专题06 平面向量【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135- B. 1935-C.1735D.1935D 计算出()a a b ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________．23因为2=-c a ，0⋅=a b ， 所以22⋅=⋅a c a b2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．12由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB ，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB 的大小即向量AB 的长度（模），记为|AB |． （1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量 长度等于1个单位的向量单位向量记作a 0，a 0=||a a ．平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ．说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0； （2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB =（x 2–x 1，y 2–y 1）． 说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |． 特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立； ⑤cos θ=·||||a ba b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．（1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式．（2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C中，若D是BC的中点，则AD=12（AC+AB）；②O为△ABC的重心的充要条件是OA+OB+OC=0；③四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则AB+DC=2EF．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a∥b⇔a=λb（b≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔,AB AC共线．（3）若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0．（4）OA=λOB+μOC（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a，b为非零向量，且a∥b，则a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．（2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数． 7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a 2=a ·a =|a |2或|a |=（2）|a ±b ；（3）若a =（x ，y ），则|a |=8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解； （3）利用绝对值三角不等式||a |–|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |求模的取值范围． 9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a ，b 是非坐标形式，求a 与b 的夹角θ时，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b 求得； （2）坐标法：若已知a =（x 1，y 1）与b =（x 2，y 2），则cos<a ，b，<a ，b >∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．（2020·四川省阆中中学高三二模（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8D由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． ∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， ∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．7．（2020·四川省高三三模（文））如图，在ABC 中，D 是边BC 延长线上一点，23BC BD =，则（ ）A ．3122AD AB AC =- B ．1322AD AB AC =-+ C ．4133AD AB AC =- D ．1433AD AB AC =-+ B利用平面向量的三角形加法和减法法则即得解. 由题得1113()2222AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+. 故选B8．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））如图，圆O 是直角ADC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AD 的延长线于点B ，M 为线段BC 上的动点，连接AM 交CD 于N ，6,:1:3BCAD DB ==，则AC AM AB AN ⋅+⋅=（ ）A ．24B ．C ．39D ．18A先求出BD AD ==AC =.由题得90ACB ADC ==∠∠,由射影定理得2246,3BC BD AB BD BD BD AD ==⨯=⨯∴==由射影定理得23,CD AD BD CD AC =⨯==∴==所以()()AC AM AB AN AC AC CM AB AD DN ⋅+⋅=⋅++⋅+22(2cos024AC AC CM AB AD AB DN =+⋅+⋅+⋅=+=.故选A.11．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB在CD 方向上的投影为（ ）A 2B C ． D ． A(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ．12．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）若平面向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，|b ⃗⃗|=4，(a ⃗+2b ⃗⃗)•(a ⃗−3b⃗⃗)=−72，则向量a ⃗的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 C∵(a ⃗+2b ⃗⃗)·(a ⃗−3b ⃗⃗)=−72，∴|a ⃗|2−a ⃗·b ⃗⃗−6|b ⃗⃗|2=−72，又∵a ⃗·b ⃗⃗=|a ⃗|·|b ⃗⃗|cos60∘，∴|a ⃗|2−2|a ⃗|−24=0，则|a ⃗|=6，故选C13．（2020·四川省石室中学高三一模（文））在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()cos ,sin Aαα，cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.则OA OB +=（ ）A ．1BC ．2D ．与α有关B根据题意，求出向量OA 、OB 的坐标，进而可得OA OB +的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案.解：根据题意，()cos ,sin Aαα，cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则()cos ,sin OA αα=，cos ,sin 33OB ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则有cos cos ,sin sin 33OA OB ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故222cos cos sin sin 33OA OB ππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22cos cos 2sin sin 22cos 3333πππαααα⎛⎫⎛⎫=++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3OA OB +=故选B.15．（2020·四川省越西中学高一月考）若四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，,E F 分别为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅=（ ）A ．12- B ．12C ．32-D ．32A运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=， 可得22cos602AB AD ⋅=⨯⨯=，则1122EF A AE A D D B B ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭ ()1122AB AD AD AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭22111222AB AD AB AD ⎛⎫=-++⋅ ⎪⎝⎭11114422222⎛⎫=-+⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，故选A. 18．（2020·四川省阆中中学高一月考）已知向量(2,1)a =，(6,)b k =-，ab ⊥，则k =（ ）．A ．-12B ．-6C ．6D ．12D由向量垂直可得2(6)0a b k ⋅=⋅-+=，解出k 值即可. ∵向量(2,1)a =，(6,)b k =-，a b ⊥，∴2(6)0a b k ⋅=⋅-+=， ∴12k=，故选D ．19．（2020·四川省宜宾市第四中学校高三二模（理））已知向量a ，b 的夹角为2π，且()2,1a =-，2b =，则2a b +=（ ）A ．B ．3CD ．41C 利用222(2)a b a b +=+计算．由已知22(a =+=cos02a b a b π⋅==，∴222(2)a b a b +=+222244(5)4221a a b b =+⋅+=+⨯=，∴221a b +=．故选C ．22．（2020·遵义市南白中学高三其他（理））在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A ．13- B ．13C ．12-D ．12A先根据,2BD DC AP PD ==得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+，故可得1133AP AB AC =+，利用BP AP AB =-可得23BP AB AC =-+，故可计算λμ+的值． 因为,2,BD DC AP PD ==所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+, 所以1133AP AB AC =+,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+，因为BP AB AC λμ=+，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．27．（2020·贵州省贵阳一中高三月考（文））平面向量a 、b 满足4a =，2b =，()224a b a +⋅=，则2a b -=（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16B利用平面向量数量积的运算求得a b ⋅的值，计算出()2222a b a b -=-的值，进而可求得2a b -的值.()22224224a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⋅=，可得4a b ⋅=，()22222222444444216a b a ba ab b ∴-=-=-⋅+=-⨯+⨯=，因此，24a b -=.故选B.28．（2020·贵州省高三其他（文））若向量()1,2AC =，()1,4AB BC -=-，则AB =（ ）A ．()1,1-B ．()0,6C ．()2,2-D ．()0,3D求得AB BC +，由此求得AB . 依题意()1,2AB BC AC +==，所以()()1,21,4AB BC AB BC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩， 两式相加得()20,6AB =，所以()0,3AB =.故选D29．（2020·贵州省高三一模（理））已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9C由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求k 的值.解：由题意可得cos1352||||416a b a b ︒⋅===-⋅+， 求得9k=-，或1k =，故选C.33．（2020·寻甸回族彝族自治县民族中学高二月考（文））已知向量(),2m a =，()1,1n a =+，若//m n ，则实数a 的值为( ) A ．23- B ．2或1- C ．2-或1 D ．2-C根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得()a a 12+=，解可得a 的值，即可得答案．根据题意，向量()m a,2=，()n 1,1a =+，若m //n ，则有()aa 12+=，解可得a 2=-或1； 故选C ．通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.36．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））若非零向量,a b 满足(2)a a b ⊥+，则a b b+=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-A根据(2)a a b ⊥+，可得220a a b +⋅=，从而得出22a bb +=，即a b b +=，即得.由题得，2(2)20a a b a a b ⋅+=+⋅=，则2222a b a a b b +=+⋅+2b =，故a b b +=，则1a b b+=.故选A37．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））已知向量(2,8)a =，(4,2)b =-，且1()2c a b =+，那么向量c 等于（ ） A ．(1,5)- B ．(2,10)-C ．(6,6)--D ．(3,3)--A由题意结合平面向量线性运算的坐标表示即可得解.(2,8)a =，(4,2)b =-， ∴()()()1124,821,522c a b =+=-+=-. 故选A.38．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（文））已知向量()1,2a =，()3,4b =，则a 在b 方向上的投影为______.115设a 与b 的夹角为θ，利用平面向量数量积的坐标运算可求得a 在b 方向上的投影为cos a b a bθ⋅=，即可得解.设a 与b 的夹角为θ，所以，a 在b 方向上的投影为211cos 53a b a bθ⋅===+. 故答案为：115. 39．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知向量()1,2m =，()2,0n =，则m 在n 方向上的投影为______.1根据向量夹角的坐标表示，得到cos ,m n <>，再由投影的定义，即可得出结果. 因为向量()1,2m =，()2,0n =，所以cos ,52m n m n m n ⋅<>===⨯因此，m 在n 方向上的投影为cos ,515m m n <>=⨯=. 故答案为：1.42．（2020·四川省高三三模（理））已知向量()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，则实数λ的值为______.23- 由a b ⊥，故1230a b λ=⨯+=，即可解得； 解：因为()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，所以1230a b λ=⨯+=，解得23λ=- 故答案为：23-43．（2020·四川省绵阳南山中学高三其他（文））已知向量a 与b 的夹角为60︒，2a =，3b =，则32a b -=__________. 6.求出2(32)a b -即得解. 由题意，向量,a b 的夹角为60,2,3a b ==，所以22222(32)9124921223cos604336a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯⨯+⨯=， 所以326a b -=.故答案为：647．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________.6-由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-48．（2020·西藏自治区高三二模（文））已知向量()1,a m =，()2,1b =，且a b ⊥，则m =________．2-根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数m 的等式，即可求得实数m 的值.()1,a m =，()2,1b =且a b ⊥，则20a b m ⋅=+=，解得2m =-.故答案为：2-.49．（2020·西藏日喀则区南木林高级中学高三月考）设向量()2,3a =-，(),2b x x =，34a b ⋅=，则x =______. 13- 由向量数量积坐标公式计算可得 因为向量()2,3a =-，(),2b x x =，34a b ⋅= ，3(26)4x x -=，13x ∴=-故答案为：13-【点睛】本题考查平面向量数量积的运算. 平面向量数量积的运算常见思路与方法：根据定义计算数量积的思路：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解.利用坐标计算数量积的方法：先根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；再根据数量积的坐标公式进行运算即可．。
