2019届高考数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第4节指数函数训练理新人教版

第四节指数函数[基础达标]一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·威海测试)若点(a,9)在函数y=()x的图象上,则+1的值为()A.4B.C.D.01.C【解析】点(a,9)在函数y=()x的图象上,所以9=()a,解得a=4,所以+1+1=2+(24=2+2-1=.2.下列函数中值域为正实数的是()A.y=-5xB.y=C.y=D.y=(-3)|x|2.B【解析】∵1-x∈R,y=的值域是正实数,∴y=的值域是正实数.3.(2016·某某某某一中月考)方程2-x+x2=3的实数解的个数为()A.2B.3C.1D.43.A【解析】方程2-x+x2=3的解的个数即为方程=3-x2的解的个数,易知两图象y1=,y2=3-x2有两个交点,因此方程的实数解的个数为2.4.(2015·某某质检)曲线y=e x与直线y=5-x交点的纵坐标在区间(m,m+1)(m∈Z)内,则实数m 的值为()A.1B.2C.3D.44.C【解析】因为函数y1=e x的图象单调递增,y2=5-x的图象单调递减,当x=1时,y1=e,y2=4,∴y1<y2,当x=2时,y1=e2,y2=3,∴y1>y2,∴交点的横坐标x0满足1<x0<2,对应的纵坐标y0满足3<y0<4,故m=3.5.(2016·某某某某中学开学测试)若函数f(x)=2(x-a)(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的取值X围()A.(-∞,1]B.(-∞,0]C.[1,+∞)D.[2,+∞)5.C【解析】由f(1+x)=f(1-x)可知函数图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以f(x)=2|x-a|=2|x-1|,易知其在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故要使f(x)在[m,+∞)上单调递增,则m的取值X围是[1,+∞).6.(2016·某某三校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0.则下列结论正确的是()A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25)B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)6.A【解析】对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0可知函数在(-∞,0)上单调递减,又由于f(x)为偶函数,因此在(0,+∞)上函数f(x)单调递增,而0<0.32<1,1<20.3<2,log25>2,所以f(0.32)<f(20.3)<f(log25).7.(2016·某某一中调研)如图给出了函数y=a x,y=log a x,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2的图象,则与函数y=a x,y=log a x,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2依次对应的图象是()A.①②③④B.①③②④C.②③①④D.①④③②7.B【解析】由题可知a>0,a≠1,由图可知①对应函数y=a x,且0<a<1,所以a+1>1,a-1<0,因此③对应于函数y=log a x,④对应于函数y=(a-1)x2,②对应于函数y=log(a+1)x.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=a x-2016+2016(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.8.(2016,2017)【解析】令x-2016=0,得x=2016,此时y=a0+2016=2017,故函数y=a x-2016+2016的图象恒过定点(2016,2017).9.已知函数f(x)=+sin x,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=.9.5【解析】由f(x)=+sin x,得f(x)+f(-x)=2,所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=2×2+f(0)=4++sin 0=5.10.(2015·某某师大附中模拟)已知函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为f-1(x),且f-1(a)·f-1(b)=8,若a>0且b>0,且的最小值为.10.3【解析】由题可知函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为y=2x,即f-1(x)=2x,所以f-1(a)·f-1(b)=2a·2b=2a+b,因此2a+b=8,即a+b=3,所以(a+b)·×(5+2)=3.[高考冲关]1.(5分)(2015·某某质检)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),下列结论必成立的是()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<21.D【解析】因为f(x)=|2x-1|=其图象如图所示,要使a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b)成立,则有a<0,b<0,c>0且1-2a>2c-1,即2a+2c<2,观察选项知D项正确.2.(5分)关于x=1对称的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则关于x的方程f(x)=在x∈[0,3]上解的个数是()A.1B.2C.3D.42.D【解析】由f(x-1)=f(x+1)知函数的周期为2,作出f(x)在[0,3]上的图象与函数y=的图象,易知它们交点个数为4,则方程f(x)=在x∈[0,3]上解的个数是4.3.(5分)(2015·某某一诊)计算:2=.3.6【解析】原式=2××1=2×=2×=6.4.(5分)(2015·某某调研)已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则在直角坐标系下函数g(x)=的图象为()4.B【解析】由题可知f(x)=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x=2时,等号成立,所以a=2,b=f(2)=1,故g(x)=,其图象可由y=向左平移1个单位得到,观察知B项正确.5.(10分)(2015·某某日照一中月考)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最小值1和最大值4,设f(x)=.(1)求a,b的值;(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在区间[-1,1]上有解,某某数k的取值X围.5.【解析】(1)由已知可得g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,即1+-2·≥k,令t=,由x∈[-1,1],得t∈,则k≤t2-2t+1,t∈.记h(t)=t2-2t+1,t∈,易得h(t)max=h(2)=1,所以k的取值X围是(-∞,1].。

a当n为奇数且n∈N*时，
±n a 当n为偶数且n∈N*时.
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
a，n为奇数，
②n
an＝

|a|

＝a，a≥0， －a，a＜0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：
＝ n am
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图 象越高(低)，其底数越大．
3．注意事项 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平 移、对称、翻折变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合 观察两曲线动与不动及动的范围求解．
(2)若不等式 1＋2x＋4x·a>0 在 x∈(－∞，1]时恒成立，则实数 a 的取值范围
是
．
解析：从已知不等式中分离出实数 a，得 a>－14x＋12x. 因为函数 y＝14x 和 y＝12x 在 R 上都是减函数，所以当 x∈(－∞，1]时，14x≥14，12 x≥12，
跟踪训练 (1)(2017·江西三校联考)化简4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
答案：D
答案：85
考点二|指数函数的图象及应用 (思维突破) 【例2】 (1)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )

4
答案：③④
考点一
指数幂的运算 求值与化简： 2＋( 2× 3) － 3
6
【典例 1】
3 1 7 1 4 0 (1)2－3×－6 ＋84×
22 － ； 33
(2)
a · 5 2 b
3
3
5 4
b3 a3
.
21 3 1 1 1 6 21 解：(1)原式＝33×1＋24×24＋(23×32) －33＝2＋4×27＝110.
(2)
a · 5 2 b
3
3
5 4
b3 a3
3 3 3 2 5 4 ＝a2－12· b15－10＝a4＝a· a.
【反思归纳】
指数幂运算的一般原则
1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. 2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化 成假分数. 4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性 质来解答.
4．指数函数的概念、图象与性质 函数 0＜a＜1 图象 y＝ax(a＞0，且 a≠1) a＞1
图象特征
在 x 轴上方过定点(0,1) 当 x 逐渐增大时，图象逐渐下降 当 x 逐渐增大时，图象逐渐上升
定义域 值域 性 质 函数变 化规律 单调性 递减
R
(0，＋∞) ___________
递增
y＝1 当 x＝0 时，__________
【即时训练】 化简下列各式： 1 1－2 71 (1)0.027－3－7 ＋292－( 2－1)0； 5 1 －2 1 －1 2 －3 1 (2)6a3b (－3a－2b )÷ (4a3b )2· ab.

2.5 指数与指数函数[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73；④若5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 B解析 当a <0时，(a 2) 32 >0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，….∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞) B．(－8，－4) C ．[－8，－4] D ．(－∞，－8] 答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ， 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是( )A ．{0}B ．{－3}C ．{－4,0}D ．{－3,0} 答案 D解析 ∵偶函数f (x －2)的图象关于y 轴对称， ∴函数y ＝f (x )的图象关于x ＝－2对称． ∵当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2，∵f (x )＝ex ＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f (－1)<0，f (0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f (x )＝ex ＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x <－2时，存在唯一零点x ∈(－4，－3)．由题意，方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k －1＝－4或k －1＝－1，k ＝－3或k ＝0.故选D.6．(2017·安徽三模)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x)和f (c x)的大小关系是( )A ．f (b x)≤f (c x) B ．f (b x)≥f (c x) C ．f (b x)>f (c x)D ．大小关系随x 的不同而不同 答案 A解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3， ∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x≥2x≥1， ∴f (3x)≥f (2x )． 若x <0，则3x<2x<1， ∴f (3x)>f (2x )． ∴f (3x)≥f (2x)．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案 D解析 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x－a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18 答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a|x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5 ≥29x ＋1x ＋－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f x 1－f x ，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14答案 C 解析二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a>0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，且a >b >c >0，则f a a ，f b b ，f c c 的大小关系为________．答案f a a <f b b <f cc解析 由题意f xx可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知k OA <k OB <k OC ，∴f a a <f b b <f cc. 13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x ＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小， ∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数； ③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大， ∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数； ④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1.三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.(2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0， ∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5] ， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。