第八章 矩阵特征值计算
1 特征值性质和估计
工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1.1 特征值问题及性质
设矩阵n n ?∈A R （或n n ?C ），特征值问题是：求C λ∈和非零向量n R ∈x ，使
λ=Ax x (1.1)
其中x 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。A 的全体特征值组成的集合记为sp()A 。 求A 的特征值问题(1.1)等价于求A 的特征方程
()det()0p I λλ=-=A (1.2)
的根。因为一般不能通过有限次运算准确求解()0p λ=的根，所以特征值问题的数值方法只能
是迭代法。反之，有时为了求多项式
111()n n n n q a a a λλλλ--=++++L
的零点，可以把()q λ看成矩阵
123101010n a a a a ----????????????????
L O O 的特征多项式（除(1)n -因子不计）。这是一个Hessenberg 矩阵，可用QR 方法求特征值，从而求出代数方程()0q λ=的根。
矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵A 的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given 方法和Householder 方法；求任意矩阵全部特征值的QR 算法。
在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。
定理1 设n n R ?∈A ，则
(1) 设λ为A 的特征值，则λμ-为μ-A I 的特
征值；
(2) 设12,,,n λλλL 是A 的特征值，()p x 是一多项
式，则矩阵()p A 的特征值是12(),(),,()n p p p λλλL 。特别地，k A 的特征值是12,,,k k k n λλλL 。 定理２ (1)设n n R ?∈A 可对角化，即存在非奇异矩阵P 使
121n P P λλλ-?? ? ?= ? ??
?A O 的充分必要条件是A 具有几个线性无关的特征向量。
(2) 如果A 有m 个()m n ≤不同的特征值12,,,m λλλL ，则对应的特征向量12,,,m x x x L 线性无关。
定理３ 设n n R ?∈A 为对称矩阵，则
(1) A 的特征值均为实数。
(2) A 有n 个线性无关的特征向量。
(3) 存在一个正交矩阵P 使
第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有数λ存在，满足， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.
如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为: x λ ()0 I A x λ-=||0 I A λ-=即1110 ()||...n n n f I A a a a λλλλλ--=-=++++记 它是关于参数λ的n 次多项式，称为矩阵A 的特 征多项式， 其中a 0=(-1)n ｜A ｜. (2)
显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是的根. 反之，如果λ是的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根 . ()0 fλ= ()0 fλ=
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与A T有相同的特征值. 定理9.1.4 设λ ≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 i 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，x T y=0 .
9.2 Hermite矩阵特征值问题?设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为A H. 如果A=A H，那么，A称为Hermite矩阵.
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A、初始向量( 0)，误差eps； (2) k 1； (3)计算V(k)A(k 1)； (4)m k max(V(k)) ,m k1max( V ( k 1))； (5) (k)V(k)/m k； (6)如果m k m k 1eps,则显示特征值1和对应的特征向量x(1) ),终止； (7)k k 1, 转(3) 注：如上算法中的符号max(V )表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input[" 系数矩阵A="]; u=Input[" 初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input[" 误差精度eps ="]; nmax=Input[" 迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k