7.5解直角三角形

课题7.5 解直角三角形（第1课时）主备人执教者课型新授课课时1授课时间教学目标1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．教学重难点直角三角形的解法；三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学法指导小组合作讨论、讲练结合法教具准备多媒体课件集体智慧个性设计教学后记新课引入——情景导入五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．积极思考，回答问题——大多数学生会凭直觉发表自己的观点，有的用尺子度量，有的说我们可以构建直角三角通过身边的情境让学生思考、交流、发言，调动学生的课堂参与的积极性，激发了他们研究的兴趣和探究的激情．实践探索活动一：（课件展示1）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞多远？活动二：（课件展示2）如图，为测量旗杆的高度，在C点测得A点的仰角为30°，点C到点B的距离56.3，求旗杆的高度（精确到0.1m）．解：略．归纳总结同学们回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：观察、思考，并归纳、小结得出“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）”．用，把实际问题转化为数学模型解决；（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素”交流讨论；归纳总结．AB C（1）三边之间关系： a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系： ∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）． （3）边角之间的关系：学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）师总结：解直角三角形，有下面 两种情况（其中至少有一边） ：（1） 已知两条边（一直角边一 斜边；两直角边） ；（2） 已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）．自然就可以得出“定义” ． 例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a sin cos tan a b a A A A c c b===，，．＝5．解这个直角三角形．例2已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝104，b＝20.49．（1）求c的值（精确到0.01）；（2）求∠A、∠B的大小（精确到0.01°）．知识巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：求：（1）a＝9 ，b＝6；（2）∠A＝18°，∠C＝13．2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，求：B、C两地之间的距离．1．根据解直角三角形定义和方法进行分析．2．思考多种方法，选择最简便的方法．例2由学生独立分析，板练完成，并作自我评价，以掌握方法．练分析问题，掌握所学基础知识及基本方法，并进一步提高学生“执果索因”的能力．使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正．课堂小结通过今天的学习，你学会了什么？布置作业（1）必做题：（2）选做题：如图所示，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米．（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？解直角三角（勾股定理）两锐角之间关系 边角之间关系简单应用（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31， cos18°≈0.95）（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1

4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)

1、课本P53
习题 7.5
2、补充习题P23
O. 72 36 H A B
C
在Rt△AHO中,
∵∠AHO=90 °, ∠AOH=36 °,OA=10, ∴ AH=OA· sin36 °. ∴正五边形ABCDE的边长AB=2AH=2×10× sin36 ° ≈ 11.8
1、在下列直角三角形中 不能求解的是（ D ） A、已知一直角边一锐角
B、已知一斜边一锐角
5
30
A
C
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49. 求: (1)c的大小（精确到0.01); (2)∠A、∠B的大小（精确到0.01°).
解: (1)c=√a2+b2=√1042+20.492≈106.00
(2) ∵tanA=a/b=104/20.49,
利用计算器计算，得∠A≈78.85°.
10 A B 6 C
8
在直角三角形中，除直角外， 其余5个元素之间有什么关系？
在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系:
(1)三边之间关系：
a2+b2=c2 （勾股定理） （2）锐角之间的关系： ∠ A+ ∠ B=90（直角三角形的两个锐角互余） （3）边角之间的关系： B
sinA=a/c cosA=b/c
C、已知两边 D、已知两角
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90，b=2√3,c=4.
求:(1)a= 2 (2) ∠B= 60° ∠A= 30°
B
A C 3.求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精 确到0.1)
这节课你有哪些收获?
1 、解直角三角形的问题 ２、体会到数学与生活紧密联 系，生活离不开数学

（１）AC与BD相等吗？说明理由；
B
（２）若sinC＝
１２ １３
，BC=１２，求AD的长。
D
C
解
（２）
１２ 在Rt △ACD中，因为sinC＝ １３
设AC=13k,AD=12k，所以CD=5k,又AC=BD=13k， 所以BC=18k=12,故k= ２
２３ 所以AD=12× ３ ＝８
当堂训练一
1，在Rt△ABC中，如果各边都扩大2倍，则锐角A的正
弦值和余弦值（ A ）
A，都不变 B，都扩大2倍 C，都缩小2倍 D，不确定。
2，在△ABC中，若 sinA=√22 , 3, 在Rt△ABC中∠, C=90°, AC=
tanB=√3，则∠C=
√3,
AB=2,tan
B 2
75° √3
3
4，如果α和β都是锐角，且sinα= cosβ，
则α与β的关系 是（ B ）
）
5，A已，知相在等Rt△BA，BC中互,余∠C=C9，0°互，补sinDA，= 12不,确则定co。sB=( A )
A1 2
B，√22
C，√23
D，√3
当例堂题训赏练析二
（1）计算： sin60°·tan60°+cos ² 45°= 2
（2）如果tanA·tan30°=1,∠A=___6_0_°____。
这节课你有哪些收获?
1 、解直角三角形的问题
２、体会到数学与生活紧密联 系，生活离不开数学
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30
A
C
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49. 求: (1)c的大小（精确到0.01);
(2)∠A、∠B的大小（精确到0.01°).