人教版 九年级数学上册 21-23章 期中复习(含答案)

人教版数学九年级上册21.2-解一元二次方程一、选择题1.一元二次方程4x2−2x−1=0的根的情况为()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2.方程x2+6x−5=0的左边配成完全平方后所得方程为()A. (x+3)2=14B. (x−3)2=14C. (x+3)2=4D. (x−3)2=43.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≥94B. m≤94C. m>94D. m<944.菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长等于()A. 10cmB. 12 cmC. 16cmD. 12cm或16cm5.若x1，x2是一元二次方程x2−4x−5=0的两根，则x1⋅x2的值为()A. −5B. 5C. −4D. 46.已知(x2+2x−3)0=x2−3x+3，则x的值为()A. 2B. −1或−2C. 1或2D. 17.若关于x的方程2x2−ax+2b=0的两根和为4，积为−3，则a，b分别为()A. a=−8，b=−6B. a=4，b=−3C. a=3，b=8D. a=8，b=−38.已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−6=0的两个实数根，那么直线y=(1x1+1x2)x−(x12+x22)不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9.设a，b是方程x2+x−2020=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为()A. 2018B. 2019C. 2020D. 202110.若一元二次方程x2−x−2=0的两根为x1，x2，则(1+x1)+x2(1−x1)的值是()A. 4B. 2C. 1D. −211.若√x−2y+9与|x−y−3|互为相反数，则x+y的值为()A. 3B. 9C. 12D. 2712.方程(x2+x−1)x+2020=1的整数解的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题13.如果一元二次方程x2−6x+m−1=0有两个相等的实数根，则m=______．14.一元二次方程x2−8x+a=0，配方后为(x−4)2=1，则a=______．15.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0的两个实数根，且x12+x22−x1x2=13，则k的值为______．16.已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(b−c)x2+2(a−b)x+b−a=0有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是_________三角形．17.在解方程x2+px+q=0时，小明看错了p，解得方程的根为1和−3;小红看错了q，解得方程的根为4和−2，则p=，q=．三、计算题18.用因式分解法解下列方程：(1)(x+2)2=9；(2)4(y−3)2−25(y2−4y+4)=0．四、解答题19.用配方法求一元二次方程(2x+3)(x−6)=16的实数根．20.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．21.已知关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x12+x22−x1x2=16，求a的值．22.已知在▵ABC中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.将形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．(1)请直接写出一个“直系一元二次方程”．(2)求证：关于x的“直系一元二次方程”必有实数根．(3)若x=−1是“直系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且S▵ABC=3，求√2a−c+√3b的值．答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】B 10.【答案】A 11.【答案】D 12.【答案】C 13.【答案】10 14.【答案】15 15.【答案】−2 16.【答案】等腰 17.【答案】−2 ; −318.【答案】解：(1)原方程可变形为(x +2)2−9=0，∴(x +2+3)(x +2−3)=0， ∴x +5=0或x −1=0， 解得：x 1=−5，x 2=1；(2)原方程可变形为[2(y −3)]2−[5(y −2)]2=0， ∴[2(y −3)+5(y −2)][2(y −3)−5(y −2)]=0， ∴(7y −16)(−3y +4)=0， ∴y −16=0或−3y +4=0， 解得：y 1=167，y 2=43．19.【答案】解：原方程化为一般形式为2x 2−9x −34=0，x 2−92x =17，x 2−92x +8116=17+8116， (x −94)2=35316，x −94=±√3534， 所以x 1=9+√3534，x 2=9−√3534．20.【答案】(1)证明：∵在方程x 2−(k +3)x +2k +2=0中，△=[−(k +3)]2−4×1×(2k +2)=k 2−2k +1=(k −1)2≥0， ∴方程总有两个实数根；(2)解：∵x 2−(k +3)x +2k +2=0， 即x 2−(k +3)x +2(k +1)=0， 即(x −2)(x −k −1)=0， ∴x 1=2，x 2=k +1． ∵方程有一根小于1， ∴k +1<1， 解得：k <0，∴k 的取值范围为k <0．21.【答案】解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2−2(a −1)x +a 2−a −2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=[−2(a −1)]2−4(a 2−a −2)>0， 解得：a <3， ∵a 为正整数， ∴a =1，2；(2)∵x 1+x 2=2(a −1)，x 1x 2=a 2−a −2，∵x 12+x 22−x 1x 2=16，∴(x 1+x 2)2−3x 1x 2=16， ∴[2(a −1)]2−3(a 2−a −2)=16， 解得：a 1=−1，a 2=6， ∵a <3， ∴a =−1．22.【答案】解：(1)答案不唯一，如3x2+5√2x+4=0．(2)证明：由题意可知，“直系一元二次方程”的Δ=(√2c)2−4ab=2c2−4ab．∵c2=a2+b2，∴Δ=2(a2+b2)−4ab=2(a−b)2≥0，∴关于x的“直系一元二次方程”必有实数根．(3)∵x=−1是“直系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，∴a⋅(−1)2+√2c⋅(−1)+b=0，即a−√2c+b=0，∴a+b=√2c，等式两边同时平方得(a+b)2=(√2c)2，化简得a2+2ab+b2=2c2．由题意得a2+b2=c2，∴c2+2ab=2c2，∴2ab=c2，∴a2+b2=2ab，∴a2+b2−2ab=0，即(a−b)2=0，∴a−b=0，即a=b．∵S▵ABC=3，∴12ab=3，∴a2=6，解得a=√6或a=−√6(舍去)，∴b=√6．∵a2+b2=c2，∴c2=12，解得c=2√3或c=−2√3(舍去)．将a=b=√6，c=2√3代入√2a−c+√3b，原式=2√3−2√3+3√2=3√2．21.3实际问题与一元二次方程一．选择题1．某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛．如果全队有x 名队员，根据题意下列方程正确的是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．D．2．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为（）A．x（x﹣1）＝1980B．x（x+1）＝1980C．x（x+1）＝1980D．x（x﹣1）＝19803．如图将一张正方形纸片一边剪去一个宽为1cm的矩形纸片后，再从剩下的矩形纸片上剪去一个宽为2cm 的矩形纸片，剩余矩形纸片的面积为18cm2，求原正方形纸片的边长，设原正方形纸片的边长为xcm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝04．某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．400（1+x2）＝900B．400（1+2x）＝900C．900（1﹣x）2＝400D．400（1+x）2＝9005．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番（“翻一番”表示为原来的2）在本世纪的头二十年（2001年～2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算．设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么满足的方程为（）A．（1+x）2＝2B．（1+x）2＝4C．1+2x＝4D．（1+x）+2（1+x）＝46．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100D．81（1﹣x）2＝1007．深圳沙井某服装厂2017年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2019年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为（）A．8（1﹣x）＝5.12B．8（1+x）2＝5.12C．8（1﹣x）2＝5.12D．5.12（1+x）2＝88．据报道，为推进福州绿色农业发展，2018﹣2020年，福州市将完成农业绿色发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为（）A．100+100（1+x）+100（1+x）2＝616B．100（1+x）2＝616C．100（1+x）3＝616D．100（1+x2）＝6169．随着人们环保意识的不断增强，延安市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2016年底拥有家庭电动自行车125辆，2018年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．若该小区2016年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的平均增长率相同且均为x，则可列方程为（）A．125（1+x%）2＝180B．（125+x%）2＝180C．125（1+x）（1+2x）＝180D．125（1+x）2＝18010．某商品原售价200元，连续两次降价后售价为168元，若平均每次的降价率为m，则下列所列方程正确的（）A．200（1+m）2＝168B．200（1﹣m）2＝168C．200（1﹣2m）＝168D．200（1+m2）＝16811．某商店将一批夏装降价处理，经两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程（）A．100（1+x）＝81×2B．2×100（1﹣x）＝81C．81（1+x）2＝100D．100（1﹣x）2＝8112．学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21C．x（x+1）＝21D．x（x﹣1）＝2113．我市郊区大力发展全域旅游产业，打造了大来岗风景区、敖其湾赫哲族风景区等精品旅游项目，郊区全年旅游人数逐年增加，据统计，2016年为30万人次，2018年为43.2万人次．设旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．30（1+x）＝43.2B．30（1﹣x）＝10.8C．30（1+x）2＝43.2D．30[（1+x）+（1+x）2]＝43.214．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28C．x（x+1）＝28D．x（x﹣1）＝2815．课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块矩形空地，开辟一个面积为130平方米的花圃，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏．如图，如果设矩形的一边长为x 米，则下列方程中符合题意的是（ ）A ．x （15﹣x ）＝130B ．x （15﹣2x ）＝130C ．x （33﹣2x ）＝130D ．x （33﹣x ）＝130二．填空题16．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x 步，则可列方程为 ．17．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x 队参加比赛，则根据题意可列方程为 ．18．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m 2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm ，则可列方程为 ．19．如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为．20．如图，有一张矩形纸片，长15cm ，宽9cm ，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm 2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为 ．21．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ．22．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得 ．23．快过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，则可列方程为 ．24．一批上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价后的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速出售，设第一次降价的百分率为x ，则可列方程为25．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x 人，则根据题意可列方程为 ．参考答案一．选择题1．解：设有x名同学，每个队员都要赛（x﹣1）场，但两人之间只有一场比赛，由题意，得x（x﹣1）＝36．故选：C．2．解：设全班有x名学生，根据题意列出方程为：x（x﹣1）＝1980，故选：D．3．解：设原正方形纸片的边长为xcm，则可列方程为（x﹣1）（x﹣2）＝18．故选：C．4．解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故选：D．5．解：设2000年的国民生产总值为a，则2010年的国民生产总值为a（1+x），2020年的国民生产总值为a（1+x）（1+x）＝a（1+x）2＝4a，即（1+x）2＝4．故选：B．6．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．7．解：设平均每次降价的百分比为x，则根据题意可得出方程为：8（1﹣x）2＝5.12；故选：C．8．解：设后两年该项目投资的平均增长率为x，则2019年该项目投资的100（1+x）亿元，2020年该项目投资的100（1+x）2亿元，依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝616．故选：A．9．解：由题意，得125（1+x）2＝180．故选：D．10．解：第一次降价后的价格为200（1﹣m），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低m，为200（1﹣m）（1﹣m），则列出的方程是：200（1﹣m）2＝168，故选：B．11．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2＝81故选：D．12．解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）＝21．故选：B．13．解：设旅游人次的年平均增长率为x，那么依题意得：30（1+x）2＝43.2．故选：C．14．解：设有x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x﹣1＝28，即x（x﹣1）＝28．故选：B．15．解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为（33﹣2x）米，根据题意，得x（33﹣2x）＝130．故选：C．二．填空题16．解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．故答案为：x（x﹣12）＝864．17．解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得：＝45，故答案是：．18．解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）＝20．故答案为：（x﹣3）（x﹣2）＝20．19．解：设道路的宽为x，根据题意得：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．故答案是：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．20．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．21．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．故答案为：x（x﹣1）＝1056．22．解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：9（1﹣x）2＝1，故答案是：9（1﹣x）2＝1．23．解：设全班有x名同学，由题意得：x（x﹣1）＝380，故答案是：x（x﹣1）＝380．24．解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，根据题意得：500（1﹣x）（1﹣2x）＝240，故答案是：500（1﹣x）（1﹣2x）＝24025．解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，由题意得，x（x﹣1）＝110．故答案是：x（x﹣1）＝110．。

4.(2020天津和平汇文中学期末)如图1,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转3 5°,得到正方形AEFG,DB的延长线交EF于点H,则∠DHE的大小为 ( )
A.90°
B.95°
图1 C.100°
D.105°
答案 C ∵将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35°,得到正方形AEFG,∴ ∠BAE=35°,∠E=90°,∵∠ABD=45°,∴∠ABH=135°,∴∠DHE=360°-∠E∠BAE-∠ABH=360°-90°-35°-135°=100°.故选C.
2
综上所述,旋转角α的度数为40°或20°.
三、解答题(共60分) 21.(2021河北保定阜平期中)(8分)解方程: (1)x2-2x-8=0; (2)3(x-2)2=x(x-2).
解析 (1)移项,得x2-2x=8, 配方,得x2-2x+1=8+1. 即(x-1)2=9, 开方,得x-1=±3, 所以x1=4,x2=-2. (2)3(x-2)2-x(x-2)=0, (x-2)(3x-6-x)=0, x-2=0或3x-6-x=0, 所以x1=2,x2=3.
四川省绵阳市江油实验学校
2021年秋季人教版九年级 上册
第二十一章 一元二次方程 至第二十三章 旋转
阶段测试
一、选择题(每小题3分,共30分) 1.(2020四川自贡中考)下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的 是( )
答案 A 选项A,是轴对称图形,不是中心对称图形;选项B,只是中心对 称图形;选项C,既是轴对称图形,又是中心对称图形;选项D,既不是轴对称 图形,又不是中心对称图形.故选A.
值为
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答案 ±3或-5 解析 当原方程是一元一次方程时,方程只有一个实数根,即k2-9=0,且-2(k

人教版九年级数学上册 第二十一章一元二次方程-第二十三章旋转 同步测试题(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)每小题都有代号为A 、B 、C 、D 四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填写在答题框中，填写正确记4分，不填、填错或多填记0分.1.下列图形中，属于中心对称图形的是( )A B C D2．将一元二次方程x 2－2x －2＝0配方后所得的方程是( ) A ．(x －2)2＝2 B ．(x －1)2＝2 C ．(x －1)2＝3 D ．(x －2)2＝3 3．将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数解析式是 ( )A ．y ＝(x ＋2)2＋1 B ．y ＝(x －2)2＋1 C ．y ＝(x ＋2)2－1 D ．y ＝(x －2)2－1 4．在平面直角坐标系中，将点(－2，3)关于原点对称的点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－4，3)C ．(0，－3)D ．(0，3) 5．用公式法解方程4y 2＝12y ＋3，解为( ) A ．y ＝－3±62 B ．y ＝3±62 C ．y ＝3±232D ．y ＝－3±2326．已知抛物线y ＝x 2－8x ＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是( ) A ．16 B ．－4 C ．4 D ．87．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围值是( )A ．k<32B ．k ≤32C ．k ＜32且k≠1D ．k ≤32且k≠18．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m≠0)的图象可能是( )9．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为( )A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°10．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2－4ac ＜0；②a＋b ＋c ＜0；③c－a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)11．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －1＝0的两根，则1x 1＋1x 2＝_______．12．关于x 的方程(m －3)xm 2－7－x ＝5是一元二次方程，则m ＝_______．13．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为_______．14．如图，若将图中的抛物线y ＝x 2－2x ＋c 向上平移，使它经过点(2，0)，则此时抛物线位于x 轴下方的图象对应的x 的取值范围是_______．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A(1，7)，B(5，5)，C(7，5)，D(5，1)．若线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x 轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_______．三、解答题(本大题共9小题，共86分)解答题应写出必要的文字说明或推演步骤．17．(8分)解方程：(1)2x2＋3＝7x; (2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3＝0.18．(8分)关于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0的一个根是3，求方程的另一个根和k 的值．19．(8分)已知在平面直角坐标系内，抛物线y＝x2－bx＋6经过x轴上两点A，B，点B 的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积．20．(10分)如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)．(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2O.21．(10分)如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度．22．(10分)已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.(1)试判断原方程根的情况；(2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．(提示：AB ＝|x2－x1|)23．(10分)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10，△ADP绕点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ 的大小．24．(10分)服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y(元/件)与批发数量x(件)(x 为正整数)之间所满足的函数关系如图所示．(1)求y 与x 之间所满足的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)设服装厂所获利润为w(元)，若10≤x≤50(x 为正整数)，求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？25．(12分)如图，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A ，D 两点并经过点B ，已知点A 的坐标是(2，0)，点B 的坐标是(8，6)．(1)求二次函数的解析式；(2)若抛物线的对称轴上是否存在一个动点P ，使点P 到点B ，点D 的距离之和最短，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)该二次函数的对称轴交x 轴于点C ，连接BC ，并延长BC 交抛物线于点E ，连接BD ，DE ，求△BDE 的面积．参考答案一、选择题二、填空题、11、－3 12、－3 13、4s 14、0<x<2 15、(3，3)或(6，6) 16、1三、解答题17、（1）解：x 1＝12，x 2＝3. （2）解：x 1＝－1，x 2＝－2.18、解：设它的另一个根是a ，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝－6，3＋a ＝－k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，k ＝－1. ∴方程的另一个根是－2，k 的值为－1.19、解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入抛物线y ＝x 2－bx ＋6得0＝9－3b ＋6，解得b ＝5， ∴抛物线的解析式y ＝x 2－5x ＋6.(2)令x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝2；令x ＝0，得y ＝6. ∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)． ∴S △ABC ＝12×(3－2)×6＝3.20、解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1为所求作的三角形．(2)如图所示，△A 2B 2O 为所求作的三角形．21、解：设长方框的宽度为x 厘米，则减去小长方形的长为(80－2x)厘米，宽为(60－2x)厘米，由题意，得(80－2x)(60－2x)＝12×80×60.解得x 1＝10，x 2＝60(不合题意，舍去)． 答：长方框的宽度为10厘米．22、解：(1)Δ＝(m －3)2－4(－m)＝m 2－2m ＋9＝(m －1)2＋8，∵(m－1)2≥0，∴Δ＝(m－1)2＋8＞0.∴原方程有两个不相等的实数根．(2)存在最小值．理由如下：由题意知，x1，x2是原方程的两根，∴x1＋x2＝m－3，x1·x2＝－m.∵AB＝|x1－x2|，∴AB2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(m－3)2－4(－m)＝(m－1)2＋8.∴当m＝1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，最小值为2 2.23、解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP＝AP′，∠PAP′＝∠DAB＝90°.∴△APP′是等腰直角三角形．(2)∵△APP′是等腰直角三角形，∴PP′＝2PA＝2，∠APP′＝45°.∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴PD＝P′B＝10.在△PP′B中，PP′＝2，PB＝22，P′B＝10，∵(2)2＋(22)2＝(10)2，∴PP′2＋PB2＝P′B2.∴△P′P2B为直角三角形，∠P′PB＝90°.∴∠BPQ＝180°－∠APP′－∠P′PB＝180°－45°－90°＝45°.24、解：(1)当10≤x≤50时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝100，50k ＋b ＝80.得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.5，b ＝105.∴当10≤x≤50时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝－0.5x ＋105. 当x ＞50时，y ＝80，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x ＋105（10≤x≤50），80（x>50）.(2)由题意，得w ＝(－0.5x ＋105－65)x ＝－0.5x 2＋40x ＝－0.5(x －40)2＋800，∴当x ＝40时，w 取得最大值，此时w ＝800.答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元． 25、解：(1)将A(2，0)，B(8，6)代入y ＝12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＋c ＝0，32＋8b ＋c ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝6. ∴二次函数的解析式为y ＝12x 2－4x ＋6.(2)∵y＝12x 2－4x ＋6＝12(x －4)2－2，∴对称轴为直线x ＝4.连接AB 交抛物线对称轴于点P ，连接PD.∵点A ，点D 是抛物线y ＝12x 2－4x ＋6与x 轴的交点，∴点A 和点D 关于直线x ＝4对称，∴PA ＝PD.∴PB＋PD ＝PA ＋PB ＝AB ，此时PB ＋PD 的值最小． 设AB 所在直线的解析式为y ＝kx ＋d(k≠0)， 将A(2，0)，B(8，6)代入y ＝kx ＋d ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋d ＝0，8k ＋d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，d ＝－2. ∴AB 所在直线的解析式为y ＝x －2.当x ＝4时，y ＝4－2＝2，∴点P 的坐标为(4，2)．∴在抛物线的对称轴上存在一个动点P(4，2)，使点P 到点B ，点D 的距离之和最短． (3)由(2)知，二次函数图象的顶点坐标为(4，－2)，∴点C 的坐标为(4，0)． ∵点A ，点D 关于直线x ＝4对称且A(2，0)， ∴点D 的坐标为(6，0)．∴CD＝6－4＝2.设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n(m≠0)，将点B(8，6)，C(4，0)代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧8m ＋n ＝6，4m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－6.∴直线BC 的解析式为y ＝32x －6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x －6，y ＝12x 2－4x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝－32，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝6. ∴点E 的坐标为(3，－32)．∴S △BDE ＝S △CDB ＋S △CDE ＝12CD·y B ＋12CD·(－y E )＝12×2×6＋12×2×32＝152.。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．在平面直角坐标系中，点P（2，1）关于原点对称的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．如果抛物线y＝（2﹣a）x2开口向下，那么a的取值范围是（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣23．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝34．抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（0，0）5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠06．如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，则△ABB′是（）三角形．A．锐角三角形B．正三角形C．Rt三角形D．钝角三角形7．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2020的值为（）A．2018B．2019C．2021D．20228．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（）A．10B．4C．5D．69．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20B．40C．100D．12010．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）方程x2﹣1＝0的解为．12．（4分）若二次函数y＝x2+2m﹣1的图象经过原点，则m的值是．13．（4分）如图，如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有个．14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k＝0的一个根是﹣2，则另一个根是．15．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为．16．（4分）二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是．17．（4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是．三、解答题（一）（每小题6分，共18分）18．（6分）用因式分解法解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．19．（6分）关于x的一元二次方程kx2﹣（3k﹣1）x+2k﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求k的值及方程的根．20．（6分）如图，△AOB中，顶点A，B，O均在格点上，画出△AOB绕点O旋转180°后的三角形．（不要求写作法，证明，但要注明结果）四、解各题（二）（每小题8分，共24分）21．（8分）2018年，某市某楼准备以每平方米5000元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金的周转，决定进行降价促销，经过连续两年的下调后，2020年的均价为每平方米4050元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2021年的均价仍然下调相同的百分率，则购买一套100平方米的房子需要多少万元？22．（8分）如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约m．铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即OC＝4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD 绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．五、解答题（三）（每小题10分，共20分）24．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．25．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．在平面直角坐标系中，点P（2，1）关于原点对称的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得：点P（2，1）关于原点对称的点是（﹣2，﹣1），则这点在第三象限．故选：C．2．如果抛物线y＝（2﹣a）x2开口向下，那么a的取值范围是（）A．a＞2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＜﹣2【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2﹣a＜0．【解答】解：∵抛物线y＝（2﹣a）x2的开口向下，∴2﹣a＜0，即a＞2，故选：A．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0∴x2﹣2x＝4∴x2﹣2x+1＝4+1∴（x﹣1）2＝5故选：C．4．抛物线y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（0，0）【分析】根据题意得出x＝0，然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0，得y＝1，故与y轴的交点坐标是：（0，1）．故选：B．5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．6．如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，则△ABB′是（）三角形．A．锐角三角形B．正三角形C．Rt三角形D．钝角三角形【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得AB＝AB′，再根据旋转角求出∠BAB′，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断．【解答】解：∵△ABC旋转得△AB′C′，∴AB＝AB′，∵旋转角是60°，∴∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形．故选：B．7．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2020的值为（）A．2018B．2019C．2021D．2022【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015的值．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，∴2m2+2m+2020＝2（m2+m）+2020＝2+2020＝2022．故选：D．8．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（）A．10B．4C．5D．6【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣3）2﹣9+m，∵函数的最小值是1，∴﹣9+m＝1，m＝10．故选：A．9．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20B．40C．100D．120【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）＝a，整理得x2﹣20x+a＝0，由△＝400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解．【解答】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得x（40÷2﹣x）＝a，整理，得x2﹣20x+a＝0，∵△＝400﹣4a≥0，解得a≤100，故选：D．10．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）方程x2﹣1＝0的解为x1＝1，x2＝﹣1．【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣1＝0，（x+1）（x﹣1）＝0，x﹣1＝0，x+1＝0，x1＝1，x2＝﹣1，故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．12．（4分）若二次函数y＝x2+2m﹣1的图象经过原点，则m的值是．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到关于m的方程，然后解此方程即可．【解答】解：∵二次函数y＝x2+2m﹣1的图象经过点（0，0），∴2m﹣1＝0，∴m＝．故答案为．13．（4分）如图，如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有3个．【分析】根据旋转的性质，把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，分析对应点的不同情况，易得答案．【解答】解：根据图形间的关系，分析可得如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点有C、D，以及线段CD的中点共三个．故答案为3．14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k＝0的一个根是﹣2，则另一个根是1．【分析】把方程的一个根﹣2代入方程得到关于k的方程，解方程求出k的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．【解答】解：把x＝﹣2代入x2+（k+3）x+k＝0得到：（﹣2）2+（k+3）×（﹣2）+k＝0，解得k＝﹣2．设方程的另一根为t，则﹣2t＝﹣2，解得t＝1．故答案是：1．15．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为4．【分析】由等边三角形的性质得出BC＝AB＝12，求出BD，由旋转的性质得出△ACE≌△ABD，得出CE＝BD，即可得出结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝12，∵BC＝3BD，∴BD＝BC＝4，由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，∴CE＝BD＝4．故答案为：4．16．（4分）二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是0＜m≤3．【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案．【解答】解：由当x时，y的值随x值的增大而减小，得抛物线开口向上，m＞0，且对称轴≥，解得m≤3，故答案为：0＜m≤3．17．（4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是﹣1或4．【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1，则实数x的值是﹣1或4．故答案为：﹣1或4三、解答题（一）（每小题6分，共18分）18．（6分）用因式分解法解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】根据因式分解法，可得答案．【解答】解：移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，因式分解，得（x﹣1）（x﹣2）＝0，于是，得x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．19．（6分）关于x的一元二次方程kx2﹣（3k﹣1）x+2k﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求k的值及方程的根．【分析】由题意可得△＝（3k﹣1）2﹣4k（2k﹣1）＝1，解此一元二次方程即可求得：k1＝0，k2＝2，又因为k ≠0，可得k＝2，即可得方程：2x2﹣5x+3＝0，然后解此方程即可求得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（3k﹣1）x+2k﹣1＝0，其根的判别式的值为1，∴△＝（3k﹣1）2﹣4k（2k﹣1）＝1，解得：k1＝0，k2＝2，…（4分）∵k＝0不合题意舍去，∴k＝2，…（5分）此时方程为2x2﹣5x+3＝0，即（2x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝，x2＝1．…（8分）20．（6分）如图，△AOB中，顶点A，B，O均在格点上，画出△AOB绕点O旋转180°后的三角形．（不要求写作法，证明，但要注明结果）【分析】根据基本作图的方法，要画出△AOB绕点O旋转180°后的三角形，即画出△AOB以点O为对称中心的对称三角形．【解答】解：如图，△A1OB1即为所求（正确画出图形得（4分），写出结果1分）四、解各题（二）（每小题8分，共24分）21．（8分）2018年，某市某楼准备以每平方米5000元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金的周转，决定进行降价促销，经过连续两年的下调后，2020年的均价为每平方米4050元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2021年的均价仍然下调相同的百分率，则购买一套100平方米的房子需要多少万元？【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据2018年的房价为5000元以及2020年的房价为4050元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据下调相同的百分率求出2021年购买100平方米住房需要的价钱，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝10%，x2＝190%（舍去）．答：平均每年下调的百分率为10%．（2）如果下调的百分率相同，2021年的房价每平方米为：4050×（1﹣10%）＝3645（元），买100平方米的住房需3645×100＝364500（元）＝36.45（万元），答：购买一套100平方米的房子需要36.45万元．22．（8分）如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约m．铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4m处（即OC＝4）达到最高点，最高点高为3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？【分析】知道抛物线顶点，根据设出顶点坐标公式y＝a（x﹣4）2+3，求出a，然后令y＝0，解得x．【解答】解：能．∵OC＝4，CD＝3，∴顶点D坐标为（4，3），设y＝a（x﹣4）2+3，把y＝代入上式，得＝a（0﹣4）2+3，∴a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+3，即y＝﹣x2+x+，令y＝0，得﹣x2+x+＝0，∴x1＝10，x2＝﹣2（舍去）．故该运动员的成绩为10m．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD 绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF＝90°，∴∠DCE+∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF＝180°，∴∠EFC＝90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC＝∠EFC＝90°．五、解答题（三）（每小题10分，共20分）24．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则△＞0，从而可求得m的取值范围；（2）由点B、点A的坐标求得直线AB的解析式，然后求得抛物线的对称轴方程为x＝1，然后将x＝1代入直线的解析式，从而可求得点P的坐标；（3）一次函数值大于二次函数值即直线位于抛物线的上方部分x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣9+6+m∴m＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，∴P（1，2）．（3）根据函数图象可知：x＜0或x＞3．25．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S的取值范围．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，OC平分∠ACB，求得∠AOD＝∠COE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，根据正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，∵AC＝6，∴AB＝6，∴AO＝OC＝AB＝3，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝×3×3＝9；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值＝9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．。