练习一
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？
2. 试导出计算积分1
(1,2,3,4)14n n x I dx n x ==+⎰的递推计算公式111()4n n I I n -=-，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解：1111
1111
0000
141()14414414n n n n n n n x x x x x I dx dx x dx dx x x x ----+-===-+++⎰⎰⎰⎰
1
11
()4n n I I n -∴=
- 1
00
11
ln50.402144I dx x ==≈+⎰ 1021324311
(1)0.150, (1)0.2134411
(1)0.197, (1)0.201
44
I I I I I I I I =
-≈=-≈=-≈=-≈
此算法是数值稳定的。 3. 试证明 n
T n i n
i x x x x x x R ∈==≤≤∞
),,(,
max 211 及.)(,max 1
1n n ij n
j ij n
i a A a A
⨯=≤≤∞
∈==∑R
证明：
（1）令1max r i i n
x x ≤≤=
1/1/1/1/1
11
lim()
lim [()]lim [()]lim n
n
n
p i r p
p p p p p i r r r r p p p p i i i r r x x
x
x x x x n x x x ∞
→∞
→∞→∞→∞=====≤=⋅=∑∑∑ 即r x
x ∞
≤
又1/1/1
1
lim(
)
lim()n
n
p p
p
p i r r p p i i x x x →∞
→∞
==≥=∑
∑
即r x
x ∞
≥ r x x ∞=
114
)1(...)(41e I I I I e n n
n n n n n -==--=-=--
⑵ 设1(,...)0n x x x =≠，不妨设0A ≠，
令11
max
n
ij
i n
j a
μ≤≤==∑11111
1
1
max max max max n n n
ij j ij j i ij i n
i n
i n
i n
j j j Ax
a x a x x a x μ∞
∞≤≤≤≤≤≤≤≤====≤≤=∑∑∑
即对任意非零n x R ∈，有
Ax x
μ∞∞
≤ 下面证明存在向量00x ≠，使得
00
Ax x μ∞∞
=，
设01
n
i j
j a
μ==
∑，取向量01(,...)T
n x x x =。其中0()(1,2,...,)j i j x sign a j n ==。
显然0
1x ∞
=且0Ax 任意分量为0
1
1
n n
i j j i j i i a x a ===∑∑，
故有00
1
1
max
n
n
ij j
i j i
i j Ax a x
a μ∞
=====∑∑即证。
4. 已知⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=6134A ，=1A ___________，=2A _______________ 。 5. 已知矩阵321230103A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，试计算A 的谱半径()A ρ。
解： 23
21
()det()2
3
0(3)(64)01
3
A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--
max 3()3A λρ=+=+
6. 已知21
0121012A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，试计算1||||A ，||||A ∞，||||F A ，2||||A
3
113
1
1||||max ||5ij j i A a ≤≤===∑解：（）
3
13
1
||||max ||5ij i j A a ∞≤≤===∑
13
3
22
1
1
||||(||)4F ij
i j A a
====∑
∑
2||||3A ==
7.
11471236,0,_________;________.0811A X A AX
∞
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则
8. 古代数学家祖冲之曾以113
355
作为圆周率π的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 解：1325
0.31415929210133
x =
=⨯ 617355
0.266100.510113
x x π*---=-
=⨯≤⨯该近似值具有7为有效数字。 9. 若T (h )逼近其精确值T 的截断误差为
∑∞
==-=1
2)(:)(i i i h A T h T T R
其中，系数i A 与h 无关。试证明由⎪⎩
⎪⎨⎧=--==-- ,2,1,14)
()2(4)(
)()(110m h T h
T h Tm h T h T m m m m 所定义的T 的逼近序列)}({h T m 的误差为∑∞
=+=-1
22)
()(i m m i
m h A
T h T ，
其中诸)
(m i
A 是与h 无关的常数。
证明：当m=0时 20i 1
T h T=
i
i h
∞
==∆=∑左边（）-右边
设m=k 时等式成立，即()
22k i 1
T h T=
k k i i
h ∞
+=∆
∑（）-
当m=k+1时
1()22()22111111
4[()][()]4()()
22T h T==4141
k k k i k k i k i i k k i i k k k h h T T h T T h T T ∞∞
++++==++++∆-+∆-----∑∑（）-
()2(1)21
()k k i i i h ∞
++==∆∑ 即证。
