平行的判定定理

性质定理：1、两直线平行，同位角相等。2、两直线平行，内错角相等。3、两直线平行，同旁内角互补。判定方法：1、同位角相等，两直线平行。2、内错角相等，两直线平行。3、同旁内角互补，两直线平行。

两直线平行的判定定理

1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）

2、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）

3、两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（若直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c）（等量代换）。

两直线平行的性质定理

1、同一平面内，垂直于同一条直线的两条线段（直线）平行；

2、（同一平面内），平行于同一条直线的两条线段（直线）平行；

3、同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线；

4、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。

EF //平面 BB1D1D.

第12讲平行的判定与性质

1. 线面平行的定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行

2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

符号表示为：a二二:打a〃b= a〃 .

3 .性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交 a// :-

线平行.即: a 1 1

=a//b .

:-n: =b

【例1】已知P是平行四边形 ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点, 求证：AF //平面PEC

证明：设PC的中点为G,连接EG、FG.

1

•/ F 为 PD 中点， ••• GF // CD 且 GF= —CD. 2

•/ AB // CD , AB=CD , E 为 AB 中点，

• GF // AE, GF=AE, 四边形AEGF为平行四边形• • EG // AF,

又••• AF 二平面 PEC, EG 二平面 PEC, • AF //平面 PEC.

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点•求证: 证明：连接AC交BD于0,连接0E,贝U OE // DC, OE = 1 DC.

2

•/ DC // D1C1, DC=D1C1 , F 为 D1C1 的中点，

• OE // D1F, 0E=D1F , 四边形D1FE0为平行四边形•

EF // D1O.

又••• EF 二平面 BB1D1D, DQ 二平面 BB1D1D,

• EF //平面 BB1D1D.

【例3】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱 AD、CD、BD、BC 的中点，求证：AM //平面EFG.

证明：如右图，连结DM，交GF于0点，连结0E ,

在「BCD 中，G、F 分别是 BD、CD 中点， • GF//BC ,

••• G为BD中点， • 0为MD中点，

1

E

C

ABDP平行垂直的判定性质定理

一、线面平行

1、直线和平面平行的判定定理：

⑴平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

即 ,

//

//ab

a

ab









 1、已知四棱锥PABCD

的底面是菱形．PBPD

，E

为PA

的中点．求证：PC

∥平面BDE

；

2、直线和平面平行的性质定理:

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

即 //l

lm

m













2

二、两平面平行

———没有公共点

1、两个平面平行的判定定理:

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

即

////ababP

ab















1、 如下图，在正方体ABCD—A

1B

1C

1D

1中，M、N、P分别是C

1C、B

1C

1、C

1D

1的中点，求证： 平面MNP∥平面

A

1BD.

2、两个平面平行的性质定理：

如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。 即

//

,ab

ab













推论：

①

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 即

,,,,

//,//ababAmnmnB

ambn











3

②

垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

即 ,ll

；

③

平行于同一平面的两个平面平行。

//

三、线面垂直

1、线面垂直判定定理:

一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面垂

直。

即

,,

,mnmnA

l

lmln













1、如图，在三棱锥PABC

中，PA

底面,,60,90ABCPAABABCBCA



，点D

，E

分别在棱,PBPC

上，且//DEBC

.求证：BC

平面PAC

；

．

4 2、线面性质定理：垂直于一个平面的两条直线平行。

初中数学 平行线的判定定理有哪些

平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。

2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。即如果l||n且m||n，则l||m。

3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。即如果l∠n且m∠n，则l||m。

4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。

5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。即如果l||m且m||n，则l||n。

6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。

7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。

8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。

9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。

以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。在实际应用中，我们可以利用这些定理解决一些几何问题，例如求解角度、证明图形的性质等。