二元一次方程组的解法与应用

⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）

⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤） ⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程． 它的⼀般形式:

)

0,0(≠≠=+b a c by ax ， 如6

7

1

3,245=-

=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。 2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解． 它的⼀般形式为:=+=+.,222

1

11c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零， 如：?

=

=

;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;

2,

53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。

4.⼆元⼀次⽅程组的解法： 代⼊消元法：

在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数

得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。

加减消元法：

两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．

例题精析：

例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（ ） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B

二元一次方程组的特殊解法有何应用

在数学的世界里，二元一次方程组是解决众多实际问题的有力工具。而掌握二元一次方程组的特殊解法，不仅能让我们更高效地求解问题，还能在各种应用场景中展现出独特的优势。

我们先来回顾一下什么是二元一次方程组。它是指由两个未知数，且未知数的最高次数均为 1 的方程所组成的方程组。常见的形式如：ax ＋ by ＝ c，dx ＋ ey ＝ f。

二元一次方程组的特殊解法有很多种，比如代入消元法、加减消元法，还有一些不太常见但在特定情况下非常实用的方法，比如整体代入法、换元法等。

代入消元法是一种基础且常用的方法。通过将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元转化为一元。例如，对于方程组：2x ＋

y ＝ 5 ①，x y ＝ 1 ②。由②可得 x ＝ y ＋ 1，将其代入①中，得到 2(y

＋ 1) ＋ y ＝ 5，这样就可以顺利求解出 y 的值，再将 y 的值代入 x ＝ y

＋ 1 中求出 x。

加减消元法则是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数。比如方程组：3x ＋ 2y ＝ 8 ③，2x 2y ＝ 4 ④。将③和④相加，就能消去

y，得到 5x ＝ 12，从而求出 x 的值。

接下来，我们重点探讨一下特殊解法在实际中的应用。 在行程问题中，假设小明和小红同时从 A、B 两地相向而行，小明的速度为 x 千米/小时，小红的速度为 y 千米/小时，经过 t 小时相遇。已知 A、B 两地的距离为 s 千米，我们可以得到方程：xt ＋ yt ＝ s。如果还知道小明和小红的速度之间的关系，比如小明的速度是小红速度的 2 倍，即 x ＝ 2y，这时就可以利用代入消元法求解出 x 和 y 的值，从而得出他们各自的速度。

在工程问题中，比如一项工程，甲单独完成需要 x 天，乙单独完成需要 y 天。两人合作完成这项工程需要 t 天，那么可以列出方程：t(1/x

教学目标

1、学会用方程描述问题中数量之间的相等关系；

2、通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型；

3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；

4、会解二元一次方程组。

重点、难点

理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程；列方程组。

考点及考试要求 考点 1：列方程

考点 2：解二元一次方程组

教 学 内 容

第一课时 二元一次方程组的解法和应用知识梳理

课前检测

1、若代数式 6x-5 的值与 1 互为倒数,则 x 的值为( )

4

A. 1 B.- 1 C. 7 D. 3

6 6 8 2

2、解下列方程

（1）3x+7=5x+11; （2）5(x-2)=4-(4-x)

3、若关于 x 的方程：3x 3n2 +7=0 是一元一次方程,则 n= .

4、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为 1.98％，

今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了 3.96 元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为 .

5、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20

元。问这种商品的定价是多少？

1. 二元一次方程组的有关概念

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程．

二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．

二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，

能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

2. 二元一次方程组的解法

1

二元一次方程组解法

【要点梳理】

要点一、消元法

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知数由多变少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

要点二、代入消元法

通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．

要点诠释：

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；

(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．

要点三、加减消元法解二元一次方程组

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；

(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．

2 例1、解方程组（两种方法灵活运用）：