一类复杂平面尺寸链的计算

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Δ φ = b Δ φ bi ∑
=
《机床与液压》20021No13
9φ 9φ b b Δc + Δd 9c 9d Δ φ = c Δ φ ci ∑
=
9φ b Δa + 9a
9φ b Δb + 9b
( 7)
9φ 9φ c c Δc + Δd 9c 9d 应用时 , 可按下列步骤操作 :
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C 转角的影响 , 有 :
只有尺寸 c 和 B 的矢量角受影响 。即 : Δ φ Δd , Δc = 9 c/ 9 d Δd 且: b = 9φ b/ 9 d 9φ cosφ 9 c/ 9 d = - tgφ b / 9 d = 1/ b・ b b ④ 综合上述讨论 , 可得如下关系 : 9φ 9φ 9φ b b b Δ φ Δ φ Δa + Δb + Δ d ( 2) b = ∑ bi = 9a 9b 9d 9φ b 9c 9c Δc = ∑ Δ φ Δ a + Δb + Δ d ( 3) c = 9a 9b 9d ( 2) 铰链四杆机构 图 2 所示铰链四杆机构为某机器运动原理 , 在任 意给定原动件位置 , 由于各杆件存在制造误差 , 因此 必然引起输出杆件位置产生误差 。就整批机器而言便 产生了执行件运动位置的误差分散 。显然这实质也是 一个平面尺寸链问题 。 显然 , 此时该四杆机构在图 示坐标系下采用复数向量 , 可分 别标注为 : A = aejφa , B = bejφb , C φ φ = cej c , D = dej d 。 同时 , 根 据 运 动 约 束 关 系 , 图 2 铰链四杆机构 运动原理图 可知在任一位置 , 有下列位置方 程 ( 约束方程) 成立 : φ φ φ φ j a j b j d j c ( 4) ae + be = de + ce ① 当原动件 A 长度 a 有制造误差时 , 机架 D 的大 小 , 方向均不受影响 。但连杆 B 和摇杆 C 的方向受影 φ Δa , Δ φ α Δa 响 。即 : Δ b1 = 9φ b/ 9 a c1 = 9φ c/ 9 将 ( 4) 式两边对 a 求偏导 , 并整理化简得 : 9φ sin (φ b / 9 a = cos (φ a - φ c ) / b・ b - φ c) 9φ sin (φ c / 9 a = cos (φ a - φ b ) / c・ b - φ c) Δc ② 当连杆 B 和摇杆 C 的长度有制造误差 Δ b 、 时 , 机架和原动件 A 不受影响 , 而 B , C 本身的转角 要发生变化 。对位置方程 ( 4) 求偏导 , 然后化简求解 可得 : Δ φ Δb 9φ sin (φ c / 9 b = 1/ c ・ b - φ c) c2 = 9φ c / 9 b・ 9φ sin (φ b / 9 b = cos (φ b - φ c ) / b・ b - φ c) Δ φ Δb b2 = 9φ b / 9 b・ Δ φ φ Δc 9φ sin (φ b / 9 c = - 1/ b・ b - φ c) b3 = 9 b / 9 b・ 9φ sin (φ c / 9 c = cos (φ c - φ b ) / c・ c - φ b) Δ φ Δc c3 = 9φ c / 9 c・ ③ 当机架 D 的长度 d 有制造误差时 , 会对 B , C 的转角位置有影响 。将 ( 4 ) 式两边对 d 求偏导 , 然 后利用相似步骤简化可得 : 9φ sin (φ b / 9 d = cos (φ d - φ c ) / b・ b - φ c) Δ φ Δd b4 = 9φ b / 9 b・ 9φ sin (φ c / 9 d = - cos (φ d - φ b ) / c・ b - φ c) Δ φ Δd c4 = 9φ c / 9 d・ ④ 综合考虑各杆件给定制造误差对连杆 B 和摇杆
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《机床与液压》20021No13
一类复杂平面尺寸链的计算
成刚虎
(西安理工大学 , 710048)
摘要 : 研究了理论基础 , 提出了分析方法 , 推出了应用步骤 , 并进行了实例分析 。 关键词 : 平面尺寸链 ; 矢量 ; 运动进行纸张交接 , 如何 保证精度 , 也是一个平面尺寸链问题 。全低副递纸机 构采用曲柄滑块机构 , 考虑运动精度也需要进行平面 尺寸链计算 。偏心旋转摆动式递纸机构则是一个双驱 动的五杆机构 , 运动精度的分析以及构件公差确定同 样牵涉到平面尺寸链的计算 。考虑一般性和代表性 , 这里以铰链四杆机构和曲柄滑块机构的尺寸链问题为 例进行研究 。 由于机构尺寸具有二维特性 , 所以引入复数矢量 方法 。 (1) 曲柄滑块机构 图 1 所示曲柄滑块机构 , 在机构设计时已将理论 尺寸 a , b , c , d 确定 , 但是由于各尺寸在加工制造 过程中存在尺寸分散 ( 即加工误差) , 这样必然造成在 运动输入件曲柄的运动规律一定条件下 , 运动输出件 滑块 ( 大多数情况 ) 或连杆 ( 如印刷机全低副递纸机 构) 的输出运动规律产生偏差 , 这里重点讨论运动位 置出现的偏差 。这就相当于尺寸链理论中组成环误差 对封闭环误差的影响关系 。所以问题本质是一平面尺 寸链问题 。 图 1 所示坐标系下该机构采用矢量标注后 , 各杆 φ j 件可表示为 A = aejφ a , B = beb , C = c , D = jd 。 根据矢量合成原理可知该机构在任意时刻 、位置 都满足如下约束条件 , 亦即位置方程 : φ φ j j ( 1) aea + beb = c + jd ( 该式可投影为方程组) ①当尺寸 a 有制造 误差 Δ a 时 , 显然尺寸 d 和 b 不受影响 , 而尺寸 c 和 B 的矢量角受影响, 图1 曲柄滑块机构 φ Δa , 即: Δ b = 9φ b/ 9 a 运动原理图 Δc = 9 c/ 9 a Δa 将 ( 1) 式两边对 a 求偏导 , 化简有 : α = - sinφa / b・ 9φ cosφ b/ 9 b φ 9 c/ 9α = cos (φa - φ b ) / cos b ② 当连杆 b 有尺寸误差 Δ b 时 , 只有尺寸 c 和 B 的矢量角受影响 。即 : Δ φ Δb , Δc = 9 c/ 9 b Δb b = 9φ b/ 9 b 进行类似上述推导有 : φ φ 9φ 9 c/ 9 b = cos2φ b / 9 b = - tg b / b b / cos b ③ 同样 , 当机架尺寸 d 有制造误差 Δ d 时 , 还是
c 9 c 9φ Δc 、 、 等 均 是 代 数 量 , 分 别 称 作 Δ a (Δ b 、 9a 9a Δ d) 对 Δ φ Δc 和 Δ φ b、 c 的影响系数 ; 其大小表示该
9φ b 、 9a
杆件误差对执行件的影响程度 , 符号表示误差影响的 方向 , “ + ”表示构件误差方向与执行件因此产生的误 差方向相同 , 相当于增环 , “ - ”表示方向相反 , 相当 于减环 。 上述分析为该类平面尺寸链的求解提供了理论依 据。 2 工程应用 工程应用中的尺寸链计算 , 无非是考察组成件的 误差对封闭环的影响或者根据执行件的设定允许误差 向组成件分配公差两种情况 。也就是尺寸链的解算分 为求解封闭环的正计算和求解组成环的逆计算 。 在机器设计过程中 , 机构设计始于经过位移或速 度综合的机构原理图 , 而机构原理图是在进行了严密 计算以及反复迭代之后取得的 。但是当设计者要将原 理图转化为结构图的时候 , 除了必须遵守 “一件一环” 原则分解原理尺寸外 , 还应该考虑制造技术规范而给 每一零件尺寸以恰当的公差 。过大或过小的公差设计 都不是我们所期望的 。过大影响其精度 , 过小则不经 济。 而在零部件加工好之后 , 需要根据固有的相对关 系进行装配组合 , 形成部件和机器 , 相应的 “一件一 环”零件尺寸经过合成 , 间接得到某一精度尺寸 。由 于零部件存有制造误差 , 因而形成的装配尺寸必然出 现尺寸 ( 位置) 分散 。 显然 , 要设计公差 , 预测或控制误差 , 都必须进 行尺寸链解算 。 ( 1) 正计算 已知构件误差确切值 , 只要利用 ( 2) 、 ( 3) 、 ( 5) 、 (6) 式即可知道其对执行件的影响 。如果要估计装配 后的执行件 ( 封闭环 ) 的尺寸变化 ( 位置 ) 范围 , 需 要按照公差公式计算 。根据文献 [ 1 ] 的研究结果 , 综 合考虑各杆长度制造误差范围对连杆 B 和摇杆 ( 或滑 块) C 的位置误差范围的影响 , 则可取得如下公差关 系 : ( 以铰链四杆机构为例)
Δ φ b = 9φ b Δd 9d Δ φ c = 9φ c Δd 9d
Δ φ bi ∑
=
9φ 9φ 9φ b b b Δa + Δb + Δc + 9a 9b 9c
( 5)
Δ φ ci ∑
=
9φ 9φ 9φ c c c Δa + Δb + Δc + 9a 9b 9c
( 6)
通过分析 , 取得以上诸式 。可以看出 , 其中

机械工程中平面尺寸链的求解一直是一个比较复 杂的问题 。采取经验类比推理缺乏科学性而影响经济 性 。这类问题长期受到工程技术人员的重视 , 但仍然 存在研究空间 。 机器制造装配过程中 , 既有由于固定的装配关系 而形成的静态尺寸联系 , 也有运动机构给定位置或者 给定瞬时各运动构件因尺寸偏差而产生的运动误差 。 其本质都是尺寸链问题 。印刷机递纸机构中构件的公 差确定时 , 就要考虑运动过程中两个交接位置的精度 要求 , 构件公差的确定一般需要求解复杂的平面尺寸 链 。而胶印机离合压机构也存在同样问题 。 关于线性尺寸链以及可用单一函数或隐函数表达 的平面尺寸链求解 , 文献 [ 1 ] 已进行过研究 , 并且提 出了可以统一的尺寸链计算程式化方法 。只要建立了 尺寸链函数 , 依据结构化步骤 , 问题便迎刃而解 。但 是实用中 , 一些平面尺寸链函数并不能很直观的得到 , 最严重的是 , 许多情况下连隐函数也不容易取得 , 只 能以方程组的形式出现 , 并且伴随有复杂的三角函数 运算关系 。这时 , 工程上习惯的做法是采用矢量合成 方法 , 分析求解给定条件下由于构件误差引起的某精 度尺寸波动范围 , 即先计算该尺寸可能出现的最大值 , 再计算其最小值即可 。但是困扰人们的是 : 分析各组 成尺寸对该精度尺寸是正向影响还是负向影响 , 很多 情况下是相当困难的 , 而这却又是决定计算正确与否 的关键一步 , 一旦分析出错 , 计算将失去意义 。相当 于尺寸链计算中的增减环判断 , 判断出错必然引起计 算结果错误 。 本文针对这类较复杂平面尺寸链的求解进行了研 究 , 运用复数向量表达和计算方法 , 对铰链四杆机构 和曲柄滑块机构的尺寸链问题进行了解析 , 旨在解决 复杂平面尺寸链的理论基础和实用方法 。 1 理论基础 对开胶印机离合压机构大多采用凸轮驱动的铰链 四杆机构 , 由于牵涉到调压空间的问题 , 必须给四杆 机构各构件尺寸一恰当的公差 , 过大的公差可能损失 调压空间 , 而过小的公差势必造成经济性浪费 ; 究竟 应该如何设计公差 , 需要进行平面尺寸链分析计算 。 胶印机上的正心摆动式递纸机构 , 是一个铰链四杆机 构 , 功能要求是 : 机构执行件 ( 摆杆 ) 必须在两个合