系统辨识习题解答
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系统辨识习题解答
1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA 模型描述，请将该过程的输入输出模型写成
最小二乘格式。
提示：① MA 模型z k D z u k ()()()=-1
② 定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --==ΛΛh 解：因为MA 模型z k D z u k ()()()=-1，其中
n n z d z d d z D ---+++=Λ1101)(，从而
所以当定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --==ΛΛh ，则有最小二乘格式：
)()()()()(0k e k k e k h d k z n
i i i +=+=∑=θτ
，
其中e(k)是误差项。
2-3、设)}({k e 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种
模型来描述它。
请解释如何用白噪声和表示定理把)(k e 表示成AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环
节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成 即 )()()()(11k v z D k e z C --= 其中 c c n n z c z c z C ---+++=Λ1111)(
根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：
自回归模型（AR 模型）： )()()(1k v k e z C =- 平均滑动模型（MA 模型）： )()()(1k v z D k e -= 自回归平均滑去模型（ARMA 模型）： )()()()(11k v z D k e z C --= 3－4、根据离散Wiener-Hopf 方程，证明
解：由于M 序列是循环周期为t N P ∆，12-=P P N ，t ∆为M 序列移位脉冲周期，自相关函数
近似于δ函数，a 为M 序列的幅度。
设数据的采样时间等于t ∆，则离散Wiener-Hopf 方程为：
当M 序列的循环周期t N P ∆大于过程的过渡过程时间时，即P N 充分大时，离散Wiener-Hopf 方程可写成：
由于M 序列的自相关函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠-==ΛΛ,2,,0,,2,,0,)(22P P P P P M N N k N
a N N k a k R ，
代入上式得 4－ 证明：
（1）1)]()()1()(1)[()1()()(--+-=k k k k k k k k Λh P h h P h P τ (2) 1)]()()()(1)[()()()1(--=-k k k k k k k k Λh P h h P h P τ， (3) 1)]()()1()(1)[()1()()()()(--+-=k k k k k k k k k k Λh P h h P h h P h τττ, (4) 1)]()()()(1)[()()()()1()( --=-k k k k k k k k k k Λh P h h P h h P h τττ, 解： (1) 由于
1
1
)]
()()1()()[()1()()
1()]()([)(--Λ+--=--=k k h k P k h k h k P k K k k h k K I k τ
τP P ，
所以 （2）由于
1)]()()1()(1)[()1()()(--+-=k k k k k k k k Λh P h h P h P τ，
及
（3）由于
1)]()()1()(1)[()1()()(--+-=k k k k k k k k Λh P h h P h P τ，
所以 （4）由于
1)]()()()(1)[()()()1(--=-k k k k k k k k Λh P h h P h P τ，
所以
4－18、考虑如下模型
其中，u (k )和z (k )是模型的输入输出变量，v (k )是零均值白噪声。
定义参数向量 请利用增广最小二乘思想，写出模型参数θ的递推辨识算法。
解：令
及⎪⎩⎪⎨⎧=--------=τ
τ
θ]
,,,,,,,,[)](,),1(),(,),1(),(,),1([)(111d b a n n n f d b f f a f f f d d b b a a n k v k v n k u k u n k z k z k h ΛΛΛΛΛΛ 则模型化成最小二乘格式：)()()(k v k h k z f f f +=θτ
令)()(1)(1k v z C k e -=，及⎪⎩⎪⎨⎧=----=τ
τ
θ]
,,[)]
(,),1([)(1c n e c e c c n k e k e k h ΛΛ 则噪声模型也化成最小二乘格式：)()()(k v k h k e e e
+=θτ
数据向量h e (k)包含着不可测的噪声量，这可用相应的估计值代替：
其中，⎪⎩
⎪⎨⎧-=≤=Λ
Λ
Λ
)()()()(;
0,0)(k k h k z k e k k e f θτ
则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法： θ可表示成：
4－19、考虑如下模型
其中，u (k )和z (k )分别为模型的输入和输出变量，它们是可测的；v (k )是零均值白噪声，它是不可测的。
试从Markov 估计概念出发，证明该模型的参数向量θτ
=[,,,,]a a b b n n 11ΛΛ的估计值∃θ可以写成如下加权最小二乘算法的形式∃()θττ=-H H H z L L L L L L ΛΛ1， 式中，H L 为数据矩阵，z L 为输出向量，加权矩阵取ΛL v
=1
2
σ
τC C ，其中矩阵C 为
解：令 及
则模型化成最小二乘格式：)()
()(k v k h k z f f +=θτ 准则函数取2])()()[()(θθτ
∑=-Λ=L
1k f f k k z k J h ，其中)(k Λ为加权因子，对所有的k ，)
(k Λ都必须大于零。
对于L k ,,,Λ21= (L 为数据长度)，可以构成线性方程组L fL fL v +=θH z
式中 ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨⎧=⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--------------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡==ττ)](,),1([)()1()()1()2()1()2()1()1()
0()1()0()()2()1()](,),1([T T T L v v v n L u L u n L z L z n u u n z z n u u n z z L L z z L f f f f f f f f f f f f f f f fL f f fL ΛΛ
Λ
M ΛM M ΛM Λ
Λ
Λ
ΛM Λh h h H z
则)()()(θθθτfL fL L fL fL J H z H z -Λ-=，式中L Λ为加权矩阵，它是正定的对角阵，由加权因子)(k Λ构成
ΛL
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΛΛΛ)(0
0)2(000)1(L Λ
M O M M Λ
Λ， 设WLS ˆθ使得J （θ）最小，则有： 从而：
fL L fL fL L fL H H z H Λ=ΛττθWLS ˆ)(，
当fL L fL H H Λτ
是正则矩阵时，模型的加权最小二乘解为
fL L fL fL L fL z H H H ΛΛ=-ττθ1WLS )(ˆ。
由于L fL H z C H )(1-=，L fL z z C z )(1-=， 所以
由Markov 估计，12
)(}{}{-===∑C C v v E v Cov v L L L v ττ
σ,其中矩阵C 为
C =
--⎡⎣
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥1
111011211111
c c c c c c c c c n n n n M
O O ΛM O O
O O ΛΛΛ，
取加权阵C C v v
L τσ2
1
1
=∑=Λ-。
P532/4：解：（1）由参数估计值偏差的估计式： 我们有：
)
(~)]()()()[(~)
(~
)]()()()][()()()[(~
)1(~
)1(~
k k k k k k k k k k k k k k k θR I θθR I R I θθθτ
ττττττh h h h h h -=--=++ （A ） 由于)(,),(1k h k h N Λ为独立同分布，均值为零的不相关随机变量，因此有： 对（A ）式两边求期望值，我们有：{
}
{
}2
2
)
(~11)
1(~
k E N k E θθ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+
由此递归式子，可得：{
}
{}
22
)0(~11)
(~
θθE N k E k
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-= （B ） （2）由指标的估计式：{
}ε==
2)
(~
)(θθk E k e
将初值0θ
=)0(ˆ和（B ）式代入，两边取对数，有：⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-=*N k 11ln ln 2ε
证毕。
