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初二数学上册典型例题分析

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初二数学典型例题分析
1.在等腰梯形abcd 中,AD ∥BC ，AC 垂直BD ，AD=5,BC=9求梯形ABCD 的面积
解：过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E 。

∵AD ∥BC （已知），∴四边形ACED 是平行四边形，∴AD=CE=5，AC=DE
∵四边形ABCD 是等腰梯形,∴AC=DB ∴DB=DE
∵AC ⊥BD ，AC ∥DE,∴DB ⊥DE
∴△BDE 是等腰直角三角形
作DF ⊥BC 于F, 则DF=1/2 BE= 1/2×（5+9）=7
∴S = 1/2（AD+BC ）∙DF= 1/2×（5+9）×7=49.
2.如图：点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA=3K PB=4K PC=5K 求角APB 的
度数？P1
P
C B A
解：以A 点为轴心，把△ACP 顺时针旋转60度。

C 点就与B 点重合，P 点到了P1点。

AP1=AP=3，BP1=CP=5，∠P1AP=60度。

∠APC=∠AP1B
连接P1P 。

可以知道△AP1P 是正三角形。

P1P=AP=3。

∠AP1P=60度。

BP1=5，BP=4。

222543=+
所以△BPIP 是直角三角形。

∠BPPI=90度。

∠APB= 60+90=150度。

3.在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，D E ⊥
AB 于E,若AB=10，则△BDE 的周长等于_______________。

解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=∠DAE
∵∠C=90°, DE ⊥AB, ∴∠C=∠DEA
又AD=AD ，∴△AD C ≌△ADE
∴DE=DC, AE=AC=BC
∴△BDE 周长＝DE+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10
4.估算√24+3的值（ ）
A ．在5和6之间
B ．在6和7之间
C ．在7和8之间 D. 在8和9之间
5.一个矩形的对角线长6cm ，对角线与一边的夹角是45°，求矩形的长与宽 A B C D
解：如图矩形ABCD 中，AC=6, ∠BAC=45°
∴△ABC 是等腰直角三角形
设AB=BC=xcm 则x2 +x2=36
解得x=3根2 所以矩形的长与宽都为3根2 cm
6.某校八年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间宿舍
住6人，则有一间住4人，且空两件宿舍，求该年级学生人数和宿舍间数（用方
程组解）
解：设宿舍有x 间，人有y 人，则：
y=5x+4 (1)
6（x-3）+4=y (2)
把 (1)代入 (2)得
6（x-3）+4=5x+4
6x-18+4=5x+4
6x-5x=18+4-4
x=18
则有学生5×18+4=90+4=94人
答：该年级有学生94人，宿舍18间。

7.
8.若已知2011|x+y-3|+2012（x-2y ）²=0求x ，y 。

解：根据题意可得x+y-3=0①
x-2y=0②
由②得x=2y ，将x=2y 带入①得2y+y-3=0
y=1，x=2y=2
9.设计一个圆柱体模型，现有150张白纸，一张白纸可做侧面16个或做底43个，一个侧面与2个底配一套模型，问用多少张制底，多少张制侧面，才能配成整套模型~？
解：设用x 张白纸做侧面，用y 张白纸做底面
由题意得x+y=150,16x=
43y
2
解得：x=86,
y=64
经检验x=86,
y=64 是原方程组的根，
∴原方程组的解释是｛x=86,
y=64
答：用64张制作底面，86张制作侧面，才能正好配成整套模型
10.一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数 解：设十位上的数是x, 个位上的数是y,由题意得
x +y =5
]10x +y −27=10y +x 解方程组得：x =4
y =1
∴ 这个两位数是41
11.某体育场的环形跑道长400米，甲乙两人分别以一定的速度练习长跑和自行车。

如果反向而行，那么他们每30秒相遇一次，如果同向而行，那么每个80秒 乙追上甲一次。

甲乙的速度各是多少？
解：设甲的速度为x 米/秒，乙的速度为y 米/秒，根据题意列方程组得， 30304008080400
x y y x +=⎧⎨-=⎩, 解方程组得，2555, 66x y ==
答：甲的速度为25
6
米/秒，乙的速度为
55
6
米/秒。

12.（1）在直角坐标系中，若点p（a-2，b+5）在y轴上，
求点p的坐标
解：∵点p（a-2，b+5）在y轴上，所以a-2=0, b+5是任意实数
即a=2, b为任意实数
∴p的坐标为p（0，b+5）
（2）若a的绝对值=5，b的绝对值=4，且点M（a，b）在第二象限，求点M的坐标
解：∵a的绝对值=5, b的绝对值=4
∴a=±5, b=±4
又∵点M（a，b）在第二象限
∴a=-5, b=4
∴点M的坐标为（-5, 4）
13.已知直线y=kx+6与坐标轴交于E（-8,0）、F两点，若点A（-6,0），点P（x,y)是第二象限内直线EF上一动点
1、求K
2、若三角形ＰＡＯ的面积为Ｓ，求Ｓ与Ｘ的函数关系式和Ｘ的取值范围
３＼若三角形ＰＡＯ的面积为，求点Ｐ坐标
解：1）、由题意y=kx+6那么点F的坐标（0，6）
将E（-8，0）代入y=kx+6
0=-8k+6
k=3/4 ，所以y= 3/4 x+6
2）、设点P（x，3/4[x+6]）
OA=6，过点P作PD垂直x轴于D
S = 1/2×OA×PD=1/2 ×6×3/4（x+6）=9/4 x +18
其中-8<x≤0（x=-8，变成一条直线）
3）、若S= 27/8
那么9/4 x +18= 27/8
x=-6.5，
代入直线解析式得y=1.125
此时点P的位置（-6.5，1.125）。

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人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

人教版初二数学上册图形变化在几何证明中的体现

人教版初二数学上册图形变化在几何证明中的体现

图形变化在几何证明中的体现学校：南宁市三美学校姓名：郑翔尹各位评委老师，大家好，我是来自南宁市三美学校的郑翔尹，我今天说题的主题是：图形变化在几何证明中的体现。

接下来，我将按照以下7个步骤进行说题，1、说背景；2、说学情；3、说题目；4、说解法；5、说变式；6、说反思；7、说教法。

一、说背景1.题材背景题目：如图，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD.求证：BE=CD本题我将在九年级以复习课的形式为学生进行讲解，但是本题可以在人教版八年级上册第83页轴对称中等边三角形的课后习题中找到原型题。

原型题题目为：如图，已知等边△ABD和等边△ACE，求证：BE=CD2.知识背景：本题涉及的知识点有：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等式性质等。

3.方法背景：根据学生以往的学习经验与知识储备，让学生充分分析已知条件，并通过观察图形找到隐含条件，进而解决问题。

4.思想背景：类比思想、转化思想等二、说学情1.学生特点：本题的教学对象是九年级学生，他们的知识储备以及观察能力都有所发展，具有了从一定问题中抽象概括出一般规律的能力。

2.解题困难：由于部分学生对以往知识点掌握不太牢固，当几个知识点综合在一起出现时，不能熟练、快速的找到隐含条件。

3.解题策略：针对学生可以遇到的困难，我的解题策略是采取小组合作讨论的形式，以好带差，让更多的学生融入课堂。

4.重难点：重点：应用全等三角形证明线段相等难点：寻找、发现证明三角形全等的条件三、说题目1.设计意图：本题是全等三角形应用中具有代表性的一类问题，本题的解法是一法多用的经典之作，它综合了等边三角形的性质，运用SAS就能顺利证明线段相等。

我希望通过本道题目及其变式，让学生能体会一法多用这一理念，进而培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。

2.分析题目：本题的已知条件比较明显，即△ABD和△ACE都为等边三角形；待求结论为BE=CD.本题属于中等偏易的几何证明题，要证明线段相等，学生第一反应就是通过证明两个三角形全等来证明对应线段相等，学生对此类问题比较熟悉，有一定的把握。

八年级数学上册《几何证明中典型例题的解析》优秀教学案例

八年级数学上册《几何证明中典型例题的解析》优秀教学案例

二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握几何证明的基本概念，如对顶角、同位角、内错角等，并能运用这些概念分析几何图形。
2.使学生熟练掌握几种常见的几何证明方法，如综合法、分析法、递推法等，并能灵活运用这些方法解决实际问题。
3.培养学生运用几何定理和公理进行推理证明的能力，提高他们解决几何问题的技巧。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结自己在几何证明中的优点和不足，不断调整学习方法。
2.教师对学生的学习过程和结果进行评价，既要关注知识技能的掌握，也要关注学生在合作、探究等方面的表现。
3.定期组织学生进行阶段测试，检测学生对几何证明知识的掌握程度，及时发现问题，调整教学策略。
4.通过课堂提问、课后作业、小组讨论等多种方式，全面了解学生的学习情况，为教学提供有力支持。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的几何图形，如建筑物的立面图、道路的交叉线等，引发学生对几何图形的关注。
2.提问：“同学们，我们在生活中经常会遇到各种各样的几何图形，那你们知道如何证明这些几何图形的性质吗？”通过问题导入新课，激发学生对几何证明的兴趣。
3.简要回顾已学的几何知识，如角的性质、三角形的性质等，为新课的学习做好铺垫。
4.反思与评价机制的有效运用
本案例注重学生的自我反思和教师的评价，使学生在反思中总结经验、发现不足，不断调整学习方法。同时，教师的评价有助于了解学生的学习情况，为教学提供有力支持。这种反思与评价机制，有助于提高学生的学习效果和教师的教学质量。
5.内容与过程并重的教学策略
本案例在教学内容与过程的设计上，既注重知识的传授，又关注学生能力的培养。通过导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳等环节，让学生在掌握几何证明知识的同时，培养了解决问题、合作交流、反思评价等多种能力。这种内容与过程并重的教学策略，有助于提高学生的综合素质。
北师大版数学八年级上册全册复习典型例题

北师大版数学八年级上册全册复习典型例题


考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC＝14BC，请说明：AF⊥EF.
图 1－1
[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角形，只要根 据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2 就可以了．
解：连接 AE，设正方形边长为 a，则 DF＝FC＝a2，EC＝a4.
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
图1－17
13.如图1－18，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间 斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和 为( A )
图1－18
A．6 B．5 C. 6 D．36
14．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点 沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是__1_0_____．
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．