高考数学复习-第十一讲--立体几何之空间距离

高考数学知识点：立体几何记忆口诀考前复习
学好立几并不难，空间想象是关键。

点线面体是一家，共筑立几百花园。

点在线面用属于，线在面内用包含。

四个公理是基础，推证演算巧周旋。

空间之中两条线，平行相交和异面。

线线平行同方向，等角定理进空间。

判定线和面平行，面中找条平行线。

已知线与面平行，过线作面找交线。

要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。

已知面与面平行，线面平行是必然，若与三面都相交，则得两条平行线。

判定线和面垂直，线垂面中两交线。

两线垂直同一面，相互平行共伸展。

两面垂直同一线，一面平行另一面。

要让面与面垂直，面过另面一垂线。

面面垂直成直角，线面垂直记心间。

一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。

空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。

引进向量新工具，计算证明开新篇。

空间建系求坐标，向量运算更简便。

知识创新无止境，学问思辨勇攀登。

多面体和旋转体，上述内容的延续。

扮演载体新角色，位置关系全在里。

算面积来求体积，基本公式是依据。

规则形体用公式，非规形体靠化归。

展开分割好办法，化难为易新天地。

讲透重点难点高中数学立体几何高中数学立体几何的重点和难点主要集中在以下几个方面：1.空间想象力：立体几何要求学生对三维空间有清晰的认识和想象力。

这包括理解点、线、面的位置关系，以及通过平面图形想象出立体图形。

2.截面与投影：理解并掌握各种几何体（如柱体、锥体、球体等）的截面和投影是立体几何的关键。

学生需要了解如何通过平面去截取几何体得到不同的截面图形，以及如何将三维图形投影到二维平面上。

3.空间距离与角度：计算空间中的距离和角度是立体几何的另一个重要内容。

学生需要掌握空间中两点间的距离公式，以及线面角、二面角等角度的计算方法。

4.空间向量：空间向量是解决立体几何问题的重要工具。

学生需要理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算（如加法、减法、数乘、点积、叉积等），并能够应用空间向量解决各种立体几何问题。

5.几何体的表面积与体积：计算几何体的表面积和体积是立体几何的常见题型。

学生需要掌握各种几何体（如柱体、锥体、球体等）的表面积和体积公式，并能够灵活应用这些公式解决问题。

为了突破这些难点，学生可以采取以下策略：1.多做练习：通过大量的练习，加深对立体几何概念和方法的理解，提高解题能力。

2.归纳总结：及时归纳总结所学的知识点和方法，形成自己的知识体系，便于记忆和应用。

3.借助工具：利用图形计算器或计算机软件等工具，辅助进行空间想象和计算，提高解题效率。

4.寻求帮助：遇到难题时，及时向老师或同学请教，共同探讨解决问题的方法。

总之，高中数学立体几何需要学生具备扎实的基础知识和良好的空间想象力，通过不断的练习和总结，逐步掌握解题技巧和方法。

9.9空间距离•知识梳理1•点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离2•直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离 3•两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离 4•两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离 5•借助向量求距离 (1) 点面距离的向量公式平面a 的法向量为n ,点P 是平面a 外一点，点M 为平面a 内任意一点，则点 P 到平 面a 的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即 d=|n MP 1 •l n |(2) 线面、面面距离的向量公式平面a //直线I ,平面a 的法向量为n ，点M €a 、P € l ，平面a 与直线I 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d=|n MP 1 •l n l平面a// 平面a 的法向量为n,点M € a 、P € B,平面a 与平面3的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d= 1 n MP| •l n |(3) 异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线 a 、b 都垂直，M € a 、P € b ，则两异面直线 a 、b 间的距离d 就•点击双基是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d=l n MP Il n l1.ABCD 是边长为2的正方形，以 中点，则异面直线 AE 、BC 的距离为A. .2B. -3BD 为棱把它折成直二面角C.A — BD — C , E 是 CD 的解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求易证CE=1. •••选 D.答案：D2. 在△ ABC 中，AB=15,Z BCA=120。

，若△ ABC 所在平面a 外一点P 至U A、B、C 的距离都是14,则P到a的距离是D・7 A・13 B・11 C・9解析：作PO丄a于点0,连结0A、OB、OC,PA=PB=PC,•OA=OB=OC・2答案：D4.A 、B 是直线I 上的两点，AB=4, 成60°的角，贝U C 、D 两点间的距离是解析：CD=，32 32 42 _32 . 答案：5或' 435.设PA 丄Rt A ABC 所在的平面 a ，/ BAC=90°, PB 、PC 分别与a 成45°和30。

空间几何中的距离公式在空间几何中，距离公式是计算两点之间距离的重要工具。

距离公式不仅广泛应用于数学领域，还在物理学、工程学等各个领域发挥重要作用。

本文将详细介绍空间几何中的距离公式，包括二维空间和三维空间中的情况。

一、二维空间中的距离公式在二维空间中，我们可以使用欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。

假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d表示两点之间的距离。

以一个例子来说明。

假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。

根据公式，我们有：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位长度。

二、三维空间中的距离公式在三维空间中，我们可以使用三维欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。

假设有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)以一个例子来说明。

假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。

根据公式，我们有：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3因此，点A和点B之间的距离为3√3个单位长度。

距离公式在空间几何中有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常需要计算两点之间的距离，比如在导航系统中计算两地之间的距离，或者在建筑工程中计算两个点之间的距离等。

高考数学空间距离怎么考主干知识整合：这块内容历来是高考考查的重点。

同时贯穿着位置关系的判断。

1.两点的距离。

异面直线间的距离。

2.线面间的距离。

面面间的距离 经典真题感悟：1.（湖南卷9）长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2,AD =3,AA 1=1,则顶点A 、B 间的球面距离是( C )A.22πB.2πC.22π D.24π 2．（江苏•理•14题）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45o ，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．3．（湖南•理•8题）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ D ） A ．22B ．1C ．212+D 2热点考点探究：考点一：定义法——直奔问题核心空间距离的概念：图形F 1内的任一点与图形F 2内的任一点间的距离中的最小值叫做图形F 1与图形F 2 的距离.它可以看成是两个点集的元素之间距离的最小值.【题1】 如图（13），正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若ABFECDPNMCM=x ,BN=y,).2,0(<<y x （1）求MN 的长(用x,y 表示)；（2）求MN 长的最小值，该最小值是否是异面直线AC ，BF 之间的距离 【解析】 在面ABCD 中作MP ⊥AB 于P ，连PN ，则MP ⊥面ABEF ，所以MP ⊥PN ，PB=1-AP=x 22在∆PBN 中，由余弦定理得： PN 2=02245cos 2)22(xy y x -++xy y x -+=2221， 在PMN Rt ∆中，MN=xy y x x PN MP -++-=+2222221)221(1222+--+=x xy y x ).2,0(<<y x ；（2）MN 1222+--+=x xy y x =31)322(43)2(22+-+-x xy ， 故当322=x ，32=y 时，MN 有最小值33. 且该最小值是异面直线AC ，BF 之间的距离.考点二：向量法——化证明为计算空间向量要把平面向量的知识迁移过来，加以类比，实际上它们本质上是一样的，只是位置范围扩大了.用向量法解立体几何问题，关键是建立空间直角坐标系，坐标原点O 的任意性，要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点的坐标为正值，三坐标轴一定是相互垂直.夹角公式：设a =(a 1，a 2，a 3)，b =（b 1，b 2，b 3），则cos 〈a ·b 〉232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=距离公式：在空间直角坐标系中，已知A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2）,则212212212)()()(z z y y x x d AB -+-+-=例2. 在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离.【解析】解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 图（14） 则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、 B （3，0，0）、C （3，1，0）、D （0，1，0）、 P （0，0，2）、E （0，21，1）， 从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723||||cos ==⋅=PB AC PB AC θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63.考点三：平移法——集中条件构造图形平移法是将空间问题转化为熟知的平面问题的重要手段之一.立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化.例3已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 【解析】（I ）解：如图（17），作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交 图（16） 于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ， ∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3 ∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 图（17） 即点P 到平面ABCD 的距离为23.（II ）如图（18），取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 图（18） 于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan 23. 考点四：等积法——求点面距的特法等积法包括等面积法和等积法，等面积法可以求出点到直线的距离，等体积法可以用来求点到平面的距离. 等面积法是平面几何中用到的，而等体积法则是立体几何用来求点面距的特法.例4 正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．ABCD1A1C1B【解析】（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． 图（19）ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．Q 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ， AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥， 图（20）1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF =， 又112AG AB ==Q sin 45AG AFG AF ∴===∠． 所以二面角1A A D B --的大小为arcsin4． （Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B ． 设点C 到平面1A BD 的距离为d ． 由11A BCD C A BD V V --=得11133BCD A BD S S d =g △△，12BCD A BD d S ∴==△△． ABCD1A 1C1BOF点C到平面1A BD．【点评】本题中两次用到等积法，第（Ⅱ）用到等面积法，第（Ⅲ）问用到等体积法.规律总结：1、求角与距离的关键是化归：空间角化为平面角，空间距离化为两点间距离，最终化为求三角形中边角；2、向量法在题目中的应用3、等体积法在题目中的应用专题能力训练：一．选择题：1．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于 C 。

模块： 十一、立体几何课题： 1、平面、空间直线教学目标： 知道平面的含义，理解平面的基本性质，会用文字语言、图形语言、集合语方表述平面的基本性质；掌握确定平面的方法，并能运用于确定长方体的简单截面．掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系，并能用图形、符号和集合语言予以表示．重难点： 平面的基本性质，平行线的传递性，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及其表示方法．一、 知识要点1、平面的基本性质公理1、如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 公理2、如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．公理3、经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．推论2、经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面．公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行．2、空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点． 3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．二、 例题精讲例1、四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC=2∶3，DH ∶HA=2∶3求证：EF 、GH 、BD 交于一点．答案：证明略．例2、已知n 条互相平行的直线123,,,,n l l l l 分别与直线l 相交于点12,,,n A A A ， 求证：123,,,,n l l l l 与l 共面．例3、已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，四条边AB ，BC ，DC ，AD （或其延长线）分别与平面α相交于E ，F ，G ，H 四点，求证：四点E ，F ，G ，H 共线．例4、平面α平面βC =，a α⊂，且//a c ，b β⊂，b c M =，求证：直线a b 、是异面直线．例5、A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．答案：（1）略；（2）45︒例6、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C ．（2）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值．答案：（1）;;b c 22c b bc +；（2）))((2222222c b a b a b a +++-．例7、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ︒∠=，//AD BC ，AB BC a ==，2AD a =，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30︒角．（1） 若AE PD ⊥，E 为垂足，求证：BE PD ⊥；（2） 求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．答案：（1）略；（2）4．三、 课堂练习1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 ．2、在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若EFGH 是正方形，则AC 与BD 满足的条件是 ．答案：垂直且相等．3、已知,a b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则,a b 在α上的射影可能是：（1）两条平行直线；（2）两条互相垂直的直线；（3）同一条直线；（4）一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是 ．答案：（1）（2）（4）4、已知m n 、为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A 、与m n 、都相交B 、与m n 、中至少一条相交C 、与m n 、都不相交D 、至多与m n 、中的一条相交答案：B5、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：（1）AB EF ⊥；（2）AB 与CM 成60︒；（3）EF 与MN 是异面直线；（4）//MN CD ，其中正确的是（ ）A 、（1）（2）B 、（3）（4）C 、（2）（3）D 、（1）（3）答案：D6、与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点（ ）A 、有且只有1个B 、有且只有 2个C 、有且只有3个D 、有无数个 答案：D四、 课后作业一、填空题1、空间中有8个点，其中有3个点在一条直线上，此外再无任何三点共线，由这8个点可以确定 条直线，最多可确定 个平面．答案：26，452、已知PA ⊥平面ABC ，90ACB ︒∠=，且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于 ．答案：2．3、（1）若//,//a b b c ，则//a c ；（2）若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥；（3）若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；（4）若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 也异面．上面的四个命题中，正确命题的题号是 ．答案：（1）4、已知平面//αβ，A C α∈、，B D β∈、，直线AB 与CD 交于S ，且AS=8，BS=9，CD=34，则CS= ．答案：16或2725、以下命题：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线是异面直线；（3）过直线外一点作该直线的垂线是唯一的；（4）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．则其中正确的命题的题号是 ．答案：（1）（4）6、对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 ．（1）相对棱、AB 与CD 所在的直线异面；（2）由顶点A 作四面体的高，其垂足是BDC ∆的三条高线上的交点；（3）若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；（4）分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；（5）最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．答案：（1）（4）（5）二、选择题7、正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，则这个棱柱的侧面对角线1E D 与1BC 所成的角是（ ）A 、90︒B 、60︒C 、45︒D 、30︒ 答案：B8、已知直线a 和平面αβ、，l αβ=，a α⊄，a β⊄，a 在αβ、内的射影分别为直线b 和c ，则b c 、的位置关系是（ ）A 、相交与平行B 、相交或异面C 、平行或异面D 、相交、平行或异面答案：D9、空间中有五个点，其中有四个点在同一个平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：D三、解答题10、正方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与平面1BDC 交于点O ，AC BD 、交于点M ，求证：点1C O M 、、共线．11、如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，如PQ 、CB 的延长线交于点M ，RQ 、DB 的延长线交于点N ，RP 、DC 的延长线相交于点K ．求证：M 、N 、K 三点共线．11、长方体1111ABCD A B C D -中，12,,AB BC a A A a E H ===、分别是11A B 和1BB的中点，求：（1）EH 与1AD 所成的角；（2）11A D 与1B C 之间的距离；（3）1AC 与1B C 所成的角．答案：（1）1arccos5；（2）2a ；（3）arccos 5．。

立体几何中的距离问题【要点精讲】 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。

其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2等体积法。

直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:①直接作面的垂线求解；②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。

高考(Kao)数学空间向量与立体几何总复习一、知(Zhi)识网络构建二、课标(Biao)及考(Kao)纲要(Yao)求量与立体几何运算③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直空间向量的运用①理解直线的方向向量与平面的法向量②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用三(San)、知识要(Yao)点(Dian)及考点精析（一）空间向量(Liang)及其运算1．空(Kong)间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等．2．空间向量的线性运算（1）空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：①交换律，即；②结合律，即；③分配律，即及（其中均为实数）．（2）空间向量的基本定理①共线向量定理：对空间向量的充要条件是存在实数，使．②共面向量定理：如果空间向量，a b不共线，则向量c与向量共面的充要条件是，存在惟一的一对实数，使．③空间向量基本定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组，，，使．其中是空间的一个基底，a, b, c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）． （3）两个向量的数量积两个向量的数量积是a b= |a||b|cos<a , b >，数量积有如下性质： a , b , c ① a •e= |a|cos<a , e >（e 为单位向量）； ② aaa •b=；③ a •a=|a|2；④ |a •b|| a||b|．数量积运算(Suan)满足运算律： ①交换(Huan)律，即a •b= b •a ；②与数乘的结(Jie)合律，即（λa ）b=λ（a •b ）； ③分配(Pei)律，即（a+b ）•c =a •c +b •c ． 3．空间向量的坐标运(Yun)算 （1）给定空间直角坐标系和向量a ，存在惟一的有序实数组使，则叫作向量a 在空间的坐标，记作．（2）空间向量的直角坐标运算律 ①若，则，，a •b．，．②若，则．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 4．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a ，在空间固定一个基点，作向量，则点在空间的位置被a 所惟一确定，a 称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数，以A 为起点作向量a ，则此向量方程称为动点对应直线的参数方程，向量a 称为直线l 的方向向量．典型例题分析：例1．若=(,1,3),=(1,-,9),如果AB 与CD 为共线向量,则( )A ．，B ．,C ．,D ．,答案: C例(Li)2．已知向(Xiang)量a ＝(1，1，0)，b ＝(-1，0，2)，且(Qie)a ＋b 与(Yu)2 a -b 互(Hu)相垂直，则k 的值是( )A ． 1B ．C ．D ．答案: D例3．已知AB =(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC 的单位法向量．解:设平面ABC 的法向量n =(x,y,1),则n ⊥AB 且n ⊥AC ,即n ·AB =0,且n ·AC =0,即即∴n =(,-1,1),单位法向量n =±(,-,32)．（二）立体几何中的向量方法1．利用向量法确定直线、平面间的平行、垂直等位置关系 设直线的方向向量是，直线的方向向量是，平面的法向量是，平面的法向量是，则有如下结论成立：（1）⇔u 1∥u 2⇔u 12u ；（2）； （3）∥；（4）1l ⊥⇔αk 1v ； （5）k 2v ； （6）．第一部分：平行问题① 利用空间向量解决线线平行问题 （06山东模拟）已知直线平面α，直线平面α，为垂足．求证：．证明：以点为原点，以射线为非负轴，如图1，建立空间直角坐标系，为沿轴的单位向量，且设．，，，， ．，．，即(Ji)OA BD ∥．点评：由向量的共线的充要(Yao)条件知，只要证明即(Ji)可．② 利(Li)用空间向量解决线面平行问题 （06山西(Xi)模拟）已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面．证法1：建立如图2的空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则．设平面1DBC 的法向量为，则．由，，得取得，得．由，得，即1AB ∥平面1DBC ．证法2：如图3，记，则．，共面．又平面，平面1DBC ．点评：用向量证明线面平行问题通常有两种方法：①向量与两个不共线的向量共面的充要条件是存在惟一的有序实数对，使．利用共面向量定理可证明线面平行问题，如证法2．②设为平面α的法向量，要证明，只需证明，如证法1．③ 利用空(Kong)间向量解决面面平行问题 例题：已(Yi)知正方体的(De)棱长为(Wei)1，分(Fen)别为的中点，求证：平面平面． 证明：建立空间直角坐标系，则．得． 设为平面的法向量，设为平面11B CD 的法向量．空间计算：．由，得平面EFG ∥平面11B CD ．点评：设分别为平面的法向量，要证，只需证明：存在一个非零常数，满足，则αβ∥．其实本题也可转化为线线平行，则面面平行．即用向量先证明，，则有线面平行，从而平面EFG ∥平面11B CD ．第二部分：垂直问题① 利用空间向量解决线线垂直问题 （2003年高考题）已知正四棱，，点为中点，点为中点．证明：为1BD 与1CC 的公垂线．证明：如图1，在以为的原点的空间直角坐标系中，．由，， 得．为1BD 与1CC 的公垂线． 点评：把推理论证（）用向量运算（）来代替，减少了构造辅助图形，降低了思维量．② 利用空间向量解决线面垂直问题（2005年(Nian)高考题）如图(Tu)2，在四(Si)棱锥中(Zhong)，底面为矩(Ju)形，侧棱底面ABCD ，为的中点，在侧面内找一点，使面解：如图2，在以为原点的空间直角坐标系中，．设．由NE ⊥面PAC ，得即 ．点评：按照传统方法，要构造三条辅助线，多解两个三角形，画图、看图以及计算都增加了难度．用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了难度．③ 利用空间向量解决面面垂直问题（07北京海淀）如图3，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与的交点，为1CC 的中点，求证：平面平面．分析：要证明平面1A BD ⊥平面GBD ，只要证明平面内的一条直线垂直于平面GBD 中的两条相交直线即可，而从图中观察，证较容易成功．证明：设．则．而，，，， ．，． 又(You)，平(Ping)面．又(You)平(Ping)面，平(Ping)面1A BD ⊥平面GBD ．点评：向量a 垂直于向量b 的充要条件是a •b，据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平面垂直及两个平面垂直．在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零． 2．利用空间向量解决空间距离问题 （1）利用空间向量求线线距离 如图1，若是异面直线的公垂线段，分别为a b ，上的任意两点．则两异面直线a b ，间的距离为（其中n 与a b ，垂直，A B ，分别为两异面直线上的任意两点）． 例题：如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为的中点．求异面直线和间的距离？解析：设正方体棱长为2，以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则．设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为，则即．又，，所以(Yi)异面直线1D E 和(He)1BC 间的(De)距离为．（2）利用空间向量求(Qiu)点面距离 如(Ru)图3，已知为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量．则点A 到平面α的距离．例题：如图4，已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．求 点C 到平面的距离． 解析：为正方形，．易得平面平面，面1AB D ，是平面1AB D 的一个法向量． 设点C 是平面1AB D 的距离为，则（3）利用空间向量求线面、面面距离注意：利用空间向量求线面、面面距离的问题显然可以转换成利用空间向量求点面距离的问题例题：如图5，已知边长为的正三角形中，分别为和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且，设平面α为且与平行．求AE 与平面α间的距离？解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底．易知，． 设是平面α的一个法向量，则．即(Ji)．∴直(Zhi)线与(Yu)平面α间(Jian)的距离．例(Li)题：如图6，在棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 中．求平面与平面间的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面1AB C 与平面11AC D 平行．设平面11ACD 的一个法向量，则，即．∴平面1AB C 与平面11ACD 间的距离．3．利用空间向量解决空间角问题（1）利用空间向量求线线角设两异面直线a b ，所成的角为分别是a b ，的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是，则有．（2006广东模拟）已知正方形ABCD 和矩形所在平面互相垂直，．试在线段AC 上确定一点，使得PF 与CD 所成的角是． 如图1，建立空间直角坐标系，则． 设，得． 又(You)和(He)CD 所(Suo)成的角是60°，．解(Jie)得或(Huo)（舍去），即点P 是AC 的中点．点评：采用传统的平移法求异面直线所成角的大小，免不了要作辅助线和几何推理．这里运用向量法，没有了这些手续，显得便当快捷．（2）利用空间向量求线面角如图2，点P 在平面α外，为α内一点，斜线和平面α所成的角为，n 为α的一个法向量，注意到斜线和平面所成角的范围是，则有，结合向量的夹角公式便可求θ．（05山东模拟）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知在棱上， 且，若与平面所成的角为α，则sin （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：取AC 中点E ，连结，则，如图3，建立空间直角坐标系，则，则． 平面平面11AACC ，BE AC ⊥， 平面11AAC C ． 为平面11AACC 的一个法向量． ．，选（Ｄ）．点(Dian)评：利用向量法求空间角，其操作只须按步骤进行，数值计算十分简单，对空间想象力和几何的逻辑推理能力要求不高，显得(De)简洁明了．（3）利用空间向量(Liang)求面面角注意：求面面角的问题关键还是转化成求线线角，一般来说求二面角有两(Liang)种方法： 如(Ru)图4，分别在二面角的两个面内且垂直于棱，分别是αβ，的一个法向量，则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小： 方法一：等于二面角的平面角； 方法二：与二面角的平面角相等或互补．（05云南一模）如图5，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面ABC ，，分别为的中点，求二面角的余弦值． 解：取AC 中点O ，连结． ， ，且． 又∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面ABC ，．如图5所示，建立空间直角坐标系O xyz -． 则， ，，设()x y z =，，n 为平面的一个法向量，则 取，则 则． 又为平面ABC 的一个法向量， ．∴二面角N CM B --的余弦值为31．点(Dian)评：利用向量法求空间角的大小，经常用到平面的法向量．求法向量的方(Fang)法主要有两种：① 求平面(Mian)的垂线的方向向量；② 利用法向量(Liang)与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求．4．用(Yong)空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中涉及的点、线、面，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）．四、易错点分析1．类比平面向量，是掌握空间向量的最好方法，平面向量的加、减、数乘等坐标运算公式及运算律对空间向量仍然成立．虽然共面向量定理由两个约束条件变为三个约束条件，坐标由两个有序实数推广到三个有序实数，但其运算规律实质上是一样的．例如线段的定比分点坐标公式（包括中点坐标公式、重心坐标公式）在空间直角坐标系中依然适用，有向线段表示向量的坐标仍然是终点减去始点坐标，平行、垂直的充要条件，夹角、距离公式等仍然适用．2．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线∥，只需要证明（）即可．3．空间两条直线之间的夹角是不超过的角，因此，如果按照公式求出来的向量的数量积是一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角．4．利用法向量求二面角时，要注意法向量的方向问题，结合二面角的大小，这样最后确定所求得的角到底是二面角还是二面角的补角．5．在具体应用空间向量解决立体几何问题时要注意以下几点：（1）平行问题向量共线，注意重合（2）垂直问题⇒向量的数量积为零，注意零向量（3）距离问题⇒向量的模，注意向量的垂直（4）求角问题⇒向量的夹角，注意角范围的统一6．解决(Jue)立体几(Ji)何问题的(De)三种方法的比较解决立(Li)体几何中的问题，可用综合法、向量法和坐标法．一般我们遵循的原则是：以综合法为基础、以向量法为主导、以坐标法为中(Zhong)心．（1）综合法是以逻辑推理为工具，利用立体几何的知识，运用空间观念解决问题的方法，其显著特点是在证题时经常需要构造辅助线、辅助面、逻辑思维量大，要求具有比较强的空间想象能力．（2）向量法是根据空间向量的基本定理，运用向量的几何意义及向量数量积的概念解决立体几何的方法，是几何问题代数化的重要体现．其显著特点是可以避开纷繁复杂的逻辑推理，使解题过程变的明快、简捷．（3）坐标法是通过建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量的坐标运算来解决立体几何问题的方法．坐标法关键是在于构建合适的空间直角坐标系．注：构建空间直角坐标系主要有四种途径：①利用共顶点的两两垂直的三条不共面的直线构建直角坐标系；②利用线面垂直的位置关系构建直角坐标系；③利用面面垂直的位置关系构建直角坐标系；④利用正多边形的中心与几何体高所在直线构建直角坐标系．五、作者寄语用向量研究立体几何问题是立体几何研究思路的一场革命．由于向量兼俱数和形的双重特征，使得立体图形中的位置关系转化为代数中的数量关系如同探囊取物，特别是据题目条件可以建立空间直角坐标系时，这种优越性便发挥的淋漓尽致，求解思路也将有效地避开立体几何中繁琐的位置关系的演化，而变得直截了当，变得清晰、自然和流畅．可以毫不客气地说：“只要建立了空间直角坐标系，剩下的便是纯属运算的问题了．”。

高中数学复习专题讲座《关于求空间距离的问题》高考要求空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离重难点归纳空间中的距离主要指以下七种(1)两点之间的距离(2)点到直线的距离(3)点到平面的距离(4)两条平行线间的距离(5)两条异面直线间的距离(6)平面的平行直线与平面之间的距离(7)两个平行平面之间的距离在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点求点到平面的距离 (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 (3)向量法求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的典型题例示范讲解例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O 是原正方形的中心，求(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小命题意图考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题知识依托空间向量的坐标运算及数量积公式错解分析建立正确的空间直角坐标系其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直技巧与方法建系方式有多种，其中以O点为原点，以、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单解如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,－a, a),F(a, a,0)∴∠EOF =120°例2正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离命题意图本题主要考查异面直线间距离的求法知识依托求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得错解分析本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离技巧与方法求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得解法一如图，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1==∴O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为解法二如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，连结RN，∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，设A1R=x,则RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，∴MR=x,RN=NB1=(0＜x＜1∴当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为解法三（向量法）如图建立坐标系，则∴设MN是直线A1C1与AB1的公垂线，且则从而有∴例3如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点求 (1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离解 (1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足连结QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE∴QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,∴AE=在Rt△QAE中，QA=PA=c∴QE=∴Q到BD距离为(2)解法一∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE∴BD⊥AH∴AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=∴AH=∴P到平面BD的距离为解法二设点A到平面QBD的距离为h，由V A—BQD=V Q—ABD,得S△BQD·h=S△ABD·AQh=学生巩固练习1正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )A B 1 C D2三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A B C 2.6 D 2.43如左图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________4如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E —AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为_________5在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图(1)求证 平面A 1BC 1∥平面ACD 1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离6 已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求(1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；(3)三棱锥B 1—EAC 的体积 7 如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F(1)求点A 到平面B 1BCC 1的距离；(2)当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等 8 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =,AB = AD =a ,∠ADC =arccos ,PA ⊥面ABCD 且PA =a(1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为参考答案 1 解析 过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线， ∴∠EBM ′=45°,BM ′=,从而MN = 答案 A 2 解析 交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =,Rt △C 1CD 中易求得C 1D ==2.6 答案 C 3 解析 以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ⊥CD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，PQ=a答案a4解析显然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角，∠FAD=30°,过F作FG⊥平面ABCD 于G，则G必在AD上，由EF∥平面ABCD∴FG为EF与平面ABCD的距离，即FG =答案5 (1)证明由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1(2)解设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cos A1BC1=,则sin A1BC1=,则S=,由于，则S·d=·BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为(3)解由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于6解 (1)连结DB交AC于O，连结EO，∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD∴EO⊥AC，即∠EOD=45°又DO=a，AC=a，EO==a，∴S△EAC=a(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EO∥BD1，O为BD中点，∴D1B=2EO=2a∴D1D=a，∴A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D⊥面EAC∴B1Q是三棱锥B1—EAC的高，得B1Q=a7解 (1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1∴BB1⊥平面A1EF即面A1EF⊥面BB1C1C在Rt△A1EB1中，∵∠A1B1E=45°，A1B1=a∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a同理A1F=a,又EF=a∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离∴A1N=又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为∴a=2，∴所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N∴B1C1⊥平面ADD1A1∴BC⊥平面ADD1A1得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件8解 (1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离过A作AE⊥PB，又AE⊥BC∴AE⊥平面PBC，AE为所求在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a∴AE=a(2)作CM∥AB，由已知cos ADC=∴tan ADC=,即CM=DM∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=下面在AD上找一点F，使PC⊥CF取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F课前后备注学法指导: 立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解。