高等平差3、4

线性回归理论模型
E( y) 0 1 x1 2 x2 m xm
回归方程的系数
j
j 1, 2m
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§3-2 线性回归模型 n组观测数据
yi , x1i , x2i , xmi
n个观测方程。
yi 0 x1i 1 x2i 2 xmi m i
第三章 回归模型的参数估计与假设检验 §3-3 回归参数的最小二乘估计
一元线性回归
在线性回归模型中，若自变量x的个数只有 一个称为一元线性回归模型：
y 0 1 x
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-3 回归参数的最小二乘估计
试分析库水位与坝基沉陷量之间的关系。 现以X轴表示库水位，以 Y 轴表示大坝坝基沉陷量， 0 作散点图,由图认为，这些 0 50 100 -2 散点的分布可用一条直线 -4 方程表示，即，这是一 -6 元回归分析问题。
H0 :
0 , H1 : 0
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-5 回归方程和回归系数的显著性检验
2、相关系数检验
ˆ ) 0 成立时，的密度函数为 在原假设 E (
n 1 n4 2 (1 ˆ) ˆ2) 2 f ( n2 2 n2
残差 方差估值
ˆ Y V Y
V V ˆ n (m 1)
2 T
ˆ 的协因数及方差
Qˆˆ ( X T X ) 1
ˆ ) 2Q ˆ ˆ D(
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§3-4 线性回归统计的分布和统计性质 一、 Y , 二、
ˆ, Y ˆ, V
回归平方和 : 变量
xi
的变化而引起的
ˆi y
n i 1
对
y
的偏离平方和
ˆi y)2 S回 ( y
残差平方和 :
ˆ i 偏离的平方和 各种偶然因素干扰所引起的 yi 与 y
ˆi )2 S 残 ( yi y
i 1 n
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-5 回归方程和回归系数的显著性检验
多元线性回归模型为
y 0 1 x1 2 x2 m xm
E 0, D
2
y1 0 1 x11 2 x12 ... m x1m 1
y2 0 1 x21 2 x22 ... m x2m 2
§ 3-3 回归参数的最小二乘估计
参数估值的精度评定
Qˆˆ ( X X )
T
1
1 2 1 ( S n x ) x xx n S xx x 1
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-3 回归参数的最小二乘估计 编号库水位 X（m）沉陷量Y(mm） 1 102.714 -1.96 2 95.154 -1.88 3 114.364 -3.96 4 120.170 -3.31 5 126.630 - 4.94 6 129.393 -5.69 7 135.046 -5.46 8 140.373 -5.69 9 144.958 -3.94 10 141.011 -5.82 11 130.308 -4.18 12 121.234 -2.90
例 2： 角 一个平面三角形的一个内角 与其它两个内 、


之间关系为
1800
；两点间的
纵坐标增量等于边长S乘以方位角的余弦
x s cos
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-1 概
述
2、统计相关----不存在确定的关系， 例1：每年春季气温与降雨量； 例2：人的高度与体重之间； 例3：测距结果与仪器中电子线路受固定的干扰信号引 起误差之间； 例4：重力测量结果与气压、温度、地下水等因素之间； 例5：海平面变化与气象、海洋天文因素之间； 例6：断层位移与断层活动趋势、气温、地温、蒸发、 降雨量之间；
X i 在X 周围变化而引起的Yi 对Y 的偏离平方和
残差平方和 :
ˆi ) V V S残 ( yi y
2 T i 1
n
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-5 回归方程和回归系数的显著性检验
检验的原假设为
Ho : 1 2 m 0
H1 : i
构建统计量：

n2
(1 ) ˆ ) (1
n 1 2 2
ˆ ) (1
n4 2 2

1
x n2 ˆ x) (1
n 1
0
1 x
2
dx

n4 2 2

1
x n2 1 x
2
0
dx
（在原假设成立的情况下）
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-5 回归方程和回归系数的显著性检验

例3
对某大坝进行变形观测，选取坝体温度和水位压力作为 自变量 X1 , X 2 ，大坝水平位移值为观测量，现选取以往22次观 测资料为样本，见表，确定回归方程。
X1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.4 0.4 3.1 0.6 4.7 1.7 9.4 10.1 11.6 X2 53 23 19 34 24 65 44 31 29 Y(mm) -6.4 -6.0 -7.1 -6.1 -5.4 -7.7 -8.1 -9.3 -9.3 10 11 12 13 14 15 16 17 18
是
均为正态变量；
ˆ

的无偏估计；
ˆ是 三、

的最优线性无偏估计；
2
四、 ˆ2 是

的无偏估计
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§3-5 回归方程和回归系数的显著性检验
一、 相关系数及其检验
一元线性回归方程的前提是变量 y与 x应存在线性的统计 相关，因此，必须有一个数量性指标来描述两个变量间 线性相关的程度，这一指标通常采用相关系数。 1、相关系数
一、一元线性回归的 最小二乘估计
y 0 1 x
ˆ 1 S xy S xx
ˆ y x 1
ˆ yx 0
S xy S xx
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-3 回归参数的最小二乘估计
二、多元线性回归的最小二乘估计
一元线性回归模型中只有一个自变量，但在实际问
(i 1,2,...,n)
其矩阵形式为
Y X
n1
n m 1
m 1 1

n 1
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§3-2 线性回归模型
回归方程的函数模型
Y X
n1
n m 1
m 1 1
2

I
n 1
随机模型
D
n n
线性回归方程
ˆ ˆ x ˆ x ˆ x ˆ y 0 1 1 2 2 m m
二、方差分析法 方差分析法用以回归方程总体显著性检验。 Y的 n个观测值之间的差异，用观测值与其平均值的偏差平 方和来表示，称为总偏差平方和，记为
S总 ( yi y ) 2
i 1
n
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-5 回归方程和回归系数的显著性检验
总偏差平方和的分解公式：
S总 S 残 S回
高等测量平差
第三章 回归模型的参数估计与假设检验 §3-1 概 述
一、变量与变量之间的关系 1. 函数相关----确定性关系
2. 统计相关----不存在确定的关系，
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-1 概
述
一、变量与变量之间的关系
1、函数相关 ----确定性关系 例 1： 矩形面积 S与其两边a、b之间存在确定性关系为 s=ab；
……………
yn 0 1 xn1 2 xn2 ... m xnm n
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-3 回归参数的最小二乘估计
多元线性回归方程
ˆ ˆ x ˆ x ... ˆ x X ˆ ˆ Y 0 1 1 2 2 m m
题中，影响变量Y的因素往往不只一个，而包含多种 影响的多个自变量，例如在大坝变形监测中，影响 大坝的位移Y的因素有温度、水位压力等多个自变量， 这就是多元回归问题，多元回归中最简单的是多元 线性回归，其研究方法和思想与一元线性回归相同。
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-3 回归参数的最小二乘估计
不全为零
S回 F S残
m
n (m 1)
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-5 回归方程和回归系数的显著性检验
三、参数显著性检验
逐一对参数的显著性进行检验
H0 : j 0
H1 : j 0
2 T 1 ˆ ~ N[ , ( X X ) ]
ˆ ~ N ( , 2 q ) j j j
回归平方和 :
ˆ ˆ x ˆ ˆ x) ˆi y ) ( S回 ( y 0 1 i 0 1
2 i 1 2
n
2
2 2 ˆ ˆ 1 ( xi x ) ( x x ) 1 i
表示当变量Y和X之间完全按照回归方程线性变化时，由于
xy x y

S xy S xx S yy
1 1
第三章 回归模型的参数估计与假设检验
§ 3-5 回归方程和回归系数的显著性检验
2、相关系数检验 对于一元回归方程
ˆ y x ˆ 0 1
ˆ 1