人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.1 直线与圆的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系 （第一课时）

平面

教学要求：

能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.

教学重点：

理解三条公理，能用三种语言分别表示.

教学难点：

理解三条公理.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：长方体的8个顶点、12条棱所在直线、6个面之间有和位置关系？

2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？

二、讲授新课：

1. 教学平面的概念及表示：

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两部分。

② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？

B.画法：通常画平行四边形来表示平面。（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。非水平平面：只要画成平行四边形。直立的平面：一组对边为铅垂线。相交的平面：一定要画出交线；遮住部分的线段画虚线或不画。

C.练习： 画一个平面、相交平面

③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

④ 点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A.

2. 教学公理1：

①揭示公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）

②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

③符号：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作Al；

直线l的平面α内，记作lα。

④用符号语言表示公理1：,,,AlBlABl

3.教学公理2：

新编人教版精品教学资料

高中数学必修2直线与圆的位置关系（典例）

已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0

1．位置关系的判定：

判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程

(1)△>0相交；

(2)△=0相切；

(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d

(1)d

(2)d=r相切；

(3)d>r相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点 ，

∵点P在圆O内，

∴直线L与圆O相交。

法二：圆心O到直线L的距离为

当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，

∴14m2+4m+17>0

∴m∈R

所以直线L与直线O相交。

法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0

∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)

当m≠1时，△>0，直线与圆相交；

当m=1时，直线L： ，此时直线L与圆O相交 综上得直线L与圆O恒相交。

[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。

例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值

法一：设P(cosα，sinα)为圆上一点，则点P到直线的距离为

=

∴当

时，dmin=4.

法二：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直于点M， 此时，l与圆有两个交点A、B，

∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，

∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的

1 4.2.1 直线与圆的位置关系

学习目标：

知识与技能目标：

（1）理解直线与圆三种位置关系．

（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．

过程与方法目标：

（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．

（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．

情感、态度与价值观目标：

通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.

教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系.

教学过程：

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

情景导入 1．通过观察日出的视频，判断太阳（圆），地平线（直线）位置关系有几类？ 师；让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.

生：看图，并说出自己的看法. 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.

概念形成 2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？三种（1）直线与圆相交，有师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形得出直线与圆的位置关系的几

2 两个公共点.

（2）直线与圆相切，只有一个公共点.

（3）直线与圆相离，没有公共点. 结合”的数学思想.

生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系. 何特征与种类.

概念深化 3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？通过几何画板演示三种位置关系，更直观的感受直线与圆的位置关系可以通过比较弦心距与半径的大小。 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.

人教A版高中数学必修2

课题：4.2.1直线与圆的位置关系

【教材分析】

《直线、圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容。它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用解析法进一步研究直线与圆的位置关系，它既是对圆的方程的应用和拓展，又是研究圆和圆的位置关系的基础，并且为后续研究直线和圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。

【学生学情分析】

在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系,前阶段又学习了直线方程和圆的方程。本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究直线与圆的位置关系的判断方法。通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想， 培养“数形结合”

的意识。

【教学目标】

（一）知识与技能：理解直线与圆三种位置关系；能根据直线、圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆位置关系；掌握直线和圆的位置关系判定的应用，会求弦长.

（二）方法与过程：通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、合作交流的学习方式；强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．

（三）情感态度与价值观：让学生亲生经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“数形结合”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯.

【教学重点与难点】

重点：直线与圆的位置关系的判断方法.

难点：灵活的运用“数形结合”解决直线和圆相关的问题．

【课型】新课 【课时安排】1节课

【教法、学法指导、教学手段】