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生产函数讲义1. 引言生产函数是经济学中一个重要的概念，用于描述生产过程中输入与输出之间的关系。
它是研究产出与生产要素（如劳动力、资本等）之间的关系的基础。
本讲义将介绍生产函数的定义、性质以及几种常见的生产函数类型。
2. 定义生产函数描述了在特定时间段内，输入要素对产出的影响关系。
一般来说，生产函数可以用数学函数的形式表示，如：Y = f(K, L)其中，Y代表产出（output），K代表资本要素（capital），L代表劳动力要素（labor）。
生产函数可以是线性的，也可以是非线性的。
3. 性质3.1 连续性生产函数在输入要素（资本和劳动力）连续变化的情况下，产出也是连续变化的。
换句话说，如果输入要素的微小变化导致产出的微小变化，那么生产函数是连续的。
3.2 非递减性生产函数的非递减性表示当输入要素增加时，产出也会增加。
生产函数的这个性质反映了生产要素的边际效应。
边际效应是指增加一单位的输入要素对产出的影响。
在生产函数中，边际效应通常是正的，也就是说增加一单位的输入要素会增加产出。
3.3 递增递减边际收益生产函数中的递增边际收益表示当输入要素的增加对产出的增加有递增的影响。
也就是说，初始阶段，增加一单位的输入要素可以带来大的增加产出的效果。
但是随着输入要素的增加，递增边际收益可能逐渐减弱，甚至变为递减边际收益。
递减边际收益表示增加一单位的输入要素对产出的增加效果逐渐减弱。
4. 常见的生产函数类型4.1 线性生产函数线性生产函数是指生产函数遵循线性关系的函数。
它的数学形式可以表示为：Y = aK + bL其中，a和b为常数。
线性生产函数假设资本和劳动力在生产过程中起到的作用是完全可替代的。
4.2 柯布-道格拉斯生产函数柯布-道格拉斯生产函数是经典的生产函数类型之一，它的数学形式可以表示为：Y = AK^αL^β其中，A是总要素生产率（total factor productivity），α和β是生产要素的弹性（elasticity）。
4.1 生产函数⏹生产函数的概念⏹常见的生产函数1.生产函数的概念;生产函数是指在一定时期内，在一定技术条件下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
产量= f（各投入生产要素）(劳动资本土地企业家才能)Q = f（L, K, N, E）企业家才能:企业家的组织能力、管理能力、创新能力土地:自然界一切能用于生产的物资（土地、森林、湖泊、海洋）2、几种类型的生产函数1）固定投入比例生产函数（又称里昂惕夫生产函数）：表示在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的。
其生产函数的通常形式为：Q=Minimum (L/u, K/v)其中，常数u和v分别为固定的劳动和资本的生产技术系数2）可变比例生产函数：是指生产某种产品所需要的各种生产要素的配合比例是可以改变的。
它表明各种生产要素之间可以相互替代。
4.2 短期生产函数•短期生产函数•总产量、平均产量和边际产量•边际收益递减规律•生产三阶段1、短期生产函数1）短期与长期：短期：生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的时间周期。
长期：生产者可以调整全部生产要素的数量的时间周期。
2）短期生产函数：一种可变生产要素的生产函数的形式。
公式：Q=f(L，K )2、总产量、平均产量、边际产量（1）总产量总产量(TP )是指一定量的某种生产要素所生产出来的全部产量。
TP L是指一定量的劳动投入所生产出来的全部产量。
（2）平均产量（AP）平均产量(AP)是指平均每单位某种生产要素所生产出来的产量。
AP L是指平均每单位劳动所生产出来的产量。
(3)边际产量（MP）边际产量(MP)是指某种生产要素素每增加一单位所增加的产量。
MP L是指每增加一单位劳动所增加的产量。
1）TP L与MP L之间的关系。
①当MP L>0时，相应的TP L曲线是上升的；②当MP L<0时，相应的TP L曲线的斜率为负。
生产函数x=min 概述说明以及解释1. 引言1.1 概述生产函数是经济学中一个重要的概念，用于描述生产活动中输入和输出之间的关系。
它是一种数学函数，可以帮助我们理解和分析不同因素对生产过程的影响。
在现实世界中，我们会遇到各种各样的生产函数，其中一个常见的形式是x=min 函数。
1.2 文章结构本文将围绕生产函数x=min展开讨论，并按照以下结构进行组织：引言：介绍文章的背景和目的，提出需要解决的问题。
生产函数x=min：介绍该类型生产函数的理论背景、定义与解释以及其特点与应用。
正文：主要论述具体话题下的三个要点。
结论：总结概括全文，并对生产函数x=min的意义和局限性进行分析，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在深入探讨生产函数x=min并阐明其在经济学中的重要性和应用价值。
通过分析该类型生产函数，我们可以更好地理解和评估不同因素对经济发展和资源配置的影响。
同时，本文也将探讨这种特殊类型生产函数可能存在的局限性并对未来研究提出展望，为相关领域的研究者提供参考和借鉴。
2. 生产函数x=min：2.1 理论背景:在经济学和生产理论中，生产函数是一种表示输入和输出之间关系的数学模型。
它描述了如何将投入转化为产出。
常见的生产函数包括线性生产函数、凹凸生产函数等。
而“生产函数x=min”是一种特殊类型的生产函数。
2.2 定义与解释:“生产函数x=min”是指当各种生产要素（如劳动力、资本等）存在时，输出或产量取决于最不充分要素的数量。
简单地说，这个函数表示了一个企业或经济体的绩效受制于其最低限度的资源。
这个特殊类型的生产函数可以形式化地表示为：Y = min(X1, X2, ..., Xn)其中Y是输出或总产量，X1, X2, ..., Xn代表不同的输入或要素。
这里通过比较各个要素，选择数量最少的那个作为决定总产量的因素。
举个例子来说明，“生产函数x=min”的应用场景：假设某工厂需要两种原材料A和B来进行产品制造，根据配比规定，每制造一个单位产品需要3单位的A 和5单位的B。
第14讲生产函数和生产曲线（一）生产及相关概念1、生产：就是将投入转变成产出的过程。
2、投入：包括企业生产过程中使用的各种生产要素。
（1）生产要素划分为劳动、资本、土地和企业家才能四种类型。
一般假设，生产要素在生产过程中是可以相互替代的。
即假设可以增加一种要素（如劳动），而减少另一种要素（资本）来实现相同的产量，即用劳动替代资本。
（2）投入分为可变投入与不变投入，从较长时期来看，企业的各项投入都是可以改变的。
（3）当各种投入要素可变时，一般是研究企业的长期行为；当某种或几种要素不可变，一般是研究企业的短期行为。
3、产出：指生产者向社会提供有形的物质产出和无形服务产出；产出是企业获得销售收入的基础。
应用分析【例题·多选题】投入主要包括企业生产过程中所使用的各种生产要素。
生产要素一般被划分为（）。
A．劳动B．市场C．资本D．土地E．企业家才能【答案】ACDE【解析】生产要素划分为劳动、资本、土地和企业家才能四种类型。
（二）生产函数及其曲线1、生产函数的含义：在一定时期内，在技术不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的函数关系（任何生产函数都以一定时期的生产技术水平为条件，当技术水平发生变化时生产函数会发生变化）。
2、生产函数是最大产量与投入要素之间的函数关系。
3、函数表达式：假定生产中投入的各种生产要素为X1，X2……X n，Q为所能生产的最大的产量，则生产函数可以表示为：Q=f（X1，X2……X n）。
在具体分析产量与生产要素时，为了简化起见，假设只有一种要素可变，其他要素不可变。
（三）一种可变要素的生产函数及其曲线1、一种可变要素的生产函数（也称短期生产函数）是指，假设只有一种投入要素可以改变，而其他投入要素不可以改变，这是对企业短期行为的分析。
2、以上函数表示：K资本量固定不变，这时总产量的变化只取决于劳动量L。
随着劳动量的连续变化，会引起总产量、平均产量和边际产量的变动。
生产函数
上海理工大学 王新兴
【课前思考】假如你在路边看到一个摆摊的学生从事洗车业务，洗完之后车主付他50块钱，你这50块钱是给他的劳动力呢？还是给这个车洗完的光亮？
生产的经济理论主要研究在给定生产函数情况下，以利润极大化理论为基础的投入需求函数和产出供给函数的特征。
它包括两类问题：一类是描述企业可利用的生产工艺变动范围等内容的技术约束，这是本节讨论的重点；一类是企业发生交易所在市场的结构，后面详述。
1、生产可能性集
企业拥有一个生产可能性集Y ⊂m R ，每一个向量y=(1y ,2y ,...，n y )∈Y 是个生产计划，其分量标明了各种投入与产出的数量，i y <0代表投入，i y >0代表产出。
生产集主要性质包
括：
（1）Y 不能为空集。
（2）Y 是闭集。
（3）0∈Y
（4）若Y y ∈，y y ≤'，则Y y ∈∃'。
（5）若Y y ∈，0≠y ，则Y y ∉-。
（6）规模报酬不变
（7）可加性。
（8）齐次性。
（9）凸性。
Y y ∈，Y y ∈'，]1,0[∈α，则Y y y ∈-+')1(αα。
（10）Y 是个凸锥。
若Y y ∈，Y y ∈'，常数0>α，0>β，有Y y y ∈+'βα，则Y 是个凸锥。
【例题】证明：生产集Y 是可加的，并且满足非递增规模报酬，当且仅当Y 是个凸锥。
生产可能性集目前是刻画企业技术的最一般方法，因为它允许有多种产出与多种投入，更为方便的方式是生产函数。
【注意】函数、变换、对应、映射、算子五个概念等同。
2、生产函数性质
（1）生产函数f :++→R R n 上连续的，严格递增的，并且严格拟凹
的函数，并且0)0(=f 。
当生产函数是可微的，其偏导i x f ∂∂/)(x 被称为投入i x 的边际产品，
表示给出所使用的投入i x 的单位增量引致产出变动的增量。
对于任何固定的产出水平y ，生产y 单位产出的投入向量的几何被称为y 水平等产量集，记作：)(y Q ≡})(|0{y f =≥x x 。
（2）边际技术替代率（MRTS ）：度量了在不改变所生产的产出量的条件下，一种投入可被用于替代另一种投入的比率。
在投入向量为x ，投入要素i x 和j x 之间的边际替代率可表示为)(x ij MRTS ，可定义为边际产品的比率。
【注意】相对于其他投入品的数量使用某一类投入过多，以致于该投入量增加会造成拥挤和无效率。
即理性厂商不会在等产量线斜率为正的部分进行生产。
【例题】研究生产函数32312221x Bx x Ax Q -=性态
（3）若某个给定生产函数类别中投入间的替代性系统地不同于其他不同类别中投入间的替代性，则称该类型的生产函数是可分
的。
这种可分性又有两种类型：
设},...,2,1{n N =表明所有投入的指标集，并设这些投入可被划分为S>1种相互排他的类别与排他性的子集S N N ,...,1,如果在同一类
别中的两种投入的MRTS 独立于其他类别中所使用的的投入，那么该生产函数可称为弱可分的，即：
0/))(/)((=∂∂k j i x f f x x ，
t S N k N j i ∉∈∀,,。
当S>2时，如果来自不同类别的两种投入之间的MRTS 独立于这两种类别之处的所有投入，那么生产函数被称为强可分的，即：0/))(/)((=∂∂k j i x f f x x ，S N i ∈∀,t N j ∈∀，且t S N N k ⋃∉。
【重要提示】函数可分性在集合异质投入和产出分析，推导附加价值函数和估计生产函数时有重要作用，也为连贯的多阶段估测提供可能性。
当高度复杂组织的生产活动包含太多的投入和产出时，运用可分性是唯一可行的处理方法。
（4）MRST 是对生产既定产出水平的投入之间的替代性的局部度量。
经济研究倾向于使用无量纲弹性来度量替代性，由此引入替代弹性。
替代弹性σ，对于一个生产函数)(x f 在点x 处，投入i x 和j x 之间的替代弹性定义为：))(/)(log(/)/log(x x j i j i ij f f x x ∂∂=σ。
一般而言，当0→ij σ，替代性越困难；∞→ij σ，替代性越强。
【例题】计算CES 生产函数替代弹性
（5）欧拉定理与产出弹性
若生产函数满足一阶齐次性，即)()(x x tf t f =，则)()(1x x f f x i n i i =
∑=，每
种投入品按其边际产量的价值支付，总产出正好分完，其中)(/x f f x i i 表示要素i x 所占的分配份额或称之为产出弹性。
【思考】如何证明欧拉定理？
（6）不具有实体的技术变化
技术进步研究由于采用生产过程的影响为中性或改变投入—产出关系的新技术所引起的生产函数变化的过程和结果，可以根据如下经济变量的影响来衡量。
1）技术变化率：f f T l /=
2）技术变化的加速度：2)/()/(f f f f T l ll -=
3）边际产品的变化率
【计量问题】关于生产者行为的经济计量模型采用的是联立方程组的形式，确定投入要素分配份额和技术变化率为投入要素价格和技术水平的函数。
替代弹性和技术变化的度量，给出了分配份额和技术变化对价格和技术的反应，为建立生产者行为的经济计量模型，通常将这些度量看成是待估计未知参数。
3、要素变动与规模报酬
（1）短期与长期生产函数
定义短期生产函数的时间周期有三个限制，1）必须短到足以使企业无法改变其固定投入的水平；2）必须短到足以使生产函数的形状不因技术改变而变化；3）必须长到使必要的技术过程得以完成。
至少放松1）、2）、3）其中任何1个限制都是种长期生产函数。
（2）再论欧拉定理
若生产函数满足一阶齐次性，即)()(x x f t t f k =，则)()(1x x kf f x i n
i i =∑=，
每种投入品按其边际产量的价值支付，正好等于k 倍的总产出。
（3）规模报酬
对改变比例的报酬，重要度量包括每种投入的边际产出
)()(x x i i f MP =与平均产出i i i x f AP /)()(x x =，i x 的投入产出弹性度量了产
出对投入的百分之一变化所做出的的反应：
)(/)()(x x x f x f i i i =μ=)(/)(x x i i AP MP
这是种局部度量。
技术的规模性质要么被局部的定义，要么被全域性的定义。
全局性的规模报酬有如下几种类型：
x ∀>∀,0t ，若)()(x x tf t f =，称为规模报酬不变；
x ∀>∀,0t ，若)()(x x tf t f >，称为规模报酬递增；
x ∀>∀,0t ，若)()(x x tf t f <，称为规模报酬递减。
许多生产函数不满足全局规模报酬，而在一定产出范围内，许多技术展现出递增、不变及递减的规模报酬，此时定义局部标准就比较有用，表述出在全部投入增加1%的条件下，出现的瞬时产出的百分比变化，即规模弹性（局部性规模报酬）。
在点x 处的规模弹性被定义为：
t t f f x f t i i t log /)(log ))(/)((lim )(1
1∂∂==∑-→x x x x μ 当1)(=x μ时，规模报酬是局部性不变，1)(>x μ时，规模报酬是局部性递增，1)(<x μ时，规模报酬是局部性递减。
投入的规模弹性与产出弹性有如下关系：∑==n i i 1
)()(x x μμ。
【例题】检查具有可变规模报酬的生产函数121)1(---+=βαx x k y 。
