级数题库

第9章数项级数1．试证明下列命题：（1）设a＞0，b＞a＋1，则（2）设a＞0，b＞a＋2，则证明：（1）记，则令从n＝0到n＝N的各项相加，故得因此．（2）由（1）可知以a＋1代a，则（*）式又成为将两式相减，可得．1．求下列级数的和：解：（1）由，有（2）当n＝3m时，时，，而且级数都是收敛的，根据顺项可括性，有（3）由于[x]是数x的整数部分，有1．求的和，其中解：记，则考察函数．若，则有f（S）＝S，且为此方程的惟一解．由于在上是递减函数，故知因为f（x）在（0，1）上递减，所以．从而得即有下界，且此外又有这说明．1．判别下列级数的敛散性：解：（1）当p≤0时，，该级数显然发散．当p＞0时，是递减正数列，从而考察级数．易知它是等比级数，且可得公比时，收敛；时，发散．因此，I在p≤1时发散，p＞1时收敛．（2）易知通项是递减正数列．根据凝聚判别法，有由此知，I在p＞1时收敛，p≤1时发散．（3）易知通项是递减正数列，用凝聚判别法，考察由此即知I发散．1．试证明下列命题：（1）设级数收敛，则（2）设．若收敛，则（3）设．若收敛，则（4）设，则证明：（1）不妨假定，且记，以及，则用归纳法可推等式（*）当n＝1时，显然，故式（*）为真．假定n＝m时式（*）为真，则对m＋1，有从而式（*）对m＋1成立．令m→∞，即可得证．（2）应用Cauchy－Schwarz不等式，可知注意到，即可得证．（2）依题设可知，对任给ε＞0，存在，使得“．取，并对和式作分解又放大，可知（[r]表示数r的整数部分）从而可得．由此即可得证．（4）注意到等式（，C是Euler常数）故只需指出．实际上，对任给ε＞0，依题设知，存在，使得．由此又知从而导致．最后有．证毕．1．试证明下列不等式：，其中是递增正数列，（3）（Hardy－Landau不等式）设同（2），则（4）（Carleman不等式）设是正项收敛级数，则证明：（1）改写通项为再应用在上的微分中值公式，有从而知（2）由（不等式：）可知。

交错级数考研题库交错级数是数学中一个重要的概念，它在考研数学中经常出现。

交错级数的求和问题可以说是考研数学中的一大难点，需要我们掌握一定的技巧和方法。

下面我将从交错级数的定义、性质和求和方法三个方面来进行论述。

首先，我们来看交错级数的定义。

交错级数是指一列有限项和无限项交错出现的级数。

具体来说，如果一个级数的各项的符号交错出现，则称该级数为交错级数。

交错级数的一般形式可以表示为：S = a1 - a2 + a3 - a4 + ...接下来，我们来探讨交错级数的性质。

首先，交错级数的前n项和Sn满足以下性质：当n为奇数时，Sn小于等于S；当n为偶数时，Sn大于等于S。

这一性质可以通过对交错级数的各项进行分组相加来证明。

其次，交错级数的绝对值级数收敛时，交错级数也收敛，并且收敛到与绝对值级数相同的值。

这一性质可以通过利用级数的收敛性质来证明。

最后，如果交错级数的各项满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。

这一性质可以通过利用单调有界原理来证明。

接下来，我们来讨论交错级数的求和方法。

对于一些特殊的交错级数，我们可以通过一些技巧来求和。

首先，如果交错级数的各项满足形如(-1)^(n-1)*an的形式，其中an是一个严格递减的正数数列，那么交错级数的和可以通过利用Leibniz判别法来求得。

其次，如果交错级数的各项满足形如(-1)^(n-1)*an的形式，其中an是一个严格递减的正数数列，并且an趋于零，那么交错级数的和可以通过利用交错级数的收敛性质来求得。

最后，如果交错级数的各项满足形如(-1)^(n-1)*an的形式，其中an是一个严格递减的正数数列，并且an趋于零，但是无法直接求得交错级数的和，我们可以通过利用交错级数的部分和逼近级数的和来求得一个近似解。

综上所述，交错级数在考研数学中是一个重要的概念，需要我们掌握其定义、性质和求和方法。

通过对交错级数的学习和理解，我们可以更好地应对考研数学中的相关题目，提高我们的解题能力。

第11章幂级数1．求在处的T aylor级数，并求其收敛半径．[浙江大学研] 解：再求收敛半径，令，则即所以|x|<1．故级数收敛半径为1．2．试求下列级数的和：（1）（2）[山东大学研]解：（1）的收敛区间为（－1，1），所以故（2）的收敛区间为（－1，1）所以又所以故3．已知绝对收敛，收敛，证明：级数收敛．[哈尔滨工业大学研]证明：根据阿贝尔引理的一般形式，对任意的自然数p考虑（1）由于级数收敛，故对，当n>N时，对任何自然数p，有（2）由于绝对收敛，设，从而对任意的自然数n有并且由于，从而根据①式，对，当n>N时，对任何自然数p有由的任意性及柯西准则知，级数收敛．4．设在x=-2处条件收敛，求其收敛半径．[东南大学研]解：当x=-2时，原幂级数为条件收敛，所以不收敛，即当x=4时不收敛．故其收敛半径为．5．求幂级数的收敛域．[天津工业大学研]解：由于，又，故收敛半径R=1．由积分判别法知发散，所以发散；由Leibniz判别法知收敛．故的收敛域为[-1，1）．6．求幂级数的收敛域及和函数．[哈尔滨工业大学2006研]解：因为，所以收敛半径R=1．因为当x=0时，幂级数收敛；当x=2时，幂级数发散．故该幂级数的收敛域为[0，2）．7．求的收敛域及和函数．[东南大学2006研]解：因为，当x-1=±1时，该级数变为，其一般项均不趋于0，所以当x-1=±1时该级数发散，故该级数的收敛域为（0，2）．在（0，2）内该幂级数可以逐项求导、求积分，所以有8．求的收敛域，并求该级数的和．[华南理工大学研]解：因为，所以R=1．当x=±1时，有，所以的收敛域为（-1，1）．由于这两个级数在（-1，1）内可以逐项求导、求积分．令，则有令，则同时令，所以9．求的收敛域，并求其和．[中国科学院2007研]解：因为，所以的收敛域为（-∞，+∞），则在（-∞，+∞）内有令，则所以10．将函数展开成x的幂级数．[武汉理工大学研] 解：由于，所以则故展开成x的幂级数为11．求，并求证它也等于．[中国科学院2006研] 解：由于，所以由幂级数的性质知结论得证．。

第15章Fourier级数1．在区间（0，2π）内展开f（x）的Fourier级数[北京大学、湖南大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期函数，则故当x＝0，2π时，上述级数收敛于0．2．已知函数（1）在[－π，π]上将f（x）展为傅里叶级数；（2）求级数的和．[天津大学研]解：（1）f（x）＝f（－x），f（x）为偶函数，故又故在[－π，π]上，①（2）在①式中令，得即3．设以2π为周期的连续函数．f（x）的Fourier系数为，求的Fourier系数，并证明．[中国地质大学研] 证明：（1）根据Fourier系数公式，有同理（2）由（1）的结果可得4．将f（x）展开成以2π为周期的正弦级数[南京航空航天大学研] 解：因为要展开成正弦级数，所以所以f（x）展开成以2π为周期的正弦级数为5．将函数f（x）＝x在[0，π]上展开成余弦级数，并求．[上海大学研、天津工业大学2006研、华中科技大学2007研]解：由于所以f（x）＝x在[0，π]上展开成余弦级数为，从而故．6．令f是R上周期为2π的函数，当时满足．（1）证明f的Fourier级数具有形式，并写出的积分表达式．（2）该Fourier级数是否一致收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．（3）证明．[中科院武汉物理与数学研究所研]证明：（1）由于是奇函数，所以f的Fourier级数具有形式，且．（2）不一致收敛．由Fourier级数收敛定理知由于在上连续，但和函数在上不连续，所以该Fourier级数不一致收敛．（3）由于在上可积且平方可积，所以Parseval等式成立7．证明函数系{sin（2n＋1）x}是上的正交系，对应如何延拓到（－π，π），才能使f（x）的Fourier级数恰为函数系{sin（2n＋1）x}的展开式？求出此展开式，并做出延拓后在上的函数．[西安交通大学研]证明：当m≠n时，有所以函数系{sin（2n＋1）x}是上的正交系．要使f（x）的Fourier级数恰为函数系{sin（2n＋1）x}的展开式，只要即可．由于所以当时，取，然后再做奇延拓．此时所以此展开式为．f（x）延拓后在上的函数为。

第3章周期信号的傅里叶级数表示基本题3.1 有一实值连续时间周期信号x（t），其基波周期了T＝8，x（t）的非零傅里叶级数系数为a1＝a－1＝2，a3＝a－3＝4j。

试将x（t）表示成：解：3.2 有一实值离散时间周期信号x[n]，其基波周期N＝5，x[n]的非零傅里叶级数系数为，试将x[n]表示成：解：3.3 对下面连续时间周期信号求基波频率ω0和傅里叶级数系数a k，以表示成解：即非零的傅里叶级数系数为3.4 利用傅里叶级数分析式计算下连续时间周期信号（基波频率ω0＝π）的系数a k：解：因ω0＝π，故3.5 设x1（t）是一连续时间周期信号，其基波频率为叫ω1，傅里叶系数为a k，已知x2（t）＝x1（1－t）十x1（t－1），问x2（t）的基波频率ω2与ω1是什么关系？求x2（t）的傅里叶级数系数b k与系数a k之间的关系。

解：x1（1－t）和x1（t－1）的基波频率都是ω1，则它们的基波周期都是T1＝2π/π。

因为x2（t）是x1（1－t）和x1（t－1）的线性组合，所以x2（t）的基波周期，即ω2＝ω1。

又故即3.6 有三个连续时间周期信号，其傅里叶级数表示如下：利用傅里叶级数性质回答下列问题：（a）三个信号中哪些是实值的？（b）哪些又是偶函数？解：（a）与式对照可知，对于x1（t），有由共轭对称性可知，若x1（t）为实信号，则有显然故x1（t）不是实信号。

同理，对于x2（t），对于x3（t），由于故可知x2（t）和x3（t）都是实信号。

（b）由于偶函数的傅里叶级数是偶函数，由上可知，只有x2（t）的a k是偶函数，故只有x2（t）是偶信号。

3.7 假定周期信号x（t）有基波周期为T，傅里叶系数为，的傅里叶级数系数为b k。

已知，试利用傅里叶级数的性质求a k用b k和T表达的表达式。

解：当k＝0时，故3.8 现对一信号给出如下信息：（1）x（t）是实的且为奇函数；（2）x（t）是周期的，周期T＝2，傅里叶级数为a k；（3）对|k|>1，a k＝0；（4）试确定两个不同的信号都满足这些条件。