自由落体与竖直上抛
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白菜物理工作室 文章偶得
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自由落体与竖直上抛
自由落体运动和竖直上抛运动是匀变速直线运动的特例。自由落体运动是初速度为零的加速度为重力加速度（自由落体加速度）g的竖直向下的匀加速直线运动；竖直上抛运动是初速度竖直向上的加速度为重力加速度g的匀变速直线运动（先减速后加速）。
一、 自由落体运动
1.自由落体运动的加速度
自由落体运动初速度为零，加速度为自由落体加速度g也叫重力加速度，且同一地点这个加速度是相同的。
g有两个名字，也就代表了两个意思。自由落体加速度，很显然指的是通过实验测得的物体做自由落体运动的加速度；重力加速度又是什么意思呢？重力加速度可以这么理解，由重力产生的加速度。要弄明白这个问题，以及为什么这个加速度在同一地点相同，需要我们先提前预习一下重力和牛顿第二定律。自由落体当中的自由是不受任何的束缚，但是在地球上的物体就会受到重力，物体在空气中运动也会受到来自空气的阻力。因此这里的自由落体也是一个理想的物理模型，即只在重力的作用下，忽略空气的阻力，由牛顿第二定律就可得到加速度Gmgagmm 。因此自由落体加速度和重力加速度是一样的。在地球上同一地点，重力加速度g是一样的，所以通过实验测量的自由落体加速度也是一样的（空气阻力的影响可以忽略的前提下）。
另外，重力加速度的大小随着维度的升高而增大，在两极重力加速度最大，在赤道重力加速度最小，通常我们取29.8m/s ，为了便于计算有时候我们也用210m/s 。不过大家一定要记住自由落体运动的加速度只有在同一地点才是相同的，在不同地点其大小和方向都可能会发生变化。这里面的奥秘就需要等大家学习了万有引力定律之后再去探索了。
2.自由落体运动的规律
自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，因此之前学习的关于匀变速直线运动的一切规律在这里都是适用的。即212agvgtxgt，， ，22vax ，当然之前推导的出来的所有规律这里也是适用的。但还是要提醒一下，公式中的t、x都是指的以初始状态为起点的。因此如果要研究中间的某一阶段，如雨滴通过窗户的问题，我们必须要用作差的思想（2121tttxxx， ）。
自由落体运动是一个基本的运动模型，下面我们要讨论的竖直上抛运动以及曲线运动中的平抛运动都是以自由落体运动为基础的。 白菜物理工作室 文章偶得
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二、 竖直上抛运动
1.竖直上抛运动的特点
竖直上抛运动运动与自由落体运动一样也是理想化的物理模型，同样是物体只在重力作用下，且忽略空气阻力，初速度竖直向上，加速度为重力加速度的匀变速运动。但由于其初速度（竖直向上）与加速度（重力加速度g，竖直向下）方向相反，所以物体要先做匀减速运动，当速度减小到零之后再做匀加速运动。
2.竖直上抛运动的规律
整体
因为竖直上抛运动的加速度不变所以其是匀变速直线运动。以竖直向上为正方向，所以加速度ag
（负方向），速度00vvatvgt ，位移22001122xvtatvtgt，位移与速度的关系22022vvaxgx 。
分段
做竖直上抛运动的物体到达最高点时，其速度为零，由此可以解得时间000vvtgg，高度2200022vvHgg。找到最高点之后，我们可以把整个竖直上抛运动，由此分成两段。从物体被抛出到最高点（含）是匀减速直线运动；从最高点（含）开始下落是自由落体运动。
3.竖直上抛运动的对称性
竖直上抛运动，物体在到达最高点之前速度均匀减小到零，之后又从零开始均匀增加，且两个过程的加速度相同，运动轨迹重叠，因此这两部分运动具有高度的对称性。我们先利用速度图像来分析一下。
以竖直向上为正方向，画出速度时间图像。在时间轴上最高点两侧取B点和B点，过B点和B点分别做时间轴的垂线，与速度图像相交于A点和A点。假设Bt 时刻和Bt时刻物体在同一位置，则有物体到最高点的距离相等，即△OBA和△OBA面积相等。
因为△OBA和△OB´A´的面积相等，
所以1122BOABBOAB。
又因为∠AOB=∠A´OB´,设∠AOB=∠A´OB´=θ则有tanABBO，tanABBO带入上述面积公式可得22tantanBOBO，即BOBO。
由几何知识可知△OBA和△OB´A´是全等三角形，所以AB= A´B´。
BOBO说明从Bt到最高点与从最高点到Bt所需的时间相同。 白菜物理工作室 文章偶得
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关注白菜物理，一起学习。 AB= A´B´说明速度大小相等但方向相反。
也就是说做竖直上抛运动的物体，在上升和下降过程中通过同一位置时，与最高点之间的距离和时间间隔、速度的大小都相等，它们是关于最高点对称的。
当然我们也可以用公式来证明上述问题。
设竖直上抛运动过程中某一点A到最高点的距离为h。以竖直向上为正方向，则物体上升过程中位移为xh上，下落过程中位移xh下，且加速度ag。
由公式2202vvax可得：
上升过程202()Avgh，解得22Avgh；
下落过程202()()Avgh，解得22Avgh。
所以Av与Av大小相等，但是方向相反即AAvv。
再由速度公式0vvat可得
上升过程0()Avgt上，解得Avtg上；
下落过程0()Avgt下，解得Avtg下。
又因为AAvv，所以=tt下上。
3.竖直上抛运动的多解性 因为竖直上抛运动上升和下降过程中会经过同一位置，因此在已知位移的情况下，时间和速度都会出现两个解。如果位移的方向没有确定则时间与速度还有可能出现第三个解，即物体落回抛出点之后又继续往下落（如山顶抛物、窗口抛物，跳水运动员等）。可以通过位移时间图像来帮助我们研究此类问题 (以竖直向上为正方向，以抛出点为原点)。
由图像可以看出，当位移x =h(h>0)时有t1和t2两个解，当位移x =−h时有第三个解t3（此时需要注意通过解二次函数的方程还会有第四个解，但时间不能是负数，这个解要舍去。在应用数学知识处理物理问题的时候一定要牢记相关物理量的意义。）。
