年中考数学专题复习分类练习 综合探究题

综合与实践专项练习类型1 实践操作型试题1.(2022江苏宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M 均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整．．．．．．：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE.在Rt△ABC中, tan∠BAC=BCAC =12,在Rt△CDE 中, ,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°.所以∠APC=90°,即AB⊥CD.【拓展应用】(1)图②是以格点O 为圆心，AB 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在BM 上找出一点P,使PM=AM,写出作法,并给出证明;(2)图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在弦AB 上找出一点P，使AM²=AP⋅AB,写出作法，不用证明.2.(2022 黑龙江齐齐哈尔)综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.转一转:如图①,在矩形ABCD 中,点E、F、G分别为边BC、AB、AD 的中点,连接EF、DF,H 为DF 的中点,连接GH.将△BEF绕点B 旋转,线段DF、GH 和CE 的位置和长度也随之变化.当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点F 落在线段BC上，连接AF，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中,AB=2,BC=3,则GHCE =¯;(3)当AB=m,BC=n时, GHCE =¯;剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上,连接MN,将△CMN沿MN 翻折,使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上,若PM 平分∠APN,,则CM的长为.类型2 探究迁移型试题3.(2022 山东泰安)问题探究(1) 在△ABC 中,BD,CE 分别是∠ABC 与∠BCA的平分线.①若∠A=60°,AB=AC,如图1,试证明:BC=CD+BE;②将①中的条件“AB=AC”去掉,其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立?并说明理由；迁移运用(2)若四边形ABCD 是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,如图3,试探究线段AD,BC,AC 之间的等量关系，并证明.4.(2022 甘肃武威)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.【建立模型】如图1,连接BE,DE.求证:BE=DE;【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB 于点G,连接AF.(1)判断△FBG的形状并说明理由；(2)若G为AB 的中点,且AB=4,求AF的长;【模型迁移】如图3,F 是DE 延长线上一点,FB⊥BE,EF 交AB 于点G,BE=BF.求证:GE= (√2−1)DE.类型3 综合应用型试题5.(2022山东潍坊)为落实“双减”政策，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(-1，-1)，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式.【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象；【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.”你认同他们的说法吗?若不认同，请举例说明；【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数a，b，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法.请你探究这个方法，写出探究过程.6.(2022湖南湘潭)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC =√2,,分别求出线段BD、CE 和DE 的长;(2)规律探究:(i)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A 旋转α(0°<α<45°),请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；(ii)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探究线段BD、CE 和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△BFC-。

综合与探究一、选择题(每小题3分，共30分)1．小明玩一种的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：挪动珠子数(颗)23456……对应所得分数(分)26122030……当对应所得分数为A. 8颗B. 12颗C. 15颗D. 20颗2．设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是(B)A. c＝3B. c≥3C. 1≤c≤3D. c≤33．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(B)(第3题图)A. 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B. 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位C. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位4．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S(m2)与工作时间t(h)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为(B)(第4题图)A. 40 m2B. 50 m2C. 80 m2D. 100 m2解：根据图象可得，休息后园林队2 h绿化面积为160－60＝100(m2)，∴每小时绿化面积为100÷2＝50(m2)．故选B.5．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连结ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，CE＝y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是(C)(第5题图)解：根据题意知，BF ＝1－x ，BE ＝y －1，且△EFB ∽△EDC ， 则BF CD ＝BE CE ，即1－x 1＝y －1y ， ∴y ＝1x(0.2≤x ≤0.8)，该函数图象是位于第一象限的反比例函数图象的一部分．选项A ，D 的图象都是直线的一部分，选项B 的图象是抛物线的一部分，选项C 的图象是反比例函数图象的一部分． 故选C.6．设min{x ，y }表示x ，y 两个数中的最小值，例如min{0，2}＝0，min{12，8}＝8，则y ＝min{2x ，x ＋2}可以表示为(A )A. y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x ＜2），x ＋2（x ≥2）B. y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2（x ＜2），2x （x ≥2） C. y ＝2x D. y ＝x ＋2解：根据已知，在没有给出x 的取值范围时，不能确定2x 和x ＋2的大小，所以不能直接表示为C ：y ＝2x ，D ：y ＝x ＋2.当x ＜2时，可得x ＋x ＜x ＋2，即2x ＜x ＋2，可表示为y ＝2x . 当x ≥2时，可得x ＋x ≥x ＋2，即2x ≥x ＋2，可表示为y ＝x ＋2. 故选A.7．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线；②直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2相切于点(－2，1)；③直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则相切于点(2，1)；④若直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2相切，则实数k ＝ 2.其中正确的命题是(B ) A. ①②④ B. ①③ C. ②③ D. ①③④解：∵直线y ＝0是x 轴，抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，∴直线y ＝0是抛物线y ＝14x 2的切线，故①正确；∵抛物线y ＝14x 2的顶点在x 轴上，开口向上，直线x ＝－2与y 轴平行，∴直线x ＝－2与抛物线y ＝14x 2相交，故②错误；∵直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，∴14x 2－x －b ＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1＋b ＝0，解得b ＝－1，把b ＝－1代入14x 2－x －b ＝0得x ＝2，把x ＝2代入抛物线表达式可知y ＝1，∴直线y ＝x ＋b 与抛物线y ＝14x 2相切，则相切于点(2，1)，故③正确；∵直线y ＝kx －2与抛物线y ＝14x 2 相切，∴14x 2＝kx －2，即14x 2－kx ＋2＝0有两个相等的实数根，Δ＝k2－2＝0，解得k ＝±2，故④错误．故选B.8．如图，在平面直角坐标系中，在x 轴、y 轴的正半轴上分别截取OA 、OB ，使OA ＝OB ；再分别以点A, B 为圆心，以大于12AB 长为半径作弧，两弧交于点C . 若点C 的坐标为(m －1，2n )，则m 与n 的关系为(B )(第8题图)A. m ＋2n ＝1B. m －2n ＝1C. 2n －m ＝1D. n －2m ＝19．如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2，5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为(C )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，103B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，453C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，453 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，43(第9题图) (第10题图)10．如图，已知AB ＝10，点C ，D 在线段AB 上且AC ＝DB ＝2.P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长为(B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，双曲线y ＝k x(k >0)与⊙O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 的坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为__4__．(第11题图)解：∵⊙O 在第一象限关于y ＝x 对称，y ＝k x(k >0)也关于y ＝x 对称，P 点坐标是(1，3)，∴点Q 的坐标是(3，1)，∴S 阴影＝1×3＋1×3－2×1×1＝4.12．对正方形ABCD 进行分割，如图①，其中E ，F 分别是BC ，CD 的中点，M ，N ，G 分别是OB ，OD ，EF 的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图②就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM 的面积为1，则“飞机”的面积为__14__.(第12题图)解：由“飞机”的图形可知，“飞机”由2个面积为1的三角形，2个面积为4的三角形，1个面积为2的平行四边形，1个面积为2的正方形组成，故“飞机”的面积为1×2＋4×2＋2＋2＝14. 故答案为14.13．阅读下列方法：为了找出序列3，8，15，24，35，48，…的规律，我们有一种“因式分解法”．如下表：项 1 2 3 4 5 6 … n值3815243548…分解因式：1×3 1×8 1×15 1×24 1×35 1×48 2×4 3×5 2×12 5×7 2×24 4×6 3×16 4×12 6×8因此，我们得到第n 项是n (n ＋2)，请你利用上述方法，说出序列：0，5，12，21，32，45，…的第n 项是(n －1)(n ＋3)．14．老师给出一个y 关于x 的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x <2时，y 随x 的增大而减小；丁：当x <2时y >0.已知这四位同学叙述都正确．请写出满足上述所有性质的一个函数y ＝(x －2)2＋1．15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A (0，1)作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1，以A 1B ，BA 为邻边作▱ABA 1C 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2，以A 2B 1，B 1A 1为邻边做▱A 1B 1A 2C 2，…；按此作法继续下去，则点C n 的坐标是(－4n －13，4n)．(第15题图)16．如图是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA ，OB ，OC 抽象为线段，有OA ＝OB ＝OC ，且∠AOB ＝120°，折线NG －GH －HE －EF 表示楼梯，GH ，EF 是水平线，NG ，HE 是铅直线，半径相等的小轮子⊙A ，⊙B 与楼梯两边都相切，且AO ∥GH . (1)如图①，若点H 在线段OB 上，则BH OH的值是__3__．(2)如果一级楼梯的高度HE ＝(83＋2) cm ，点H 到线段OB 的距离d 满足条件d ≤3 cm ，那么小轮子半径r 的取值范围是_(11－33)_cm ≤r ≤8_cm ．(第16题图)解：(1)如解图①，设⊙B 与HE 相切于点P ，连结BP 并延长，作OL ⊥BP 于点L ，交GH 于点M ，(第16题图解①)∴∠BPH ＝∠HPL ＝90°. ∵AO ∥GH ， ∴BL ∥AO ∥GH . ∵∠AOB ＝120°， ∴∠OBL ＝60°.在Rt △BPH 中，HP ＝3BP ＝3r ， ∴ML ＝HP ＝3r ， OM ＝r . ∵BL ∥GH . ∴BH OH ＝ML OM ＝3r r＝3， 故答案为 3.(2)作HD ⊥OB ，设P 为切点，连结BP ，PH 的延长线交BD 延长线为点L ，(第16题图解②)∴∠LDH ＝∠LPB ＝90°， ∴△LDH ∽△LPB ， ∴DL PL ＝DH PB. ∵AO ∥PB ，∠AOD ＝120°， ∴∠B ＝60°， ∴∠BLP ＝30°，∴DL ＝3DH ，LH ＝2DH . ∵HE ＝(83＋2) cm ∴HP ＝83＋2－r ，PL ＝HP ＋LH ＝83＋2－r ＋2DH ， ∴3DH2DH ＋83＋2－r ＝DHr，解得DH ＝3＋12r －43－1. ∵0 cm ≤DH ≤3 cm ， ∴0≤3＋12r －43－1≤3， 解得(11－33) cm ≤r ≤8 cm. 故答案为(11－33) cm ≤r ≤8 cm. 三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题6分)游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y (m 3)与时间t (min)之间的函数关系．(第17题图)(1)根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y (m 3)关于时间t (min)的函数表达式． (2)问：排水、清洗、灌水各花多少时间？ 解：(1)排水阶段：设表达式为y ＝kt ＋b ， 图象经过(0，1500)，(25，1000)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1500，25k ＋b ＝1000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20，b ＝1500. 故排水阶段表达式为y ＝－20t ＋1500.清洗阶段：y ＝0，灌水阶段：设表达式为y ＝at ＋c ， 图象经过(195，1000)，(95，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧195a ＋c ＝1000，95a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，c ＝－950， 故灌水阶段表达式为y ＝10t －950.(2)∵排水阶段表达式为y ＝－20t ＋1500； ∴y ＝0时，0＝－20t ＋1500，解得t ＝75， 则排水时间为75 min ，清洗时间为：95－75＝20(min)，∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500(m 3)， ∴1500＝10t －950，解得t ＝245，故灌水所用时间为：245－95＝150(min)．18．(本题6分)如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，按下列步骤进行裁剪和拼图：(第18题图)第一步：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC (余下部分不再使用)． 第二步：如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕点G 按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕点H 按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片．则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为多少？最大值为多少？ (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠．)解：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD ＝6，左右两边的长等于线段MN 的长，当MN 垂直于BC 时，其长度最短，等于原来矩形的边AB 的一半，此时MN ＝4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2×(6＋4)＝20；当点E 与点A 重合，点M 与点G 重合，点N 与点C 重合时，线段MN 最长，此时MN ＝42＋62＝213，此时，这个四边形的周长最大，其值为2×(6＋213)＝12＋413. 19．(本题6分)给出下列命题：命题1：点(1，1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x的一个交点；命题2：点(2，4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x的一个交点；命题3：点(3，9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点；……(1)请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)． (2)证明你猜想的命题n 是正确的．解：命题n: 点(n , n 2) 是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点(是正整数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n ，y ＝n2代入y ＝nx ，左边＝n 2，右边＝n ·n ＝n 2，∵左边＝右边， ∴点(n ，n 2)在直线y ＝nx 上．同理可证：点(n ，n 2)在双曲线y ＝n 3x上，∴点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点，命题正确．20．(本题8分)在Rt △POQ 中，OP ＝OQ ＝4，M 是PQ 的中点，将一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A ，B .(第20题图)(1)求证：MA ＝MB .(2)连结AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连结OM ，如解图．(第20题图解) ∵OP ＝OQ ，∴△OPQ 是等腰直角三角形． ∴OM ⊥PQ ，∠P ＝∠Q ＝45°. ∵M 是斜边PQ 的中点，∴MO ＝MQ ，∠MOA ＝∠MQB ＝45°.∵∠AMO ＋∠OMB ＝90°，∠OMB ＋∠BMQ ＝90°. ∴∠AMO ＝∠BMQ . 在△AMO 与△BMQ 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠MOA ＝∠MQB ，MO ＝MQ ，∠AMO ＝∠BMQ ，∴△AMO ≌△BMQ . ∴MA ＝MB .(2)由(1)知△AMO ≌△BMQ ，∴AO ＝BQ . 设AO ＝x ，则OB ＝4－x ，AO ＋OB ＝4.在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝x 2＋（4－x ）2＝2（x －2）2＋8. ∴当x ＝2时，AB 最小，其最小值为22，∴△AOB 的周长的最小值为22＋4.21．(本题8分)对某一个函数，给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1.(1)分别判断函数y ＝1x(x > 0)和y ＝x ＋1(－4 < x ≤ 2)是不是有界函数？若是有界函数，求边界值．(2)若函数y ＝－x ＋1(a ≤ x ≤ b ，b > a )的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围．(3)将函数y ＝x 2(－1≤x ≤m ，m ≥0)的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足34≤t ≤1?(第21题图)解：(1)y ＝1x(x >0)不是有界函数，y ＝x ＋1(－4＜x ≤2)是有界函数，边界值为3. (2)∵y ＝－x ＋1中y 随x 增大而减小， 当x ＝a 时，y ＝－a ＋1＝2，∴a ＝－1. 当x ＝b 时，y ＝－b ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－b ＋1≤2，b ＞a ， ∴－1＜b ≤3.(3)若m ＞1，函数向下平移m 个单位后，x ＝0时，函数值小于－1，此时函数的边界t ≥1，与题意不符，故m ≤1.当x ＝－1时，y ＝1，即过点(－1，1)． 当x ＝0时，y 最小＝0，即过原点(0，0)．将点(－1，1)，(0，0)都向下平移m 个单位，得 (－1，1－m )，(0，－m )， ∴34≤1－m ≤1或－1≤－m ≤－34， ∴0≤m ≤14或34≤m ≤1.22．(本题10分)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，…(第22题图)(1)观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数① 1 7 ② 2 12 ③ 3 17 ④ 4 __22__ ………猜想：在图中，特征点的个数为__5n ＋2__(用n 表示)；(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝__3__；图的对称中心的横坐标为__20133__.(第22题图)解：(1)由题意，可知图①中特征点有7个； 图②中特征点有12个，12＝7＋5×1； 图③中特征点有17个，17＝7＋5×2； ∴图④中特征点有7＋5×3＝22个；由以上猜想：在图中，特征点的个数为：7＋5(n －1)＝5n ＋2.(第22题图解)(2)如解图，过点O 1作O 1M ⊥y 轴于点M ，又∵正六边形的中心角360°6＝60°，O 1C ＝O 1B ＝O 1A ＝2，∴∠BO 1M ＝30°，∴O 1M ＝O 1B ·cos∠BO 1M ＝2×32＝3， ∴x 1＝ 3.由题意，可得图②的对称中心的横坐标为12(23×2)＝23，图③的对称中心的横坐标为12(23×3)＝33，图④的对称中心的横坐标为12(23×4)＝43，… ∴图的对称中心的横坐标为12(23×2013)＝2013 3.故答案为22，5n ＋2；3，2013 3. 23．(本题10分)操作发现：(1)如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．(第23题图)问题解决：(2)保持(1)中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AD AB 的值．类比探求：(3)保持(1)中条件不变，若DC ＝nDF ，求AD AB 的值．解：(1)同意．理由：连结EF ，则∠EGF ＝∠D ＝90°，EG ＝AE ＝ED ，EF ＝EF .∴Rt△EGF ≌Rt△EDF .∴GF ＝DF .(2)由(1)知，GF ＝DF .设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y .∵DC ＝2DF ，∴CF ＝x ，DC ＝AB ＝BG ＝2x .∴BF ＝BG ＋GF ＝3x . 在Rt△BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，即y 2＋x 2＝(3x )2.∴y ＝22x .∴AD AB ＝y 2x＝ 2. (3)由(1)知，GF ＝DF .设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y .∵DC ＝n ·DF ，∴DC ＝AB ＝BG ＝nx .∴CF ＝(n －1)x ，BF ＝BG ＋GF ＝(n ＋1)x .在Rt△BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，即y 2＋[(n －1)x ]2 ＝[(n ＋1)x ]2.∴y ＝2nx .∴AD AB ＝y nx ＝2n n (或2n)． 24．(本题12分)如图，抛物线y ＝ax 2＋c (a ≠0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点(点C 在x 轴正半轴上)，△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H .(1)求a ，c 的值．(2)连结OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由．(3)现将一足够大的三角尺的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P .是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(第24题图)解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OA ＝12BC . 又∵△ABC 的面积＝12BC ·OA ＝4，即OA 2＝4， ∴OA ＝2(负值舍去)，∴点A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，∴c ＝2，∴抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋2，有4a ＋2＝0，解得a ＝－12， ∴a ＝－12，c ＝2. (2)△OEF 是等腰三角形．理由如下：∵点A (0，2)，B (－2，0)，∴直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋2.又∵平移后的抛物线顶点F 在射线BA 上，∴设顶点F 的坐标为(m ，m ＋2)，∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －m )2＋m ＋2. ∵抛物线过点C (2，0)，∴－12(2－m )2＋m ＋2＝0，解得m 1＝0(舍去)，m 2＝6， ∴平移后的抛物线函数表达式为y ＝－12(x －6)2＋8，即y ＝－12x 2＋6x －10. 当y ＝0时，－12x 2＋6x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝10， ∴点E (10，0)，OE ＝10，易得顶点F (6，8)，OH ＝6，FH ＝8，∴OF ＝OH 2＋FH 2＝62＋82＝10.又∵EF ＝FH 2＋HE 2＝82＋42＝45，∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形．(3)点Q 的位置分两种情形．情形一、点Q 在射线HF 上．当点P 在x 轴上方时，如解图①.(第24题图解①)由于△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10.在Rt△QHE中，QH＝QE2－HE2＝102－42＝84＝221，∴点Q(6，221)．当点P在x轴下方时，如解图②，有PQ＝OE＝10，(第24题图解②)过点P作PK⊥HF于点K，则有PK＝6，在Rt△PQK中，QK＝PQ2－PK2＝102－62＝8.∵∠PQE＝90°，∴∠PQK＋∠HQE＝90°.∵∠HQE＋∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ.又∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，∴△PKQ∽△QHE，∴PKQH＝QKHE，即6QH＝错误!，解得QH＝3，∴点Q(6，3)．情形二、点Q在射线AF上．当PQ＝OE＝10时，如解图③，有QE＝PO，∴四边形POEQ为矩形，∴点Q的横坐标为10，当x＝10时，y＝x＋2＝12，∴点Q(10，12)．当QE＝OE＝10时，如解图④.过点Q作QM⊥y轴于点M，过点E作x轴的垂线交QM于点N.(第24题图解)设点Q的坐标为(x，x＋2)，∴MQ＝x，QN＝10－x，EN＝x＋2.在Rt△QEN中，有QE2＝QN2＋EN2，即102＝(10－x)2＋(x＋2)2，解得x＝4±14. 当x＝4＋14时，如解图④，y＝x＋2＝6＋14，∴点Q(4＋14，6＋14)，当x＝4－14时，如解图⑤，y＝x＋2＝6－14，∴Q(4－14，6－14)．(第24题图解⑤)综上所述，存在点Q1(6，221)，Q2(6，3)，Q3(10，12)，Q4(4＋14，6＋14)，Q5(4－14，6－14)，使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等．。

中考数学二轮复习精品资料附参考答案探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：条件探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2013•襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD ’交CE 于点P ，连接BD ′，CD ′．当线段AB 、AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD ′全等？并给予证明．思路分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB =AD ，AE =AC ，∠BAD =∠CAE =60°，然后求出∠BAE =∠DAC ，再利用“边角边”证明△BAE 和△DAC 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）①求出∠DAE ，即可得到旋转角度数；②当AC =2AB 时，△BDD ′与△CPD ′全等．根据旋转的性质可得AB =BD =DD ′=AD ′，然后得到四边形ABDD ′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD ′=∠DBD ′=30°，菱形的对边平行可得DP ∥BC ，根据等边三角形的性质求出AC =AE ，∠ACE =60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD ′=∠ACD ′=30°，从而得到∠ABD ′=∠DBD ′=∠BD ′D =∠ACD ′=∠PD ′C =30°，然后利用“角边角”证明△BDD ′与△CPD ′全等．解答：（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形．∴AB =AD ，AE =AC ，∠BAD =∠CAE =60°，∴∠BAD +∠DAE =∠CAE +∠DAE ，即∠BAE =∠DAC ，在△BAE 和△DAC 中，AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△DAC （SAS ），∴BE =CD ；（2）解：①∵∠BAD =∠CAE =60°，∴∠DAE =180°－60°×2=60°，对应训练1．（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．1．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，AB∥CD．∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）如图，连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知△AOE≌△COF，∴OE=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF=AC，∴四边形AECF是矩形．考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论．对应训练2．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．2．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°－∠B=90°－30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.3．（2013•南沙区一模）如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是．3．（2013，1）考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．证明：作DM ⊥AE 于AB 交于点M ，则有：DM ∥EP ，连接ME 、DP ，∵在△ADM 与△BAE 中，AD AD ADM BAE BAD ABE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADM ≌△BAE （AAS ），∴MD =AE ，∵AE =EP ，∴MD =EP ，∴MD ∥EP ，MD =EP ，∴四边形DMEP 为平行四边形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．对应训练4．（2013•陕西）问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ）使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB +CD =BC ，点P 是AD 的中点，如果AB =a ，CD =b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．理由是：如图③，连接BP 并延长交CD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD ，∴∠A =∠EDP ，∵在△ABP 和△DEP 中A EDP AP DPAPB DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP ≌△DEP （ASA ），∴BP =EP ，连接CP ，∵△BPC 的边BP 和△EPC 的边EP 上的高相等，又∵BP =EP ，∴S △BPC =S △EPC ，作PF ⊥CD ，PG ⊥BC ，由BC =AB +CD =DE +CD =CE ，由三角形面积公式得：PF =PG ，在CB 上截取CQ =DE =AB =a ，则S △CQP =S △DEP =S △ABP∴S △BPC －S △CQP +S △ABP =S △CPE －S △DEP +S △CQP即：S 四边形ABQP =S 四边形CDPQ ，∵BC =AB +CD =a +b ，∴BQ =b ，∴当BQ =b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分．四、中考真题演练一、选择题1．（2013•永州）如图，下列条件中能判定直线l 1∥l 2的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠5C ．∠1+∠3=180°D ．∠3=∠51．C2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC2．B3．（2013•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD3．C二、填空题个条件即可）．4．∠B=∠C或AE=AD5．（2013•白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）5．AC=CD6．（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是．（只需写一个，不添加辅助线）6．AC=DF7．（2013•黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为菱形．7．AD=DC8．（2013•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A6的坐标为；若点A n的坐标为（2013，2012），则n= ．8．（－2－3），40239．（2013•湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们10．（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．10．12°三、解答题11．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．11．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．又∵点F 在CB 的延长线上，∴AD ∥CF ，∴∠1=∠2．∵点E 是AB 边的中点，∴AE =BE ．∵在△ADE 与△BFE 中，1 2DEA AEB AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BFE （AAS ）；（2）解：CE ⊥DF ．理由如下：如图，连接CE ．由（1）知，△ADE ≌△BFE ，∴DE =FE ，即点E 是DF 的中点，∠1=∠2． ∵DF 平分∠ADC ，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD =CF ，∴CE ⊥DF ．12．（2013•白银）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连接BF ．（1）BD 与CD 有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．12．解：（1）BD =CD ．理由如下：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；（2）当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴▱AFBD 是矩形．13．（2013•无锡）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，在①AB ∥CD ；②AO =CO ；③AD =BC 中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD 是平行四边形”为结论构造命题．14．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C （0，－3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y =－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．14．解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （1，0），B （3，0），可设抛物线解析式为y =a （x －1）（x －3），把C （0，－3）代入得：3a =－3，解得：a =－1，故抛物线解析式为y =－（x －1）（x －3），即y =－x 2+4x －3，∵y =－x 2+4x －3=－（x －2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y =－x 2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y =－x 上．15．（2013•凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y =－x 2+2x +3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．解：在抛物线y =－x 2+2x +3图象上任取两点A （0，3）、B （1，4），由题意知：点A 向左平移1个单位得到A ′（－1，3），再向下平移2个单位得到A ″（－1，1）；点B 向左平移1个单位得到B ′（0，4），再向下平移2个单位得到B ″（0，2）．设平移后的抛物线的解析式为y =－x 2+bx +c ．则点A ″（－1，1），B ″（0，2）在抛物线上．可得：112b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：02b c =⎧⎨=⎩．所以平移后的抛物线的解析式为：y =－x 2+2．根据以上信息解答下列问题：将直线y=2x－3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．15．解：在直线y=2x－3上任取一点A（0，－3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，－2），设平移后的解析式为y=2x+b，则A′（3，－2）在y=2x+b的解析式上，－2=2×3+b，解得：b=－8，所以平移后的直线的解析式为y=2x－8．16．（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）16．（1）证明：∵PB =PD ，∴∠2=∠PBD ，∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠C =45°，∵BO ⊥AC ，∴∠1=45°，∴∠1=∠C =45°，∵∠3=∠PBO －∠1，∠4=∠2－∠C ，∴∠3=∠4，∵BO ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BOP =∠PED =90°，在△BPO 和△PDE 中3=4BOP=PED BP=PD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△BPO ≌△PDE （AAS ）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO ，∴∠ABP =∠3，∴∠ABP =∠4，在△ABP 和△CPD 中4A C ABP PB PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩。

类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ）， ∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2， 根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ，∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQcos ∠DEP ＝2√33， ∴PC ＝2−2√33； （3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°， 过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1， 即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°， 即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ．∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5， 由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°，∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA ＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP ＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE⊥CG，理由如下：延长线段AE、GC交于点H，∵AD∥BC，∴∠CEH＝∠DAE，由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ； （2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64， ∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点， 在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ， 又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°，∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ， 又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°，∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ，∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ； （3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）； 若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4， 设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ，∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下： 延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ， ∵∠ABC ＝90°，∴BH ⊥HE ，BH ＝12ME ＝HE ；（2）结论仍然成立．BH ⊥HE ，BH ＝HE ．理由如下：延长EH 交BA 的延长线于点M ，如图2所示：∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴∠ABE ＝∠BEF ＝90°，AB ＝BC ，AB ∥CD ∥EF ，CE ＝FE ，∴∠HAM ＝∠HFE ，∴△AHM ≌△FHE （ASA ），∴HM ＝HE ，AM ＝EF ＝CE ，∴BM ＝BE ，∵∠ABE ＝90°， ∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝EH ；（3）延长EH 到M ，使得MH ＝EH ，连接AH 、BH ，如图3所示：同（2）得：△AMH ≌△FEH （SAS ），∴AM ＝FE ＝CE ，∠MAH ＝∠EFH ， ∴AM ∥BF ，∴∠BAM +∠ABE ＝180°，∴∠BAM +∠CBE ＝90°，∵∠BCE +∠CBE ＝90°∴∠BAM ＝∠BCE ，∴△ABM ≌△CBE （SAS ），∴BM ＝BE ，∠ABM ＝∠CBE ，∴∠MBE ＝∠ABC ＝90°，∵MH ＝EH ，∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝MH ＝EH ，在Rt △CBE 中，BE ＝√CB 2−CE 2＝12，∵BH ＝EH ，BH ⊥EH ，∴BH ＝√22BE ＝6√2．12．解：（1）GF ＝GC ．理由如下：如图1，连接GE ， ∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠B ＝90°，∴∠EFG ＝90°，∴Rt △GFE ≌Rt △GCE （HL ），∴GF ＝GC ； （2）设GC ＝x ，则AG ＝4+x ，DG ＝4﹣x ， 在Rt △ADG 中，62+（4﹣x ）2＝（4+x ）2， 解得x ＝94．∴GC ＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∵将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∠B ＝∠AFE ，∴EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠ECF ，∵矩形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ， ∵∠ECD ＝180°﹣∠D ，∠EFG ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣∠B ＝180°﹣∠D ，∴∠ECD ＝∠EFG ，∴∠GFC ＝∠GFE ﹣∠EFC ＝∠ECG ﹣∠ECF ＝∠GCF ，∴∠GFC ＝∠GCF ，∴FG ＝CG ；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE ＝CE ，DE ＝EF ，∠AED ＝∠CEF ，∴△AED ≌△CEF （SAS ）， ∴AD ＝CF ，∠ADE ＝∠F ，∴BD ∥CF ，∵AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴DF ＝BC ，DF ∥BC ， （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，即∠ABE +∠CBE ＝90° ∵△BEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝2BE ＝2BH ，∠BEH ＝∠BHE ＝45°， ∠EBH ＝90°，即∠CBH +∠CBE ＝90° ∴∠ABE ＝∠CBH ， ∴△ABE ≌△CBH （SAS ）， ∴AE ＝CH ，∠AEB ＝∠CHB ，∴∠CHE ＝∠CHB ﹣∠BHE ＝∠CHB ﹣45°＝∠AEB ﹣45°， ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴EF ＝HC ，∠FEH ＝360°﹣∠AEF ﹣∠AEB ﹣∠BEH ＝225°﹣∠AEB ， ∴∠CHE +∠FEH ＝∠AEB ﹣45°+225°﹣∠AEB ＝180°， ∴EF ∥HC 且 EF ＝HC ， ∴四边形EFCH 是平行四边形， ∴CF ＝EH ＝√2BE ；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。