left( {k + 1} \right) = {\bf{w}}\left( k \right) + \mu e\left( k \right){\bf{x}}\left( k \right)三、NLMS推导看到Normalized，与之联系的通常是约束条件，看到约束不免想起拉格朗⽇乘⼦。