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概率论与数理统计教学大纲（总学分：3 总上课时数：48）东南大学数学系一、课程的地位、作用与任务随着近代科学技术的迅速发展，使得我们研究的对象日俱复杂，过去用确定性数学研究的问题现在必须用随机的观念去看待，因为自然界的一切现象或多或少要受到随机因素的影响。
概率论、数理统计就是研究随机现象规律性的数学学科。
可以毫不夸张地讲，概率统计理论和方法已经渗透到工农业生产，国民经济各个部门，科学技术的各个领域。
概率论、数理统计已经成为经济管理；通讯信息；自动控制；计算机科学；生物医学；交通规划；机械设备、仪器仪表、建筑结构等学科体系的一块非常重要的理论基石。
开设本课程的目的，是使学生初步掌握概率统计的理论和方法，培养学生运用概率统计的理论和方法解决实际问题的能力，以便能够适应科学技术高速发展的需要。
二、教学内容与基本要求1． 随机事件与概率(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念。
掌握随机事件之间的关系。
(2) 理解概率、条件概率的概念。
掌握概率的基本性质。
掌握古典概率模型、几何概率模型中随机事件的概率计算。
(3) 掌握概率的对立事件公式、概率的加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式、Bayes 公式并应用这些公式计算有关随机事件的概率。
(4) 理解随机事件独立性的概念，掌握独立事件的有关性质。
掌握利用事件的独立性进行概率计算。
理解独立重复试验的概念，掌握独立重复试验中有关事件的概率计算。
2．随机变量及其概率分布(1) 理解随机变量、随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布律、连续型随机变量的概率密度的概念，掌握它们的性质。
(2) 掌握利用随机变量的概率分布计算有关事件的概率，掌握已知离散型随机变量的分布律、连续型随机变量的概率密度求其分布函数的方法。
(3) 掌握一些常见的随机变量及其概率分布的概念：（0—1）分布、二项分布),(p n B 、Poisson 分布)(λP 、几何分布、负二项分布、均匀分布、指数分布)(λe 、正态分布),(2σμN 及其应用。
大学概率论习题四详解(A)1、设随机向量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，对任意d c b a ,,,（d c b a <<,），证明：),(),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F d Y c b X a P +--=≤<≤<。
解 ),(),(),(d y c a X P d Y c b X P d Y c b X a P ≤<≤-≤<≤=≤<≤<),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--=2、一台仪表由二个部件组成，以X 和Y 分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧>>+--=+---其他00010*******y x e e e y x F y x y x ,,),()(...求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。
解 ),(∞<<∞<<Y X P 120120090701111120120120120424221212121.)()()(),(),(),(),(......==+--+----=+∞-∞-∞∞=------e e e e e e F F F F 3、设X 等可能的取1,2,3,4中的一个，Y 等可能的取1,… ,X 中的一个，求),(Y X 的联合分布及关于Y 的边缘分布列。
解 易见，X 和Y 的取值都是1,2,3,4，且X 取i 的概率为41,此时Y 取i ,, 1中一数j 的概率为i1,因此ij Y i X P 41===),(,而当j i <时0===),(j Y i X P 。
于是得到),(Y X 的联合分布：关于Y 的边缘分布列：4、某射手，每次击中目标的概率为p )10(<<p ，射击进行到第二次击中目标为止，设i X 表示第i次击中目标时所射击的次数)2,1(=i ，求),(21X X 的联合分布列、边缘分布。
《多元统计分析》MOOC2.1 多元分布王学民一、多元概率分布函数v随机向量：一个向量，若它的分量都是随机变量。
v 随机变量x 的分布函数：v 随机变量x 1和x 2的联合分布函数：v 随机向量的分布函数：v本课程主要讨论连续型的分布。
()12,,,p x x x '=x ()()F a P x a =≤()()121122,,,,,,p p p F a a a P x a x a x a =≤≤≤ ()()121122,,F a a P x a x a =≤≤二、多元概率密度函数v一元的情形：v二元的情形：vp 元的情形：v概率密度函数，简称概率密度或密度函数或密度。
()()d a F a f x x -∞=⎰12121212(,)(,)d d a a F a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰1111(,,)(,,)d d pa a p p pF a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰分布函数的概念主要用于理论上的讨论，本课程仅在此提一下，后面将不再提及。
分布用密度来描述较为方便。
概率密度的性质v一元密度f (x )的性质：v多元密度f (x 1,⋯,x p )的性质：1111(,,)0,,(,,)d d 1p p p p f x x x x f x x x x ∞∞-∞-∞≥=⎰⎰(1)，对一切实数；(2)。
()0()d 1f x x f x x ∞-∞≥=⎰(1)，对一切实数；(2)。
三、边缘分布v 边缘分布：p 维随机向量 的任意子向量的分布。
v边缘分布可以是关于一个变量，两个变量，…，p −1个变量的边缘分布。
()12,,,p x x x '=x四、条件分布v条件分布：在一些已知条件下的分布。
v例1研究某人群，x1——身高，x2——体重，该人群中x2的分布为f(x2)。
如果已知某人的x1=1.80（米），则对该人体重的推断应依据f(x2|x1=1.80)，而不是f(x2)。
上课材料之三：第二节 分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation)与方差(Variance)本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。
一、概率(Probability)1、概率定义(Definition of Probability)在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。
换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。
随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。
频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。
对于一个随机事件A ，用一个数P （A ）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P （A ）就称为随机事件A 的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。
对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。
有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。
概率的定义定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，如果它满足如下三个条件： （i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）若∈i A ，i=1,2…，且两两互不相容，则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 性质（iii ）称为可列可加性（conformable addition ）或完全可加性。
推论1：对任何事件A 有)(1)(A P A P -=；推论2：不可能事件的概率为0，即0)(=φP ； 推论3：)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。
