选修IB模块复习资料
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选修IB 模块复习资料极坐标与参数方程部分1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
解：如下图，设圆上任一点为P （ρθ，），则((((2366OP POA OA πρθ=∠=-=⨯=，，((((co s R t O A P O PO A P O A ∆=⋅∠中， 6cos 6πρθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭而点O )32,0(π A )6,0(π符合 P2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=， （1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。
解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为),211,231(11t t A ++)211,231(22t t B ++以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到02)13(2=-++t t ①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。
所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。
3、求椭圆14922=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。
解：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）()()3cos 2sin 10P P d θθθ=设，，则到定点（，）的距离为3c o s )5d θθ=(当时，4 已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++=++121x y ≤+≤（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥(c o s s i n )2s i n ()141a a πθθθ∴≥-+-=+-∴≥ 5求直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离解：将15x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩代入0x y--=得t =得(1P +，而(1,5)Q -，得PQ ==6 过点,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求P M P N ⋅的值及相应的α的值解：设直线为cos ()sin x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，代入曲线并整理得 223(1sin ))02t t αα+++= 则122321sin PM PN t t α⋅==+所以当2sin 1α=时，即2πα=，PM PN ⋅的最小值为34，此时2α= 7．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
解：设椭圆的参数方程为4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，d =3)33θθθθ=-=+- 当cos()13πθ+=时，min 5d =，此时所求点为(2,3)-。
8．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数； 解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()()22t tt t x y e e e e θθ--==+-而221x y +=，即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2t tx e e -=±+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2t ty e e -=±-，即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t tt t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin t t x y e x ye θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得222222()()cos sin cos sin ttx y x y e eθθθθ-⋅=+-即22221cos sin x y θθ-=。
9．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？解：显然tan y xθ=，则222222111,cos cos 1y y x xθθ+==+ 2222112tan cossin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯++ 即222222222111,(1)12111y yy y x x x x y y y x x x x x+=⨯+=+=++++ 得21y yx x x+=+，即220x y x y +--= 不等式部分1 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥证明：2222()(222)a b c a b c ab bc ac ++=++-++2222()2()a b c a b c ≥++-++22223()()1a b c a b c ∴++≥++= 22213a b c ∴++≥另法一：22222221()33a b c a b c a b c ++++-=++-2222221(222222)31[()()()]03a b c ab bc ac a b b c a c =++---=-+-+-≥ 22213a b c ∴++≥另法二：2222222(111)()()1a b c a b c ++++≥++=即2223()1a b c ++≥，22213a b c ∴++≥2 已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d++≥---- 证明：,0,0,0a b c d a b b c c d >>>∴->->->111111()()()[()()()]a d a b b c c d a b b c c a a b b c c a∴++-=++-+-+-------9≥= 1119a b b c c a a d∴++≥---- 3 已知,,x y z R ∈，且2228,24x y z x y z ++=++= 求证：4443,3,3333x y z ≤≤≤≤≤≤ 证明：显然2222()()8,8202x y x y x y z xy z z +-++=-==-+ ,x y ∴是方程22(8)8200t z x z z --+-+=的两个实根， 由0≥得443z ≤≤，同理可得443y ≤≤，443x ≤≤43a b c++≥证明：2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++2222()39a b c a b c ++++∴≥ 3a b c++≥ 5、（8分）①、已知：+∈R b a ,，4=+b a ，证明111≥+b a ； ②、已知：+∈R c b a ,,，9=++c b a ，证明1111≥++cb a ；并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）。
①、已知：+∈R b a ,，4=+b a ，证明111≥+ba ； ②、已知：+∈R cb a ,,，9=++c b a ，证明1111≥++cb a ；并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）。
解：①、根据柯西不等式：4)11()11)((2=⋅+⋅≥++b b a a b a b a ，4=+b a ，111≥+∴ba②、根据柯西不等式：9)111()111)((2=⋅+⋅+⋅≥++++c c b b a a c b a c b a ，9=++c b a ，1111≥++∴cb a可以推广：n a a a n =+++ 21，则：111121≥+++na a a ； 3．设a ,b ,c ,d , m , n 都是正数, P =cd ab +, Q =ndm b nc ma +⋅+，则有 （A ）P ≤Q （B ）P ≥Q （C ）P =Q （D ）不确定横店高级中学高三数学组全体老师。
