一次函数之存在性问题（讲义）
一、知识点睛
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查_______________.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：
1.把函数信息（_________________）转化为几何信息；
2.分析特殊状态的形成因素，画出______________________；
3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的_______
_______建立等式来解决问题．
二、精讲精练
1.
如图，直线
3
y x
=+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为__________________．
2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且
4
3 OC
OB
.
（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
.
3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y
轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC
=，点C的坐标为
(-9，0)．
（1）求点B的坐标．
（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表
达式．
（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.
D ，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 如图，直线1
22
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线1
22
y x =+上的一个动点
（点P 不与点A 重合）．
（1）在点P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 之 间的函数关系式．
（2）当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27
8
？求出 此时点P 的坐标．
（3）过P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于E ，F 两点，是 否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
一、知识点睛
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 4. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 5. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；
6. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题． 二、精讲精练
1
．333(44或(或或(
2．（1）B (3，0)，4
3
k =
（2）A (6，4)
（3
）123413
(120)03
P P P P 或(-)或，或(，) 3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3
（3
）123433(3
0)(22
P P P P ，或或或(，) 4．1261224
()(46)5555
--，或(，)或，
5．（1）3
3(4)4
33(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩
（2）1217919()2424P P -
-，或(，) （3）12
412124
()5555
P P ，或(-，)
一次函数之存在性问题（随堂测试）
1.如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于点B，点C，且
1
2 OC
OB
=．
（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A(x，y)是第一象限内直线y=kx-1上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1．（1）B(2，0)，
1
2 k=
（2）A(6，2)
（3
）
1234
10
(120)0
3 P P P P
或(-)或，或(，)
一次函数之存在性问题（作业）
6.如图，直线4
y x
=+与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第二象限内的点，若点P，O，A组成了一个含30°角的直角三角形，则点P的坐标为_______________________．
7.如图，将Rt△AOB放入平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在
x轴上，点B在y轴上，OB
=BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得边OB落在AB上，点O与点D重合．
（1）求直线BE的解析式．
（2）求点D的坐标．
（3）x轴上是否存在点P，使△PAD是等腰三角形？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
