高考文科数学向量专题讲解与高考真题精选含答案资料全
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12.13 .已知向量 ,则
(1)与 同向的单位向量的坐标表示为___ ；
(2)向量 与向量 夹角的余弦值为____
⑤线段的定比分点公式：（ 和 ）
设 = （或 = ），且 的坐标分别是 ，则
推广1：当 时，得线段 的中点公式：
推广2： 则 （ 对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC的顶点 ，重心坐标 ：
注意：在△ABC中，若0为重心，则 ，这是充要条件．
⑥平移公式：若点P 按向量 = 平移到P‘ ，则
4．（1）正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则 ．
（2）余弦定理： （3）正切定理：
（4）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、切圆的半径为R，r．
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc
②S△=Pr
③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有 ①
在△ABC中，由余弦定理有 ②，
②代入①，化简可得， （斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中线， ；
②若AD是∠A的平分线， ，其中 为半周长；
③若AD是BC上的高， ，其中 为半周长．
（8）△ABC的判定：
△ABC为直角△ ∠A + ∠B =
＜ △ABC为钝角△ ∠A + ∠B＜
＞ △ABC为锐角△ ∠A + ∠B＞
附：证明： ，得在钝角△ABC中，
（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．
09-13高考真题
09.7. 函数 的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于
A. B. C. D.
【答案】D
09.1.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【答案】B
10.8. 已知 和点M满足 .若存在实 使得 成立，则 =B
A.2B.3C.4D.5
11.2． 若向量 ， ，则 与 的夹角等于
A． B． C． D．
【详细解析】 分别求出 与 的坐标，再求出 ， ，带入公式求夹角。
【考点定位】 考查向量的夹角公式cosθ= ,属于简单题.
<0时, 异向;
=0时, .
向
量
的
数
量
积
是一个数
1. 时，
.
2.
3.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：①交换律： ；
②结合律： ；③ ．
⑸坐标运算：设 ， ，则 ．
4.向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
②BN= =1/2（a+c-b）
③FC= =1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）．
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则切圆半径r= （如图3）．
（6）在△ABC中，有下列等式成立 ．
证明：因为 所以 ，所以 ， 结论！
（7）在△ABC中，D是BC上任意一点，则 ．
向 量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；
坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O ｜a｜＝O.
单位向量aO为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
⑤S△= [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是心，其余3个是旁心．
如图：图1中的I为S△ABC的心，S△=Pr，图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
附：三角形的五个“心”；
设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线．
7.平面向量基本定理：如果 、 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面所有向量的一组基底）
8.分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．（当
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
பைடு நூலகம்2..向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
向量的
减法
三角形法则
,
数
乘
向
量
1. 是一个向量,满足:
2. >0时, 同向;
⑵坐标运算：设 ， ，则 ．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
5.向量数乘运算：
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ．
⑵运算律：① ；② ；③ ．
⑶坐标运算：设 ，则 ．
6.向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．
心：三角形三角的平分线相交于一点．
垂心：三角形三边上的高相交于一点．
旁心：三角形一角的平分线与另两条角的外角平分线相交一点．
（5）已知⊙O是△ABC的切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,即 ]，则：①AE= =1/2（b+c-a）
9.平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ．
⑵性质：设 和 都是非零向量，则① ．②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ．③ ．
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ． 设 ， ，则 ．
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ．
(1)与 同向的单位向量的坐标表示为___ ；
(2)向量 与向量 夹角的余弦值为____
⑤线段的定比分点公式：（ 和 ）
设 = （或 = ），且 的坐标分别是 ，则
推广1：当 时，得线段 的中点公式：
推广2： 则 （ 对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC的顶点 ，重心坐标 ：
注意：在△ABC中，若0为重心，则 ，这是充要条件．
⑥平移公式：若点P 按向量 = 平移到P‘ ，则
4．（1）正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则 ．
（2）余弦定理： （3）正切定理：
（4）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、切圆的半径为R，r．
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc
②S△=Pr
③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有 ①
在△ABC中，由余弦定理有 ②，
②代入①，化简可得， （斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中线， ；
②若AD是∠A的平分线， ，其中 为半周长；
③若AD是BC上的高， ，其中 为半周长．
（8）△ABC的判定：
△ABC为直角△ ∠A + ∠B =
＜ △ABC为钝角△ ∠A + ∠B＜
＞ △ABC为锐角△ ∠A + ∠B＞
附：证明： ，得在钝角△ABC中，
（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．
09-13高考真题
09.7. 函数 的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于
A. B. C. D.
【答案】D
09.1.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【答案】B
10.8. 已知 和点M满足 .若存在实 使得 成立，则 =B
A.2B.3C.4D.5
11.2． 若向量 ， ，则 与 的夹角等于
A． B． C． D．
【详细解析】 分别求出 与 的坐标，再求出 ， ，带入公式求夹角。
【考点定位】 考查向量的夹角公式cosθ= ,属于简单题.
<0时, 异向;
=0时, .
向
量
的
数
量
积
是一个数
1. 时，
.
2.
3.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：①交换律： ；
②结合律： ；③ ．
⑸坐标运算：设 ， ，则 ．
4.向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
②BN= =1/2（a+c-b）
③FC= =1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）．
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则切圆半径r= （如图3）．
（6）在△ABC中，有下列等式成立 ．
证明：因为 所以 ，所以 ， 结论！
（7）在△ABC中，D是BC上任意一点，则 ．
向 量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；
坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O ｜a｜＝O.
单位向量aO为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
⑤S△= [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是心，其余3个是旁心．
如图：图1中的I为S△ABC的心，S△=Pr，图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
附：三角形的五个“心”；
设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线．
7.平面向量基本定理：如果 、 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面所有向量的一组基底）
8.分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．（当
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
பைடு நூலகம்2..向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
向量的
减法
三角形法则
,
数
乘
向
量
1. 是一个向量,满足:
2. >0时, 同向;
⑵坐标运算：设 ， ，则 ．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
5.向量数乘运算：
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ．
⑵运算律：① ；② ；③ ．
⑶坐标运算：设 ，则 ．
6.向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．
心：三角形三角的平分线相交于一点．
垂心：三角形三边上的高相交于一点．
旁心：三角形一角的平分线与另两条角的外角平分线相交一点．
（5）已知⊙O是△ABC的切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,即 ]，则：①AE= =1/2（b+c-a）
9.平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ．
⑵性质：设 和 都是非零向量，则① ．②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ．③ ．
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ． 设 ， ，则 ．
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ．
