三重积分的概念及直角坐标系下的计算教学内容

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数学分析中的三重积分

Yunnan University
§2. 三重积分的计算 z
三重积分化为三次积分的过程：三重积分化为三次积分的过程：
(1) Ω向 xoy 面上投影，得到 D。面上投影， (2) D向 x 轴投影，得到轴投影， a ≤ x ≤ b, D: y1( x) ≤ y ≤ y2( x).
z2 z1
∫c
∫x1( y) ∫z1( x, y)
§2. 三重积分的计算
(1) Ω向 yoz 面上投影，得到Dyz。面上投影， (2) Dyz向 y 轴投影，得到轴投影，
z1( y) ≤ z ≤ z1( y), D: a ≤ y ≤ b.
x
x2
x1 Ω
(3) 过点( y, z) ∈ Dyz 作直线,
z
1
过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴的直线, 得到
x
1
o D
1 2
y
0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y.
于是，于是，
Yunnan University
∫∫∫ x dxdydz = ∫0 dx∫0
1
Ω
1− x 1− x−2 y 2 dy xdz
∫0
§2. 三重积分的计算
过点( x, y) ∈ D 作平行与 z 轴的直线, 得到
Ω
b
y2 ( x)
z2 ( x, y)
f ( x, y, z)dz.
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域 Ω 的边界曲面 S 相交不多于两点情形．相交不多于两点情形．
(2) 若平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与相交多于两点时，闭区域Ω 的边界曲面 S 相交多于两点时，把． Ω分若干个小区域来讨论

16重积分——直角坐标系下三重积分的计算

xdx
0 1 0
D xy 1
d
1 x y
xdxdydz
z C (0,0,1)
0
1 x
xdz
1 x y 0
0 1 x
dy
dz
o x A (1,0,0) y
1
B(0,1,0) y
xdx
0
(1 x y )dy
1 1 1 2 , x(1 x ) dx 24 2 0 ( x y z )dv 3 xdv
z
解 (1) 及在zox面上的投影如下图
o
x
H
y
o
Dzx
R x
10
z
R
z o
H
x
y
H
o
Dzx
R x
f ( x , y , z )dv (
D zx
0
f ( x , y, z ) dy)d
dz
R
R
R2 z2
2 2
R z
dx
H 0
H
0
f ( x , y , z )dy
2

2 2 y z x 2 1所围成的空间闭区域。 2 2 a b c 2
解
z c z Dz
Dz
20
f ( x, y, z )dv
c2
c1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
z
Dz

上式的适用范围： ①Dz简单（圆、椭圆、长方形等）
o ② f (x,y,z)在Dz上对x、y的二重积分简单， x 特别当f (x,y,z)只是 z 的函数：f (x,y,z)=(z),

三重积分

21
I f ( x , y , z )dxdydz

c2 z
z
Dz
其中 {( x , y , z ) | c1 z c2 , ( x , y ) Dz }

先做二重积分，后做定积分
I=

c2
c1
dz f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
x 2016年10月27日星期四
2
1
8 . 2016年10月27日星期
四
20
（2）“先二后一” 计算方法
I f ( x , y , z )dxdydz

c2
z
其中 {( x , y , z ) | c1 z c2 , ( x , y ) Dz }

z
Dz
先做二重积分，后做定积分
c1
0 y
x 2016年10月27日星期四
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
6
2
y
x 27日星期 2016年10月 6 四
11
1. 化 I f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分，：平面 y = 0, z = 0， 3x+y = 6, 3x+2y = 12 和 x+y+z = 6 所围成的区域
6 z
x+y+z=6
y2=x
y=0 o
D

0
2
x
I dxdy
z=0
2
2016年10月27x 日星期四

D
π x 2 0

三重积分及其计算

三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。

它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。

一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。

三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。

二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。

1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。

将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。

2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。

即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。

常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。

具体的变换公式可参考相关数学教材。

三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用。

1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。

三重积分在直角系下的计算

1
例2
化三重积分 I
2
f ( x , y , z )dxdydz 为三

次积分，其中积分区域
为由曲面 z x y , y x 2 , y 1, z 0 所围
成的空间闭区域. 如图，
2

y
解
: 0 z x2 y2 ,
x 2 y 1, 1 x 1.
三重积分的性质（三重积分与二重积分有类似的性质）性质１当k为常数时，
kf ( x, y, z )d k f ( x, y, z )d。

性质２ [ f ( x, y, z ) g ( x, y, z )]d

f ( x, y，z )d g ( x, y, z )d。

D yz
1

d z2 ( y ) x2 ( y , z ) dy z ( y ) dz x ( y ,z ) f c 1 1

( x, y, z )dx ( x, y, z )dx

对于ZX型区域，则有 y2 ( x , z ) f ( x, y, z )d [ y ( x ,z ) f ( x, y, z )dy]d
这种区域的特点是：通过 y
x x1 ( y, z )
x x2 ( y , z )
D yz内任一点且平行于 x轴
.
D yz

的直线与曲面 x x1 ( y, z ) 和x x2 ( y, z )各只有一个
交点。
o
x
z
由母线平行于 y轴的柱面及曲面 3) ZX型区域： y y1 ( x, z ), y y2 ( x, z )( y1 ( x, z ) y2 ( x, z ))所围成的区域，称为ZX型区域。

10-5 三重积分的概念与性质 (1)

x
y
Dxy : x 2 y2 4.
zdv

2
2 1 2 64 4 d (16 )d . 0 2 0 3
0
d d 2 zdz
0
2
4

12
(2)当 f ( x , y, z ) 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即三重积分必存在.
(3)三重积分与二重积分有类似的性质。 (4)三重积分的物理意义：如果被积函数表示空间物体的体密度，则三重积分表示物体的质量。
4
三重积分的直角坐标形式
z
已知三重积分存在的前提下在直角坐标系下用平行于三个坐标面的三组平面来划分区域 Ω，则典型小区域是长方体，
第十章重积分
第三节三重积分的概念
1
一、三重积分的概念
定义设 f ( x , y, z ) 是空间有界闭区域上的有界，函数，将任意分成 n 个小闭区域 v1 ， v2 , 上任取一点 (i ,i , i ) ，作乘积 f (i ,i , i ) v i ，并作和
在每个 vi vn ， v i 也表示第 i 个小闭区域的体积，
( i 1,2,, n) ，
f ( , , )v ，
i 1 i i i i
2
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在闭区域上的三重积分，记为
o
x
v
x
z
y
y
则体积元素为 dv xyz dxdydz
故三重积分可写为
f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dxdydz.

人大微积分课件9-3三重积分的概念及其直角坐标计算法

x
1
1 2
y
x
o
1

xdxdydz
z
1 z

1
dx
0

2 0
x ( 1 x 2 y ) dy
1

1 4

1 0
x ( 1 x ) dx
2
1
o
y
48
x
1 2
1
截面法的一般步骤： (1 ) 把积分区域向某轴（例如 z 轴）投影，得投影区间 [c1 , c 2 ] ；
1
z c
2 2
}
o
y
原式

c c
z dz
2
dxdy
Dz
x
,
D z {( x , y ) |
x a
2
2 2

y b
z c
2 2
1
z c
2 2
}
2 2

dxdy
Dz

a (1
)
b (1
2
z c
2 2
)
ab ( 1
z c
2
2 2
),
2
原式
c ab ( 1 c 2 ) z
D

[
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z ) dz ]d .
D : y 1 ( x ) y y 2 ( x ),
a x b,
z2 ( x , y )
1
得

f ( x , y , z ) dv

三重积分的概念及直角坐标系下的计算

∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫
Ω
d
c
dz ∫
f
y2 ( z )
y1 ( z )
dy ∫
x2 ( y , z )
x1 ( y , z )
f ( x, y, z )dx.
将积分域Ω投影到xo 平面，将积分域Ω投影到xo z平面，可以得到
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫
Ω
e
例 5 计算三重积分 ∫∫∫ y 1 − x 2 dxdydz ，其中 Ω 由曲面 y = − 1 − x 2 − z 2 ， x 2 + z 2 = 1， y = 1所围成. 围成
Ω
解如图, 将如图, Ω 投影到 zox 平面得
D xz： x + z ≤ 1
2 2
积分，先对 y 积分，再求 D xz 上二重积分,
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz= lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi . λ→0 i =1
Ω
n
其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素.
二、在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
闭区域 Ω 在 xoy 如图，如图，面上的投影为闭区域 D, S1 : z = z1 ( x , y ), S 2 : z = z2 ( x , y ),
∵ D : y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ),
a ≤ x ≤ b, 得
∫∫∫ f ( x , y, z )dv Ω
=
∫a dx ∫y ( x ) dy ∫z ( x , y )
1 1
b

6.3.1 直角坐标系下三重积分的计算

0
x
z2 − x2
2 2
− z −x
x = −z
D xz
x=z
1
1
z2 − x2
− z2 − x2
f ( x , y , z )dy
o
x
11
例 2．计算三重积分 ∫∫∫ xdxdydz ，其中 Ω 为三个坐标
Ω
平面及平面 x + 2 y + z = 1 所围成的闭区域。
解： Ω 在 xoy 面上的投影区域为
所围成的空间闭区域。
o
y
x
说明：被积函数中缺变量 x 和 y，用平行于 xoy 平面。去截 Ω ，其截面是椭圆。故用“先二后一法”
15
x2 y2 z2 解： Ω = {( x , y , z ) 2 + 2 ≤ 1 − 2 , − c ≤ z ≤ c } ， a b c
2 z dxdydz = z ∫∫∫ ∫ dz ∫∫ dxdy , 2 Ω −c D( z ) c
2．若平行于坐标轴的直线与 S 的交点多于两个，则可把 Ω 分成几块处理。
8
例 1．把三重积分 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz 化为各种次序
Ω
的三次积分，其中 Ω 是由平面 z = 1 及锥面 z =
z
x 2 + y 2 所围成的立体。
z =1
解：①先对 z 积分。
D xy ： x 2 + y 2 ≤ 1 。
2
记作
即
∫∫∫ f ( x , y, z )dv ，
Ω
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f（ζ
Ω d →0 i =1
n

(完整版)10.3三重积分(新)

0
8
dz
2
2
d
0
4 r 2 rdr
2
8
r2 dz
2
336
另解2
8
I dz
( x2 y2 )dxdy
2
Dz
8
2
dz d
2z r 3dr
2
0
0
336 24
4、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数
r，，来确定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离，为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角，为从正 z 轴来看自x 轴按逆时
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
例1. 计算三重积分 (x2 y2 z2) d xd yd z ,其中为
锥面 z x 2 y 2 与球面 x2 y 2 z 2 R2 所围立体.
0rR
解:
在球面坐标下
:
0
0
4
b
(
( y2 ( x)
z2( x, y) f ( x, y, z)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1( x)
z1( x, y)
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z 其中为 z
针方向转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M 在 xoy 面上的投
影，这样的三个数r，，就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2.

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将积分域 Ω 投影z到平y面 o ，可以得到积三
分的计算公式
f(x ,y ,z)d vddy 2 z (z)dx 2 y (y ,z)f(x ,y ,z)d.x
c y 1 (z) x 1 (y ,z)
将积分域Ω投影 z平到面xo，可以得到
f(x ,y ,z)d vfdz2 x (x )dy 2 z (x ,z)f(x ,y ,z)d. e z1 (x ) y 1 (x ,z)
原式
1x2d
1
xdz
ydy
1x2z2
Dxz
1
1x2
dx
1x2x2z2dz
1 1x2
2
111x2(x2zz3 3)|1 1 x2 x2dx
11(1x22x4)dx 28 .
13
45
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）在直角坐标系下的体积元素
dvdxdydz
截面法的一般步骤：
(1)把积分区域向某轴（例如z 轴）投影，得投
影区间[c1,c2]；
(2) 对z[c1,c2]用过z轴且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz;
(3)计算二重积分 f (x, y, z)dxdy z
Dz
其结果为z 的函数F(z)；
(4)最后计算单积分 c2 F(z)dz即得三重积分值. c1
例2 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
次积分，其中积分区域
为由曲面z x2 y2, y x2, y 1, z 0所围
成的空间闭区域. 如图，
解 :0zx2y2,
x2y1, 1x1.
1 1 x 2 y 2
I 1 d x 2 d x 0yf( x ,y ,z ) d)dxd为 y三 dz
次积分，其中积分区域为由曲面zx22y2 及z2x2所围成的闭区域.
解由zzx222x2y2,
得交线投影区域
x2y21,
1 x1
故： 1 x2 y 1 x2,
x2 2y2 z 2 x2
1
1 x 2
2 x 2
Idx dy f(x ,y,z)d.z 1 1 x 2 x 2 2y2
b dx y2(x)dz y 2(x,y)f(x ,y,z)d.z a y1(x) z1(x,y)
注意这是平z行轴于且穿过闭内区部域的直线与闭的区边域界S曲相面交不多于两点情形．
在类似的条件下，将还积可分域投影到其
坐标面上，分别得应到的相计算公式，例
作乘积 f ( i , i , i ) vi ，( i 1,2, , n ) ，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y, z)在闭区域上的三重积分，记为
f ( x , y, z )dv ,
n
即 f(x ,y ,z ) d l v 0 ii 1 m f(i,i,i) v i.
例 3 计算三重积分 zdxdydz ，其中为三个
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
1
解
zdxdydz 0 zdzdxdy,
z
1
Dz
D z {x ,( y ) |x y 1 z }
1
o
Dzdxdy2(1z)(1z)
1
x
原式 1z1(1z)2d z1.
02
24
y
1
例 4 计算三重积分 z2dxdydz，其中是
由椭球面 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
解 : {(x,y,z)|czc, ax22by221cz22}
z
Dz
o
y
原式 cz2dz dxdy, c
x
Dz
D z{x (,y)|a x2 2b y2 21c z2 2}
D zdxd ya2(1c z2 2) b2(1c z2 2)
如图，闭区域在 xoy z
zz2(x,y)
面上的投影为闭区D域,
z2 S2
S1: zz1(x,y), S2 : zz2(x,y),
z1 S1
zz1(x,y)
过(点 x,y)D作直 , 线 ao 从z1穿入z， 2穿从出 xb ．
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只，看 z的将作函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
计算 F(x,y)在闭区 D上间的二重积分
F (x ,y )d[z2 (x ,y )f(x ,y ,z)d]d z.
D
Dz 1 (x ,y )
D : y 1 ( x ) y y 2 ( x ) a , x b ,得
f (x, y,z)dv
3.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计算
一、三重积分的概念二、在直角坐标系下计算三重积分
三、小结
一、三重积分的概念
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成n 个小闭区域 v1 ，
v2 , , v n ，其中 v i 表示第i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每个vi 上任取一点( i , i , i )
其中dv叫做体积元. 素
在直角坐标系用中平，行如于果坐标
的平面来,划则分 vi xj yk zl.
三重积记为
n
f(x,y,z)dxdyl id 0m i1 zf(i,i,i)vi.
其中 dxdy叫 dz做直角坐标系积中元的 .素体
二、在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
ab(1cz22),
原式
ccab(1cz22)z2dz
4 abc3. 15
例 5 计算三重积分 y 1 x2dxdydz，其中
由曲面 y 1 x2 z2 ， x2 z2 1， y 1所
围成.
解如图, 将
投影到 zox平面得
Dx： z x2z21
先对 y积分，再求 D xz
上二重积分,