随机向量的函数的分布与数学期望

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4.1 数学期望的定义

0.3
解：设X:A击中环数；Y:B击中环数，则
A射击平均击中环数为
E ( X ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3
B射击平均击中环数为
E (Y ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
所以A的射击技术较B的好.
例 2：某工人工作水平为：全天不出废品的日子占 30%，出一个废品的日子占 40%，出二个废品占 20%，出三个废品占 10%。 ① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律； ② 这个工人平均每天出几个废品？ X 0 1 2 解： ① 分布律为：
(k 1)!
二、连续型随机变量的数学期望
定义:设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若

则称

xf ( x)dx绝对收敛

xf ( x)dx
为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). 即
E( X )

xf ( x)dx
即连续型随机变量X的数学期望是它的概率密度 f ( x) 与实数 x 的乘积在区间 (,)上的积分.
设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y) (g是连续函数). 这里，二维随机变量的情形只讨论离散型.
设二维随机向量(X,Y)的分布律为
P{X xi , Y y j } pij
则 E(Z ) E[ g ( X , Y )]
i, j 1,2,...
g ( x , y
i j i
即，平均分不是这6个不同成绩的简单平均，而是这6个不同的分数60、75、85、90、95、100与它们出现的概率2/10、2/10、3/10、1/10、1/10、1/10 的乘积之和. 这样，我们就引出了随机变量的数学期望的概念.

3.3随机向量函数的分布

e y , y 0 Y ~ f2 ( y) y0 0,
因为 X 和 Y 独立,所以
x y
x 0, y 0
其它
求 Z X Y 的密度函数.
b 0时 0, 1 e b be b , b 0时
e e , ( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 0,
ln2 0.2 ln 3 0.2 ln4 0.1
E (2 X Y )2 4 0.1 9 0.1 16 0.3 16 0.2 25 0.2 36 0.1 17.9
E ( XY ) 1 0.1 2 0.3 2 0.2 4 0.1 1.5
x yb b x
f ( x, y )dxdy
0
b x
e y dy
b
x yb
e ( e ) 0 dx e x 1 e x b dx 0
b 0
e x e b dx 1 e b be b 0
b

FZ (b) P Z b P X Y b
例设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数为 p 求的0 — 1分布， max X ,Y 和 min X ,Y 的数学期望.
解 X
0
P 1 p Y P
1 p 1 p
X
0
Y
0
1
Pi X
(1 p )2 p(1 p) 1 p
0
1 p
1
p(1 p)
Y j
p2
p
E max X ,Y
( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 要求 Z max X ,Y 的密度函数.

概率4-2 随机变量函数的数学期望

4-2 随机变量函数的数学期望
第四章
随机变量的数字特征
一、随机变量函数的数学期望设随机变量X 具有以下分布，试求Y 2 X的数学期望 3 1 5 Ｘ
P
0.3 0.4 0.3
解
Y P
2
0.3
6
0.4
10
0.3
E (Y ) 2 0.3 6 0.4 10 0.3 y1 p(Y y1 ) y2 p(Y y2 ) y3 p(Y y3 ) y1 p( X x1 ) y2 p( X x2 ) y3 p( X x3 ) g( x1 ) p( X x1 ) g( x2 ) p( X x2 ) g( x3 ) p( X x3 )
g ( x i ) pi
i 1 3
1
4-2 随机变量函数的数学期望
第四章
随机变量的数字特征
设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则; (1)若X为离散型,P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则E(g(X))=∑g(xn)pn (2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则E ( g ( X )) g ( x) f ( x)dx

1 4000 E (Y ) g ( x) f ( x)dx g ( x)dx 2000 2000 1 y 1 4000 1 2 6 ( 4 x y ) dx 3 ydx ( y 7000 y 4 10 ) 2000 2000 2000 y 1000

E[ g ( X , Y )]

g ( x, y) f ( x, y)dxdy
2
4-2 随机变量函数的数学期望
第四章

1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望

离散型随机变量
x1 , x2 ,, xn ，记设离散型随机变量X，一切可能值为
Pn P( X xn )
称 P1 , P2 ,, Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f (x )，
且 f(x ) ，使X取值于任意区间的概率 dx
E X1 E N .
例4 设某段时间内到达商场的顾客人数N服从参数为λ的泊松分布.每位顾客在该商场的消费额X 服从[a, b]上的均匀分布.各位顾客之间消费是相互独立的且与N 独立.求顾客在该商场总的消费额. 解设第i 个顾客消费额为Xi , 全体顾客在该商场总消费额为 N S Xi
2 2 E X EX m2 m1 2

描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
RXY EXY
CovX ,Y E X mX Y mY

def Cov X ,Y DX DY
⑦
相关系数不相关
xy

xy
0
描述两个随机变量的线性相关关系
三、条件数学期望 1.条件数学期望概念定义设(X, Y)是二维随机变量,条件分布函数
y dFY X y x 或
x dF X Y x y
FY X y x 或 F X Y x y 存在，若

则
E Y
x E (Y X x ) ˆ y dF Y X yx
在“X=x”的条件下,有条件概率密度 e y x , y x; fY X ( y x ) 其它. 0, E (Y X x ) yfY X ( y x )dy

随机变量的分布与期望

应用条件
要求随机变量序列独立同分布，且期望和方差存在。
中心极限定理
含义
中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
种类
包括独立同分布的中心极限定理、德莫佛-拉普拉斯定理等。
随机变量性质
随机变量取值随试验结果而定，但其取值带有随机性，同时取某一区间内的任何实数值都有一定概率。
离散型随机变量
离散型随机变量定义
01
全部可能取到的值是有限个或可列无限多个的随机变量。
常见的离散型随机变量分布
02
二项分布、泊松分布、超几何分布等。
离散型随机变量的数学期望和方差
03
数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取
关系
边缘分布函数可以从联合分布函数中推导出来，但联合分布函数不能由边缘分布函数唯一确定。
条件分布与独立性
条件分布
在多维随机变量中，当已知其中部分随机变量的取值时，其他随机变量的分布称为条件分布。
独立性
如果多维随机变量中任意两个子集的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称这两个子集相互独立。
随机变量的分布与期望
汇报人：XX 2024-01-29
目录
• 随机变量基本概念 • 常见离散型随机变量分布 • 常见连续型随机变量分布 • 随机变量数字特征：期望与方差 • 多维随机变量及其分布 • 大数定律与中心极限定理
01 随机变量基本概念
随机变量定义及性质
随机变量定义
设随机试验的样本空间为S={e}， X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。

随机变量函数及其分布

应用
正态分布在统计学中具有重要地位，广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。例如，在质量控制中，正态分布可用于描述产品质量的波动情况；在金融领域，正态分布可用于描述股票价格的波动等。
PART 04
随机变量函数数学期望与方差
REPORTING
WENKU DESIGN
数学期望定义及性质
定义：数学期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量取值的“中心位置 ”或“平均水平”。
https://
随机变量函数及其分布
https://
REPORTING
• 随机变量与函数概述 • 离散型随机变量函数分布 • 连续型随机变量函数分布 • 随机变量函数数学期望与方差 • 多维随机变量函数分布 • 随机变量函数在实际问题中应用
目录
PART 01
随机变量与函数概述
REPORTING
随机变量的数学期望具有线性性质，即多个随机变量的线性组合的数学期望等于各随机变量数学期望的线性组合。
随机变量线性变换的数学期望等于该随机变量数学期望的线性变换。
性质常数的数学期望等于该常数本身。
方差定义及性质
性质
随机变量线性变换的方差等于该随机变量方差的线性变换的平方。
定义：方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，反映了随机变量取值的离散程度。
随机过程在金融领域应用
股票价格预测
利用随机过程理论对股票价格进行建模和预测，包括布朗运动、随机游走等模型。
风险管理
运用随机过程方法对金融风险进行管理和控制，如信用风险、市场风险等。
金融衍生品定价
基于随机过程理论，对金融衍生品如期权、期货等进行定价和估值。
THANKS

§4.1数学期望

∑
万元） xi pi = 12 × 0.6 + ( −5) × 0.4 = 5.2 （万元）. i =1
2
称这个平均效益5.2万元为随机变量数学期望, 称这个平均效益万元为随机变量 X 的数学期望
2.数学期望的定义数学期望的定义定义如果
∞
设 X 是离散型随机变量，其概率分布为是离散型随机变量，
Y P
10 8 0 P { X ≤ 1} P {1 < X ≤ 4} P { X > 4}
所以产品价值的平均值为
E (Y ) = 10 × P{ X ≤ 1} + 8 × P{1 < X ≤ 4} + 0 × P { X > 4} 1 4 k 0.8 e −0.8 + 8 × 0.8 k e −0.8 + 0 = 10 × ∑ ∑ k! k =0 k ! k =2
ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = , 其它 0, 求 a 与 b 的值, 并求分布函数 F ( x ). 的值, 解解方程组得 a = 1, b = 1 / 2. 当 0 ≤ x < 1时, 有
P{ X > 4} = 1 − P{ X ≤ 4} = 1 − ∑ 0.8 e −0.8 k =0 k ! = 0.001 412, 所以产品的废品率为 0.001 412.
4
k
(2) 求产品价值的平均值. 求产品价值的平均值代表产品的价值, 的概率分布为: 解 ( 2) 设Y 代表产品的价值, 那么Y 的概率分布为:
落在各个时间区间的概率, 解先求出寿命 X 落在各个时间区间的概率, 即有
1 e − x / 10 dx = 1 − e −0.1 = 0.0952, P{ X ≤ 1} = ∫ 0 10

概率论与数理统计教学大纲

概率论与数理统计教学大纲（总学分：3 总上课时数：48）东南大学数学系一、课程的地位、作用与任务随着近代科学技术的迅速发展，使得我们研究的对象日俱复杂，过去用确定性数学研究的问题现在必须用随机的观念去看待，因为自然界的一切现象或多或少要受到随机因素的影响。

概率论、数理统计就是研究随机现象规律性的数学学科。

可以毫不夸张地讲，概率统计理论和方法已经渗透到工农业生产，国民经济各个部门，科学技术的各个领域。

概率论、数理统计已经成为经济管理；通讯信息；自动控制；计算机科学；生物医学；交通规划；机械设备、仪器仪表、建筑结构等学科体系的一块非常重要的理论基石。

开设本课程的目的，是使学生初步掌握概率统计的理论和方法，培养学生运用概率统计的理论和方法解决实际问题的能力，以便能够适应科学技术高速发展的需要。

二、教学内容与基本要求1．随机事件与概率(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念。

掌握随机事件之间的关系。

(2) 理解概率、条件概率的概念。

掌握概率的基本性质。

掌握古典概率模型、几何概率模型中随机事件的概率计算。

(3) 掌握概率的对立事件公式、概率的加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式、Bayes 公式并应用这些公式计算有关随机事件的概率。

(4) 理解随机事件独立性的概念，掌握独立事件的有关性质。

掌握利用事件的独立性进行概率计算。

理解独立重复试验的概念，掌握独立重复试验中有关事件的概率计算。

2．随机变量及其概率分布(1) 理解随机变量、随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布律、连续型随机变量的概率密度的概念，掌握它们的性质。

(2) 掌握利用随机变量的概率分布计算有关事件的概率，掌握已知离散型随机变量的分布律、连续型随机变量的概率密度求其分布函数的方法。

(3) 掌握一些常见的随机变量及其概率分布的概念：（0—1）分布、二项分布),(p n B 、Poisson 分布)(λP 、几何分布、负二项分布、均匀分布、指数分布)(λe 、正态分布),(2σμN 及其应用。

3.2概率论——随机变量的期望

X0
100
p 0.25 0.75
Pascal认为甲的所得应为0 0.25 100 0.75 75法郎
这不仅考虑了已赌的局数还包含了对再赌下去的一种
“期望” (Expectation),它比(1)的分法更为合理.
这就是数学期望这个名称的由来,也称为均值.就上例而言, 再赌下去的话 ,甲“平均”可以赢 75法郎.
(12 1) 0.3 (22 1) 0.3 3.4
例 8：设随机变量X的密度函数为
f ( x) co2s x 0
求：EX , E(2X 3), EX 2
x 2
else
EX
xf ( x)dx
2 x cos xdx 0
2
2
2
cos x
E(2 X 3) (2x 3) f ( x)dx (2x 3) dx 3
若令g(X,Y)=X,
EX
xf ( x, y)dydx
xf X ( x)dx
类似地，
EY
yf
( x,
y)dxdy
yfY ( y)dy
即可以由联合密度直接求出X, Y的期望
例10：设X ,Y的联合分布为
Y X
1
1
1 0.25 0 0.25
1
0.5 0.25 0.75
0.75 0.25
1
p( qk )
1
p q
1q
p(1 q) pq (1 q)2
1 p
直观理解一致吗? 记住上述两个结果!
定义3.2
设c.r.v.X
的
p.d.f.
为f
(x),
如
果积分
xf
(
x
)dx绝对收敛，