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2.3矩阵级数与方阵的幂级数ljg

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矩阵级数

矩阵级数

Department of Mathematics
c di 1 kdi 1 ki

c1 k1 ki ik
di di
所以


ck Ak ck (PJ k P1)
k 0
k 0

= P( ck J k )P1
k 0


= Pdiag(
，则它们按项
与B(k) k 0
相乘所得的矩阵级数
A(0) B(0) ( A(0) B(1) A(1) B(0) ) ( A(0) B(k)
也绝对收敛，且其和为AB
证明：只证4.及5.
均绝对收敛
A(k) B(0) )
4.因
A(k) A，记 S (n)
Department of Mathematics
其中
i

J
i
(i
)


1
i

(i 1, 2, , r) 1

i di di
于是
Ak

Pdiag( J1k
(1),
J
k 2
(2 ),
,
J
k r
(r
))
P
1
ik
J
k i
(i
)



c1 k1 ki ik
sA( k )(
n)
1
2k
a1
(1


q4kn
)



0
1 q11
(k 11)(2k
1 22) 3

1 34

矩阵级数与矩阵函数

矩阵级数与矩阵函数

{ A } 收敛于 A, 记为
(k )
lim A( k ) = A 或 A( k ) → A
k →∝ k →∝
不收敛的矩阵序列则称为发散的，其中又分为有界和无界的情况。 对于矩阵序列 A
(k ) aij <M
{ } ，若存在常数 M > 0 ，使得对一切 k 都有
(k )
则称 A
{ } 为有界的。
(k )
k =1
N
{S } 收敛,且有极限 S , 则称该矩阵级数收敛,且有和 S . 记为
S = ∑ A(k )
k =1 ∞
不收敛的矩阵级数称为是发散的。
6
若矩阵级数 对收敛。
∑A
k =1
∝
(k )
的所有元素
∑a
k =1
∝
(k ) ij
均绝对收敛,则称该级数为绝
2. 绝对收敛矩阵级数的性质 (1) 绝对收敛矩阵级数一定收敛，且任意调换它的项所得的级数仍收
k 0 k =0 k
∝
I ) 是绝对收敛的。 反之, 若 A 存
在落在 ϕ ( z ) 的收敛圆外的特征值, 则 ϕ ( A) 是发散的。 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵 A , ϕ ( A) 均收 敛。
11
四、 矩阵函数 如: e , sin A , cos A 以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)
三、 方阵的幂级数
A 为方阵 ,
Neumann 级数。
∑ c A ,( A
k =0 k
∝
= I ) 称为 A 的幂级数 .
∑A
k =0
∝
k
称为 A 的
1. Neumann 级数收敛的充要条件 [定理] Neumann 级数收敛的充要条件是 A 为收敛矩阵,且在收敛时其和 为 ( I − A) 。 证明: [必要性]

矩阵幂级数及其收敛性

矩阵幂级数及其收敛性

而lim（ ）（ ）=（ ）lim （ ）=
故 = lim （ ）=（ ）1。
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M ].北京:高等教育出版社,2003. [2] 北京大学数学系.高等代数(第三版)[M ].北京:高等教育出版社,2003. [3] 黄有度,朱士信.矩阵理论及其应用[ M].合肥:合肥工业大学出版社,2005.
然后再计算剩下三个属性字段，得到的结果是剩下三个字段，
政治面貌的信息增益大于其余两个，因此作为剩下两个属性
的根节点，然后依次类推，形成的决策树如下所示：
通过上面决策树分析，我们可以得出如下结论：（1）最学 生成绩影响最大的因素是出勤率，出勤率不高的学生成绩不 好； （2）性别、生源地对学生成绩没有太大影响，还没有政治面 貌的影响大。因此，学生如果想提高学习成绩，应该做到不缺 课、不旷课，教师在教学过程中，对待男女生、城市乡村学生一 视同仁。
ints，Da ta Mining and Know ledge Discover y,2003.2:187-214. [6] J．Han，J．pei and Y．Yin．M ining Frequent patter ns without c andidate enera-
teion I n pr oc，2000 ACM—SIGMOD I nt Conf M anagement of Data [C]. 2000.5:I-I .
发散。
=0
证明：若 有 个互相不相同的特征值 1, 2, … ，则存在可
逆矩阵 ，使得
其中 于是
这样，矩阵序列{ （ ）}收敛当且仅当每个矩阵块序列 （ ） 收敛，而
其中 （ ），表示在 = 处的 阶导数， 是约当块 的阶 数。

2.3矩阵级数与方阵的幂级数ljg

2.3矩阵级数与方阵的幂级数ljg
若 lim S
N →∞ N
=S
∞ k =1
(收敛 则称级数∑ A 收敛 收敛), 收敛, 收敛
k =1 k ∞ k k =1 k
Hale Waihona Puke ∞S 为级数 ∑ A 的和 记作 ∑ A = S . 的和,
发散, 若 { S }发散 则称 ∑ A 发散 发散.
∞
n k =1 k
收敛, 定理 A ∈ C , ∑ A 收敛
矩阵级数是绝对收敛 绝对收敛的 称 ∑ A 矩阵级数是绝对收敛的. 性质1 A ∈ C , ∑ A 绝对收敛
m× n k
k =1 k ∞
收敛. ⇒ ∑ Ak 收敛.
k =1
∞
性质2
⇔
Ak ∈ C
n× n
方阵, 方阵 ∑ A 绝对收敛
k =1 k
∞ k =1 k
∞
对任意方阵范数 || ⋅ || , 有∑ || A ||收敛. 收敛
∞ k k =0 k 0
则当 ρ ( A − λ E ) < R 时,
0
绝对收敛; ck ( A − λ0 E )k 绝对收敛 ∑
k =0
∞
发散. 当 ρ ( A − λ E ) < R 时, ∑ c ( A − λ E ) 发散
k
0
∞
k =0
k
0
推论2 推论 若 ∑ c z 收敛半径为 +∞ , 则对任意方阵 A ,有 有
n×n n× n k
∑c A
k =0 k
∞
k
称为方阵的幂级数 . 称为方阵的幂级数
2. 方阵的幂级数的收敛性
定理: 定理 设复数项级数(幂级数 幂级数) 设复数项级数 幂级数 ∑ c z 的收敛半

矩阵分析课件-第六章

矩阵分析课件-第六章

cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0

高数同济六版课件D123幂级数

高数同济六版课件D123幂级数
麦克劳林级数
当$x_0=0$时，泰勒级数称为麦克劳林级数，形如 $sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。
几何级数
形如$sum_{n=0}^{infty} a cdot q^n$的级数称为几何级数，当 $|q|<1$时收敛于$frac{a}{1-q}$。
泰勒级数应用
泰勒级数在数学、物理和 工程等领域有广泛应用， 如求解微分方程、计算函 数的近似值等。
麦克劳林级数展开式
麦克劳林级数定义
01
麦克劳林级数是泰勒级数在展开点为零时的特例，也称为麦克
劳林展开式。
麦克劳林级数展开条件
02
与泰勒级数展开条件相同，需要函数在零点附近具有任意阶导
数，并且这些导数在零点处取值有限。
实际应用举例
计算圆周率
求解微分方程
利用泰勒级数或麦克劳林级数展开式，可 以计算出圆周率的近似值。
幂级数方法可以用于求解微分方程，通过 将微分方程转化为幂级数形式，可以方便 地求解出微分方程的解。
信号处理
其他领域
在信号处理中，幂级数方法可以用于信号 的滤波、压缩和重构等操作。
幂级数方法还广泛应用于计算机图形学、金 融数学、统计学等其他领域。
1 2 3
积分变换求解微分方程原理
通过积分变换将微分方程转化为代数方程进行求 解。
幂级数在积分变换中作用
利用幂级数的展开式，可以将复杂的函数进行简 化处理，从而更容易地应用积分变换求解微分方 程。
实际应用举例
例如，在求解热传导方程、波动方程等物理问题 时，可以利用幂级数和积分变换相结合的方法进 行有效求解。
x_0)^n$，其中$a_n$是常数，$x_0$是给定实数。

矩阵幂级数的收敛性质和应用

矩阵幂级数的收敛性质和应用孙延彬【摘要】根据矩阵幂级数的定义和数学分析中幂级数的收敛性质,运用类比的推理方法,在已知知识的基础上,验证并总结了矩阵幂级数的部分相应的收敛性质.【期刊名称】《和田师范专科学校学报》【年(卷),期】2010(029)003【总页数】4页(P198-201)【关键词】矩阵幂级数;范数;收敛性质【作者】孙延彬【作者单位】平顶山学院团委,河南平顶山,467000【正文语种】中文作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容；作为一种基本的工具，矩阵理论在数学以及其他科学技术领域，如数值分析、最优化理论、概率论、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有着重要的应用。

其中矩阵级数以及矩阵幂级数在建立矩阵函数和解决微分方程的许多问题时，也有着重要的应用。

目前有很多关于矩阵、幂级数以及矩阵幂级数的研究：曹玉平发表过《矩阵幂级数绝对收敛性的判定》，林金火发表过《矩阵幂级数的收敛性质》等，这篇文章从矩阵序列的收敛性质来讨论矩阵级数以及矩阵幂级数的收敛性质，主要分四个部分：范数的定义和有关性质、矩阵序列的定义和收敛性质、矩阵幂级数的收敛性质和应用。

定义 1.1 设V是数域F（一般为实数域R或复数域C）上的线性空间，用表示按某个法则确定的与向量x对应的实数，且满足：（1）非负性：当当且仅当（2）齐次性：为任意数；（3）三角不等式：对于V中任何向量x, y都有则称实数是向量x的范数。

定义1.2 设向量对任意数称xp−量为向量的范数。

常用的范数有下述三种：（1）1-范数（2）2-范数也称为欧氏范数；（3）∞-范数定义1.3 设V是n维线性空间，和为任意两种向量范数（不限于p−范数），则总存在正数对V中所有向量x∈V，总有则称这两种向量范数是等价的。

定义1.4 对于任何一个矩阵A ∈ Cm×n，用表示按照某个法则确定的与矩阵A对应的实数，且满足：（1）非负性：当时，；当且仅当时，（2）齐次性：k为任意复数；（3）三角不等式：对于任意两个同类型矩阵A, B都有（4）矩阵乘法相容性：若A与B可乘，有则称对于A的这个实数是矩阵A的矩阵范数。

附录-矩阵序列与级数

det I B
1
2
8 2 1 16 ( 5)( 3) 0 1
1 5 2 ( A) 。 1 ( A) ， 2 6
lim Ak 0
k
得 1 ( B) 5， 2 ( B) 3，进而得
5 ( A) 1 于是， 6
0 q 1
A k 0 根据定理1 即知 lim A k 0。 于是，lim k k
推论
设 A∈Cn×n， lim A k 0 的充分必要条件是
k
存在Cn×n上的某种范数 ，使得 A 1
( A) < 1
lim A k 0
k
A 1
判断一个矩阵序列是否收敛到零矩阵：
证 必要性 由定理1知 lim A k 0 的充分必要条件是对任意
A k 0。 因此对充分大的k, 必有 Ak 1 一种矩阵范数 均有lim k
k
k
因此得
(A)
k
(Ak ) Ak 1
利用矩阵谱半径的定义以及相容矩阵范数的性质有：
( A) < 1
Ak
其中 det Aij( k ) ( n 1)( n 1)
(k ) (k ) det( A ) det( A 12 22 ) det( A( k ) ) det( A( k ) ) 1n 2n i, j 1, 2, , n 为Ak的第ij个代数余子式。
mn 推论 设A k A C ， ，并且 k 1
lim A k A
k
Ak A 则 klim
此结论只是充分条件，反过来不一定成立。 给定矩阵序列 Ak 1

矩阵幂级数word版

§4. 矩阵的幂级数在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。

一、矩阵级数1.Df 1.：若给定n n C ⨯中的一方阵序列， ,,,10m A A A 则和式+++++m A A A A 210)1(称为方阵级数，记为∑∞=0m m A 。

其中m A 为通项，m —求和变量。

∑==+++=Nm mN N A A A A S 010 称为（1）的前N 项部分和序列（矩阵序列）若S S N →}{，则称（1）收敛，且其和为S说明：若记ij m A )( 表示的 m A 第i 行第j 列位置上的元素，根据定义1显然有，∑∞=0m mA 收敛2n ⇔个数项级数∑∞==0),,2,1,()(m ijm n j i A收敛。

Df 2.若2n 个数项级数∑∞=0)(m ij m A 绝对收敛，则称∑∞=0m m A 绝对收敛。

2.收敛方阵级数的性质：①若方阵级数∑∞=0m m A 绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。

②方阵级数∑∞=0m m A 收敛⇔对任一方阵范数⋅，正项级数∑∞=0m mA 收敛。

下面研究矩阵（方阵）幂级数 二、矩阵幂级数Df 1.设nn C A ⨯∈，称∑∞=0m m m A c 为矩阵A 的幂级数，其中}{m c 为一复数序列，称∑==N m mm N A c S 0为幂级数∑∞=0m m m A c 的部分和，若S S NN =∞→lim ，称∑∞=0m mm A c 收敛于S ，并称S 为幂级数∑∞=0m m m A c 的和矩阵。

注：若令m m m A A c =，则矩阵幂级数→矩阵级数的形式。

因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。

即：Th 1.矩阵幂级数∑∞=0m mm A c 收敛于∑∞===⇔0),2,1,()()(m ijijm m n j i S A c S其中，ij m m A c )(,ij S )(分别表示m m A c 和S 的第i 行，第j 列元素。

第4讲(1)矩阵序列与矩阵级数、矩阵函数


设A为方阵，且当k趋于无穷时，Ak趋于0，则称A为 收敛矩阵. 定理2：A是收敛矩阵的充要条件是(A)<1.
定理3：A是收敛矩阵的充要条件是存在某种矩阵范 数满足||A||<1.
5
2. 矩阵级数
矩阵级数 A( k ) 收敛到S，是指它的部分和序列
S N A 收敛，且极限为S.
(k ) k 0 N k 0
0 e 2t 0
0 0 1 1 2t te 0 1 0 1 1 1 e 2t
0 1 0 2t e t 1 t t t t 1 t
32
例
设
2 0 0 A 1 1 1 , 1 1 3

阵A满足(A)<r，则矩阵幂级数 ck A 绝对收敛；
k
k 0

若(A)>r，则矩阵幂级数发散.
k 0
10
3. H 矩阵
引理 1：设 r 阶方阵 H 为
0 1 H 1 0 则当 k r 时, H k O, 当 k r 时,
1 2!
f (i )
1 ( r 1 )!
f ( r 1 ) ( i ) 1 2! f ( i ) f ( i ) f (i )
15
1 k 1 J ik (i E H )k ik E Ck i H Ckk 1i H k 1 H k
22
矩阵函数的性质
性质：设A, B为 n 阶方阵，则 d At (1) e e At A dt
( 2) (e A )1 e A
23
e
At
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k →∞ k
⇔ lim S N 存在 存在. N →∞
注
∑ A 收敛 ⇒ lim A = O .
(级数收敛的必要条件 级数收敛的必要条件) 级数收敛的必要条件
定义
∞ k =1 k
A = (a )
(k) k ij
m×n
, 若 ∑| a
k =1
∞
(k ) ij
i = 1, 2,L , m | 收敛 收敛, j = 1, 2,L , n
∞ k
n×n
k =0
k
ρ ( A) , 则
①当 ρ ( A) > R 时, 方阵幂级数∑ ck Ak发散 发散; k =0 ∞ 方阵幂级数 ∑0 ck Ak ②当 ρ ( A) < R 时, k=
=
∞
Hale Waihona Puke 收敛于和 f ( A) .
推论1 复数项级数 ∑ c ( z − λ ) , 收敛半径为 R .
矩阵级数是绝对收敛 绝对收敛的 称 ∑ A 矩阵级数是绝对收敛的. 性质1 A ∈ C , ∑ A 绝对收敛
m× n k
k =1 k ∞
收敛. ⇒ ∑ Ak 收敛.
k =1
∞
性质2
⇔
Ak ∈ C
n× n
方阵, 方阵 ∑ A 绝对收敛
k =1 k
∞ k =1 k
∞
对任意方阵范数 || ⋅ || , 有∑ || A ||收敛. 收敛
k N
lim RN = P (lim S N )Q N →∞ N →∞
)
方阵, 性质4 A 方阵 ∑ A 绝对收敛
k
k =1 k
∞
⇒ ∑ PA Q 绝对收敛
k =1 k
∞
( 由 || PA Q ||≤|| P || ⋅ || A || Q 及性质2易知 易知)
k k
二、方阵的幂级数
1 定义 A ∈ C , c ∈ C
k k =0 k ∞
收敛. ∑ c A 收敛
k k =0 k
∞
例 设 解
0.2 0.1 0.2 A = 0.5 0.5 0.4 0.1 0.3 0.2
∞ k k =0
Ak 讨论 ∑
k =0
∞
收敛性. 收敛性
的收敛半径为1, Q ∑ z 的收敛半径为
又 Q ρ ( A) ≤|| A || = 0.9 < 1
n×n n× n k
∑c A
k =0 k
∞
k
称为方阵的幂级数 . 称为方阵的幂级数
2. 方阵的幂级数的收敛性
定理: 定理 设复数项级数(幂级数 幂级数) 设复数项级数 幂级数 ∑ c z 的收敛半
∞ k k =0 k
径为 R ,和函数 f ( z ) = ∑ c z , A ∈ C 的谱半径为 和函数
收敛) 性质3 A ∈ C ,方阵 ∑ A = S(收敛 P , Q ∈ C 收敛
n×n k
k =1 k
∞
n× n
⇒ ∑ ( PA Q )=P ( ∑ A )Q = PSQ
k =1 k k =1 k
∞
∞
(收敛 收敛). 收敛
( 考虑
S =∑A
N k =1 N N k =1
N
k
R = ∑ ( PA Q ) = PS Q
m× n k k =1 k
∞
⇔ lim S
N →∞
N
存在
⇔ ∑ Ak 收敛于零矩阵 ( N → ∞ ) k=N
∞
证明: 证明
⇔ ∑ aij k =1
∞
设 A = (a ) ∑ A = ( ∑ a ) 收敛
(k) k ij m× n
∞
∞
(k )
k =1
k
k =1
ij
m× n
(k)
收敛
∞ k =1 k
i = 1, 2,L , m j = 1, 2,L , n
∞ k k =0 k 0
则当 ρ ( A − λ E ) < R 时,
0
绝对收敛; ck ( A − λ0 E )k 绝对收敛 ∑
k =0
∞
发散. 当 ρ ( A − λ E ) < R 时, ∑ c ( A − λ E ) 发散
k
0
∞
k =0
k
0
推论2 推论 若 ∑ c z 收敛半径为 +∞ , 则对任意方阵 A ,有 有
若 lim S
N →∞ N
=S
∞ k =1
(收敛 则称级数∑ A 收敛 收敛), 收敛, 收敛
k =1 k ∞ k k =1 k
∞
S 为级数 ∑ A 的和 记作 ∑ A = S . 的和,
发散, 若 { S }发散 则称 ∑ A 发散 发散.
∞
n k =1 k
收敛, 定理 A ∈ C , ∑ A 收敛
1
收敛. 故∑ A 收敛
k k =0
∞
§3. 矩阵级数与方阵的幂级数
一、矩阵级数及其性质
二、方阵的幂级数
一、矩阵级数与其性质
定义 A ∈ C , k = 1, 2,L ,称 ∑ A 为矩阵 称
m× n k
∞
k =1
k
级数. 级数 记
N
S N = ∑ Ak , N = 1,2,L k =1
∞ k =1 k
N
{ S }：∑ A 的部分和序列 部分和序列.