2014年春概率统计A试卷题型 浙江农林

数理统计试卷 (2)数理统计试题（A） (8)浙江林学院2002~2003学年第二学期考试卷 (14)浙江林学院2004-2005学年第一学期试卷 (19)05年秋概率统计试卷 (24)06年春概率统计试卷 (26)浙江林学院2006 - 2007 学年第二学期考试卷（A卷） (28)浙江林学院2006 - 2007 学年第二学期考试卷（B卷） (34)浙江林学院2007 - 2008 学年第一学期考试卷（A卷） (40)浙江林学院2007 - 2008 学年第二学期考试卷（A卷） (45)2008-2009概率与数理统计C卷 (50)2009-2010概率与数理统计期中试卷 (56)浙江林学院电子信息工程系概率复习要点 (62)数理统计试卷试卷号（C080003） (请考生注意:本试卷共 6页)一、选择题:将正确选择项的代码填入题目中的括弧中。

(本大题分5小题，每小题2分，共10分)1、设两事件A 、B ，且B ⊂C ，则下列正确的是 （ ）A. P(A-B)=P(A)-P(B)B. P(AB)=P(A)P(B) C ．P(B\A)=P(B) D. P(A+B)=P(A)+P(B)2、根据调查，某地3月份雨量偏多(较常年)的概率为0.5，而3月份雨量偏多和竹鞭烂芽偏多同时发生的概率为0.4，则在3月份雨量已出现偏多的情况下，竹鞭烂芽偏多的概率是 ( )A ．O.2 B. 0.4 C. 0.8 D. 0.9 3、设随机变量ξ的概率密度为21xk x +=）（ϕ，(∞<<∞-x ) 则k=（ ）A.1B.π1C. πD.2 π4、设1x ，2x ，…n x 是取自总体),(2σμN 的样本，则有 （ ）A ．n x E =)(B ．2)(σμ=x D C ．2),0(~σσμN x - D ．)1,0(~N nx σμ-5、在假设检验中，将单侧检验误判为双侧检验，检验结果为拒绝0H ，那么实际结论是 （ ）A:拒绝0H , B:接受0H ， C:不能确定二、填空题:根据题意，在下列各题的横线处，填上正确的文字、符号或数值。

浙江师范大学《统计学》期终试卷（A 卷）(2013—2014学年第二学期)考试类别 闭卷 使用学生 12级工商管理类 专业本科 考试时间 120 分钟 出卷时间 2014 年 6 月 4 日 说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。

一、填空题（每小题2分，共30分）1. 推断统计是根据 对 进行估计、假设检验、预测或其他推断的统计方法。

2. 抽样调查中误差的来源有_________和_________两类。

3. 假定总体共有1000个单位，均值为32，标准差为5。

采用不重复抽样的方法从中抽取一个容量为30的简单随机样本，则样本均值的标准差为 （保留4位小数）。

4. 和 是从数据分布形状及位置角度来考虑的集中趋势代表值，而 是经过对所有数据计算后得到的集中趋势值。

5. 如果估计量1ˆθ与2ˆθ相比满足 ，我们称1ˆθ是比2ˆθ更有效的一个估计量。

6. 当 时，我们称估计量ˆθ是总体参数θ的一个无偏估计量。

7. 从标准差为σ 的正态总体中抽取容量为n 的样本，样本均值为x ，在小样本条件下，总体均值在1-α置信水平下的置信区间为（写出公式） 。

8. 在假设检验中，第一类错误又称弃真错误，是指 。

9. 若居民在某月以相同的开支额购买到的消费品比上月减少10%，则消费价格指数应为（用百分比表示，保留到整数） 。

10. 某学校学生在统计学考试中的平均得分是70分，标准差是3分，从该校学生中随机抽取36名，计算他们的统计学平均成绩，则平均分超过71分的概率是（用标准正态分布函数表示） 。

11. 由统计资料得知，1989年某地新生儿的平均体重为3190克，现从1990年的新生儿中随机抽取100个，测得其平均体重为3210克。

要检验1990年的新生儿与1989年相比，体重是否有显著差异，其原假设与备择假设是 。

12. 总体回归函数是将因变量y 的__________表示为自变量x 的函数。

【2014年高考理科试题汇编---概率与统计】【浙江】随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 【重庆】已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）【安徽】甲乙恋人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未初相连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛。

假设每局甲获胜的概率为 32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）。

【北京】李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）x y 2.5x = 3.5y =.0.4 2.3A y x =+.2 2.4B y x =-.29.5C y x =-+.0.3 4.4C y x =-+【福建】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（Ⅰ）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求（ⅰ）顾客所获的奖励额为60元的概率（ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【湖北】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。

概率第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件习题1. (1) {1,2,3,4,5,6,Ω= ;(2) AB={2,4}; {1,2,3,4,6,8};A B ⋃= {1,3,5,7};B = {1,3};A B -= {1,2,3,4,5,7,8};BC = {1,5,7}B C ⋃=. 2. (1) 123A A A (2) 123A A A ⋃⋃ (3) 123123123A A A A A A A A A ⋃⋃ (4) 123123123123122313A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃⋃⋃或 (5) 123123123123122313A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃⋃⋃或 3. (1)(2)(3)(4)4. 解: (1) C AB AB =+, D A B =⋃, F A B =(2) 不是, ,,.C F C F F C φ=≠Ω≠ 虽但即§1.2 概率习题 1. 解: ()()()()0.50.60.8P A B P A P B P A B =+-⋃=+-= ()()1()10.80.2;P A B P A B P A B =⋃=-⋃=-= ()()1()10.30.7.P A B P A BP A B ⋃==-=-= 2. 解: 设A={小王能答出甲类问题}, B={小王能答出乙类问题},则P(A)=0.7, P(B)=0.4, P(AB)=0.3(1) ()()()0.70.30.4;P AB P A P AB =-=-=(2) ()()()()0.70.40.30.8;P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-= (3) ()()1()10.80.2.P AB P A B P A B =⋃=-⋃=-=3. 解: ()0.8P A =, ()()0.8P A B P B == ()()0.2P A B P A == ()()0,P A B P φ-== ()()()()0.6.P A B P B A P B P A =-=-= 4. 解: 设A,B,C 分别表示订甲、乙、丙报纸，则P(A)=P(B)=P(C)=0.3, P(AB)=0.1,P(BC)=P(AC)= P(ABC)=0. 故所求为()()()()()()()()0.30.30.30.10.8.P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+=++-=5. 解: 当A B ⊂时, P(AB)取最大值, 最大值为0.6;由加法公式()()()()1.3P A B P A P B P A BP A B=+-⋃=-⋃故当A B ⋃=Ω时, P(AB)取最小值,最小值为0.3.6．解: (1)(2)(3)()()()()()P AB P A P A B P A P B ⋃+≤≤≤，当A B ⊂时，（1）式子等号成立， 当B A ⊂时，（2）式子等号成立， 当AB φ=时，（3）式子等号成立. §1.3 古典概率 1. 解: 所求概率为15995910C P P =⨯. 2. 解: 所求概率为111756312C C C P P=.3. 解: (1) 设A={前两个邮筒各有一封信}, B={第二个邮筒恰好被投入一封信},则11123222()1/8;()3/8.44C C C P A P B ====4. 解: 设A={能被3整除的数}, B={能被5整除的数},则m A =33 , m B =20, 6,3320647,AB A B m m ⋃==+-=故所求概率为 47()0.47.100P A B ⋃==5. 解: 所求概率为23122312823535510()0.5.C C C C C C C P C ++==§1.4 乘法公式与全概率公式1. 解: A={雇员有本科文凭},B={雇员是管理人员},(1) ()0.08(|)0.1()0.8P AB P B A P A ===,(2) ()()()0.04(|)0.2()1()0.2P AB P B P AB P B A P A P A -====-.2. 解: {}{}(1,2)i i A i A i i ===第次取得白球，第次取得黑球. (1) 12121455()()(|);9818P A A P A P A A ==⨯=12121212121211(2)()()()()(|)(|)()54455;98989P A A A A P A A P A A P A P A A P A A P A +=+=+=⨯+⨯=(3) 212112154455()()(|)()(|).98989P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=.3. 解: 设A,B,C 分别表示甲、乙、丙抽到难签，则 P{甲乙都抽到难签}432()()(|);10915P A B P A P B A ===⨯= P{甲没抽到,乙抽到难签}644()()(|);10915P A B P A P B A ===⨯= P{甲乙丙都抽到难签}4321()()(|)(|).109830P A B C P A P B A P C A B ===⨯⨯=4. 解:设A 表示任意取出的零件是合格品，B i 表示取出第i 台车床加工的零件（i=1,2），则(1)由全概率公式得112221()()(|)()(|)0.970.980.973;33P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得 22210.02()(|)3(|)0.25.()10.973P B P A B P B A P A ⨯===- 5. 解:设A 表示从乙袋取出一个红球，B 表示从甲袋取出一个红球放入乙袋，则 (1)由全概率公式得13227()()(|)()(|);343412P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得 22()(|)434(|).7()712P B P A B P B A P A ⨯=== 6. 解:设A 表示任意取出一个元件，其使用寿命达到指定要求；123,,B B B 分别表示取出甲、乙、丙类元件，则由全概率公式得112233()()(|)()(|)()(|)0.80.90.120.80.080.70.872.P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=§1.5 事件的独立性1. 解: 设A 和B 分别表示甲和乙击中目标,则A 和B 相互独立,设C 表示目标被击中,D 表示恰有一人击中目标.则所求概率为(1)()()()()()()0.90.850.90.850.985;P C P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯= ()()1()1()()10.10.150.985;P C P A B P A B P A P B ==-=-=-⨯=或 (2)()()()()()()0.90.150.10.850.22.P D P AB AB P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=2. 解:设A 表示3只全是白球;B 表示3只颜色全相同; C 表示3只颜色全不相同.则所求概率为 (1) 66627();101010125P A =⨯⨯=(2) 33363161()()()()0.244;101010250P B =++== (3) 63127()3!0.108.101010250P C =⨯⨯⨯==3. 解:设A 表示在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管,B i 表示第i 台车床在一小时内不需要工人照管（i=1,2,3），则123,,B B B 相互独立,且123()0.9,()0.8,()0.7.P B P B P B ===所求概率为123123123123123123123123()()()()()()()()()()()()()()0.90.80.70.10.80.70.90.20.70.90.80.30.902.P A P B B B B B B B B B B B B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B =+++=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=4. 解: 设A,B,C 分别表示甲、乙、丙译出密码,则A,B,C 相互独立. 设D 表示密码能被译出, 则所求概率为234()()1()1()()()10.6.345P D P A B C P A B C P A P B P C ==-=-=-⨯⨯=()()()()()()()()()()()()()()1111111111110.6.345344535345P D P A B C P A P B P C P A P B P B P C P A P C P A P B P C ==++---+=++-⨯-⨯-⨯+⨯⨯= 或5.(1) 证明:由条件可得, P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), AB φ=, 则{()}()()()P A B C P AC BC P AC P BC ⋃=+=+=()()()()[()()]()()()P A P C P B P C P A P B P C P A B P C +=+=⋃(2) 证明:由已知得 ()()(|)(|)()()P AB P AB P A B P A B P B P B ===,则()()(),()1()P AB P A P AB P B P B -=-化简整理得, ()()(),P AB P A P B =即事件A 与B 独立.6. 解: 设A,B,C 分别表示甲、乙、丙击中飞机,D 表示飞机被击落,则A,B,C 相互独立,且()0.4,()0.5,()0.7.P A P B P C ===设A i 表示有i 人击中飞机（i =1,2,3），则123(|)0.2,(|)0.6,(|) 1.P D A P D A P D A === 1()()()()()()()()()()()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36.P A P AB C AB C AB C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 2()()()()()()()()()()()0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41.P A P AB C AB C AB C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 3()()()()()0.40.50.70.14.P A P AB C P A P B P C ===⨯⨯=则由全概率公式得,飞机被击落的概率为112233()()(|)()(|)()(|)0.360.20.410.60.1410.458.P D P A P D A P A P D A P A P D A =++=⨯+⨯+⨯=第一章 复习题一. 单选1. D2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. B9. C 10. A. 二. 填空1. 0.9,2. 11(1)n p --, 3. 0.8, 4. 7/8, 5. 1/6, 6. 1/3, 7. 13/18, 1/2, 8. 0.863, 0.435, 9. 0.06, 10. 0.75. 三.计算与证明 1. 解: 6106610!()10104!P P A ==, 6668()0.810P B ==. 2. 解:（1）4134411111(12)C P +=-=0.0372;（2）4124412!110.4271;12128!P P =-=-=（3）4132234444444666610.1004;0.1004.77C C C C P P +++=-===或3．解: ,0()()0,()0.ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂∴≤≤=∴=则A ，B ，C 至少发生一个的概率为()()()()()()()()111115000.625.44416168P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=++---+==A ，B ，C 全不发生的概率为3()()1()0.375.8P A B C P A B C P A B C =⋃⋃=-⋃⋃==4．解:设A 表示任意取出一个产品是次品,123,,B B B 分别表示取出一、二、三车间生产的产品，则 （1）由全概率公式得112233()()(|)()(|)()(|)0.450.050.350.040.20.020.0405;P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得 111()(|)0.450.05(|)0.556.()0.0405P B P A B P B A P A ⨯===5．解:设12,A A 分别表示第一、第二次取出的零件是一等品,12,B B 分别表示取出第一、第二箱中的零件，则 （1）由全概率公式得1111212()()(|)()(|)0.50.20.50.60.4;P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=21121122122111()()(|)()(|)(2)(|)()()11091817()2504930290.4856.0.4P A A P B P A A B P B P A A B P A A P A P A +==⨯⨯+⨯==6．证明:{()}()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ⋃=⋃=+- =()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C +- =(()()())()()()P A P B P AB P C P A B P C =+-=⋃ 故 A B ⋃与C 独立.第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题 1. 解： 1112(1)121,.993θθθθ+-++-=∴=±又因为≤0)1(2θθ-1≤ , 所以 13θ=.2. 解：设X 表示任取3次,取到的不合格品数，则1）有放回 33()0.20.8,0,1,2,3.k k kP X k C k -===即X 的分布律为 X 0 1 2 3P12564125481251212512）无放回 328310(),3,4,5.kkC C P X k k C-===即X 的分布律为 X 0 1 2 P 1571571513. 解：X 的概率分布为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.64. 解：设X 表示直至取到白球为止,取球的次数，则其概率分布为X 1 2 3 4P521031531015. 解：由全概率公式得42(2)()(2|)111113().423448k P Y P Xk P Y X k =======⨯++=∑§2.2 0-1分布和二项分布习题1. 解：设A 表示“10件中至少有两件一级品”,则P （A ）=1()P A -=1=--6.04.04.0911010C 0.9983.2. 解: X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 56.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.077763. 解：设A 表示“4个灯泡中至少有3个能使用1500小时以上”,则P （A ）=3.07.0334C +4447.0C =0.65174. 解：1）设A 表示“恰有3粒种子发芽”,则003764768.002.098.0)(2335==C A P2）设B 表示“至少有4粒种子发芽”,则=+=544598.002.098.0)(C B P 0.996§2.3 泊松分布习题1. 解：设A 表示“一页上至多有一个印刷错误”,则10.20.20.20.2()(1)(0)(1)0.9820!1!P A P X P X P X ee--=≤==+==+=2.解：1）设X 表示5分钟内接到的电话个数，则0,1,2,X =22(),0,1,2,3,4,5,6.!kP X k e k k -===2）设A 表示“5分钟内至多接到3个电话”,则3()(3)k P A P X ==≤=∑2!2-ek k=0.8571或4()(3)1(4)1k P A P X P X +∞==≤=-≥=-∑2!2-ek k=(查表)1-0.1429=0.85713.解：1）设A 表示“中午12时至下午3时没有急症病人”, 则~(1.5),X π1.51.5()(0)0.223.0!P A P X e-====2）设B 表示“中午12时至下午5时至少有2个急症病人”,则~(2.5),X π12.52.5()(2)1(0)(1)2.5 2.510.7127.0!1!P B P X P X P X ee--=≥=-=-==--=§2.4 随机变量的分布函数习题1. 解：1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=2,121,2110,310,0)(x x x x x F312)()(0)(1),221(14)(2),22(14)(1)(2).3P X P X P X P X P X P X P X P X ≤==+==<≤===≤≤==+==2. 解：X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 56.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤≤<≤<≤<≤<=515492.04366.03223.021086.01001.000)(x x x x x x x x F ＜3. 解：X 的分布律为 X -1 0 2 4 P 0.2 0.4 0.3 0.1 §2.5 连续型随机变量习题 1. 解：1）⎰⎰=⇒=⇒=101231,1)(c dx cx dx x f2）30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩3）647)41()21()2141(=-=≤≤F F x P22219()1()1().33327P X P X F >=-≤=-= 2. 解：1）连续型随机变量的分布函数左连续，则00012l i m ()(0),l i m ()(1),l i m ()(2),10,1,2211,210,,2.2x x x F x F F x F F x F A B C C A B C ---→→→=====----====解得2）,01()()2,120,x x f x F x x x <<⎧⎪'==-≤<⎨⎪⎩其它3）2111117P ()1P ()1F()1().222228X X >=-≤=-=-= 3. 解：1）12011()2,~(3,),44P A xdx Y B ==⎰则 Y 的概率分布为 Y 0 1 2 3 P642764276496412）设B 表示“对X 的三次独立重复观测中事件A 至多出现两次”,则3163()1()1(3)1().464P B P B P Y =-=-==-= 4.设最高洪水位为X,河堤至少要修c 单位高,由题意得：32()1()10.0110.c P X c P X c dx c x>=-≤=-≤⇒≥⎰§2.6 均匀分布和指数分布习题 1. 解：5312(3),33P X dx >==⎰设A 表示“3次独立观测中至少有两次观测值大于3”,则223321220()()().33327P A C =+=2. 解：有实根的条件：2(4)44(2)01K 2,K K K -⨯⨯+≥⇒≤-≥或所求概率为 3P (K 2.5dx ≥=⎰521）=53. 解：1）33001,|1 3.33xxk k kedx ek +∞--+∞=-==⇒=⎰即2）23 4.561.5(1.52)3.xP x edx e e ---≤≤==-⎰4. 解：120060031(200)1,600x P X e dx e--≤==-⎰设A 表示“3只独立元件至少1只在最初200小时内出故障”,则13311)(1)(1)(---=-=-=eeA P A P .§2.7 正态分布习题1. :(1)(0.022.33)(2.33)(0.02)0.99010.50800.4821;P X <<=Φ-Φ=-=解( 1.850.04)(0.04)( 1.85)(0.04)[1(1.85)](0.04)(1.85)10.5160.967810.4838.P X -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-=+-= 2. 解：101)(716)(12)(2)(1)3(2)(1)10.97720.841310.8185;X P X P -<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=10222)(102)()2()120.748610.4972;333x P x P --<=<=Φ-=⨯-=103)()0.9()0.9,(1.28)0.9,3101.28,13.84.3P X αααα-<=⇒Φ=Φ≈-==反查表得 故得3. 解：设X 表示螺栓长度，则：10.05(10.050.12)(2)2(2)120.977210.9544.0.06X P X P --<=<=Φ-=⨯-=4. 解：30(30)()2(1.5)10.8664,2020X P X P ≤=≤=Φ-=设A 表示“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30cm ”3()1()1(0.1336)0.9976.P A P A =-=-=§2.8 随机变量函数的分布习题1. 解：1）Y -3 2 5 6 P1611641671642） Z 1 2 3 4 9 P1621641651641612. 解： 3110≤≤⇒≤≤y x , 当31≤≤y 时，12011()()(21)(),221()();2y Y Y Y y y F y P Y y P X y P X dx f y F y ---=≤=+≤=≤=='==⎰;当13,y y ≤≥或时Y 的密度函数为零.故Y 的密度函数为1,13()20,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它22222()2()22()()()(),,()(),.Y X yy yY Y X Y F y P Y y P y P X y dx y R Y f y F y y R μσμσμσμσμσμσσ--+-∞+----=≤=≤=≤+=∈'==⋅=∈⎰3.解:因为的分布函数为所以的密度函数为第二章 随机变量及其分布复习题 一 选择题1. B2. B3. C4. D5. C 二 填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592.27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律：X -1 1 2P 616221三 解答题1. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表示两次调整之间生产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k kP X k C k -===设A 表示“5道选择题至少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解：1）一天中必须有油船转走意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞-=>==∑(查泊松分布表)2) 设设备增加到一天能为y 艘油船服务,才能使到达港口的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥⇒-≥⇒≤+≥⇒≥∑∑反查泊松分布表得6. 解：21)()()31()31(3131=+=+⇒>=<⎰⎰∞dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=⇒b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥<⇒<=Φ≥-Φ≈⇒≥⇒≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表示“100个男子中与车门碰头人数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解：(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -⎧-∞<≤⎪⎪=⎨⎪-<<+∞⎪⎩011(2)(1)(0)2211(1)(0),22xxP Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==⎰⎰故Y 的概率分布律为 Y -1 1 P 1/2 1/2Y 的分布函数为 0,11(),1121,1Y y F y y y <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩第3章 多维随机变量及其分布习题参考答案3.1 二维离散型随机变量习题答案 1. 解：()1 在有放回抽样情形下(),X Y 的可能取值为()()()()0,0,0,1,1,01,1，则(),X Y 的联合分布律为()1110,05525P X Y ===⨯=，()1440,15525P X Y ===⨯= ()4141,05525P X Y ===⨯=，()44161,15525P X Y ===⨯=即(),X Y 的联合分布律为：()2 在不放回抽样的情形下(),X Y 的可能取值为()()()0,1,1,01,1，则(),X Y 的联合分布律为 ()1410,1545P X Y ===⨯=，()4111,0545P X Y ===⨯= ()4331,1545P X Y ===⨯= 即(),X Y 的联合分布律为：2. 解：()1 由(),X Y 的联合分布律的性质：111ij i j p +∞+∞===∑∑可知0.070.180.150.080a +++++=，0.32a =得 ()()()()(2)0,11,11,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===-+==-+==0.070.080.=++0.47=()3X 的可能取值为0，1，则(),X Y 关于X 的边缘分布律为00.070.180.150.40p =++= ，10.080.320.200.60p =++= 即Y 的可能取值为1-，0，1，则(),X Y 关于Y 的边缘分布律为10.070.080.15p -=+= ，00.180.320.50p =+= ，10.150.200.35p =+=即()4X 与Y 不独立. 因为()()()0,10.07010.400.150.06P X Y P X P Y ==-=≠==-=⨯=，由定理3.1可知X 与Y 不独立.3. 解：由题意知，()2,0.2X B ，()2,0.5Y B ，则由X 与Y 独立可知 ()()(),P X i Y j PX i P Y j=====()()()()22220.20.80.50.5iijjijC C --=，,0,1,2i j =.即(),X Y 的联合分布律为4. 解：关于X 的边缘分布律为关于Y 的边缘分布律为X Y ()()()()()()1111,2129391111,31318318P X Y P X P Y a P X Y P X P Y b ⎧⎛⎫=======⋅+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=======⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以 29a =，19b =.3.2 二维连续型随机变量习题答案1. 解：()1 由二维联合分布函数的性质得：()()()()(),arctan 02,arctan 02,122F x A B x C F y A B C y F A B C ππππ⎧⎛⎫-∞=+-= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-∞=-+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩解三个方程得212A B C ππ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩. ()2 由二维联合密度函数的性质得：当,x y -∞<<+∞时,()()2,,F x y fx y x y∂=∂∂221111A xy ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭()()222111x y π=++.()3 关于X 的边缘分布函数为 ()()(),l i m ,Xy F x F x Fx y→+∞=+∞=21a r c t a n 222x ππππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1a r c t a n 2x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， x -∞<<+∞关于Y 的边缘分布函数为()()()21,lim ,arctan 222Yx F y F y F x y y ππππ→+∞⎛⎫⎛⎫=+∞==++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1arctan 2y ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， y -∞<<+∞2. 解：()1 由联合密度函数的规范性得： ()()3201,x y f x y dxdy kedxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰，即3201xyk edx edy +∞+∞--=⎰⎰，由定积分的知识得：16k =，即6k =()2()()()320,6x y xx yP X Y fx y dxdy dx edy +∞+∞-+≤≤==⎰⎰⎰⎰3206xyxedx edy +∞+∞--=⎰⎰50335xedx +∞-==⎰.()3X 与Y 相互独立.关于X 的边缘密度函数为 ()()()3206,0,0,x y X e dy x f x f x y dy +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他33,00,x e x -⎧>=⎨⎩ 其他 关于Y 的边缘密度函数为 ()()()32206,02,0,0,0,x y y Y e dx y e y f y f x y dx +∞-+-+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他 其他 因为()()(),X Y f x y f x f y =对一切实数成立，所以X 与Y 相互独立. 3. 解：()1 由联合密度函数的规范性得：()1,f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰122013A x x dxdy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰1220013A x x dx dy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰A =, 即 1A =.()2 关于X的边缘密度函数为 ()(),Xf x f x y d y+∞-∞=⎰2201,0130,x x dy x ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩⎰ 其他212,0130,x x x ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩其他 ()()2(3)2,x y P X Y fx y dxdy+<+<=⎰⎰1212320001522333336x x x dx dy x x x dx -⎛⎫⎛⎫=+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ ()()(4),Y f y f x y dx +∞-∞=⎰1201,0230,x x dx y ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩⎰ 其他1,0220,y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他 因为()()(),X Y f x y f x f y =对一切实数成立，所以X 与Y 相互独立.4. 解：由题意知X 与Y 的密度函数分别为()X f x 1,0220,x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 ， ()Yf y 22,00,y e y -⎧>=⎨⎩ 其他()1 由于X 与Y 相互独立，则()()(),X Y f x y f x f y =2,02,00,y e x y -⎧≤≤>=⎨⎩ 其他()()()4222200013(2),1.24xyxy xe P Y Xf x y dxdy dx edy e dx ---≤+≤===-=⎰⎰⎰⎰⎰()()()422222003,2.4yyyy xe P Y Xf x y dxdy edy dx ey dy ---≤+≤===-=⎰⎰⎰⎰⎰或 3.6 两个随机变量函数的分布习题答案1. 解()11Z 为离散型随机变量，其可能的取值是2-，1-，0，1，2，则()()()14221,120P Z P X Y P X Y =-=+=-==-=-=()()()13111,020P Z P X Y P X Y =-=+=-==-==()()()()14001,11,120P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+==-=()()()()16111,21,020P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+===()()()12221,120P Z P X Y P X Y ==+===== ()()()11331,220P Z P X Y P X Y ==+=====即1Z 的分布律()22Z 为离散型随机变量，其可能的取值是2-，1-，0，1，2，则2Z 的分布律是()()()26221,220P Z P X Y P X Y =-==-==-==()()()()24111,11,120P Z P X Y P X Y P X Y =-==-==-=+==-=()()()()23001,01,020P Z P X Y P X Y P X Y =====-=+=== ()()()()26111,11,120P Z P X Y P X Y P X Y =====-=-+===()()()21221,220P Z P X Y P X Y =======即2Z 的分布律()33Z 为离散型随机变量，其可能的取值是1-，0，1，2，则(){}()()341m ax ,11,120P Z P X Y P X Y =-==-==-=-=(){}()()330m ax ,01,020P Z P X Y P X Y =====-==()()()()()311,11,11,01,1P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==+== 620=(){}()()()372m ax ,21,21,220P Z P X Y P X Y P X Y =====-=+===即3Z 的分布律()44Z 为离散型随机变量，其可能的取值是1-，0，1，则4Z 的分布律是(){}()()()41min ,11,11,0P Z P X Y P X Y P X Y =-==-==-=-+==()()()171,11,21,120P X Y P X Y P X Y +=-=+=-=+==-=(){}()()40min ,01,00P Z P X Y P X Y =======(){}()()()431m in ,11,11,220P Z P X Y P X Y P X Y ======+===即4Z 的分布律2. ()1 C()2解：令ZX Y =+，则Z 的可能取值为2-，0，2，则Z 的分布律是()()()()()1221,1114P Z P X Y P X Y P X P Y =-=+=-==-=-==-=-=()()()()001,11,1P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+==-()()()()111112P X P Y P X P Y ==-=+==-=()()()()()1221,1114P Z P X Y P X Y P X P Y ==+========即Z 的分布律3. 解：由题意知1X 与2X 的密度函数和分布函数分别为 ()X f x 1,010,x ≤≤⎧=⎨⎩ 其他 ， ()X F x 0,0,011,1x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩则Y 的分布函数为()Y F y ()()()()1212max ,,P Y y P X X y P X y X y =≤=≤=≤≤()()()()()12212X X X P X y P X y F y F y F y =≤≤==则Y 的密度函数为()()YYdF y f y dy=()()2X X f y F y =2,010,y y ≤≤⎧=⎨⎩ 其他则Z 的分布函数为()()()()12min ,Z F z P Z z P X X z =≤=≤()()121min ,P X X z =->()121,P X z X z =->>()()121P X z P X z =->>()()()()()()12211111X X X F z F z F z =---=--则Z 的密度函数为()()Z Z dF z f z dz=()()()21X X f z F z =-()21,010,z z -≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩其他4. 解：由X 和Y 相互独立可知 ()()()()()33()33z x tz xz t Z X Y Y Y f z f x f z x dx ef z x dxef t dt-=+∞+∞----∞-∞=-=-=⎰⎰⎰令()1 当0z ≤时，()0Z f z =; ()2 当0z >时，()3323303266(1).zzz ttzt zzZ f z eedt ee dt ee -+---=⋅==-⎰⎰综上所述，Z 的密度函数为 ()Z f z ()236,00,z zee z --⎧->⎪=⎨⎪⎩ 其他第3章 多维随机变量及其分布复习题答案 1. 解：()1由X 和Y 相互独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j =====，i =1，2，3; 0j =，1，2.则X 和Y 的联合概率分布为()2()()313P X Y P X Y +≠=-+=()()()()11,22,13,0P X Y P X Y P X Y =-==+==+==111951124412248⎛⎫=-++=-=⎪⎝⎭. 2. 解：由二维联合概率分布律及其性质可知：0.40.11a b +++=，即0.5a b += ()*()00.4P X a ==+， ()1P Y =0.1a =+()()10,1P X Y P X Y +====()1,00.5P X Y a b +===+=则由随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立可得：()()()01P X X Y =⋂+=()1P Y ==0.1a =+()()01P X P X Y ==+=()()()0.40.50.4a a b a =++=+,即 0.10.5(0.4a a +=+可得：0.2a =，再有()*式得：0.3b =.3. 解：由题意可知(),X Y 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1， 则(),X Y 的联合分布律为()0,0P X Y ==()()P A B P A B ==⋃()1P A B =-⋃()()()()1P A P B P AB =-+-1111211461233⎛⎫=-+-=-= ⎪⎝⎭()0,1P X Y ==()()()P AB P B P AB ==-11161212=-=()()()()1,0P X Y P A B P A P AB ====- ()()11,112P X Y P A B ====4. 解：由题意知Y 的密度函数为(),00,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩ 其他，()12,X X 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1，则()12,X X 的联合分布律为()()120,01,2P X X P Y Y ===≤≤()1P Y =≤111y e dy e --==-⎰()()()120,11,20P X X P Y Y P φ===≤>== ()()()2121211,01,212y P X X P Y Y P Y e dy ee---===>≤=<≤==-⎰()()()21221,11,22y P X X P Y Y P Y e dy e+∞--===>>=>==⎰，即：5. 解：()1由题意记区域G 的面积为()A G ,则()()1216A G x x dx =-=⎰，所以()()()6,,,0,,x y G fx y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩()2 关于X的边缘密度函数为()()22666,01,0,x x X dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()())6,01,0,y Y dx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他()3 不独立. 因为当01,01x y ≤≤≤≤时()()(),X Y fx y f x f y ≠.6. 解：()1关于X 的边缘密度函数为()()2012,01,0,x X dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()1211,022,0,y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 ()2()112211,,22P X Y fx y dxdy -∞-∞⎛⎫<<=⎪⎝⎭⎰⎰111222002131(1).216y dy dx y dy ==-=⎰⎰⎰第四章 随机变量的数字特征复习题4.1—4.2 数学期望习题答案1解： (1) ()E X =(2)0.1(1)0.400.310.20.4-⨯+-⨯+⨯+⨯=- (2) E (3X +1)=3E (X)＋1＝3(0.4)10.2⨯-+=- (3) E (2X )=40.120.400.310.21⨯+⨯+⨯+⨯= 2解：(1)⎰+∞∞-dx x f )(=112A dx 1x-⎰+=Aarctanx|11-=A[arctan1-arctan(-1)]=A 2π=1π2=∴A (2) E(X)=⎰-11)(x xf dx=11221)xdx x π-⎰+（=π1ln(1+2x )|11-=01013.(),2()1X yyyyY EX xf x dx xdx EY yf y dx yedy yeedy e+∞-∞+∞+∞+∞+∞+∞-----∞======-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰解： 13(23)21322E X Y -+=-⨯+=(2) 随机变量X 与Y 相互独立，∴ E(XY)＝E(X)E(Y)=214解： P(X=0)=0.3+a P(X=1)=0.3+b, ∴2()0.3E X b =+P(Y=0)=0.2 P(Y=1)=0.2+b P(Y=2)=0.2+a222222()0.22(0.2)14() 1.342 2.4E Y b b a b E X Y EX EYa b ∴=++⨯+=++∴+=+=++=即4a+2b=1.1又由分布律的性质，得0.3+a+0.3+b=1,即a+b=0.4 ∴a=0.15, b=0.25 4.3方差习题答案1解：设X 表示在取得合格品以前已经取出的废品数，则X ＝0，1，2，3。