7-7-1.容斥原理之重叠问题(一)
軌吐教学目标
1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;
2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
一、两量重叠问题
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算?求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把
两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,
用式子可表示成: A[JB=A+B—AP|B(其中符号“”读作并”,相当于中文和”或者或”的意思;符号“ 读作交”,相当于中文且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理?图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:A"B,即阴影面积?图示如下:A表示小圆
部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:AP]B,即阴影面积.
先包含一一A - B
重叠部分A"B计算了2次,多加了1次;
2.再排除一一A ? B — A^B
把多加了1次的重叠部分 A" B减去.
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合 A B的并集AUB的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步:分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求 A B(意思是把A、B的一切元素都包含”进来,加在一起);
第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C二A "B (意思是排除”了重复计算的元素个数).
、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数-既是A类又是B类
的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元
4V
1.先包含:
重叠部分
2 ?再排除:
重叠部分
素个数.用付号表示为: A UB Uc 二A ? B ? C -AflB -B-A^C - Bf] C .图示如下:
图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数, 大圆表示C的元素的个数.
ABC
A P|B、B^C、C“A重叠了2次,多加了1次.
A ?
B ?
C -A“B -B“C -A"
A" B PI C重叠了3次,但是在进行A B C -
A D
B —B FI
C —A"C计算时都被减掉了.
■ 3.再包含:A B C - A B - B C - A C A Bfl C . _ ' 在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.
:\[L 例题精讲
两量重叠冋题
【例1】小明喜欢:踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学;小英喜欢:数学、英语、音乐、陶艺、跳
绳。用圆A 、圆B 分别表示小明、小英的爱好,如图所示,则图中阴影部分表示
____
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】如图所示,A 圆表示参加语文兴趣小组的人, B 圆表示参加数学兴趣小组的人,
A 与
B 重合的部分
C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人?图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参
加数学兴趣小组的人,有 28-12=16(人);图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人,有 29-12=17(人)?
方法一:由此得到参加语文或数学兴趣小组的有: 16 ? 12 ? 17=45
(人)?
方法二:根据包含排除法,直接可得:
参加语文或数学兴趣小组的人 =参加语文兴趣小组的人 +参加数学兴趣小组的人 -两个小 组都参加的人,即: 28 29-12=45(人)?
【答案】45人
【巩固】芳草地小学四年级有 58人学钢琴,43人学画画,37人既学钢琴又学画画,问只学钢琴和只学画画 的分别有
多少人?
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 解包含与排除题,画图是一种很直观、简捷的方法,可以帮助解决问题,画图时注意把不同的对象
【考点】两量重叠问题
【难度】1星 【关键词】希望杯,四年级,二试,第 3题 【解析】阴影部分是两人都爱好的:数学、音乐 【答案】数学、音乐
【例2】 四(1)班全体同学站成一排,当从左向右报数时,小华报:
那么该班有学生 _______________ 名。
【考点】两量重叠问题
【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第 2题 【解析】该班学生人数为:18 ?13-1=30 (名)。 【答案】30名
18;当从右向左报数时,小华报:
13.
【例3】实验小学四年级二班,参加语文兴趣小组的有 28人,参加数学兴趣小组的有 29人,有12人两个小 组都参加
?这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组?
与不同的区域对应清楚?建议教师帮助学生画图分析,清楚的分析每一部分的含义.
如图,A圆表示学画画的人,B圆表示学钢琴的人,C表示既学钢琴又学画画的人,图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人,有:43—37=6(人),图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人,
有:58—37 =21(人)?
【答案】21人
【巩固】四(二)班有48名学生,在一节自习课上,写完语文作业的有30人,写完数学作业的有20人,语文数学都没写完的有6人.
⑴问语文数学都写完的有多少人?
⑵ 只写完语文作业的有多少人?
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答
【解析】⑴ 由题意,有48 -6 =42(人)至少完成了一科作业,根据包含排除原理,两科作业都完成的学生有:
30 20 -42=8(人)?
⑵ 只写完语文作业的人数二写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数,即30-8 =22(人)? 【答案】22人
【巩固】四(1)班有46人,其中会弹钢琴的有30人,会拉小提琴的有28人,则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有_________________ 人。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第6题
【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有 46-34=12人
【答案】12人【例4】如图,圆A表示1到50这50个自然数中能被3整除的数,圆B表示这50个数中能被5整除的数,
则阴影部分表示的数是
【考点】两量重叠问题【难度】1星
【关键词】希望杯,四年级,二试,第4题
【解析】阴影部分是A和B共有的,即1到50这50个自然数中能被 3^5= 15整除的数,即15, 30, 45
【答案】15 , 30 , 45
【例5】学校为了丰富学生的课余生活,组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部,同学们踊跃报名参加,其中有321人报名参加乒乓球俱乐部,429人报名参加了篮球俱乐部,但学校最后发现有50人既报名
参加了乒乓球俱乐部,又报名参加了篮球俱乐部,还有23人什么俱乐部都没报名,问该学校共有
名学生.
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】学而思杯,4年级,第5题
【解析】321 - 429 -50 23 =723人
【答案】723人
【例6] 某班共有46人,参加美术小组的有12人,参加音乐小组的有23人,有5人两个小组都参加了 .这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人?
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答
【解析】已知全班总人数,从反面思考,找出参加美术或音乐小组的人数,只需用全班总人数减去这个人数,就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数?根据包含排除法知,该班至少参加了一个小组的总人数为12+23-5=30 (人).所以,该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30 = 16(人)?
【答案】16人
【巩固】四年级一班有45人,其中26人参加了数学竞赛,22人参加了作文比赛,12人两项比赛都参加了.