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高中数学《4.2.1直线与圆的位置关系》学案 新人教A版必修2

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4.2.1 直线与圆的位置关系学案

一．学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

二．重点、难点：

重点：

难点：

三．知识要点：

1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；

方法二：利用圆心（,ab）到直线0AxByC的距离22||AaBbCdAB，比较d与r的大小.

（1）相交dr 0；（2）相切dr0；（3）相离dr0.

2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式0022||AxByCdAB

四．自主探究：

（一）例题精讲：

【例1】（02年全国卷.文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为 .

解：将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离2|11|1(1)1ada，

∴ a＝－1.

【例2】求直线:220lxy被圆22:(3)9Cxy所截得的弦长. （P144 练习1题）

解：由题意，列出方程组22220(3)9xyxy，消y得251440xx，得12145xx，1245xx.

设直线220xy与圆22(3)9xy交于点11(,)Axy，22(,)Bxy，则

222211212||(1)||(1)()4ABkxxkxxxx

=221442145(12)()4555.

另解：圆心C的坐标是(3,0)，半径长3r. 圆心到直线220xy的距离|2302|4555d.

所以，直线22xy被圆22(3)9xy截得的弦长是2222452145223()55rd.

【例3】（04年辽宁卷.13）若经过点(1,0)P的直线与圆224230xyxy相切，则此直线在y轴上的截距是 .

解：圆的标准方程为22(2)(1)2xy，则圆心(2,1)C，半径2r.

设过点(1,0)P的直线方程为(1)ykx，即0kxyk. ∴ 圆心到切线的距离2|21|21kkdrk，解得1k.

∴ 直线方程为1yx，在y轴上的截距是1.

点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式0022||AxByCdrAB，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.

【例4】设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆的方程.

解：设A关于直线x+2y=0的对称点为A’. 由已知得AA’为圆的弦，得到AA’的对称轴x+2y=0过圆心.

设圆心P（-2a，a），半径为r， 则r=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2.

又弦长22222Rd，圆心到弦AA’的距离为|21||31|22aaad，

∴ 22(31)22aR， 即4(a+1)2+(a-3)2=2+2(31)2a， 解得a=-7或a=-3.

当a=-3时，r=52；当a=-7时，r=244. ∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.

点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离d、半径r、半弦长的一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单.

五．目标检测

（一）基础达标

1．直线4x－3y－2＝0与圆2224110xyxy的位置关系是（ ）.

A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对

2．（08年全国卷Ⅰ. 文10）若直线1xyab与圆221xy有公共点，则（ ）.

A．221ab≤ B．221ab≥ C．22111ab≤ D．22111ab≥

3．平行于直线2x－y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ ）.

A．2x－y+5=0 B．2x－y－5=0

C．2x＋y+5=0或2x＋y－5=0 D．2x－y+5=0或2x－y－5=0

4．直线x=2被圆22()4xay所截弦长等于23, 则a的值为（ ）.

A. －1或－3 B.2或2 C. 1或3 D. 3

5．（04年全国卷Ⅲ. 文5理4）圆2240xyx在点(1,3)P处的切线方程为（ ）.

A.320xy B.340xy C.340xy D.320xy

6．已知圆C：22(1)(2)4xy及直线l：30xy，则直线l被C截得的弦长为 .

7．（03年上海春）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x－1）2+（y－a）2=1相切，则a= .

（二）能力提高

8．求直线3x+y－23=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角.

9．一直线过点3(3,)2P，被圆2225xy截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程.

（三）探究创新

10．（1997全国文）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为55. 求该圆的方程.

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新编人教A版高中数学必修二高中数学必修2直线与圆的位置关系

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高中数学必修2直线与圆的位置关系（典例）

已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0

1．位置关系的判定：

判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程

(1)△>0相交；

(2)△=0相切；

(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d

(1)d

(2)d=r相切；

(3)d>r相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点 ，

∵点P在圆O内，

∴直线L与圆O相交。

法二：圆心O到直线L的距离为

当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，

∴14m2+4m+17>0

∴m∈R

所以直线L与直线O相交。

法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0

∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)

当m≠1时，△>0，直线与圆相交；

当m=1时，直线L： ，此时直线L与圆O相交 综上得直线L与圆O恒相交。

[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。

例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值

法一：设P(cosα，sinα)为圆上一点，则点P到直线的距离为

=

∴当

时，dmin=4.

法二：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直于点M， 此时，l与圆有两个交点A、B，

∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，

∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的

人教版数学高一-必修2学案 4.2.1直线与圆的位置关系

人教版数学高一-必修2学案 4.2.1直线与圆的位置关系

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高中数学 4．2.1 直线与圆的位置关系

基础梳理

直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：

位置关系 相交 相切 相离

公共点个数 2个 1个 0个

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2

dr

代数法：由

Ax＋By＋C＝0（x－a）2＋（y－b）2＝r2

消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0

练习1：直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交．

练习2：(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，－1)或(－1，1)，故直线与圆的位置关系为相交．

(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，1)．故直线与圆的位置关系为相切．

►思考应用

如何求直线被圆所截得的弦长？

解析：①应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l打印版

高中数学 具有的关系：r2＝d2＋l22.

②利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b，与圆两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].

自测自评

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(B)

A．相切 B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心 D．相离

解析：圆心(0，0)到直线的距离为|1|12＋12＝12<1，且(0，0)不在直线y＝x＋1上，故选B.

2．下列说法中正确的是(D)

A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切

B．与半径垂直的直线与圆相切

C．过半径外端的直线与圆相切

D．过圆心且与切线垂直的直线过切点

解析：A为相交，B、C中的直线有无数条．

3．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为(C)

A．22 B.2－1

新教材高中数学第二章直线和圆的方程5-1直线与圆的位置关系学案新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学第二章直线和圆的方程5-1直线与圆的位置关系学案新人教A版选择性必修第一册

1 直线与圆的位置关系

【学习目标】

课程标准 学科素养

1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)

2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)

3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 1、直观想象

2、数学运算

3、逻辑推理

【自主学习】

1．直线与圆的三种位置关系

位置关系 交点个数

相交 有公共点

相切 只有公共点

相离 公共点

2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

位置关系 相交 相切 相离

公共点个数

判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2

代数法：由

 Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2

消元得到一元二次方程的判别式Δ

【小试牛刀】

1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )

2.如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切.( )

3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )

4.过半径外端的直线与圆相切.( )

【经典例题】

题型一直线与圆的位置关系

直线与圆位置关系判断的三种方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 2 (3)直线系法：若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系．

例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0,圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时,圆与直线：

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有公共点．

[跟踪训练]1已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36,判断直线l与圆C的位置关系.

题型二圆的切线方程

(1)点在圆上时

求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为－1k,由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

高中数学第二讲直线与园的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理学案含解析新人教A版选修4_1

高中数学第二讲直线与园的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理学案含解析新人教A版选修4_1

1 / 13 高中数学第二讲直线与园的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理学案含解析新人教A版选修4_1

1．圆内接四边形的性质

(1)圆的内接四边形对角互补．

如图，四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.

(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．

如图，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有∠CBE＝∠D.

2．圆内接四边形的判定

(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

圆内接四边形的性质

如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证：∠DEA＝∠DFA.

本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，证A，D，E，F四点共圆后可得结论．

连接AD，

因为AB为圆的直径，

2 / 13 所以∠ADB＝90°.

又EF⊥AB，∠EFA＝90°，

所以A，D，E，F四点共圆．

所以∠DEA＝∠DFA.

圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．

1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．

解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,5x，

则由∠A＋∠C＝180°，

可得4x＋5x＝180°，

∴x＝20°.

∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，

∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.

2.已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若AC＝3 cm，AD＝2 cm，求DE的长．

解：(1)证明：∵∠ABC＝∠2，