不等式知识点归纳

不等式知识点归纳1.不等式的基本性质不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质； 在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质． （1）a b b a <⇔>对称性 （2）c a c b b a >⇒>>,传递性（3）c b c a b a+>+⇒>加法单调性（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加 （5）d b c a d c b a->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. 或 c b c a >（乘法单调性）（7）bc ac c b a <⇒<>0, 或 c bca <（8）bd ac d c b a>⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a ba b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n且平方法则（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且开方法则倒数性质①a>b,ab>0.11b a <⇒②a<0<b.11b a <⇒③a>b>0,0<c<d.d b c a >⇒ ④0<a<x<b 或a<x<b<0.a x b 111<<⇒ 有关分数的性质:若a>b>0,m>0,则①真分数的性质： ②假分数的性质：).(;0>--->++<m b m a mb a b m a m b a b ).(;0>---<++>m b m b m a b a m b m a b a比例的几个性质①比例基本性质：；②反比定理：；③更比定理：；④合比定理；；⑤分比定理：；⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；⑧等比定理：若，，则.①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；2.比较大小：分类讨论1.作差比较法；2.作商比较法（常用于指数式或均为正数的两式）.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号. 作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的. 1．比较法(1)作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔a －b ＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b ＞0，ab ＞1⇒a ＞b ；b ＜0，ab ＞1⇒a ＜b .②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2.平方法、开方法、倒数法等3.用同向不等式求差的范围.c b y xd a cy d bx a d y c b x a -<-<-⇒⎩⎨⎧-<-<-<<⇒⎩⎨⎧<<<<4.倒数关系在不等式中的作用..110;110b a b a ab b a b a ab >⇒⎩⎨⎧<><⇒⎩⎨⎧>>5．不等式的解法： 注意“系数化正”附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示．2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．解不等式应遵守的原则：1.凡是x的系数为负数的因式首先要[ 即标准式]2.分式不等式不能两边同乘上公分母而约去分母，只能移项通分。

3.完全平方项因式（或偶次方或分子、分母的相同因式）不能约去只能挖去4.不等式两边有不恒为正数的相同因式不能约去只能移项提取公因式具体方法①.序轴标根法（高次或分式不等式）②.换元法（无理、指数、对数不等式）③.零点分段法（含两个或两个以上的绝对值不等式）④.含参数的不等式要讨论，讨论时要层次分明，不要重复、不能遗漏。

⑤.图象法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：[1] 正化：分解成若干个一次因式的积，不等式转化为(系数为1,根由小到大排列)，使每一个因式中最高次项的系数为正；[2] 标轴：将分解为若干一次因式或二次不可分因式的乘积（使各括号内的系数为正），再将各根有序的标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；[3] 穿线：根据曲线显现的符号变化规律，利用“奇穿偶回”(奇偶指幂指数的次数)的原则，写出不等式的解集。

[4]曲线在x轴上方所在范围为不等式大于0的解集曲线在x轴下方所在范围为不等式小于0的解集注：用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如: 解不等式，由图知不等式的解集为或或}，（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，变形为整式不等式；则：；注：①分式不等式解法：(移项通分,分子分母因式分解,的系数化为1，用穿轴法求结果)②等价于且.对于“等号”要慎重处理.解不等式，解：原不等式等价于，将方程的根标在轴上，从右到左画出的示意图，∴原不等式的解集是或．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解，把握二点：一是两边非负才能平方，二是根式必须有意义.①②或③④型，应按和进行分类.（4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式指数运算：，a a a aa p p 01010=≠=≠-(()) aaa aaa m nmn m nmn=≥=>-((010))，对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1); (2) ;(3); (4) 。

对数的换底公式 : (,且,,且,).对数恒等式：(,且,).（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化注：(ⅰ)去绝对值符号的方法：①平方法：通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边须为非负值.②讨论法：讨论绝对值中式子还是，然后去绝对值符号，转化为一般不等式.③等价转化法：如或；.(ⅱ)含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解.转化时利用“零点分段法”（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集.）(ⅲ)绝对值不等式：左边在时取得等号，右边在时取得等号3．绝对值的性质定理：（1）a b a b a b-≤+≤+，（可推广），a b a b a b-≤-≤+；a b a b a b+=+⇔≥，0a b a b ab+=-⇔≤，a b a b ab+=-⇒≤；（2）222a b ab+≥（222a b ab a b+=⇔=）．（3）nna a=；含绝对值不等式向量不等式：【注意】：同向或有；反向或有；不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式：同号或有；异号或有.8.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当时，若表示直线的右边，若则表示直线的左边.（2）当时，若表示直线的上方，若则表示直线的下方.2、设曲线（），则或所表示的平面区域：两直线和所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.3、点与曲线的位置关系：若曲线为封闭曲线（圆、椭圆、曲线等），则，称点在曲线外部；若为开放曲线（抛物线、双曲线等），则，称点亦在曲线“外部”.4、已知直线，目标函数.①当时，将直线向上平移，则的值越来越大；直线向下平移，则的值越来越小；②当时，将直线向上平移，则的值越来越小；直线向下平移，则的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1），若，直线在y轴上的截距越大，z越大，若，直线在y 轴上的截距越大，z越小.（2）表示过两点的直线的斜率，特别表示过原点和的直线的斜率.（3）表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.（4）表示到点的距离.（5）；（6）；（7）；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。

8、线性规划问题：（1）二元一次不等式[1]定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．[2]二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．[3]二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．（2）在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．[1]若，，则点在直线的上方．[2]若，，则点在直线的下方．（3）在平面直角坐标系中，已知直线．[1]若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．[2]若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．（4）线性规划相关概念线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．（5）解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

3．(2012·江苏，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则ba 的取值范围是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e a c .作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ， 得a ＝c 2，b ＝72c .此时⎝⎛⎭⎫b a max ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ，得a ＝4ce ＋1，b ＝4c ee ＋1.此时⎝⎛⎭⎫b a min＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a ∈[e,7]． 答案 [e,7]。