梯形中位线推论梯形图形是初学者常会遇到的一种多边形图形，它有四个顶点和四条边，它的两个对边是平行的，但是两个对边的长度不同，我们称之为梯形。
梯形中位线是指梯形两个非平行边的中点连线。
下面我们来介绍一下梯形中位线的一些推论。
1. 梯形中位线长度相等对于任意一个梯形，它的两个非平行边的中位线长度相等。
这是因为中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，而这两个三角形有相等的底边，高也相等，因此它们的面积是相等的，中位线的长度也相等。
2. 梯形中位线平行于较短的平行边在梯形中，梯形的两条平行边中，较长的那一条的中位线不和较短的平行边平行，而是和较短的平行边平行。
这是因为梯形中的中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，而这两个三角形的顶角顶点分别在梯形两条平行边的中点上，因此中位线与较短的平行边平行。
对于任意一个梯形，它的两个平行边之间的距离就是梯形的高，而梯形的两个非平行边的长度分别为a和b，它们的中位线的长度为c。
我们可以得到以下公式：c = （a + b）/2这个公式告诉我们，梯形的中位线长度等于它的两个平行边距离的平均数。
4. 一组平行四边形的面积如果我们将一个梯形绕它的中位线旋转180度，我们得到一个面积相等的梯形。
由于它们的四个顶点重合，我们还可以得到两个平行四边形，这两个平行四边形显然具有相等的面积。
因此，我们可以得出一个结论：对于任意一个梯形，它的两个非平行边的中位线连接起来形成的四边形，是一个平行四边形。
而这个平行四边形的面积等于梯形的面积，即：其中，a和b是梯形的两个平行边的长度，h是梯形的高。
5. 中位线长度的平方等于梯形两个三角形面积之和由于梯形中的中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，我们可以得到一个结论：梯形中位线长度的平方等于梯形两个三角形面积之和，即：其中，S1和S2分别是梯形两个三角形的面积。
以上就是关于梯形中位线的一些推论，它们不仅可以帮助我们更好地理解梯形的性质，还可以帮助我们解决一些与梯形相关的数学问题。
利用梯形中位线解题作者：邓全齐来源：《初中生之友·中旬刊》2013年第06期梯形的中位线具有的性质是：梯形的中位线平行于上下两底，并且等于两底之和的一半。
灵活利用梯形中位线的这一性质可以解决有关数学问题，下面举例说明。
例1 （2012年四川省达州市中考题）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：①EF∥AD；②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF。
其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析由梯形中位线性质，可知EF∥AD∥BC，则可得G、H分别是BD、AC中点，因此①、④、⑤正确，由同底等高可得S△ABC=S△DBC，则②正确，若③成立，则可推出梯形是等腰梯形，而梯形ABCD并不是等腰梯形。
故答案选D。
点评本题涉及梯形中位线的性质、三角形中位线判定及性质、同底等高三角形面积的变换等知识点，考查了同学们简单的推理能力及逻辑思维能力。
例2 （2012年贵州省六盘水市中考题）如图2，已知：AA′//DD′，B、C是AD的四等分点，B′、C′是A′D′的四等分点，AA′=28 cm，DD′=36 cm，求BB′和CC′的长度。
分析根据已知条件，要求BB′和CC′的长度，需要找到BB′、CC′与已知条件的关系，注意到B、C是AD的四等分点，B′、C′是A′D′的四等分点，联想到梯形的中位线，可取AD的中点E和A′D′的中点E′，连接EE′，则EE′是梯形ADD′A′的中位线，且EE′的长度易求出。
由于B′B和C′C分别是梯形AEE′A′和梯形EDD′E′的中位线，从而可以根据梯形中位线的性质求出BB′和CC′的长度。
解取AD的中点E和A′D′的中点E′，连接EE′，则EE′是梯形ADD′A′的中位线，所以EE′= （AA′+DD′）= （28+36）=32 cm。
又BB′是梯形AEE′A′的中位线，CC′是梯形EDD′E′的中位线，所以BB′= （AA′+EE′）= （28+32）=30 cm，CC′= （EE′+DD′）= （32+36）=34 cm。
模型介绍中点四边形模型（1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形. （2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形.（3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形.梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．考点一：中点四边形问题【例1】．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是．➢变式训练【变式11】．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．13【变式12】．如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．例题精讲考点二：梯形的中位线定理【例2】．如图，在▱ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG＝m．➢变式训练【变式21】．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（）A．9B．10.5C．12D．15【变式22】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO＝3，则BC﹣AD 等于（）A．4B．6C．8D．102．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．403．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1＝8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）A．50B．80C．96D．1004．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A nB n∁n D n．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形A n B n∁n D n面积为．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AD＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为．6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为．7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC，BD交于M，N两点，若EF＝18cm，MN ＝8cm，则AB的长等于cm．8．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是．9．如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，则MQ：QP＝，四边形MNPQ的面积是．10．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝3，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩形ABCD四条边的中点得到中点四边形A1B1C1D1，再取四边形A1B1C1D1四条边的中点得到中点四边形A2B2C2D2，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形A n B n∁n D n的面积为．12．如图，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°，，，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．13．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知EF⊥CE，（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．（2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围．（3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长．16．已知：在△ABC中，AB＝10．（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为；（2）如图（2）所示，若点A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，则A1B1+A2B2＝；（3）如图（3）所示，若点A1，A2，…A10把AC边十一等分，B1，B2，…，B10把BC边十一等分，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果为．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F2分别是E1B，F1C的中点，则E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；当E3，F3分别是E2B，F2C的中点，则E3F3＝（E2F2+BC）＝（a+7b）；若E n F n分别是E n﹣1，F n﹣1的中点，根据上述规律猜想E n F n＝．（n≥1，n为整数）18．请阅读下面知识：梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，CD 的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF＝（AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线l与抛物线M交于点A，B 两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（﹣1，3），B （）（1）求梯形ABCD中位线的长度；（2）求抛物线M的解析式；（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M1（抛物线M1的顶点保持在x轴的上方），与直线l的交点为A1，B1，同样作x轴的垂线段，垂足为D1，C1，问此时梯形A1B1C1D1的中位线的长度（设为h）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．19．让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系．第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点A、B分别表示﹣2、4，则线段AB 的中点M表示的数是．再试几个，我们发现：数轴上连接两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数．第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A （x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（，）（用x1，y1，x2，y2表示），AEFB是矩形时也可以．我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数．第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（，），也可以表示为Q（，），经过比较，我们可以分别得出关于x1，x2，x3，x4及，y1，y2，y3，y4的两个等式是和．我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的．。
