教师 导数及其应用学案

导数及其应用【新课标要求】1、了解导数概念的某些实际背景瞬时速度,加速度等),掌握函数在一点处的导数的定义及其几何意义,理解导函数的概念。

2、熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。

3、会求某些简单复合函数的导数。

【重难点聚焦】重点:理解导数的概念及常见函数的导数难点:理解导数与复合函数的导数.【高考分析及预测】在高考中,常以选择或填空的形式考查导数的概念,及几何意义,也以解答题的形式考查与切线有关的综合性题目,难度不大.【问题导学】⒈导数的概念：⑴定义： 如果函数)(x f y =的自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数y 相应地有增量______________=∆y ，比值x y ∆∆就叫函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，即_____________________=∆∆x y 。

如果当0→∆x 时， x y ∆∆有极限，，我们就说函数)(x f y =在____________________，并把这个极限叫做______________________记作_________或__________，即：______________)(0/=x f⑵ 导函数当x 变化时，)('x f 便是x 的一个函数，我们称它为)(x f 的导函数（简称导数）。

)(x f y =的导函数有时也记住/y ，即_________________)('='=y x f 。

⑶求函数)(x f y =在点0x 处的导数方法① 求函数的增量______________=∆y② 求平均变化率_____________________=∆∆xy ③ 取极限，得导数______________)(0/=x f2.导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点________________________。

也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率是________。

相应的切线方程为__________________________。

3.几种常见函数的导数⑴ ______'=C (C 为常数)； __________)'(=n x (Q n ∈)；⑵ ________)'(sin =x ； ______)'(cos =x ；⑶ _______)'(=x e ； _______)'(=x a ；⑷______)'(ln =x ； _________)'(log =x a ．4函数的和差积商的导数⑴________)'(=±v u ； ⑵_______')'(=uv ； ⑶)0(_____________'≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u ． ⑷ ()_________'=cu (C 为常数)； ⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=．【合作探究】二、经典例题剖析考点一：求导公式。

例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。

解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。

考点二：导数的几何意义。

例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。

解析：因为21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。

解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x答案：025=-+y x点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例 4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

解析： 直线过原点，则()0000≠=x x y k 。

由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302000+-=x x x y 。

又263'2+-=x x y ，∴ 在()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴ 26323020020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：230=x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。

所以，直线l 的方程为x y 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23。

答案：直线l 的方程为x y 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。

解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。

函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

三、强化训练（一）选择题1. 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1B ．2C ．3D ．4 2. 曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ B ） A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y3. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ D ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（ A ）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f 5. 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ D ）A ．3B ．2C ．1D ．0（二）填空题 6. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__38___。

7. 已知曲线31433y x =+，则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是_044=+-x y ___8. 已知()()n f x 是对函数()f x 连续进行n 次求导，若65()f x x x =+，对于任意x R ∈，都有()()n f x =0，则n 的最少值为 7 。

9（1）曲线b ax x x f ++=2)(与直线x y 2=相切于点)4,2(,则______=a ,______=b（2）设函数1)1(,)1(,ln )(-=-'='⋅+⋅=e f e f x b e a x f x 并且，则______=a ,______=b（3）设,cos )(sin )()(x d cx x b ax x f +++=若 x x x f cos )(⋅='，则______=a ,______=b ______=c ,______=d19. 设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。

（1）用t 表示c b a ,,；（2）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围。

解：（1）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ，即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=. .,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '='而.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以 将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3t c -= （2）))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减. 由0<'y ，若t x t t <<->3,0则；若.3,0t x t t -<<<则 由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则).3,()3,1(),3()3,1(t t t t -⊂--⊂-或所以.39.333≥-≤≥-≥t t t t 或即或 又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递增.所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞。