中考数学规律探索类题型

查补重难点01.整式相关运算与探索表达规律考点一：幂运算与乘法公式1.幂运算公式：⎪⎩⎪⎨⎧∙===∙∙+底数分别乘方的积）（积的乘法，等于各个，指数相乘）（幂的乘方，底数不变数不变，指数相加）（同底数幂的乘法，底n n n n m n m n m n m b a ab a a a a a )()(2.乘法公式：（1）平方差公式：()；22)(b a b a b a -=-+（2）完全平方公式：()2222222)(2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+；题型1.幂运算与乘法公式基本运算1）符号处理不当：在幂的运算中，很多同学计算时符号容易出错。

计算时，可以先确定计算符号，负数进行运算时，看次方，负数的奇次幂结果为负，偶次幂结果为正。

2）忽视指数为“1”的幂：在幂的运算中，有些同学会忽视指数为“1”的幂，从而导致计算的错误。

指数为“1”时通常省略不写，但是计算时不能漏加。

3）忽视0指数幂、负指数幂成立的条件：在计算零指数幂或负指数幂时，要注意，底数不能等于0.4）运用完全平方公式时，①丢掉系数的平分；②丢掉中间乘积项或漏了系数的“2倍”；③不能正确区分中间项符号特征。

5）运用平方差公式时，没找准“a ”与“b ”。

例1.（2023·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是()A ．22423m m m +=B ．243·m m m =C ．422m m m ÷=D ．246()m m =【答案】C【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．【详解】解：22223m m m +=，故A 选项错误；24246m m m m +⋅==，故B 选项错误；42422m m m m -÷==，故C 选项正确；()42248m m m ⨯==，故D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．变式1.（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x 个球放入乙袋，再从乙袋中取出(22)x y +个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则+2x y 的值等于（）A ．128B ．64C ．32D ．16【答案】A 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出2x ，2y ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．【详解】调整后，甲袋中有29-22)x y +(个球，29222292x x y y +--=-，乙袋中有(292)y -个球，52+2252x y y x +-=+，丙袋中有(52)x +个球．∵一共有29+29+5=63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴调整后每只袋中有633=21÷（个）球，∴52=21x +，292=21y -，∴216x =，28y =，∴222168128x y x y +=⋅=⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．变式2．（2023·四川成都·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．22(3)9x x -=-B ．27512x x x +=C ．22(3)69x x x -=-+D ．22(2)(2)4x y x y x y -+=+【答案】C【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．【详解】解：A 、22(3)9x x -=，故原计算错误，不符合题意；B 、7512x x x +=，故原计算错误，不符合题意；C 、22(3)69x x x -=-+，故原计算正确，符合题意；D 、22(2)(2)4x y x y x y -+=-，故原计算错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键．题型2.完全平方公式变形求值（知二求二）乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形。

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 （ ） ．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。

初中数学规律探究题型“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。

这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。

不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。

因此规律探究类问题一直成为命题的热点。

题型一、一阶等差规律一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。

主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。

这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。

1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。

2、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．【解析】用一阶等差实质进行分析。

根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179例2、观察下列数：14，39，516，725，936⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．221n n + C ．221(1)n n ++ D ．221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。

目录题型一规律探索题 (2)类型一探索图形累加规律 (2)类型二探索图形循环规律 (13)拓展类型数式规律 (16)题型一规律探索题类型一探索图形累加规律针对演练1. (2016荆州改编)下列图形是将黑白两种颜色的菱形纸片按一定的规律排列组成，第1个图形有4张白色纸片，第2个图形有7张白色纸片，第3个图形有10张白色纸片，…，依此规律，则第12个图形中白色纸片的个数为()第1题图A. 34B. 37C. 42D. 462. (2016重庆八中初三(下)第三次月考)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑧个图案用火柴棒的根数为()第2题图A. 33B.32C. 31D. 303. (2015重庆B卷)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是()第3题图A.32B. 29C. 28D. 264. (2014重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()第4题图A. 22B. 24C. 26D. 285. 如图，下列图形是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第①个图形的周长为6，第②个图形的周长为8，第③个图形的周长为10，第④个图形的周长为12，按照这样的规律来摆放，则第⑧个图形的周长为()第5题图A. 18B. 19C. 20D. 216. (2016天水改编)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，其中图①中“○”的个数为5个，图②中“○”的个数为7个，图③中“○”的个数为11个，图④中“○”的个数为17个，…，若图○,n)中有245个“○”，则n ＝()第6题图A. 10B. 12C. 14D. 167. (2016重庆外国语学校二诊)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第(1)个图案需4根小木棒，拼搭第(2)个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第(6)个图案需小木棒的根数是()第7题图A. 53B. 54C. 55D. 568. (2016重庆江津中学初三下半期考试)用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第⑬个图案需要的黑色五角星的个数是（）第8题图A. 18B. 19C. 21D. 229. (2016重庆十一中一诊)下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形中所有正三角形的个数有()第9题图A. 160B. 161C. 162D. 16310. (2016重庆巴蜀一诊)如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6 cm2，第②个图形的面积为18 cm2，第③个图形的面积为36 cm2，…，那么第⑥个图形的面积为()第10题图A. 84 cm2B. 90 cm2C. 126 cm2D. 168 cm211. (2016重庆西大附中第九次月考)下列图形都是用同样大小的♥按一定规律组成的，则第(8)个图形中♥共有()第11题图A. 80个B. 73个C. 64个D. 72个12. (2016重庆一中三模)如图所示，图①中含“〇”的矩形有1个，图②“〇”的矩形有7个，图③中含“〇”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“〇”的矩形个数为()A. 70B. 71C. 72D. 7313. (2016大渡口区诊断性检测)如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要棋子的枚数为()第13题图A. 115B. 122C. 127D. 13914. (2016重庆一中二模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为()第14题图A. 61B. 63C. 76D. 7815. (2016重庆巴蜀中学保送生考试)如图，各图都由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有一个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为()第15题图A. 60B. 61C. 62D. 6316. (2016重庆一中第一次定时作业)已知四边形ABCD对角线相交于点O，若在线段BD上任意取一点(不与点B、O、D重合)，并与A、C连接，如图①，则三角形个数为15个；若在线段BD上任意取两点(不与点B、O、D重合)，如图②，则三角形个数为24个；若在线段BD上任意取三点(不与点B、O、D重合)，如图③，则三角形个数为35个；…；以此规律，则图⑤中三角形的个数为()第16题图A. 48B. 56C. 61D. 6317. (2016徐州)如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律，第n 个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第17题图18. (2016安顺改编)观察下列砌钢管的横截面图：第18题图则第5个图形中钢管数为________个．19. 如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中花盆的个数为6个，第2个图案中花盆的个数为12个，第3个图案中花盆的个数为20个，…，则第8个图案中花盆的个数为________．第19题图20. (2016龙岩改编)用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图④中所示几何体的表面积为________．第20题图答案类型一探索图形累加规律1. B【解析】每个图形中白色纸片的个数依次是4，7，10，13，….那么，第n个图形中白色纸片的个数为3n＋1，∴第12个图形中白色纸片的个数为3×12＋1＝37.2.A【解析】∵图①用了5根火柴，即5＝5＋4×0；图②用了9根火柴，即9＝5＋4×1；图③用了13根火柴，即13＝5＋4×2；…；以此规律，第○n个图形中，火柴的根数为5＋4(n－1)，故第⑧个图案用火柴棒的根数为5＋4×(8－1)＝33.3.B【解析】图①有2＋3×0＝2个黑色正方形；图②有2＋3×1＝5个黑色正方形；图③有2＋3×2＝8个黑色正方形；图④有2＋3×3＝11个黑色正方形，…，按照这个规律，图○n有2＋3(n－1)个黑色正方形，故图⑩一共有2＋3×9＝29个黑色正方形．4.C【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1－4＝2；第二个图形中有8个三角形：6×2－4＝8；第三个图形中有14个三角形：6×3－4＝14；…；第n个图形中三角形的个数为：6n－4，故第五个图形中三角形的个数为：6×5－4＝26.5. C【解析】第①个图形的周长为6＋0×2＝6，第②个图形的周长为6＋1×2＝8，第③个图形的周长为6＋2×2＝10，第④个图形的周长为6＋3×2＝12，…，依此规律，可知第○n个图形的周长为6＋(n－1)×2，所以第⑧个图形的周长为6＋7×2＝20.6. D【解析】图①中有1×(1－1)＋5＝5个“○”，图②中有2×(2－1)＋5＝7个“○”，图③中有3×(3－1)＋5＝11个“○”，图④中有4×(4－1)＋5＝17个“○”，…，据此得出：图○n中有n(n－1)＋5个“○”，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n 1＝16，n 2＝－15(不合题意，舍去)．7. B 【解析】观察图形可知，每个图案都是由横排小木棒和纵排小木棒搭建而成，且横排和纵排数相同，其中第(1)个图案有2横排，每排有1个小木棒；第(2)个图案有3横排，每排的小木棒个数分别为2，2，1；第(3)个图案有4横排，每排的小木棒个数分别为3，3，2，1；第(4)个图案有5横排，每排的小木棒个数分别为4，4，3，2，1，…；由此可推测第(n )个图案共有n ＋1横排，每排木棒个数分别为n ，n ，n －1，n －2，…，2，1，故第(6)个图案共有7横排，每排的小木棒个数分别为6，6，5，4，3，2，1，共有27根，则对应的纵排也有27根小木棒，则搭建第(6)个图案共需要小木棒54根．8. C 【解析】观察图形可以发现图①中黑色五角星的个数为1＋2＝3，图②中黑色五角星个数为1＋2＋1＝4，图③中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＝6，图④中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＝7，图⑤中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＋2＝9，…，则图○n 中，当n 为奇数时，黑色五角星个数为2)1(3+n ，当n 为偶数时，黑色五角星个数为123+n ，∴第⑬个图案需要的黑色五角星的个数为3×（13＋1）2＝21个． 9. B 【解析】第①个图形中正三角形的个数为：1＋4，第②个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4，第③个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4，…，第○n 个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4＋…＋3n －1×4，∴第④个图形中正三角形的个数为1＋4＋3×4＋9×4＋34－1×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161.10. C 【解析】∵所有的小矩形都是大小相同的，第①个图形是由2个小矩形组成，面积为6，∴每个小矩形的面积是3，∵第①个图形中有2个小矩形，第②个图形中有6个小矩形，第③个图形中有12个小矩形，12＝2＋4＋6＝2×(1＋2＋3)，第④个图形中有20个小矩形，20＝2＋4＋6＋8＝2×(1＋2＋3＋4)，则第○n个图形中有2×(1＋2＋…＋n)个小矩形，故第⑥个图形中小矩形的个数为2×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝42个，则其面积为42×3＝126 cm2.11. A【解析】第(1)个图形中♥的个数为3＝22－1；第(2)个图形中♥的个数为8＝32－1；第(3)个图形中♥的个数为15＝42－1；第(4)个图形中♥的个数为24＝52－1；…，于是，第(n)个图形中♥的个数为(n＋1)2－1，所以第(8)个图形中♥的个数为92－1＝80(个)，故选A.12.B【解析】图①中含“○”的矩形有1＝2×12－1个，图②中含“○”的矩形有7＝2×22－1个，图③中含“○”的矩形有17＝2×32－1个，…，按此规律，则图○n中含“○”的矩形个数为2n2－1，所以图⑥中含“○”的矩形有2×62－1＝71个，故选B.13. C【解析】由题意可知，摆第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，摆第2个图案需要19＝1＋6＋6×2枚棋子，摆第3个图案需要37＝1＋6＋6×2＋6×3枚棋子，…，则摆第n个图案需要1＋6＋6×2＋6×3＋…＋6n＝3n(n＋1)＋1枚棋子，所以摆第6个图案需要：3×6×(6＋1)＋1＝127枚棋子，故选C.14. A【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，依此规律，第○n个图形中空心小圆圈个数为：4n－(n＋2)＋n(n－1)，∴第⑦个图形中空心小圆圈个数为：4×7－9＋7×6＝61个．15.B【解析】∵第①个图形中菱形个数为02＋12＝1个；第②个图形中菱形个数为12＋22＝5个；第③个图形中菱形个数为22＋32＝13个；第④个图形中菱形个数为32＋42＝25个，…，依此规律第○n个图形中菱形个数为(n－1)2＋n2个，∴第⑥个图形中菱形个数为52＋62＝61个．16. D【解析】在图①中，线段BD上共有4个点，所得三角形的个数共15个，15＝16－1＝42－1；图②中，线段BD上共5个点，所得三角形的个数共24个，24＝25－1＝52－1；图③中，线段BD上共6个点，所得三角形的个数共35个，35＝36－1＝62－1，…，由此可猜想，图○n中，线段BD上共有n ＋3个点，所得三角形的个数为(n＋3)2－1，∴图⑤中三角形的个数为(5＋3)2－1＝63.17. n(n＋1)【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的小正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的小正方形的个数为n(n＋1)．18. 45【解析】根据题意，可得序号 1 2 3 4钢管数 3 9 18 30找规律3×1 3×3＝3×(1＋2)3×6＝3×(1＋2＋3)3×10＝3×(1＋2＋3＋4)综上可知，第5个图形中钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋5)＝3×15＝45个．19. 90【解析】观察可得，第1个图案：正三角形每条边上有3个花盆，共计32－3个花盆；第2个图案：正四边形每条边上有4个花盆，共计42－4个花盆；第3个图案：正五边形每条边上有5个花盆，共计52－5个花盆；…；由此可知第n个图案：正（n＋2）边形每条边上有（n＋2）个花盆，共计(n＋2)2－(n ＋2)个花盆，则第8个图案中花盆的个数为(8＋2)2－(8＋2)＝90.20. 60【解析】图①几何体的表面积为：6＝6×1；图②几何体的表面积为：18＝6×(1＋2)；图③几何体的表面积为：6×(1＋2＋3)＝36.由此规律得，图④几何体的表面积为：6×(1＋2＋3＋4)＝60.类型二探索图形循环规律针对演练1. 如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2017 m 停下，则这个微型机器人停在()第1题图A. A点B. B点C. C点D. E点2.(2016重庆八中强化训练一)将正六边形ABCDEF的各边按如图所示延长，从射线F A开始，分别在各射线上标记点O1，O2，O3，…，按此规律，则点O2016所在射线是()第2题图A. ABB. DEC. BCD. EF3. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2017个梅花图案中，共有________个“”图案．第3题图4. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1, 1），B（-1, 1），C（-1, -2），D （1, -2），把一根长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在矩形ABCD的边上，则细线的另一端落在________线段上第5题图答案类型二探索图形循环规律1. B【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为1 m，∴机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6 m，∵2017÷6＝336……1，即正好行走了336圈多1米，到第二个点，∴行走2017 m 停下，则这个微型机器人停在B点．2. C【解析】观察图形可知12个点依次排列在射线F A、CD、AB、DE、BC、EF、CD、F A、DE、AB、EF、BC上，依此规律循环，又因2016÷12＝168，则点O2016在第12条射线BC上，故选C.3. 505【解析】观察题图可知，“”图案方向依次向上、向右、向下、向左，每四个图案为一个循环周期．∵2017÷4＝504……1，∴前2017个梅花图案中，共有505个“”图案．4. 3【解析】观察可知，点数3与点数4相对，点数2与点数5相对，且循环周期为4. ∵2014÷4＝503……2，∴滚动2014次后与第二次相同，∴骰子朝下一面的点数为3.5.CD【解析】∵矩形四个顶点的坐标分别为：A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∴矩形的周长为2＋3＋2＋3＝10，则循环一周所需的单位长度是10，∵2016÷10＝201……6，∴细线的另一端落在绕矩形第202圈的第6个单位长度的位置，即是点C与点D的中间位置，即在线段CD上．拓展类型数式规律针对演练1. (2016张家界)观察下列等式：71＝7，72＝42＋92＝97，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是() A. 9 B. 7 C. 6 D. 02. (2016丹东)观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．3. (2016贵港)已知a1＝tt－1，a2＝11－a1，a3＝11－a2，…，a n＋1＝11－a n(n为正整数，且t≠0，1)，则a2016＝________(用含有t的代数式表示)．4. (2016泉州)指出下列各图形中数的规律，依此，a的值为________．第4题图5. (2016南宁)观察下列等式：第1层1＋2＝3第2层4＋5＋6＝7＋8第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第________层．答案拓展类型 数式规律1. D 【解析】根据题意，7的幂的最终结果的末位数字是以7，9，3，1为循环，其和结果的末位数字是0，因为2016÷4＝504，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.2. －12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝22＋12，－103＝－32＋13，174＝42＋14，－265＝－52＋15，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211. 3. t 1【解析】∵a 1＝1-t t ，a 2＝111--t t ＝1－t ，a 3＝t +-111＝t 1，a 4＝t 111-＝1-t t ，…，∴每3个一次循环，∵2016÷3＝672，∴a 2016的值为t1. 4. 226 【解析】观察可得：2＝1×0＋2，10＝2×3＋4，26＝4×5＋6，50＝6×7＋8，…，可以得到规律：右下角三角形中的数字等于左下角三角形中的数字与正上方三角形中数字的积加上中间三角形中的数字，故a ＝14×15＋16＝226.5. 44 【解析】根据题中给出的式子，观察得出规律，第一层第一个数为12，第2层第一个数为22，第3层第一个数为32，…，∵442＝1936，452＝2025，且442＜2016＜452，∴2016位于第44层．。

规律探索-中考数学重难点题型专题汇总图形规律1.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．2.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．3.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．4.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．5.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．Y Y-=（）6.观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用n Y表示，则94A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．8.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,2-B．()202120212,2C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．10.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．11.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．12.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是32=n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：1255,22n n +-==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．13.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．15.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n 个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．16.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．17.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC =，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x 轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（17510555，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键18.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20203【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A∴111=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴2112=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：2020)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.19.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴3sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．20.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．21.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究22.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．23.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n ，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n ．故答案为：2n +12n ．。

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

题型五 规律探索题高分帮类型1数与式的规律探索1.[2021山东济宁]按规律排列的一组数据:12,35,,717,926,1137,…,其中□内应填的数是 (D)A.23B.511C.59D.122.[2021湖北随州]根据图中数字的规律,若第n 个图中的q=143,则p 的值为 (B)A.100B.121C.144D.1693.[2021湖南怀化]观察等式:2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,….已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199.若2100=m ,用含m 的代数式表示这组数的和是 m 2-m . 4.[2014安徽,16]观察下列关于自然数的等式: 32-4×12=5;① 52-4×22=9;② 72-4×32=13;③ …根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:92-4×( 4 )2=( 17 );(2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示),并验证其正确性. 解:(1)4 17(2)第n 个等式为(2n+1)2-4×n 2=4n+1.因为左边=4n 2+4n+1-4n 2=4n+1=右边, 所以第n 个等式成立.5.[2021合肥包河区一模]观察下列等式: 第1个等式:1+11=43×(1+12);第2个等式:1+12=98×(1+13); 第3个等式:1+13=1615×(1+14);第4个等式:1+14=2524×(1+15);……根据你观察到的规律,解决下列问题: (1)请写出第5个等式: 1+15=3635×(1+16) ; (2)请写出第n 个等式: 1+1n =(n +1)2(n +1)2-1×(1+1n +1) (用含n 的等式表示),并证明.(1)1+15=3635×(1+16)(2)1+1n =(n +1)2(n +1)2-1×(1+1n +1)证明:右边=(n +1)2n (n +2)×n +2n +1=n +1n =1+1n=左边, ∴等式成立.6.观察以下等式:第1个等式:(1-12)÷16=3; 第2个等式:(1-13)÷412=2; 第3个等式:(1-14)÷920=53; 第4个等式:(1-15)÷1630=32;第5个等式:(1-16)÷2542=75; ……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第7个等式: (1-18)÷4972=97 ;(2)写出你猜想的第n 个等式(n 为正整数),并证明. (1)(1-18)÷4972=97(2)(1-1n +1)÷n 2(n +1)(n +2)=n +2n .证明:左边=(1-1n +1)÷n 2(n +1)(n +2)=n n +1·(n +1)(n +2)n 2=n +2n =右边. 7.[2021合肥庐阳区二模]阅读下面内容,并将问题解决过程补充完整.√2+1=√2-(√2+√1)(√2-√1)=√2-1; √3+√2=√3-√2)(√3+√2)(√3-√2)=√3-√2; …√100+√99=√100-√99)(√100+√99)(√100-√99)=√100-√99.由此,我们可以解决下面这个问题:S=1+√2+√3+…+√100,请求出S 的整数部分.解:S=1+√2+√3+…+√100=21+1+√2+√2+√3+√3+…+√100+√100<21+1+1+√2+√2+√3+…+√99+√100=1+2(√2-1+√3-√2+…+√100-√99)=19,S=1+√2+√3+…+√100=21+1+√2+√2+√3+√3+…+√100+√100> √2-1+√3-√2+…+√101-√100)=2(√101-1)>18,∴S的整数部分是18.类型2图形中的规律探索8.[2021广西玉林]观察下列树枝分杈的规律图,若第n个图树枝数用Y n表示,则Y9-Y4=(B)A.15×24B.31×24C.33×24D.63×249.[2021湖南常德]如图中的三个图形都是由边长为1的小正方形组成的网格,其中第一个图形有1×1个小正方形,所有线段的和为4,第二个图形有2×2个小正方形,所有线段的和为12,第三个图形有3×3个小正方形,所有线段的和为24,按此规律,则第n个图形中所有线段的和为2n(n+1).(用含n的代数式表示)10.[2013安徽,18]我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2),图(3)……图(1)图(2)图(3)(1)观察以上图形并完成下表:图形的名称基本图的个数特征点的个数图(1) 1 7图(2) 2 12图(3) 3 17图(4) 4 22………猜想:在图(n)中,特征点的个数为5n+2(用含n的式子表示).(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1= √3;图(2013)的对称中心的横坐标为2013√3.图(n)11.[2021合肥蜀山区一模]观察与思考:我们知道,1+2+3+…+n=n(n+1),那么13+23+33+…+n3的结果等于多少呢?2请你仔细观察,找出下面图形与算式的关系,解决下列问题:…13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102(1)推算:13+23+33+43+53= 152;(2)概括:13+23+33+…+n3= [n(n+1)2]2;(3)拓展应用:求13+23+33+…+10031+2+3+…+100的值.解:(1)15 (2)[n(n+1)2]2(3)13+23+33+…+1003 1+2+3+…+100=[100×(100+1)2]2 100×(100+1)2=100×(100+1)2=5050.12.[2016安徽,18](1)观察下列图形与等式的关系,并填空:(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中“”的个数,用含有n的代数式填空:1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1= 2n2+2n+1.13.[2020合肥蜀山区模拟]如图,已知正方形ABCD内部有若干个点,则用这些点以及正方形ABCD的顶点A,B,C,D的连线把原正方形分割成一些三角形(线不交叉,三角形不重叠).(1)填写下表:正方形ABCD内点的个数1 2 3 4 …n分割后三角形的个数4 6 8 10 …2(n+1)(2)原正方形能否被分割成2021个三角形?若能,求此时正方形ABCD内部有多少个点;若不能,请说明理由.解:(1)补全表格如下.正方形ABCD 内点的个数 1 2 3 4 … n 分割后三角 形的个数4 6 8 10 … 2(n+1)(2)不能.设点数为n ,则2(n+1)=2021, 解得n=20192.∵20192不是整数,∴不能被分割成2021个三角形.【参考答案】题型五 规律探索题1.D 观察该组数据,第n 个式子的分子为2n-1,分母为n 2+1,当n=3时,2n -1n 2+1=510=12.故选D . 2.B 由题图可知,p=n 2,q=(n+1)2-1.∵q=143,∴(n+1)2-1=143,∴n=11,∴p=n 2=112=121. 3.m 2-m 由题意可知2+22+23+24+…+2198+2199=2200-2①,2+22+23+24+…+298+299=2100-2②,由①-②,得2100+2101+…+2198+2199=(2200-2)-(2100-2)=2200-2100=(2100)2-2100=m 2-m. 4~7.略8.B 9.2n (n+1)10.(1)22 5n+2 (2)√3 2013√3 11.略12.(1)42 n 2 (2)2n+1 2n 2+2n+1 13.略。

中考规律探索题——（类型一：数式规律）一、典题讲解题型1 :数的变化规律例1（2020云南昆明）观察下列一组数： -23，69，-1227，2081，-30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 .例2：（2021湖南怀化）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002m =，用含m 的代数式表示这组数的和是 .例3．（2021浙江嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ．题型2 :式的变化规律例1（2021甘肃）一组按规律排列的代数式：a +2b ，a 2﹣2b 3，a 3+2b 5，a 4﹣2b 7，…，则第n 个式子是 ．例2（2019•贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是 ．（n 为正整数）题型3:数阵的变化规律例1. (2021荆门)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第______行第______列．例2．(2021湖北十堰市)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019题型4:表格数的变化规律例1.(2020湖北十堰)根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n （）A. 17B. 18C. 19D. 20例2.在计数制中，通常我们们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。

而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。

已知二进位制与十进位制的比较如下表：请将二进位制10101010写成十进位制数为．二、跟踪练习1.（2015•永州）设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1=1，a 2=6，a 3=1，a 4=6．则a 1+a 2+a 3+…+a 2013+a 2014+a 2015= ．2. (2016郴州16题)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是 ．3. (2021云南)按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是( ) A. n 2a n ＋1 B. n 2a n－1C. n n a n ＋1D. (n ＋1)2a4. (2020张家界14题3分)观察下面的变化规律： 21×3＝1－13，23×5＝13－15，25×7＝15－17，27×9＝17－19，… 根据上面的规律计算：21×3＋23×5＋25×7＋…＋22019×2021＝________．5. (2021湘潭16题3分)天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年.2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．(用天干地支纪年法表示)6. (万唯原创)观察下列等式：第一个等式：a 1＝11×4＝13×(1－14)； 第二个等式：a 2＝14×7＝13×(14－17)；第三个等式：a 3＝17×10＝13×(17－110)；第四个等式：a 4＝110×13＝13×(110－113)；…按照上述规律，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2022＝( ) A. 20212022 B.20226067 C.20202021 D.606660677.（2020湖南娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．1898.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．239.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22021的末位数字是( ) A ．8B ．6C ．4D ．010．(2019永州)我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： （1）若s ＝1，则a 2＝ ；（2）若s ＝2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15＝ ．。

2024海南中考数学二轮专题训练题型六规律探索题类型一数式规律(热身小练)(1)若一列正整数：1，2，3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(3)若一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(6)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(9)若一列数：4，7，10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(典例精讲)例观察下列一组数据，其中绝对值依次增加2，且每两个正数之间有两个负数：1，－3，－5，7，－9，－11，13，…，则第10个数是________，第3n个数是________．(n为正整数).(满分技法)解答数式递推规律的方法：一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：第一步：标序数；第二步：对比序数(1，2，3，…，n)与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n＋1表示．(针对训练)1.观察下列各等式：①223＝2＋23；②338＝3＋38；③4415＝4＋415；…根据以上规律，请写出第5个等式：______________；第n 个等式为________________．2.一组按规律排列的代数式：a ＋2b ，a 2－2b 3，a 3＋2b 5，a 4－2b 7，…，则第7个代数式为________，第个代数式为________．3.观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：____________，第组勾股数为________________．4.按一定规律排列的一列数依次为－a 22，a 53，－a 84，a 115，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________，第n 个数是________．5.按规律排列的一列数：－12，25，－38，411，－514，…，则第20个数是________，第n 个数是________．(用含n 的式子表示)6.把正整数1，2，3，4，…，排列成如图所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…，按此规律，2020排在第______行、第________列；排在第m 行、第n 列的数为________，其中m ≥1，1≤n ≤8，且m ，n 都是正整数．第6题图类型二图形规律(典例精讲)例用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始每个图案比前一个图案多4个等边三角形和1个正方形，以此规律，回答下列问题：例题图(1)第5个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(2)第n个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(3)第2021个图案中等边三角形一共有______个；(4)第n个图案中等边三角形比正方形多______个；(5)若第n个图案中一共有62个等边三角形，则n的值为________．(满分技法)解答图形累加规律探索题具体步骤如下：第一步：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；第三步：寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化，一般分为两种情况：①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数m是最高次项为一次的整式m＝an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式m＝an2＋bn ＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值；第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．(针对训练)1.如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第⑪个图案的周长为________，第个图案的周长为________．第1题图2.如图，将图①的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图②，得到5个正方形；第2次将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形，…，按此规律进行下去，则第8次操作后，得到正方形的个数为________，第次操作后，得到正方形的个数为________．第2题图3.如图，观察下列图形，它们是按一定规律排列的，其中第①个图形有2个太阳，第②个图形有4个太阳，第③个图形有7个太阳，第④个图形有12个太阳，…，按照此规律，则第⑤个图形有________个太阳，第个图形有________太阳．第3题图4.如图的三角形图案为谢宾斯基(Sierpinski)三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第1个图案中有1个，第2个图案中有3个，第3个图案中有9个，第4个图案中有27个，…，按此规律，第6个图案中有________个涂有阴影的三角形，第n 个图案中有________个涂有阴影的三角形．第4题图5.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点，n条直线两两相交最多有________个交点．第5题图6.如图是小强用铜币摆放的4个图案，其中第1个图案中铜币个数有3个，第2个图案中铜币个数有5个，第3个图案中铜币个数有8个，第4个图案中铜币个数有12个，…，按此摆放图案的规律，第19个图案中需要______个铜币，第n个图案中需要__________个铜币．第6题图7.如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第(1)个图案有3个☆，第(2)个图案有7个☆，第(3)个图案有13个☆，第(4)个图案有21个☆，…按此规律摆下去，第(6)个图案有________个☆，第(n)个图案有________个☆(用含n的代数式表示).第7题图类型三周期规律(典例精讲)例如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．(针对训练)1.在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1A2A3运动，设第n 秒运动到P n(n为正整数)，则第58个等边三角形在第________象限，点P2019的坐标是________．第1题图2.有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第1个数是0，第2个数是1，那么前6个数的和是________，这2021个数的和是________．3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a n＝________，a3＋a100＝________．第3题图4.将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按如图所示有序排列．第4题图根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4，那么(1)“峰6”中D的位置是有理数________；(2)－2019应排在A，B，C，D，E中的________位置．参考答案类型一数式规律热身小练(1)n ；(2)2n －1；(3)2n ；(4)(－1)n ；(5)(－1)n ＋1或(－1)n －1；(6)n 2；(7)n 2＋1；(8)n 2－1；(9)3n ＋1.例19，－6n ＋1.针对训练1.6635＝6＋635；(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝n ＋1＋n ＋1n （n ＋2）【解析】第5个等式，等号左边根号外面是6，二次根式的分子也是6，分母是62－1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，∴第5个式子为6635＝6＋635；∴第n 个式子为(n ＋1)·n ＋1（n ＋1）2－1＝（n ＋1）＋n ＋1（n ＋1）2－1，化简得(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝（n ＋1）＋n ＋1n （n ＋2）.2.a 7＋2b 13，a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1【解析】∵第1个代数式为a 1＋(－1)1＋1×2b 1，第2个代数式为a 1×2＋(－1)1＋2×2b 2×2－1，第3个代数式为a 1×3＋(－1)1＋3×2b 2×3－1，第4个代数式为a 1×4＋(－1)1＋4×2b 2×4－1，…，则第7个代数式为a 1×7＋(－1)1＋7×2b 2×7－1＝a 7＋2b 13，∵当n 为奇数时，(－1)n ＋1＝1，当n 为偶数时，(－1)n ＋1＝－1，∴第n 个式子是：a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1.3.16，63，65；2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1【解析】观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(n ＋1)；第二个数是n (n ＋2)；第三个数是(n ＋1)2＋1.∴第⑦组勾股数为16，63，65.第n 组勾股数为2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1.4.－a 2610，(－1)n a 3n －11＋n 【解析】第1个数为－a 22＝(－1)1a 1×3－11＋1，第2个数为a 53＝(－1)2a 2×3－11＋2，第3个数为－a 84＝(－1)3a 3×3－11＋3，第4个数为a 115＝(－1)4a 4×3－11＋4，…，由此规律可知第9个数是(－1)9a 9×3－11＋9＝－a 2610.第n 个数是(－1)n a n ×3－11＋n ＝(－1)n a 3n －11＋n.5.2059，(－1)n n 3n －1【解析】∵－12＝(－1)1×13×1－1，25＝(－1)2×23×2－1，－38＝(－1)3×33×3－1，411＝(－1)4×43×4－1，－514＝(－1)5×53×5－1，…，∴第20个数是(－1)20·203×20－1＝2059，第n 个数是(－1)n ·n3n －16.253，4；8m ＋n －8【解析】∵2020＝8×252＋4，∴2020排在第253行第4列；根据数字排列规律：第m 行最后一列数字为8m ，∴排在第m 行第n 列的数为8m ＋n －8.类型二图形规律例(1)5，18；(2)n ，4n －2；【解析】第n 个图案有n 个正方形，当n ＝1时，等边三角形个数为2，当n ＝2时，等边三角形个数为2＋4×1＝6，当n ＝3时，等边三角形个数为2＋4×2＝10，当n ＝4时，等边三角形个数为2＋4×3＝14，∴第n 个图案中等边三角形的个数为2＋4(n －1)＝4n －2.(3)8082；(4)3n －2；(5)16.针对训练1.22a ＋2b ，2na ＋2b 【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a ＋b )，第②个图案的周长为2×2(a ＋b )－2×(2－1)b ，第③个图案的周长为3×2(a ＋b )－2×(3－1)b ，…，则第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2(n －1)b ，∴第⑪个图案的周长为11×2(a ＋b )－2×(11－1)b ＝22a ＋2b ，第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2×(n －1)b ＝2na ＋2b .2.33，4n ＋1【解析】逐部分分析如下：次数第一次第二次第三次…正方形个数5＝4×1＋19＝4×2＋113＝4×3＋1…由表可以看出，每个图案中正方形的个数＝4×(图形序数－1)＋1，，则第8次操作后，得到的正方形个数为4×8＋1＝33，第n 次操作后，得到的正方形个数为4n ＋1.3.21，n ＋2n －1【解析】如解图，将每个图形沿虚线分成上下两部分：第3题解图逐部分分析如下表：序数①②③④…太阳个数上部分1234…下部分1＝202＝214＝228＝23…总数24712…由表可以看出，上部分太阳的个数等于图形序数，下部分太阳的个数等于2的图形序数减1次方，故第⑤个图形中太阳的个数为5＋24＝21；第个图形中太阳的个数为n ＋2n －1.4.243，3n －1【解析】∵第1个图案中有1＝30个涂有阴影的三角形，第2个图案中有3＝31个涂有阴影的三角形，第3个图案中有9＝32个涂有阴影的三角形，第4个图案中有27＝33个涂有阴影的三角形，依次类推，第6个图案有243＝35个涂有阴影的三角形，∴第n 个图案中有3n －1个涂有阴影的三角形．5.190，12n (n －1)【解析】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有1＋2＝3＝12×3×2个交点；4条直线相交最多有1＋2＋3＝6＝12×4×3个交点；5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10＝12×5×4个交点；…；20条直线相交最多有12×20×19＝190个交点．n 条直线相交最多有12n (n －1)个交点．6.192，(12n 2＋12n ＋2)【解析】第1个图案中铜币个数为2＋1＝3；第2个图案中铜币个数为2＋1＋2＝5；第3个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＝8；第4个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＝12；…，第n 个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n (n ＋1)＋2，当n ＝19时，12n (n ＋1)＋2＝12×19×20＋2＝192.7.43，(n 2＋n ＋1)【解析】∵第1个图案有(12＋1＋1)＝3个☆，第2个图案有(22＋2＋1)＝7个☆，第3个图案有(32＋3＋1)＝13个☆，第4个图案有(42＋4＋1)＝21个☆，第5个图案有(52＋5＋1)＝31个☆，∴第6个图案有(62＋6＋1)＝43个☆，第n 个图案有(n 2＋n ＋1)个☆.类型三周期规律例(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)．针对训练1.一，(20192，32)【解析】由题图可知，3个等边三角形为一个周期，则58÷3＝19……1，∴第58个等边三角形和第一个等边三角形在同一个象限内，都在第一象限；如解图，作A 1H ⊥x 轴于点H ，∵△OA 1A 2是等边三角形，∴∠A 1OH ＝60°，OH ＝12OA 2＝12，∴A 1H ＝A 1O ·sin60°＝1×32＝32，∴A 1(12，32)，A 2(1，0)，同理可得A 3(32，32)，A 4(2，0)，A 5(52，－32)，A 6(3，0)，A 7(72，32)，由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：32，0，32，0，－32，0这样循环，∴2019÷6＝336……3，∴A 2019(20192，32)．第1题解图2.0，1【解析】由题意知，第1个数是0，第2个数是1，且任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，那么就有0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，0，…，按此规律，6个数一个周期，且前6个数的和为0，∵2021÷6＝336……5，而5个数的和为1，∴这2021个数的和为1.3.12n (n ＋1)，5056【解析】观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝(1＋2＋…＋n )＝12n (n ＋1)，则a 3＋a 100＝12×3×(3＋1)＋12×100×(100＋1)＝5056.4.(1)30；(2)C 【解析】(1)∵每个峰需要5个数，∴5×5＝25，25＋1＋3＝29，∴“峰6”中D 位置的有理数是30；(2)∵(2019－1)÷5＝403……3，∴－2019为“峰404”的第三个数，排在C 的位置．。