热点难点问题之一 三个二次问题

热点难点问题之一： 三个二次问题

方程问题引入：①关于x的二次方程2x2+ax+1=0有实数解；（简单）

②关于x的二次方程2x2+ax+1=0有两个正根；

③关于x的二次方程2x2+ax+1=0在（12，1）上有两个解；

④关于x的二次方程2x2+ax+1=0至少有一个负根；

⑤关于x的二次方程2x2+ax+1=0有一个正跟和负根；

情况复杂⑥关于x的二次方程2x2+ax+1=0在（12，1）上有解；

思路：二次方程根的问题可以从两方面来考虑：第一：纯代数，讨论根的问题纯代数做法无非考虑△和根与系数关系；第二：几何法，主要靠画图解决。

解：法一：纯代数，首先：△只管二次方程有实数根或者无实数根，管不了根的范围；其次：要搞清楚根的范围与根与系数的关系。

插入小知识 ：根与系数关系与根的范围

① 先讨论根与系数关系与根的正负性问题：𝐱𝟏𝐱𝟐均为正，均为负，一正一负

𝐱𝟏𝐱𝟐均为正⟺𝐱𝟏>0,𝐱𝟐>0⟺ 𝐱𝟏+𝐱𝟐>0;𝐱𝟏𝐱𝟐>0;

𝐱𝟏𝐱𝟐均为负⟺𝐱𝟏<0,𝐱𝟐<0⟺ 𝐱𝟏+𝐱𝟐<0;𝐱𝟏𝐱𝟐>0;

𝐱𝟏𝐱𝟐一正一负⟺𝐱𝟏>0,𝐱𝟐<0⟺ 𝐱𝟏𝐱𝟐<0;

要密切注意等价性，再运用伟大定理解不等式就可；

𝐱𝟏+𝐱𝟐=−𝐛𝐚;𝐱𝟏𝐱𝟐=𝐜𝐚;

② 思考：𝐱𝟏𝐱𝟐在（𝟏𝟐，1）上将如何即提炼出不等式：P: 𝟏𝟐<𝐱𝟏<𝟏,𝟏𝟐<𝐱𝟐<𝟏;

那么不等式等价于下列不等式吗？ Q: 𝟐>𝐱𝟏+𝐱𝟐>1;𝟏>𝐱𝟏𝐱𝟐>𝟏𝟒;

显然不是。𝐏⇒𝐐,但是𝐏⇏𝐐。取𝐱𝟏=𝟏.𝟏，𝐱𝟐=𝟎.𝟓即可

那么P与什么不等式等价呢？借用正负性的结论来讨论。

P: 𝟏𝟐<𝐱𝟏<𝟏,𝟏𝟐<𝐱𝟐<𝟏;⟺ 𝟎<𝐱𝟏− 𝟏𝟐，𝟎<𝐱𝟐− 𝟏𝟐，𝐱𝟏−𝟏<𝟎，𝐱𝟐−𝟏<𝟎;

⟺ 𝟎<(𝐱𝟏− 𝟏𝟐)+(𝐱𝟐− 𝟏𝟐),𝟎<(𝐱𝟏− 𝟏𝟐)(𝐱𝟐− 𝟏𝟐)

且 (𝐱𝟏−𝟏)+(𝐱𝟐−𝟏)<𝟎 , 𝟎< (𝐱𝟏−𝟏)(𝐱𝟐−𝟏)

那么用此办法可以解决②③⑤的问题；

④至少一个负根；可以分两种情况，一是只有一个负根，而是全是负根两种情况，再套用上面的结论解决；

答案：（1）△≥0，a2-8≥0;(2)首先是有根△≥0其次 𝐱𝟏+𝐱𝟐=−𝐚𝟐>0;𝐱𝟏𝐱𝟐=𝟏𝟐;

得到a≤−𝟐√𝟐;（3）首先是有根△≥0其次0<(x1− 12)+(x2− 12),0<(x1− 12)(x2− 12)且 (x1−1)+(x2−1)<0 , 0< (x1−1)(x2−1)；（-3，-2√2） （4）a≥2√2,（5）Φ（6）分情况：第一：两个根，第二：有一个根，要分△=0或△>0两种情况讨论。

总结：用纯代数法虽然思维简单，但是运算较为复杂。情况需要分得很细。

法二：用图像法来解决，首先要画出大致图像，带有字母系数的要知道这个字母系数如何影响图像。

例如：2x2+ax+1=0只是在一次项系数有字母，所以他只会影响对称轴，常数项系数说明它经过（0，1），二次项系数说明它开口朝上。

插入小知识：二次函数图像与根的范围的关系(函数值，对称轴，△)

注意：f(c)f(d)<0⇒f(x)在区间（c,d）一定有解，反过来并不成立。

(2)f(0)>0, x1+x22>0, △>0（3）f(0.5)>0,f(1)>0,1> x1+x22>0.5, △>0

函数问题引入①关于x的二次方程y=2x2+ax+1恒在x轴的上方；

②关于x的二次方程y=2x2+ax+1的图像与x轴恒没有交点；

③关于x的二次方程y=2x2+ax+1与x轴有两个不同的交点；

④关于x的二次方程y=2x2+ax+1与x轴只有一个公共点；

⑤关于x的二次方程y=2x2+ax+1的图像截x轴正半轴的弦为1；

不等式引入问题：（1）关于x的不等式2x2+ax+1>0的解集为R；

（2）关于x的不等式2x2+ax+1<0的解集为（12，1）；

（3）关于x的不等式2x2+ax+1>0的解集为{x|x≠−√22,x∈R}; （4）关于x的不等式2x2+ax+1<0的解集有不等于-1的负数解；

（5）关于x的不等式2x2+ax+1<0在区间（1，2）恒成立

提示：二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，二次不等式的解集则是抛物线在x轴上方或下方对应的x轴的区间。

答：（1）-2√𝟐

恒成立，能成立，恰好成立

由题目入手：

1.f(x)=log10(a−ax−x2)

①定义域为A，且A∩（2，3）≠∅.求a的取值范围。

②f(x)在x∈（2，3）上有意义，求a取值范围。

③f(x)定义域为(2,3),求a。

区别：①是能成立问题。存在 x∈（2，3），使得a-ax-x2>0成立。

②是恒成立问题。a-ax-x2>0在x∈（2，3）恒成立。

③是恰成立问题。a-ax-x2>0解集为(2,3)恰成立。

能成立问题：

若在集合D上存在x使f(x)>A成立，则maxf(x)>A.

若在集合D上存在x使f(x)

恒成立问题：

若f(x)>A在区间D上恒成立.则f(x)在D上最小值minf(x)>A.

若f(x)

A,B须为与x无关的常数。

恰成立问题：

F(x)>A在D上恰成立，则f(x)>A解集为D。

方法有：分离常数法，图像法，分类讨论。

如例中1所示：g(x)= a−ax−x2

对称轴：x=−a2 , 当−a2<2即为a>-4时，maxg(x)=g(2)=a-2a-4=-a-4>0;a<-4, 矛盾

X=−a2, 当−a2>3即为a<-6时，maxg(x)=g(3)=-2a-9>0;a<4.5,即为a<-6.

X=−a2, 当−a2∈(2,3)时，-60即为a>0,或a<−14.

a=-6时也可以，则a的取值范围为a<=-4即可。

例2.a>1，若仅有一个常数c使得对于任意x∈【a,2a】有y∈【a,a2】,满足logax+logay=c则a的取值范围。

答案：a=2

例3.f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0解集为A，B={x:1

（-∞，−2）∪（67，+∞）

例4.f(x)=x2+2x+ax 对于任意的x∈【1，+ ∞ ），f(x)>=0恒成立，求a的取值范围。

答案：a>=-3.

5.（2010天津文）（16）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________

【答案】m<-1

6.（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .

【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。

依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。

当时函数取得最小值，所以，即，解得或

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解

2.已知关于的方程有一个负根，但没有正根，则实数的取值范

围是

答案 a≥1

1x[1,），f(mx)+mf(x)<02()1fxx2,3x24()(1)4()xfmfxfxfmmm22222214(1)(1)14(1)xmxxmm3[,)2x22213241mmxx3[,)2x32x2321yxx53221543mm22(31)(43)0mm32m32mx1axxa