人教版八年级数学 分式方程 部分
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15.3分式方程专题一 解分式方程 1.方程32x 31-x 1+=的解是 . 2.解分式方程:3x 911x 3x 32-=-+.3.解分式方程:32x ++1x =242x x+.专题二 分式方程无解4.关于x 的分式方程211x m x x -=--无解,则m 的值是( )A .1B .0C .2D .–25.若关于x 的方程2222x m x x ++=--无解,则m 的值是______. 6.若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解,则m 的值为__________. 专题三 列分式方程解应用题7.甲、乙两班学生参加植树造林.已知甲班每天比乙班少植2棵树,甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等.若设甲班每天植树x 棵,则根据题意列出方程正确的是( )A .60702x x=+ B .60702x x =+C.60702x x =- D.60702x x =-8.为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种480棵树,由于青年志愿者的支援,每日比原计划多种1,结果提前4天完成任务.原计划每天种多少棵树?39.某校为了进一步开展“阳光体育”活动,计划用2000元购买乒乓球拍,用2800元购买羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元.该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗?请说明理由.状元笔记【知识要点】1.分式方程分母中含未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤【温馨提示】1.用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边,从而约去分母.但要注意用最简公分母乘方程两边各项时,切勿漏项.2.解分式方程可能产生使分式方程无解的情况,那么检验就是解分式方程的必要步骤.参考答案:1.x=6 解析:去分母,得2x+3=3(x-1),解得x=6,经检验x=6是原方程的解.所以,原分式方程无解.3.解:方程两边乘x(x+2),得3x+x+2=4,解得x=21.经检验:x=21是原方程的解.4.A 解析:方程两边成x -1,得x -2(x -1)=m ,解得x=2-m .∵当x=1时分母为0,方程无解,∴2-m=1,即m=1时,方程无解.故选A .7.B 解析:设甲班每天植树x 棵,则乙班每天植树(x+2)棵,甲班植60棵树所用的天数为x ,乙班植70棵树所用的天数270+x ,可列方程为x 60=270+x .故选B . 8.解:设原计划每天种x 棵树,实际每天种树113x ⎛⎫+⎪⎝⎭棵,根据题意,得 4804804113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解这个方程,得x=30.经检验x=30是原方程的解且符合题意.答:原计划每天种树30棵.9.解:不能相同.理由如下:设该校购买的乒乓球拍每副x 元,羽毛球拍每副(x +14)元,若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同,则1428002000+=x x ,解得x =35.经检验x =35是原方程的解.但当x =35时,74001428002000=+=x x ,不是整数,不合题意. 所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同.先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。
新课标人教版初中数学八年级下册第十六章《16.3分式方程》精品教案教学目标(一)知识与技能目标经历分式方程概念、分式方程的解法过程,会解可化为一元一次方程的分式方程的解法,会检验根的合理性,能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用.(二)过程与方法目标经历“实际问题-分式方程方程模型-求解-解释解的合理性”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.(三)情感与价值目标在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.教学重点和难点1.教学重点:分式方程的解法及应用.2.教学难点:理解解分式方程时产生增根的原因,分式方程的应用.教学方法启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程解法与应用.教学过程1、情境导入:有两块面积相同的小麦试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收获小麦9000kg和15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg,分别求这两块试验田每公顷的产量.你能找出这一问题中的所有等量关系吗?分组交流若设第一块试验田每公顷的产量为x kg,则第二块试验田每公顷的产量是__________kg.根据题意,可得方程_____________________2、解读探究(1)从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.这一问题中有哪些等量关系?如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为x h,那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h.根据题意,可得方程_________________.学生分组探讨、交流,列出方程等量关系:①客车在高速公路上行驶的平均速度=在普通公路上的平均速度+45②由高速公路从甲地到乙地所需的时间×2=普通公路从甲地到乙地所需的时间方程:=+45(2)王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训,按原定的人数估计共需费用300元;后因人数增加到原定人数的2倍,费用享受了优惠,一共只需要480元,参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元;原定的人数是多少?你能找出这一问题中所有的等量关系吗?如果设原定是x人,那么每人平均分摊________元;人数增加到原定人数的2倍后,每人平均分摊________元;根据题意,可得方程________议一议:上面所得到的方程有什么共同特点?分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程与整式方程有什么区别?做一做:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x 人,那么x满足怎样的方程?3、随堂练习(1)据联合国《2003年全球投资报告》指出,中国吸收外国投资额达530亿美元,比上一年增加了13%.设我国吸收外国投资额为亿美元,请你写出满足的方程.你能写出几个方程?其中哪一个是分式方程?(2)轮船在顺水中航行20千米与逆水航行10千米所用时间相同,水流速度为2.5千米/小时,求轮船的静水速度.(3)根据分式方程编一道应用题,然后同组交流,看谁编得好4、学习小结本节课你学到了哪些知识?有什么感想?作业:P80习题3.6教学反思:。
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一)分式的定义及有关题型考查分式的定义:一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子A/B为分式。
例1:下列代数式中是分式的有:(x- y)/(2x+ y),π/(2x- y),(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件:分式有意义:分母不为0 (B≠0)分式无意义:分母为0 (B=0)例1:当x有何值时,下列分式有意义:1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件:分式值为:分子为A且分母不为0 (A/B) 例1:当x取何值时,下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2:当x为何值时,下列分式的值为零:1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件:分式值为正或大于0:分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0:分子分母异号 (A/B<0) 例1:(1) 当x为何值时,分式4/(8-x)为正;2) 当x为何值时,分式5-x/(5+x)为负;3) 当x为何值时,分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2:解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1,-1的条件:分式值为1:分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1:分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1:若分式|x-2|/(x+2)的值为1,-1,则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题:1、若a>b>0,a2+b2-6ab=0,则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式:-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
一、基本概念
1.分式:分子和分母都是多项式的数叫做分式。
2.分式方程:含有一个或多个未知数的分式等式叫做分式方程。
二、分式方程的解
1.分式方程的解:使得方程两边分式等价的数叫做分式方程的解。
2.适合分式方程的解:使得分式方程的任意代入都可以使分式方程成立的解叫做适合分式方程的解。
三、分式方程的解的判定
1.分式方程的解的判定方法:将找到的解代入方程,若等式两边可以变成同一个数,则该解为分式方程的解。
2.分式方程的解的验证方法:将方程两边合并,并对两边进行化简,最后验证等式是否成立。
四、分式方程的解的性质
1.分式方程的根的性质:若一个数是分式方程的根,则这个数的相反数也是该方程的根。
2.分式方程的根的性质的应用:利用分式方程的根的性质,可以通过已知根推出其他根。
五、分式方程的解的求解
1.解分式方程的一般步骤:先合并同类项,再化简,最后通过代数运算求解未知数。
2.解分式方程的具体方法:可以通过交叉相乘、通分和消分的方法来解决不同类型的分式方程。
六、分式方程的应用
1.代入法解分式方程:利用推导和分项代入法,将问题转化为分式方程,然后再用分式方程的解来解决问题。
2.混合运算解分式方程:先利用等式性质将分子展开,再通过合并同类项化简,最后求解分式方程得到解。
总结:。
初二上册分式方程
1、解方程:x+1x−2=3x+33x.
2、解方程:x−2x−1=x−2x−1.
3、解方程:x−12+1−x3=1.
4、解方程:x+12x−x+1x+3=1.
5、解方程:x−22+xx+4=1.
6、解方程:x−22−xx+3=1.
1、首先观察方程x+1x−2=3x+33x,我们可以发现最简公分母是x+1和3x+3,它们的最小公倍数是3(x+1)。
接着,两边乘以3(x+1),得到:
3x−6(x+1)=3x
展开并整理得:
−3x=−6
解得:
x=2
最后,检验:将x=2代入原方程,满足方程。
所以,原方程的解为:x=2。
2、首先观察方程x−2x−1=x−2x−1,最简公分母是x−2。
两边乘以x−2,得到:
x−(x−2)=x−1
展开并整理得:
x=x−1
这是一个恒等式,所以原方程无解。
3、首先观察方程x−12+1−x3=1,注意到分母有x−1和1−x,它们实际上是相同的,所以最简公分母是(x−1)2。
两边乘以(x−1)2,得到:
2(x−1)−3(x+1)=(x−1)2
展开并整理得:
−5=x−1
解得:
x=−4
最后,检验:将x=−4代入原方程,满足方程。
所以,原方程的解为:x=−4。
分式方程应用题班级姓名1、重量相同的两种商品,分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。
2、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路,从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。
又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是15千米,A骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B骑自行车从甲地出发,结果同时到达。
已知B的速度是A的速度的3倍,求两车的速度。
4、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,加一台乙型拖拉机,两台合耕,1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天?5、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同,又知每小时A、B两人共做35个机器零件。
求A、B每小时各做多少个零件。
6、某甲有25元,这些钱是甲、乙两人总数的20%。
乙有多少钱?7、某甲有钱400元,某乙有钱150元,若乙将一部分钱给甲,此时乙的钱是甲的钱的10%,问乙应把多少钱给甲?8、我部队到某桥头狙击敌人,出发时敌人离桥头24千米,我部队离桥头30千米,我部队急行军速度是敌人的1.5倍,结果比敌人提前48分钟到达,求我部队的速度。
9、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度。
10、某中学到离学校15千米的某地旅游,先遣队和大队同时出发,行进速度是大队的1.2倍,以便提前半小时到达目的地做准备工作。
求先遣队和大队的速度各是多少?11、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件,已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同,问现在平均每天加工多少个零件。
12、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务,由于情况发生了变化,急行军速度必需是原计划的1.5倍,才能按要求提前2小时到达,求急行军的速度。
13、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用8万元购进这种衬衫,面市后果然供不应求,商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了4元,商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元,最后剩下的150件按八折销售,很快售完,在这两笔生意中,商厦共赢利多少元。
14、一个批发兼零售的文具店规定:凡一次购买铅笔300枝以上,(不包括300枝),可以按批发价付款,购买300枝以下,(包括300枝)只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔,如果给八年级学生每人购买1枝,那么(2)若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同,那么这个学校八年级学生有多少人?15、某项紧急工程,由于乙没有到达,只好由甲先开工,6小时后完成一半,乙到来后俩人同时进行,1小时完成了后一半,如果设乙单独x小时可以完成后一半任务,那么x应满足的方程是什么?16、走完全长3000米的道路,如果速度增加25%,可提前30分到达,那么速度应达到多少?17、对甲乙两班学生进行体育达标检查,结果甲班有48人合格,乙班有45人合格,甲班的合格率比乙班高5%,求甲班的合格率?18、某种商品价格,每千克上涨1/3,上回用了15元,而这次则是30元,已知这次比上回多买5千克,求这次的价格。
19、小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种科普书,又用15元买了一种文学书,科普书的价格比文学书的价格高出一半,因此他们买的文学书比科普书多一本,这种科普和文学书的价格各是多少?20、甲种原料和乙种原料的单价比是2:3,将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后,单价为9元,求甲的单价。
21、某商品每件售价15元,可获利25%,求这种商品的成本价。
22、某商店甲种糖果的单价为每千克20元,乙种糖果的单价为每千克16元,为了促销,现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售,如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元,那么混合销售与分开销售的销售额相同,这包甲糖果有多少千克?23、两地相距360千米,回来时车速比去时提高了50%,因而回来比去时途中时间缩短了2小时,求去时的速度24、某车间加工1200个零件,采用新工艺,工效是原来的1.5倍,这样加工同样多的零件就少用10小时,采用新工艺前后每时分别加工多少个零件?分式方程应用题1、块面积相同的小麦试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收获小麦9000Kg和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。
2、从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600Km的普通公路,另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是15千米,A骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B骑自行车从甲地出发,结果同时到达。
已知B的速度是A的速度的3倍,求两车的速度。
4、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,加一天乙型拖拉机,两台合耕,1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天?求A、B每小时各做多少个零件。
6、某工厂去年赢利25万元,按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%,今年的赢利额应是多少?7、某农场原有水田400公顷,旱田150公顷,为了提高单位面积产量,准备把部分旱田改为水田,改完之后,要求旱田占水田的10%,问应把多少公顷旱田改为水田。
8、我部队到某桥头阻击敌人,出发时敌人离桥头24千米,我部队离桥头30千米,我部队急行军速度是敌人的1.5倍,结果比敌人提前48分钟到达,求我部队的速度。
9、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度。
10、某中学到离学校15千米的某地旅游,先遣队和大队同时出发,行进速度是大队的1.2倍,以便提前半小时到达目的地做准备工作。
求先遣队和大队的速度各是多少?11、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨,已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同,问现在平均每天采煤多少吨。
12、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务,由于情况发生了变化,急行军速度必需是原计划的1.5倍,才能按要求提前2小时到达,求急行军的速度。
13、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售,为了不亏本,降价幅度不得超过d%,请用p表示d。
14、某人沿一条河顺流游泳l米,然后逆流游回出发点,设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。
(1)小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳,她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。
(2)志勇是小芳的邻居,也喜欢在该河中游泳,他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了2.5min,假设当时水流的速度是0.015m/s,而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s,那么出发点与柳树间的距离大约是多少?15、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用8万元购进这种衬衫,面市后果然供不应求,商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了4元,商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元,最后剩下的150件按八折销售,很快售完,在这两笔生意中,商厦共赢利多少元。
16、一个批发兼零售的文具店规定:凡一次购买铅笔300枝以上,(不包括300枝),可以按批发价付款,购买300枝以下,(包括300枝)只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔,如果给八年级学生每人购买1枝,那么只能按零售价付款,需用120元,如果购买60枝,那么可以按批发价付款,同样需要120元,(3)这个八年级的学生总数在什么范围内?(4)若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同,那么这个学校八年级学生有多少人?17、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。
已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款为5000元,第二次捐款人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额相等,如果设第一次捐款人数X 人,那么X应满足怎样的方程?18、一个正多边形的每个内角都是172度,求它的边数N应满足的分式方程。
19、退耕还林还草是我国西部地区实施的一项重要生态工程,某地规划退耕面积69000公顷,退耕还林与退耕还草的面积比是5:3,设退耕还林的面积是X公顷,那么应满足的分式方程是什么?20、某运输公司需要装运一批货物,由于机械设备没有到位,只好先用人工装运,6小时后完成一半,后来机械装运和人工同时进行,1小时完成了后一半,如果设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务,那么应满足的方程是什么?21、某市为治理污水,需要铺设一段全长3000米的污水输送管道,为了尽量减少施工对城市交通造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成了任务,实际每天铺设多长管道?22、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查,结果甲厂有48件合格产品,乙厂有45件合格产品,甲厂的合格率乙厂高5%,求甲厂的合格率?23、某单位将沿街的一部分房屋出租,每年房屋的租金第二年比第一年要多500元,所有房屋的租金第一年为9。
6万元,第二年为10.。
2万元,(1)你能找出这一情景中的等量关系吗?(2)根据这一情景你能提出那些问题?(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?24、某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方水费上涨1/3,小利家去年12月的水费是15元,而今年7月份的水费则是30元,已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民的用水的价格。
25、小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种科普书,又用15元买了一种文学书,科普书的价格比文学书的价格高出一半,因此他们买的文学书比科普书多一本,这种科普和文学书的价格各是多少?26、甲种原料和乙种原料的单价比是2:3,将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后,单价为9元,求甲的单价。
27、某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%,求这种服装的成本价。
28、某商店甲种糖果的单价为每千克20元,乙种糖果的单价为每千克16元,为了促销,现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售,如果将混合后的糖果单价定为每千克17。
5元,那么混合销售与分开销售的销售额相同,这包甲糖果有多少千克?29、甲乙两地相距360千米,新修的高叔公路开通后,在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%,而从甲到乙的时间缩短了2小时,求原来的平均速度30、八年级(1)班学生周末乘汽车到游览区游览,游览区到学校120千米,一部分学生乘慢车先行,出发1小时后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达,已知快车速度是慢车的1。